23二次函數(shù)與一元二次方程不等式（第1課時）（導(dǎo)學(xué)案）

2.3二次函數(shù)與一元二次方程不等式（第1課時）導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標1.從函數(shù)觀點看一元二次方程．了解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．2.從函數(shù)觀點看一元二次不等式．經(jīng)歷從實際情景中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義．3.借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系．重點難點重點：一元二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，利用二次函數(shù)圖像求一元二次方程的實數(shù)根和不等式的解集;難點：一元二次方程根的情況與二次函數(shù)圖像與x軸位置關(guān)系的聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合思想的運用．導(dǎo)入新知在初中，我們從一次函數(shù)的角度看一元一次方程、一元一次不等式，發(fā)現(xiàn)了三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用這種聯(lián)系可以更好地解決相關(guān)問題.類似地，能否從二次函數(shù)的觀點看一元二次方程和一元二次不等式，進而得到一元二次不等式的求解方法呢？同學(xué)們，我國歷史上有很多杰出的數(shù)學(xué)家，比如祖沖之、秦九韶等，我們古代的數(shù)學(xué)重點在于“算”，可以說算學(xué)是異常的發(fā)達，經(jīng)常令西方數(shù)學(xué)家瞠目結(jié)舌．既然要算，那么對于“二次方程”必然有所涉獵！比如我們所熟悉的《九章算術(shù)》，但是《九章算術(shù)》的一貫作風(fēng)是給個問題，配個答案，剩下的自己去想，至于如何解方程，這就需要大家來解決了．實際上，對于求解一元二次方程的方法有很多，比如我們所熟悉的求根公式、配方法，而比較好用的還是十字相乘法．在初中，我們從一次函數(shù)的角度看一元一次方程、一元一次不等式，發(fā)現(xiàn)了三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用這種聯(lián)系可以更好地解決有關(guān)問題．對于二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有這樣的聯(lián)系呢？先來看一個問題．問題園藝師打算在綠地上用柵欄圍一個矩形區(qū)域種植花卉．若柵欄的長度是24m，圍成的矩形區(qū)域的面積要大于20m2，則這個矩形的邊長為多少米？設(shè)這個矩形的一條邊長為，則另一條邊長為．由題意，得，其中．整理得，．①求得不等式①的解集，就得到了問題的答案．一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式（quadricinequalityinoneunknown）．一元二次不等式的一般形式是或，其中，，均為常數(shù)，．思考在初中，我們學(xué)習(xí)了從一次函數(shù)的觀點看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．類似地，能否從二次函數(shù)的觀點看一元二次不等式，進而得到一元二次不等式的求解方法呢？下面，我們先考察一元二次不等式與二次函數(shù)之間的關(guān)系．如圖2.31，在平面直角坐標系中畫出二次函數(shù)的圖象，圖象與軸有兩個交點．我們知道，這兩個交點的橫坐標就是方程的兩個實數(shù)根，，因此二次函數(shù)與軸的兩個交點是和．一般地，對于二次函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做二次函數(shù)的零點．于是二次函數(shù)的兩個零點是，．從圖2.31可以看出，二次函數(shù)的兩個零點，將軸分成三段．相應(yīng)地，當或時，函數(shù)圖象位于軸上方，此時，即；當時，函數(shù)圖象位于軸下方，此時，即．所以，一元二次不等式的解集是．因為，因此當圍成的矩形的一條邊長滿足時，圍成的矩形區(qū)域的面積大于．上述方法可以推廣到求一般的一元二次不等式和的解集．我們知道，對于一元二次方程，設(shè)，它的根按照，，可分為三種情況．相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系也分為三種情況．因此，我們分三種情況來討論對應(yīng)的一元二次不等式和的解集（表2.31）表2.31二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的對應(yīng)關(guān)系的圖象的根有兩個不相等的實數(shù)根，（）有兩個相等的實數(shù)根沒有實數(shù)根的解集，或的解集應(yīng)用新知例1求不等式的解集．分析：因為方程的根是函數(shù)的零點，所以先求出的根，再根據(jù)函數(shù)圖象得到的解集．解：對于方程，因為，所以它有兩個實數(shù)根．解得，．畫出二次函數(shù)的圖象（圖2.32），結(jié)合圖象得不等式的解集為，或．【變式】解下列不等式．(1)；(2)．【詳解】（1）方程的兩個根為，，函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線，與軸有兩個交點，，因此，原不等式的解集為或；（2）原不等式可化為，方程的兩個根為，，函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線，與軸有兩個交點，，所以原不等式的解集為.例2求不等式的解集．解：對于方程，因為，所以它有相等的實數(shù)根，解得．畫出二次函數(shù)的圖象（圖2.33），結(jié)合圖象得不等式的解集為．【變式2】已知關(guān)于的不等式，.(1)當時，求不等式的解集；(2)若“不等式的解集為”為假命題，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）把代入，解一元二次不等式作答.（2）求出命題“不等式的解集為”為真命題的a的范圍，再求其補集作答.【詳解】（1）當時，不等式化為：，解得或，所以所求不等式的解集為.（2）當不等式的解集為時，即恒成立，因此，解得，所以“不等式的解集為”為假命題時，的取值范圍是.例3求不等式的解集．解：不等式可化為．因為，所以方程無實數(shù)根．畫出二次函數(shù)的圖象（圖2.34）．結(jié)合圖象得不等式的解集為．因此，原不等式的解集為．【變式3】已知關(guān)于的不等式．(1)若此不等式的解集是，求的值；(2)討論此不等式的解集．【答案】(1)或(2)答案見解析【分析】（1）由題意知，，2是的兩根，從而可求出；（2）通過討論對應(yīng)方程兩根的大小，得出不等式的解集．【詳解】（1）由題意知，，是的兩根，所以，解得或．（2）就是，即．方程的兩根是，．①當，即時，此不等式的解集是．②當，即時，此不等式是，解集是．③當，即時，此不等式的解集是．對于二次項系數(shù)是負數(shù)（即）的不等式，可以先把二次項系數(shù)化為正數(shù)，再求解．現(xiàn)在，你能解決第2.1節(jié)的“問題2”了嗎？利用框圖可以清晰地表示求解一元二次不等式的過程．這里，我們以求解可化為形式的不等式為例，用框圖表示其求解過程（圖2.35）．能力提升題型一：不含參一元二次不等式的解法【練習(xí)1】解下列不等式：(1)－2x2＋x－6<0；(2)－x2＋6x－9≥0；(3)x2－2x－3>0.【解析】(1)原不等式可化為2x2－x＋6>0.因為方程2x2－x＋6＝0的判別式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函數(shù)y＝2x2－x＋6的圖象開口向上，與x軸無交點(如圖所示)．結(jié)合圖象可得，原不等式的解集為R.(2)原不等式可化為x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函數(shù)y＝(x－3)2的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可得，原不等式的解集為{x|x＝3}．(3)方程x2－2x－3＝0的兩根是x1＝－1，x2＝3.函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象是開口向上的拋物線，與x軸有兩個交點(－1,0)和(3,0)，如圖所示．結(jié)合圖象可得不等式的解集為{x|x<－1或x>3}．反思感悟解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)化標準．通過對不等式變形，使不等式的右側(cè)為0，使二次項系數(shù)為正．(2)判別式．對不等式的左側(cè)進行因式分解，若不能分解，則計算對應(yīng)方程的判別式．(3)求實根．求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程無實數(shù)根．(4)畫草圖．根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖．(5)寫解集．結(jié)合圖象寫出不等式的解集．題型二：含參一元二次不等式的解法【練習(xí)2】已知，關(guān)于x的不等式（1）當時，求x的解集.（2）當時，求x的解集(用a來表示).【解析】（1）由，原不等式可化為，然后解不等式即可（2）由，得，然后分三種情況討論解不等式即可【詳解】解：（1）當時，原不等式可化為，即，解得，所以解集為，（2）由，得，①當即或時，不等式的解集為；②當即或時，不等式的解集為；③即時，不等式的解集為，綜上，當或時，不等式的解集為；當或時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為，反思感悟在解含參數(shù)的一元二次不等式時常從以下三個方面進行考慮(1)不等式類型的討論：二次項系數(shù)a>0，a<0，a＝0.(2)不等式對應(yīng)的方程根的討論：兩不同實根(Δ>0)，兩相同實根(Δ＝0)，無根(Δ<0)．(3)不等式對應(yīng)的方程根的大小的討論：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.題型三：三個“二次”之間對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用【練習(xí)3】二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分對應(yīng)值如表所示：x－3－2－101234y60－4－6－6－406則關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．【解析】根據(jù)表格可以畫出二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈R)圖象的草圖，如圖．由圖象得關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|x<－2或x>3}．注意點：(1)零點不是點，而是函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標．(2)若二次項系數(shù)為正數(shù)的不等式對應(yīng)的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取兩邊，小于取中間”的方法得到不等式的解集．(3)不等式的解集必須寫成集合的形式，若不等式無解，則應(yīng)說解集為空集．課堂總結(jié)1．知識清單：(1)一元二次不等式的概念及解法．(2)含參的一元二次不等式的解法．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合法、分類討論法．3．常見誤區(qū)：解含參數(shù)的一元二次不等式時找不到分類討論的標準．作業(yè)設(shè)計(1)整理本節(jié)課的題型；(2)課本P53的練習(xí)1~2題；(3)課本P55的習(xí)題2.3的1~4題.附教材P53練習(xí)及參考答案練習(xí)（第53頁）1.求下列不等式的解集：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【解析】【小問1詳解】解：，解得或，所以不等式的解集是或；【小問2詳解】由，得，即，解得，所以原不等式的解集為：；【小問3詳解】不等式的相應(yīng)方程的兩個根為，，則不等式的解集為；【小問4詳解】不等式，即為，所以原不等式無解；【小問5詳解】不等式即為，則，解得或，所以原不等式的解集為或；【小問6詳解】其相應(yīng)方程的判別式為，所以不等式的解集為R；2.當自變量x在什么范圍取值時,下列函數(shù)的值等于0?大于0?小于0?(1);(2);(3);(4).【解析】1）二次函數(shù)令由一元二次方程的求根公式可知所以結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,開口向上,與軸有兩個交點,所以當時,