甘肅省武威市涼州區(qū)2023-2024學年高二下學期期中考試數(shù)學

20232024年度第二學期期中質(zhì)量檢測高二數(shù)學注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每題5分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）011．隨機變量的分布列如表格所示，其中，則等于（）A． B． C． D．2．投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國時期較為盛行.如圖為一幅唐朝的投壺圖，假設(shè)甲、乙、丙是唐朝的三位投壺游戲參與者，且甲、乙、丙每次投壺時，投中與不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壺1次，則這3人中至少有2人投中的概率為（）A．B．C．D．3．設(shè)函數(shù)在點處的切線方程為，則（）A．4 B．2 C．1 D．4．若向量，且與的夾角的余弦值為，則（）A．2B．C．2或D．或如圖，在直三棱柱中，，，則向量與的夾角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．下列求導(dǎo)計算中正確的有（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．空間內(nèi)有三點，，，則點到的中點的距離為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，對任意實數(shù)都有，設(shè)，則不等式的解集為（）A．B．C．D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分。在每題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部答對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。）9．已知事件，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．如果，那么C．如果與互斥，那么 D．如果與相互獨立，那么10．下列命題中，正確的是（）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，，則B．直線l的方向向量，平面的法向是，則C．兩個不同的平面，的法向量分別是，，則D．直線l的方向向量，平面的法向量，則直線l與平面所成角的大小為11．對于定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，下列說法不正確的是（）A．使的一定是函數(shù)的極值點B．在R上單調(diào)遞增是在R上恒成立的充要條件C．若函數(shù)既有極小值又有極大值，則其極小值一定不會比它的極大值大D．若在R上存在極值，則它在R一定不單調(diào)第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分。）12．已知隨機變量的分布列為，那么實數(shù).13．若曲線在點處的切線垂直于直線，則點的坐標是．14．我國近代數(shù)學家蘇步青主要從事微分幾何學和計算幾何學等方面的研究，在仿射微分幾何學和射影微分幾何學等研究方面取得了出色成果．他的主要成就之一是發(fā)現(xiàn)了四次代數(shù)錐面：對于空間中的點P（x，y，z），若其坐標滿足關(guān)于x，y，z的四次代數(shù)方程式，稱點P的軌跡為四次代數(shù)曲面．若點K（1，k，0）是四次曲面：上的一點，則k＝．四、解答題（本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．（本小題滿分13分）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最值．16．（本小題滿分15分）已知，，.(1)求；(2)求在上投影的數(shù)量.（本小題滿分15分）作為上海市副中心之一，徐匯區(qū)的建設(shè)不僅是上海市發(fā)展戰(zhàn)略的關(guān)鍵節(jié)點，也肩負著醫(yī)治上海市“大城市病”的歷史重任，因此，徐匯區(qū)的發(fā)展備受矚目．2017年發(fā)布的《上海市徐匯區(qū)統(tǒng)計年鑒（2017）》顯示：2016年徐匯區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資939.9億元，比上年增長，下面給出的是徐匯區(qū)2011~2016年全社會固定資產(chǎn)投資及增長率，如圖一．又根據(jù)徐匯區(qū)統(tǒng)計局2018年1月25日發(fā)布：2017年徐匯區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資1054.5億元，比上年增長．(1)在圖二中畫出2017年徐匯區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資（柱狀圖），標出增長率并補全折線圖；(2)通過計算2011~2017這7年的平均增長率約為，現(xiàn)從2011~2017這7年中隨機選取2個年份，記X為“選取的2個年份中，增長率高于的年份的個數(shù)”，求X的分布列及數(shù)學期望.18．（本小題滿分17分）如圖，直三棱柱中，，是的中點，是的中點．(1)證明：直線直線;(2)求直線與平面所成的角的大小．19．（本小題滿分17分）對于三次函數(shù)．定義：①的導(dǎo)數(shù)為，的導(dǎo)數(shù)為，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”；②設(shè)為常數(shù)，若定義在上的函數(shù)對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)，都有恒成立，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱．(1)已知，求函數(shù)的“拐點”的坐標；(2)檢驗（1）中的函數(shù)的圖象是否關(guān)于“拐點”對稱.20232024學年第二學期高二數(shù)學期中試卷答案第I卷（選擇題）一、單選題1．隨機變量的分布列如表格所示，其中，則等于（

C

）01A． B． C． D．2．投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國時期較為盛行.如圖為一幅唐朝的投壺圖，假設(shè)甲、乙、丙是唐朝的三位投壺游戲參與者，且甲、乙、丙每次投壺時，投中與不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壺1次，則這3人中至少有2人投中的概率為（

B

）A． B． C． D．3．設(shè)函數(shù)在點處的切線方程為，則（C

）A．4 B．2 C．1 D．4．若向量，且與的夾角的余弦值為，則（D

）A．2B．C．2或D．或5．如圖，在直三棱柱中，，，則向量與的夾角是（C）

A．30°B．45°C．60°D．90°6．下列求導(dǎo)計算中正確的有（

D

）A．若，則B．若，則C．若，則 D．若，則7．空間內(nèi)有三點，，，則點到的中點的距離為（

A

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，對任意實數(shù)都有，設(shè)，則不等式的解集為（

B

）A．B．C．D．二、多選題9．已知事件，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

BCD

）A． B．如果，那么C．如果與互斥，那么 D．如果與相互獨立，那么10．下列命題中，正確的是（

AC

）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，，則B．直線l的方向向量，平面的法向是，則C．兩個不同的平面，的法向量分別是，，則D．直線l的方向向量，平面的法向量，則直線l與平面所成角的大小為11．對于定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，下列說法不正確的是（

ABC

）A．使的一定是函數(shù)的極值點B．在R上單調(diào)遞增是在R上恒成立的充要條件C．若函數(shù)既有極小值又有極大值，則其極小值一定不會比它的極大值大D．若在R上存在極值，則它在R一定不單調(diào)第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．已知隨機變量的分布列為，那么實數(shù)3.13．若曲線在點處的切線垂直于直線，則點的坐標是．14．我國近代數(shù)學家蘇步青主要從事微分幾何學和計算幾何學等方面的研究，在仿射微分幾何學和射影微分幾何學等研究方面取得了出色成果．他的主要成就之一是發(fā)現(xiàn)了四次代數(shù)錐面：對于空間中的點P（x，y，z），若其坐標滿足關(guān)于x，y，z的四次代數(shù)方程式，稱點P的軌跡為四次代數(shù)曲面．若點K（1，k，0）是四次曲面：上的一點，則k＝2．四、解答題15．（本小題滿分13分）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最值．【詳解】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，，，所求得的切線方程為，即；6分（2）由（1）有，令，解得：或，故函數(shù)在遞增，在遞減，故函數(shù)在取最大值，，，故函數(shù)在的最大值為4，最小值為0．16．（本小題滿分15分）已知，，.(1)求；(2)求在上投影的數(shù)量.【詳解】（1）因為，，，所以，.因為，，，所以，故.7分因為，，所以.因為，所以在上投影的數(shù)量為.17．（本小題滿分15分）作為上海市副中心之一，徐匯區(qū)的建設(shè)不僅是上海市發(fā)展戰(zhàn)略的關(guān)鍵節(jié)點，也肩負著醫(yī)治上海市“大城市病”的歷史重任，因此，徐匯區(qū)的發(fā)展備受矚目．2017年發(fā)布的《上海市徐匯區(qū)統(tǒng)計年鑒（2017）》顯示：2016年徐匯區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資939.9億元，比上年增長，下面給出的是徐匯區(qū)2011~2016年全社會固定資產(chǎn)投資及增長率，如圖一．又根據(jù)徐匯區(qū)統(tǒng)計局2018年1月25日發(fā)布：2017年徐匯區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資1054.5億元，比上年增長．(1)在圖二中畫出2017年徐匯區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資（柱狀圖），標出增長率并補全折線圖；(2)通過計算2011~2017這7年的平均增長率約為，現(xiàn)從2011~2017這7年中隨機選取2個年份，記X為“選取的2個年份中，增長率高于的年份的個數(shù)”，求X的分布列及數(shù)學期望.解析：（1）5分（2）依題意，的可能取值為；；10分的分布列為：的數(shù)學期望15分18．（本小題滿分17分）如圖，直三棱柱中，，是的中點，是的中點．(1)證明：直線直線;(2)求直線與平面所成的角的大小．【詳解】（1）不妨設(shè)，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖，,.,因為，所以.7分（2），,易知平面的一個法向量為,設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以，即直線與平面所成的角的大小為.19．