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20232024年度第二學(xué)期期中質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng):1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上第I卷(選擇題)一、單選題(本題共8小題,每題5分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)011.隨機(jī)變量的分布列如表格所示,其中,則等于()A. B. C. D.2.投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲,在春秋戰(zhàn)國時(shí)期較為盛行.如圖為一幅唐朝的投壺圖,假設(shè)甲、乙、丙是唐朝的三位投壺游戲參與者,且甲、乙、丙每次投壺時(shí),投中與不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壺1次,則這3人中至少有2人投中的概率為()A.B.C.D.3.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,則()A.4 B.2 C.1 D.4.若向量,且與的夾角的余弦值為,則()A.2B.C.2或D.或如圖,在直三棱柱中,,,則向量與的夾角是()A.30°B.45°C.60°D.90°6.下列求導(dǎo)計(jì)算中正確的有()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則7.空間內(nèi)有三點(diǎn),,,則點(diǎn)到的中點(diǎn)的距離為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),,對任意實(shí)數(shù)都有,設(shè),則不等式的解集為()A.B.C.D.二、多選題(本題共3小題,每小題6分。在每題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部答對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。)9.已知事件,滿足,,則下列結(jié)論正確的是()A. B.如果,那么C.如果與互斥,那么 D.如果與相互獨(dú)立,那么10.下列命題中,正確的是()A.兩條不重合直線的方向向量分別是,,則B.直線l的方向向量,平面的法向是,則C.兩個(gè)不同的平面,的法向量分別是,,則D.直線l的方向向量,平面的法向量,則直線l與平面所成角的大小為11.對于定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),為其導(dǎo)函數(shù),下列說法不正確的是()A.使的一定是函數(shù)的極值點(diǎn)B.在R上單調(diào)遞增是在R上恒成立的充要條件C.若函數(shù)既有極小值又有極大值,則其極小值一定不會比它的極大值大D.若在R上存在極值,則它在R一定不單調(diào)第II卷(非選擇題)三、填空題(本題共3小題,每小題5分,共15分。)12.已知隨機(jī)變量的分布列為,那么實(shí)數(shù).13.若曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線,則點(diǎn)的坐標(biāo)是.14.我國近代數(shù)學(xué)家蘇步青主要從事微分幾何學(xué)和計(jì)算幾何學(xué)等方面的研究,在仿射微分幾何學(xué)和射影微分幾何學(xué)等研究方面取得了出色成果.他的主要成就之一是發(fā)現(xiàn)了四次代數(shù)錐面:對于空間中的點(diǎn)P(x,y,z),若其坐標(biāo)滿足關(guān)于x,y,z的四次代數(shù)方程式,稱點(diǎn)P的軌跡為四次代數(shù)曲面.若點(diǎn)K(1,k,0)是四次曲面:上的一點(diǎn),則k=.四、解答題(本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.(本小題滿分13分)已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求在區(qū)間上的最值.16.(本小題滿分15分)已知,,.(1)求;(2)求在上投影的數(shù)量.(本小題滿分15分)作為上海市副中心之一,徐匯區(qū)的建設(shè)不僅是上海市發(fā)展戰(zhàn)略的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),也肩負(fù)著醫(yī)治上海市“大城市病”的歷史重任,因此,徐匯區(qū)的發(fā)展備受矚目.2017年發(fā)布的《上海市徐匯區(qū)統(tǒng)計(jì)年鑒(2017)》顯示:2016年徐匯區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資939.9億元,比上年增長,下面給出的是徐匯區(qū)2011~2016年全社會固定資產(chǎn)投資及增長率,如圖一.又根據(jù)徐匯區(qū)統(tǒng)計(jì)局2018年1月25日發(fā)布:2017年徐匯區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資1054.5億元,比上年增長.(1)在圖二中畫出2017年徐匯區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資(柱狀圖),標(biāo)出增長率并補(bǔ)全折線圖;(2)通過計(jì)算2011~2017這7年的平均增長率約為,現(xiàn)從2011~2017這7年中隨機(jī)選取2個(gè)年份,記X為“選取的2個(gè)年份中,增長率高于的年份的個(gè)數(shù)”,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.18.(本小題滿分17分)如圖,直三棱柱中,,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn).(1)證明:直線直線;(2)求直線與平面所成的角的大?。?9.(本小題滿分17分)對于三次函數(shù).定義:①的導(dǎo)數(shù)為,的導(dǎo)數(shù)為,若方程有實(shí)數(shù)解,則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”;②設(shè)為常數(shù),若定義在上的函數(shù)對于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù),都有恒成立,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.(1)已知,求函數(shù)的“拐點(diǎn)”的坐標(biāo);(2)檢驗(yàn)(1)中的函數(shù)的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)”對稱.20232024學(xué)年第二學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中試卷答案第I卷(選擇題)一、單選題1.隨機(jī)變量的分布列如表格所示,其中,則等于(
C
)01A. B. C. D.2.投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲,在春秋戰(zhàn)國時(shí)期較為盛行.如圖為一幅唐朝的投壺圖,假設(shè)甲、乙、丙是唐朝的三位投壺游戲參與者,且甲、乙、丙每次投壺時(shí),投中與不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壺1次,則這3人中至少有2人投中的概率為(
B
)A. B. C. D.3.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,則(C
)A.4 B.2 C.1 D.4.若向量,且與的夾角的余弦值為,則(D
)A.2B.C.2或D.或5.如圖,在直三棱柱中,,,則向量與的夾角是(C)
A.30°B.45°C.60°D.90°6.下列求導(dǎo)計(jì)算中正確的有(
D
)A.若,則B.若,則C.若,則 D.若,則7.空間內(nèi)有三點(diǎn),,,則點(diǎn)到的中點(diǎn)的距離為(
A
)A. B. C. D.8.已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),,對任意實(shí)數(shù)都有,設(shè),則不等式的解集為(
B
)A.B.C.D.二、多選題9.已知事件,滿足,,則下列結(jié)論正確的是(
BCD
)A. B.如果,那么C.如果與互斥,那么 D.如果與相互獨(dú)立,那么10.下列命題中,正確的是(
AC
)A.兩條不重合直線的方向向量分別是,,則B.直線l的方向向量,平面的法向是,則C.兩個(gè)不同的平面,的法向量分別是,,則D.直線l的方向向量,平面的法向量,則直線l與平面所成角的大小為11.對于定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),為其導(dǎo)函數(shù),下列說法不正確的是(
ABC
)A.使的一定是函數(shù)的極值點(diǎn)B.在R上單調(diào)遞增是在R上恒成立的充要條件C.若函數(shù)既有極小值又有極大值,則其極小值一定不會比它的極大值大D.若在R上存在極值,則它在R一定不單調(diào)第II卷(非選擇題)請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明三、填空題12.已知隨機(jī)變量的分布列為,那么實(shí)數(shù)3.13.若曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線,則點(diǎn)的坐標(biāo)是.14.我國近代數(shù)學(xué)家蘇步青主要從事微分幾何學(xué)和計(jì)算幾何學(xué)等方面的研究,在仿射微分幾何學(xué)和射影微分幾何學(xué)等研究方面取得了出色成果.他的主要成就之一是發(fā)現(xiàn)了四次代數(shù)錐面:對于空間中的點(diǎn)P(x,y,z),若其坐標(biāo)滿足關(guān)于x,y,z的四次代數(shù)方程式,稱點(diǎn)P的軌跡為四次代數(shù)曲面.若點(diǎn)K(1,k,0)是四次曲面:上的一點(diǎn),則k=2.四、解答題15.(本小題滿分13分)已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求在區(qū)間上的最值.【詳解】(1)對函數(shù)求導(dǎo),,,所求得的切線方程為,即;6分(2)由(1)有,令,解得:或,故函數(shù)在遞增,在遞減,故函數(shù)在取最大值,,,故函數(shù)在的最大值為4,最小值為0.16.(本小題滿分15分)已知,,.(1)求;(2)求在上投影的數(shù)量.【詳解】(1)因?yàn)?,,,所以?因?yàn)椋?,,所以,?7分因?yàn)椋?因?yàn)?,所以在上投影的?shù)量為.17.(本小題滿分15分)作為上海市副中心之一,徐匯區(qū)的建設(shè)不僅是上海市發(fā)展戰(zhàn)略的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),也肩負(fù)著醫(yī)治上海市“大城市病”的歷史重任,因此,徐匯區(qū)的發(fā)展備受矚目.2017年發(fā)布的《上海市徐匯區(qū)統(tǒng)計(jì)年鑒(2017)》顯示:2016年徐匯區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資939.9億元,比上年增長,下面給出的是徐匯區(qū)2011~2016年全社會固定資產(chǎn)投資及增長率,如圖一.又根據(jù)徐匯區(qū)統(tǒng)計(jì)局2018年1月25日發(fā)布:2017年徐匯區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資1054.5億元,比上年增長.(1)在圖二中畫出2017年徐匯區(qū)全區(qū)完成全社會固定資產(chǎn)投資(柱狀圖),標(biāo)出增長率并補(bǔ)全折線圖;(2)通過計(jì)算2011~2017這7年的平均增長率約為,現(xiàn)從2011~2017這7年中隨機(jī)選取2個(gè)年份,記X為“選取的2個(gè)年份中,增長率高于的年份的個(gè)數(shù)”,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解析:(1)5分(2)依題意,的可能取值為;;10分的分布列為:的數(shù)學(xué)期望15分18.(本小題滿分17分)如圖,直三棱柱中,,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn).(1)證明:直線直線;(2)求直線與平面所成的角的大?。驹斀狻浚?)不妨設(shè),以為原點(diǎn),所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,,.,因?yàn)?,所?7分(2),,易知平面的一個(gè)法向量為,設(shè)直線與平面所成的角為,則,所以,即直線與平面所成的角的大小為.19.
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