2025屆甘肅省寧縣高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2025屆甘肅省寧縣高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在中國，周朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并證明此定理的為公元前世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和.若一個(gè)直角三角形的斜邊長等于則這個(gè)直角三角形周長的最大值為（）A. B.C. D.2．已知p、q是兩個(gè)命題，若“（￢p）∨q”是假命題，則（）A.p、q都是假命題 B.p、q都是真命題C.p是假命題q是真命題 D.p是真命題q是假命題3．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.844．國際冬奧會(huì)和殘奧會(huì)兩個(gè)奧運(yùn)會(huì)將于2022年在北京召開，這是我國在2008年成功舉辦夏季奧運(yùn)會(huì)之后的又一奧運(yùn)盛事.某電視臺(tái)計(jì)劃在奧運(yùn)會(huì)期間某段時(shí)間連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的奧運(yùn)宣傳廣告，要求最后播放的必須是奧運(yùn)宣傳廣告，且2個(gè)奧運(yùn)宣傳廣告不能相鄰播放，則不同的播放方式有（）A.120種 B.48種C.36種 D.18種5．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過焦點(diǎn)的傾斜角為直線交橢圓于兩點(diǎn)，弦長，若三角形的內(nèi)切圓的面積為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.6．二項(xiàng)式的展開式中，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和是（）A.2 B.8C.16 D.327．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.， B.，C.， D.，8．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.y=±2x B.y=C. D.9．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契，以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，，，，，，，，…，在實(shí)際生活中很多花朵的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.已知斐波那契數(shù)列滿足：，，，若，則等于（）A. B.C. D.10．已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若，則|QF|＝()A. B.C.3 D.211．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前6項(xiàng)的和為A.15 B.C.6 D.312．已知直線，若圓C的圓心在軸上，且圓C與直線都相切，求圓C的半徑（）A. B.C.或 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知蜥蜴的體溫與陽光照射的關(guān)系可近似為，其中為蜥蜴的體溫(單位：℃)為太陽落山后的時(shí)間(單位：)．當(dāng)________時(shí)，蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率為14．橢圓x2+=1上的點(diǎn)到直線x+y-4=0的距離的最小值為_________.15．圓關(guān)于直線的對稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______16．已知焦點(diǎn)為F的拋物線的方程為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，點(diǎn)P在拋物線上，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與到點(diǎn)Q的距離的和的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，.（1）求；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求當(dāng)取得最小值時(shí)的的值.18．（12分）已知橢圓的離心率是，且過點(diǎn).直線與橢圓相交于兩點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的面積的最大值；（Ⅲ）設(shè)直線，分別與軸交于點(diǎn)，.判斷，大小關(guān)系，并加以證明.19．（12分）已知橢圓：，的左右焦點(diǎn)，是雙曲線的左右頂點(diǎn)，的離心率為，的離心率為，點(diǎn)在上，過點(diǎn)E和，分別作直線交橢圓于，和，點(diǎn)，如圖.（1）求，的方程；（2）求證：直線和的斜率之積為定值；（3）求證：為定值.20．（12分）已知函數(shù)，滿足，已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，曲線在處的切線為.（1）求切線的傾斜角的取值范圍；（2）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，其中P為E的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且（1）求拋物線E的方程；（2）過的直線與E交于C，D兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)，使得x軸平分？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由22．（10分）如圖所示，四棱錐的底面為矩形，，，過底面對角線作與平行的平面交于點(diǎn)（1）求二面角的余弦值；（2）求與所成角的余弦值；（3）求與平面所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長分別為，則，根據(jù)基本不等式求出的最大值后，可得三角形周長的最大值.【詳解】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長分別為，則.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.故這個(gè)直角三角形周長的最大值為故選：C2、D【解析】由已知可得￢p，q都是假命題，從而可分析判斷各選項(xiàng)【詳解】∵“（￢p）∨q”是假命題，∴￢p，q都是假命題，∴p真，q假，故選：D.3、C【解析】根據(jù)對稱性以及概率之和等于1求出，再由即可得出答案.【詳解】∵隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，∴故選：C.4、C【解析】先考慮最后位置必為奧運(yùn)宣傳廣告，再將另一奧運(yùn)廣告插入3個(gè)商業(yè)廣告之間，最后對三個(gè)商業(yè)廣告全排列，即可求解.【詳解】先考慮最后位置必為奧運(yùn)宣傳廣告，有種，另一奧運(yùn)廣告插入3個(gè)商業(yè)廣告之間，有種；再考慮3個(gè)商業(yè)廣告的順序，有種，故共有種.故選：C.5、C【解析】由題可得直線AB的方程，從而可表示出三角形面積，又利用焦點(diǎn)三角形及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，也可表示出三角形面積，則橢圓的離心率即求.【詳解】由題知直線AB的方程為，即，∴到直線AB距離，又三角形的內(nèi)切圓的面積為，則半徑為1，由等面積可得，.故選：C.6、D【解析】根據(jù)給定條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)直接計(jì)算作答.【詳解】二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和是.故選：D7、A【解析】由題方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出c，則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可求【詳解】由題得方程可化為，所以所以焦點(diǎn)為故選：A.8、B【解析】雙曲線的離心率為，漸進(jìn)性方程為，計(jì)算得，故漸進(jìn)性方程為.【考點(diǎn)定位】本小題考查了離心率和漸近線等雙曲線的性質(zhì).9、A【解析】利用可化簡得，由此可得.【詳解】由得：，，即.故選：A.10、C【解析】過點(diǎn)Q作QQ′⊥l交l于點(diǎn)Q′，利用拋物線定義以及相似得到|QF|＝|QQ′|＝3.【詳解】如圖所示：過點(diǎn)Q作QQ′⊥l交l于點(diǎn)Q′，因?yàn)?，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.11、C【解析】利用成等比數(shù)列,得到方程2a1+5d＝2，將其整體代入{an}前6項(xiàng)的和公式中即可求出結(jié)果【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，∴，1，成等差數(shù)列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{an}前6項(xiàng)的和為2a1+5d）=故選C【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用12、C【解析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓心到直線的距離相等列方程，求得圓心坐標(biāo)并求得圓的半徑.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，則或，所以圓的半徑為或.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】求得導(dǎo)函數(shù)，令，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】，，令，得：.解得：.時(shí)刻min時(shí)，蜥蜴的體溫的瞬時(shí)變化率為故答案為：5.14、【解析】設(shè)與直線x+y-4=0平行的直線方程為,求出即得解.【詳解】解：設(shè)與直線x+y-4=0平行的直線方程為,所以，代入橢圓方程得，令或.當(dāng)時(shí)，平行線間的距離為；當(dāng)時(shí)，平行線間的距離為.所以最小距離為.故答案為：.15、【解析】先將已知圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求得圓心坐標(biāo)(2,2)和半徑2，然后可根據(jù)直線的位置直接看出(2,2)點(diǎn)的對稱點(diǎn)，進(jìn)而寫出方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心(2,2),半徑為2，圓心(2,2)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為原點(diǎn),所以所求對稱圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：16、##【解析】利用定義將所求距離之和的最小值問題，轉(zhuǎn)化為的最小值問題.【詳解】焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，拋物線準(zhǔn)線為,如圖，作垂直于準(zhǔn)線于A，交y軸于B，.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）10或11【解析】（1）利用通項(xiàng)公式以及求和公式列出方程組得出；（2）先求出數(shù)列通項(xiàng)公式，再根據(jù)得出取得最小值時(shí)的的值.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由得解得所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，則.令，解得，由于，故或，故當(dāng)前項(xiàng)和取得最小值時(shí)的值為10或11.18、（1）（2）（3）見解析【解析】(1)由題意求得，所以橢圓的方程為(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，由題意可得．三角形的高為．，面積表達(dá)式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．即的面積的最大值是(3)結(jié)論為．利用題意有．所以試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為因?yàn)闄E圓的離心率是，所以，即由解得所以橢圓的方程為（Ⅱ）將代入，消去整理得令，解得設(shè)則，所以點(diǎn)到直線的距離為所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以的面積的最大值是（Ⅲ）．證明如下：設(shè)直線，的斜率分別是，，則由（Ⅱ）得，所以直線，的傾斜角互補(bǔ)所以，所以所以19、（1）：；：（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】（1）利用待定系數(shù)法，根據(jù)條件先求曲線的方程，再求曲線的方程；（2）首先設(shè)，表示直線和的斜率之積，即可求解定值；（3）首先表示直線與方程聯(lián)立消，利用韋達(dá)定理表示弦長，以及利用直線和的斜率關(guān)系，表示弦長，并證明為定值.【小問1詳解】由題設(shè)知，橢圓離心率為解得∴，∵橢圓的左右焦點(diǎn)，是雙曲線的左右頂點(diǎn)，∴設(shè)雙曲線：∴的離心率為解得.∴：：；【小問2詳解】證明：∵點(diǎn)在上∴設(shè)則，∴.∴直線和的斜率之積為定值1；【小問3詳解】證明：設(shè)直線和的斜率分別為，，則設(shè)，：與方程聯(lián)立消得“*”則，是“*”的二根則則同理∴.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意求出值，求導(dǎo)后通過導(dǎo)數(shù)的值域求出斜率范圍，從而得到傾角范圍.（2）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得到過P點(diǎn)的切線方程，化簡后構(gòu)造m的函數(shù)，求新函數(shù)的極大值極小值即可.【小問1詳解】因?yàn)?，則，解得，所以，則，故，，，，，切線的傾斜角的的取值范圍是，，.小問2詳解】設(shè)曲線與過點(diǎn)，的切線相切于點(diǎn)，則切線的斜率為，所以切線方程為因?yàn)辄c(diǎn)，在切線上，所以，即，由題意，該方程有三解設(shè)，則，令，解得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為，極大值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.21、（1）（2）存在；【解析】（1）設(shè)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出p即可；（2）設(shè)直線MC，MD的斜率分別為，，利用坐標(biāo)計(jì)算恒成立，即可求解.【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，得所以拋物線E的方程為【小問2詳解】假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)，使得x軸平分設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立，可得∵恒成立，∴，設(shè)直線MC，MD的斜率分別為，，則由定點(diǎn)，使得x軸平分，則，所以把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得，得故存在滿足題意．綜上所述，在x軸上存在定點(diǎn)，使得x軸平分22、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）設(shè)，連接、，證明出平面，推導(dǎo)出為的中點(diǎn)，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值；（2）利用空間向量法可求得與所