安徽省淮南市第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中教學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題_第1頁
安徽省淮南市第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中教學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題_第2頁
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淮南二中2025屆高二第二學(xué)期期中教學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題考試時間:120分鐘,試題滿分:150分注意事項(xiàng):1.答題前,務(wù)必在答題卷規(guī)定位置填寫自己的姓名、班級、準(zhǔn)考證號(智學(xué)號);2.在答題卷上答題時,選擇題必須用2B鉛筆將對應(yīng)題號的答案涂黑,非選擇題必須用0.5mm黑色墨水簽字筆在指定區(qū)域作答,超出規(guī)定區(qū)域作答無效;3.考試結(jié)束只需提交答題卷,試題卷學(xué)生自己保存.第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題:本題共8個小題,每小題5分,共40分,在每小題所給四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題意的.1.書架上有1本語文書,3本不同的數(shù)學(xué)書,4本不同的物理書,某位同學(xué)從中任取1本,共有()種取法.A.8 B.7 C.12 D.5【答案】A【解析】【分析】由分類加法計數(shù)原理計算.【詳解】任取1本可分三類:第一類取的是語文書,第二類取的是數(shù)學(xué)書,第三類取的是物理書,由此可得取法為.故選:A.2.已知函數(shù)圖象如圖所示,則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,得到導(dǎo)數(shù)的正負(fù)區(qū)間,然后做出選擇即可.【詳解】由的圖象及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,當(dāng)時,為減函數(shù),故,排除A、C;當(dāng)時,先增再減后增,故先正再負(fù)后正,排除B.故選:D.3.的展開式中含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng),令的指數(shù)位置等于求得的值,即可求解.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為:,令可得,所以含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為,故選:D.4.某學(xué)校廣播站有6個節(jié)目準(zhǔn)備分2天播出,每天播出3個,其中學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)介紹和新聞報道兩個節(jié)目必須在第一天播出,談話節(jié)目必須在第二天播出,則不同的播出方案共有()A.108種 B.90種 C.72種 D.36種【答案】A【解析】【分析】先確定第一天和第二天播放的節(jié)目,然后再確定節(jié)目的播放順序,利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】第一步,從無限制條件的3個節(jié)目中選取1個,同學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)介紹和新聞報道兩個節(jié)目在第一天播出,共有種;第二步,某談話節(jié)目和其他剩余的2個節(jié)目在第二天播出,有種播出方案,綜上所述,由分步乘法計數(shù)原理可知,共有種不同的播出方案.故選:A5.已知的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為192,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A.8 B.6 C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】令,可求出,再寫出的通項(xiàng),再考慮展開式中的每一項(xiàng)與中的哪項(xiàng)之積為常數(shù)即可.【詳解】令,則,所以.在中,的展開式的通項(xiàng),所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選:A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:對于求多個二項(xiàng)式的和或積的展開式中某項(xiàng)的系數(shù)問題,要注意組合知識的運(yùn)用,還要注意有關(guān)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).6.若函數(shù)不存在極值,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意函數(shù)不存在極值,則在上恒成立,從而可解.【詳解】函數(shù),則,因?yàn)楹瘮?shù)不存在極值,則在上恒成立,則,得.故選:A7.已知,則的大小關(guān)系為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù),利用其單調(diào)性判定大小即可.【詳解】,令,則,所以當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,,即,即,從而可知.故選:B.8.已知不等式對恒成立,則實(shí)數(shù)a的最小值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用同構(gòu)變形得到,構(gòu)造函數(shù),,結(jié)合其單調(diào)性和求解的是a的最小值,考慮兩種情況,進(jìn)行求解,最終求得實(shí)數(shù)a的最小值.【詳解】因?yàn)?,所以,即,?gòu)造函數(shù),所以,令,解得:,令,解得:,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,與1的大小不定,但當(dāng)實(shí)數(shù)a最小時,只需考慮其為負(fù)數(shù)的情況,此時因?yàn)楫?dāng)時,單調(diào)遞減,故,兩邊取對數(shù)得:,令,則,令得:,令得:,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以故a的最小值是.故選:C【點(diǎn)睛】同構(gòu)法針對與不等式或者等式中同時出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)時,要將兩邊變形得到結(jié)構(gòu)相同,再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即可判斷選項(xiàng).【詳解】,故A錯誤;

,故B正確;

,故C正確;,故D錯誤.

故選:BC10.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表,數(shù)學(xué)愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結(jié)論正確的是()A.第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù)B.C.第2020行的第1010個數(shù)最大D.第12行中從左到右第2個數(shù)與第3個數(shù)之比為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)楊輝三角讀出數(shù)據(jù)即可判斷A,利用組合數(shù)公式判斷B,分析各行數(shù)據(jù)的特征,即可判斷C,求出第行中從左到右第個數(shù)與第個數(shù),即可判斷D.【詳解】對于A:第行,第行,第行的第個數(shù)字分別為:,,,其和為;而第行第個數(shù)字就是,故A正確;對于B:因?yàn)?,,所以,故B正確;對于C:由圖可知:第行有個數(shù)字,如果是偶數(shù),則第(最中間的)個數(shù)字最大;如果是奇數(shù),則第和第個數(shù)字最大,并且這兩個數(shù)字一樣大,所以第行的第個數(shù)最大,故C錯誤;對于D:依題意:第行從左到右第個數(shù)為,第行從左到右第個數(shù)為,所以第行中從左到右第個數(shù)與第個數(shù)之比為,故D正確;故答案為:ABD.11.已知函數(shù),則下列選項(xiàng)正確的是()A.在上單調(diào)遞減B.恰有一個極大值C.當(dāng)時,有三個零點(diǎn)D.當(dāng)時,有三個實(shí)數(shù)解【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)絕對值的定義分類討論去掉絕對值符號后,求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性、極值,在確定方程的根的個數(shù)時需注意函數(shù)值的變化趨勢.【詳解】A:當(dāng)時,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,故A正確;B:當(dāng)時,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增;結(jié)合選項(xiàng)A的分析,知是函數(shù)極大值點(diǎn),是函數(shù)的極小值點(diǎn),故B正確;C:當(dāng)時,,,當(dāng)時,,所以當(dāng)時,方程無實(shí)根,即函數(shù)無零點(diǎn),故C錯誤;D:當(dāng)時,,由以上討論,知當(dāng)時,,而,如圖,由圖可知,方程有3個實(shí)根,所以有3個實(shí)根,故D正確.故選:ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.第Ⅱ卷三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為___________.【答案】【解析】【分析】先由題意可得,求出,即可求得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】由題意得,得,所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng),所以,故答案為:.13.某校安排5名同學(xué)去A,B,C,D四個愛國主義教育基地學(xué)習(xí),每人去一個基地,每個基地至少安排一人,則甲同學(xué)被安排到A基地的排法總數(shù)為____________.【答案】60【解析】【分析】分兩種情況分類計算,一種是A基地只有甲同學(xué)在,另外一種是A基地有甲同學(xué)還有另外一個同學(xué)也在,兩種情況相加即可.【詳解】當(dāng)A基地只有甲同學(xué)在時,那么總的排法是種;當(dāng)A基地有甲同學(xué)還有另外一個同學(xué)也在時,那么總排法是種;則甲同學(xué)被安排到A基地的排法總數(shù)為種.故答案為:60.14.已知函數(shù),若存在區(qū)間,當(dāng)時,的值域?yàn)?,且,其中表示不超過的最大整數(shù),則的取值范圍為____________.【答案】【解析】【分析】首先將題意轉(zhuǎn)化為有兩個實(shí)數(shù)根,再利用參變分離,轉(zhuǎn)化為,通過構(gòu)造函數(shù),利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,利用臨界分析,即可求解.【詳解】由題意可知,有兩個實(shí)數(shù)根,即,設(shè),即與有2個交點(diǎn),并且滿足,,,當(dāng),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng),,函數(shù)單調(diào)遞減,并且,當(dāng)時,,如圖,畫出函數(shù)圖象,因?yàn)?,?dāng)時,,則,不滿足,當(dāng),,則,不滿足,當(dāng),此時,滿足,,,所以.故答案為:四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.要從6名男生4名女生中選出5人參加一項(xiàng)活動.(Ⅰ)甲當(dāng)選且乙不當(dāng)選,有多少種不同的選法?(用數(shù)字作答);(Ⅱ)至多有3名男生當(dāng)選,有多少種不同的選法?(用數(shù)字作答).【答案】(Ⅰ)70種;(Ⅱ)186種【解析】【分析】(Ⅰ)甲當(dāng)選且乙不當(dāng)選,只需從余下的8人中任選4人,結(jié)合組合數(shù)即可求出結(jié)果;(Ⅱ)至多有3男當(dāng)選時,根據(jù)分類計數(shù)原理應(yīng)分三類:第一類是3男2女;第二類是2男3女;第三類是1男4女,然后利用分步計數(shù)原理求解即可.【詳解】(Ⅰ)甲當(dāng)選且乙不當(dāng)選,只需從余下的8人中任選4人,有=70種選法;(Ⅱ)至多有3男當(dāng)選時,應(yīng)分三類:第一類是3男2女,有種選法;第二類是2男3女,有種選法;第三類是1男4女,有種選法,由分類加法計數(shù)原理知:共有種選法.16.(1)計算:;(請用數(shù)字作答)(2)解關(guān)于正整數(shù)n的方程:【答案】(1)448;(2)【解析】【分析】(1)利用組合數(shù)的性質(zhì)將原式化簡重組即可求得結(jié)果;(2)先利用組合數(shù)性質(zhì)化簡,再運(yùn)用組合數(shù)和排列數(shù)公式展開計算即可求得.【詳解】(1)原式;(2)由化簡得展開得,因,故可化簡得:,解得或(舍),故方程的正整數(shù)解為.17.某同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后,決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè),經(jīng)過市場調(diào)查,生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固定成本2萬元,每生產(chǎn)萬件,需另投入流動成本萬元,當(dāng)年產(chǎn)量小于萬件時,(萬元);當(dāng)年產(chǎn)量不小于萬件時,(萬元).已知每件產(chǎn)品售價為元,假若該同學(xué)生產(chǎn)的商品當(dāng)年能全部售完.(1)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(萬件)的函數(shù)解析式;(注:年利潤=年銷售收入固定成本流動成本)(2)當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬件時,該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大?最大年利潤是多少?(?。?【答案】(1);(2)當(dāng)年產(chǎn)量萬件時,年利潤最大,最大年利潤為萬元.【解析】【分析】(1)根據(jù)題中條件,分和兩種情況,分別求出對應(yīng)的解析式,即可得出結(jié)果;(2)根據(jù)(1)中解析式,分別求出和兩種情況下,的最大值,即可得出結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)槊考a(chǎn)品售價為元,則萬件商品銷售收入為萬元,由題意可得,當(dāng)時,;當(dāng)時,;所以;(2)由(1)可得,當(dāng),,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立;當(dāng)時,,則,所以,當(dāng)時,,即函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,即函數(shù)單調(diào)遞減;所以當(dāng)時,取得最大值;綜上,當(dāng)時,取得最大值萬元;即當(dāng)年產(chǎn)量為時,該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大,最大年利潤是萬元.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)最值的一般步驟:(1)先對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性;(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,即可求出函數(shù)的最值.18.已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)時,.【答案】(1)當(dāng)時,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)證明見解析【解析】【分析】(1)求導(dǎo),分類討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求解單調(diào)性,(2)由(1)可得,即可將問題轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性,即可利用最值求解.【小問1詳解】的定義域?yàn)?,?dāng)時,在上恒成立,所以在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,令,得,令,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上所述,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】證明:由(1)知,當(dāng)時,.要證明成立,只要證明,即證.令,則,令,得,令,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,故當(dāng)時,.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題:1.通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值),從而得出不等關(guān)系;2.利用分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,從而判定不等關(guān)系;3.適當(dāng)放縮構(gòu)造法:根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論,從而判定不等關(guān)系;4.構(gòu)造“形似”函數(shù),變形再構(gòu)造,對原不等式同解變形,根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).19.微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑,它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時期,為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段.對于函數(shù)在區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷,從幾何上看,定積分便是由直線和曲線所圍成的區(qū)域(稱為曲邊梯形)的面積,根據(jù)微積分基本定理可得,因?yàn)榍吿菪蔚拿娣e小于梯形的面積,即,代入數(shù)據(jù),進(jìn)一步可以推導(dǎo)出不等式:.(1)請仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法,證明:;(2)已知函數(shù),其中.①證明:對任意兩個不相等的正數(shù),曲線在和處的切線均不重合;②當(dāng)時,若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析;②【解析】【分析】(1)根據(jù)題,設(shè)過點(diǎn)作的切線分別交于,結(jié)合,即可得證;(2)①求得,分別求得在點(diǎn)和處的切線方程,假設(shè)與重合,整理得,結(jié)合由(1)的結(jié)論,即可得證;②根據(jù)題意,轉(zhuǎn)化為時,在恒成立,設(shè),求得,分和,兩種情況討論,得到函數(shù)的單調(diào)性和最值,即可求解.【小問1詳解】解:在曲線取一點(diǎn).過點(diǎn)作的切線分別交于,因?yàn)?,可得,即.【小?詳解】解:①由函數(shù),可得,不妨設(shè),曲線在處的切線方程為,即同理曲線在處的切線方程為,假設(shè)與重合,則,代入化簡可得,兩式消去,可得,整理得,由(1)的結(jié)論知,與上式矛盾即對任意實(shí)數(shù)及任意不相等的正數(shù)與均不重合.②當(dāng)時,不等式恒成立,所以在恒成立,所以,下證:當(dāng)時,恒成立.因?yàn)椋?/p>

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