【整合學(xué)案】11.1.2　構(gòu)成空間幾何體的基本元素

高中數(shù)學(xué)精選資源2/211.1.2學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.以長(zhǎng)方體的構(gòu)成為例，認(rèn)識(shí)構(gòu)成幾何體的基本元素，體會(huì)空間中的點(diǎn)、線、面與幾何體之間的關(guān)系．(重點(diǎn))2.初步了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系．(重點(diǎn))3.理解平面的無限延展性，學(xué)會(huì)判斷平面的方法．(難點(diǎn))1.通過認(rèn)識(shí)構(gòu)成幾何體的基本元素的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.借助空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).1．用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)理解空間基本圖形之間的關(guān)系(3)面動(dòng)成體：面運(yùn)動(dòng)的軌跡(經(jīng)過的空間部分)可以形成一個(gè)幾何體．2．構(gòu)成空間幾何體的基本元素點(diǎn)、線、面是構(gòu)成空間幾何體的基本元素．3．點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系及其表示方法(1)直線在平面內(nèi)的概念如果直線l上的所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，就說直線l在平面α內(nèi)，或者說平面α經(jīng)過直線l.(2)常見的文字語言、符號(hào)語言與圖形語言的對(duì)應(yīng)關(guān)系文字語言符號(hào)語言圖形語言A在l上A∈lA在l外AlA在α內(nèi)A∈αA在α外Aαl在α內(nèi)lαl在α外lαl，m相交于Al∩m＝Al，α相交于Al∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l4.空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系特點(diǎn)相交同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)平行同一平面內(nèi)，無公共點(diǎn)異面直線既不平行也不相交，無公共點(diǎn)5.直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線在平面內(nèi)直線在平面外直線與平面相交相線與平面平行公共點(diǎn)無數(shù)個(gè)1個(gè)0個(gè)符號(hào)表示aαa∩α＝Aa∥α圖形表示6.兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系平行相交圖示表示法α∥βα∩β＝a公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)無數(shù)個(gè)7.直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α相交于一點(diǎn)A，且對(duì)平面α內(nèi)任意一條過點(diǎn)A的直線m，都有l(wèi)⊥m，則稱直線l與平面α垂直(或l是平面α的一條垂線，α是直線l的一個(gè)垂面)，記作l⊥α，其中點(diǎn)A稱為垂足．(2)點(diǎn)到平面的距離由長(zhǎng)方體可以看出，給定空間中一個(gè)平面α及一個(gè)點(diǎn)A，過A可以作而且只可以作平面α的一條垂線．如果記垂足為B，則稱B為A在平面α內(nèi)的射影(也稱為投影)，線段AB為平面α的垂線段，AB的長(zhǎng)為點(diǎn)A到平面α的距離．(3)直線到平面的距離與兩平行平面之間的距離當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離稱為這條直線到這個(gè)平面的距離；當(dāng)平面與平面平行時(shí)，一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離稱為這兩平行平面之間的距離．1．下列說法：①任何一個(gè)幾何體都必須有頂點(diǎn)、棱和面；②一個(gè)幾何體可以沒有頂點(diǎn)；③一個(gè)幾何體可以沒有棱；④一個(gè)幾何體可以沒有面．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4B[球只有一個(gè)曲面圍成，故①錯(cuò)，②對(duì)，③對(duì)，由于幾何體是空間圖形，故一定有面，④錯(cuò)．]2．下列關(guān)于長(zhǎng)方體的敘述不正確的是()A．將一個(gè)矩形沿豎直方向平移一段距離可形成一個(gè)長(zhǎng)方體B．長(zhǎng)方體中相對(duì)的面都相互平行C．長(zhǎng)方體中某一底面上的高的長(zhǎng)度就是兩平行底面間的距離D．兩底面之間的棱互相平行且等長(zhǎng)A[A中只有移動(dòng)相同距離才能形成長(zhǎng)方體．]3．下列說法正確的是________．(1)長(zhǎng)方體是由六個(gè)平面圍成的幾何體；(2)長(zhǎng)方體可以看作一個(gè)矩形ABCD上各點(diǎn)沿鉛垂線向上移動(dòng)相同距離到矩形A′B′C′D′所圍成的幾何體；(3)長(zhǎng)方體一個(gè)面上的任一點(diǎn)到對(duì)面的距離相等．(2)(3)[(1)錯(cuò)．因長(zhǎng)方體由6個(gè)矩形(包括它的內(nèi)部)圍成，注意“平面”與“矩形”的本質(zhì)區(qū)別；(2)正確；(3)正確．]4．如圖，在正四棱柱(側(cè)面為矩形，底面為正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1(1)EF與BB1垂直；(2)EF與BD垂直；(3)EF與CD異面；(4)EF與A1C1(4)[連接A1B(圖略)，∵E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點(diǎn)，∴EF是△A1BC1的中位線，∴EF∥A1C1圖形語言、文字語言、符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)化【例1】點(diǎn)P在直線a上，直線a在平面α內(nèi)可記為()A．P∈a，aα B．Pa，aαC．Pa，a∈α D．P∈a，a∈α(2)用符號(hào)表示下列語句，并畫出圖形．①平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于A，B.②點(diǎn)A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點(diǎn)C，C不在直線AB上．[思路探究]直線和平面看作點(diǎn)的集合?類比元素與集合、集合與集合之間關(guān)系的表示方法進(jìn)行表示．(1)A[由點(diǎn)與直線的位置關(guān)系表示方法及直線與平面之間位置關(guān)系的表示可知點(diǎn)P在直線a上表示為P∈a，直線a在平面α內(nèi)可表示為aα，故A正確．](2)解：①用符號(hào)表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖．②用符號(hào)表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，CAB，如圖．三種語言的轉(zhuǎn)換方法1．用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號(hào)語言表示．2．要注意符號(hào)語言的意義．如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“”或“”．提醒：根據(jù)符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．1．已知如圖，試用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示下列點(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系：(1)點(diǎn)C與平面β：________.(2)點(diǎn)A與平面α：________.(3)直線AB與平面α：____________.(4)直線CD與平面α：__________.(5)平面α與平面β：__________.[答案](1)Cβ(2)Aα(3)AB∩α＝B(4)CDα(5)α∩β＝BD從運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)幾何體【例2】如圖所示，請(qǐng)畫出①②③中線段AB繞著直線l旋轉(zhuǎn)一周形成的空間圖形．①②③[思路探究]線的運(yùn)動(dòng)可以形成平面或曲面，觀察AB和l的位置關(guān)系及旋轉(zhuǎn)的方式和方向，可以嘗試畫出形成的圖形．[解]①②③用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)幾何體1．點(diǎn)、線、面運(yùn)動(dòng)形成怎樣的圖形與其運(yùn)動(dòng)的形式和方向有關(guān)，如果直線與旋轉(zhuǎn)軸平行，那么形成圓柱面，如果與旋轉(zhuǎn)軸斜交，那么形成圓錐面．2．在判斷點(diǎn)、線、面按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)形成的幾何體的形狀時(shí)，可以借助身邊的實(shí)物來模擬．2.本例若改為AB與l有如圖所示的關(guān)系，請(qǐng)畫出旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何圖形．[解]長(zhǎng)方體中基本元素之間的關(guān)系[探究問題]1．射線運(yùn)動(dòng)后的軌跡是什么？[提示]水平放置的射線繞頂點(diǎn)在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，可形成平面．其它情況，可形成曲面．2．如圖所示，該幾何體是某同學(xué)課桌的大致輪廓，請(qǐng)你從這個(gè)幾何體里面尋找一些點(diǎn)、線、面，并將它們列舉出來．[提示]面可以列舉如下：平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A線可以列舉如下：直線AA1，直線BB1，直線CC1，直線DD1，直線A2B2，直線C2D2等；點(diǎn)可以列舉如下：點(diǎn)A，點(diǎn)A1，點(diǎn)B，點(diǎn)B1，點(diǎn)C，點(diǎn)C1，點(diǎn)D，點(diǎn)D1，點(diǎn)A2，點(diǎn)B2，點(diǎn)C2，點(diǎn)D2；它們共同組成了課桌這個(gè)幾何體．【例3】在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，把它的12條棱延伸為直線，6個(gè)面延展為平面，那么在這12條直線與6個(gè)平面中，(1)與直線B′C′平行的平面有哪幾個(gè)？(2)與平面BC′平行的平面有哪幾個(gè)？[思路探究]觀察圖形，結(jié)合定義，利用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來分析圖形中的線面位置關(guān)系．[解](1)與直線B′C′平行的平面有平面ABCD，平面ADD′A′.(2)與平面BC′平行的平面為平面AD′.1．在本例中其他條件不變，(1)與直線B′C′垂直的平面有哪幾個(gè)？(2)與平面BC′垂直的平面有哪幾個(gè)？[解](1)有平面AB′，平面CD′.(2)有平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC.2．本例中與棱A′D′相交的棱有哪幾條？它們與棱A′D′所成的角是多少？[解]有A′A，A′B′，D′D，D′C′.由于長(zhǎng)方體六個(gè)面都是矩形，所以它們與棱A′D′所成角都是90°.3．本例中長(zhǎng)方體的12條棱中，哪些可以用來表示面A′B與面D′C之間的距離？[解]A′D′，B′C′，BC，AD的長(zhǎng)均可以表示．1．平行關(guān)系的判定(1)直線與直線的平行關(guān)系：如圖，在長(zhǎng)方體的12條棱中，分成“長(zhǎng)”“寬”“高”三組，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“長(zhǎng)”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“寬”AD，BC，A1D1，B1C1(2)直線與平面的平行關(guān)系：在長(zhǎng)方體的12條棱及表面中，若棱所在的直線與某一平面不相交，就平行．(3)平面與平面的平行關(guān)系：長(zhǎng)方體的對(duì)面相互平行．2．垂直關(guān)系的判定(1)直線與平面的垂直關(guān)系：在長(zhǎng)方體的棱所在直線與各面中，若直線與平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則二者垂直．(2)平面與平面的垂直關(guān)系：在長(zhǎng)方體的各表面中，若兩平面有公共點(diǎn)，則二者垂直．1．根據(jù)點(diǎn)、線、面之間的語言描述能夠正確的使用符號(hào)語言表示它們之間的位置關(guān)系．2．判斷兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義，在很多情況下，定義就是一種常用的判斷方法．3．弄清直線與平面各種位置關(guān)系的特征，利用定義作出判斷，要有畫圖意識(shí)，并借助于空間想象能力進(jìn)行細(xì)致的分析．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)幾何體不僅包括它的外表面，還包括外表面圍起的內(nèi)部部分． ()(2)直線的移動(dòng)只能形成平面． ()(3)平靜的太平洋就是一個(gè)平面． ()[解析](1)正確．(2)直線移動(dòng)可能形成曲面，故錯(cuò)誤．(3)平面是沒有大小的，故錯(cuò)誤．[答案](1)√(2)×(3)×2．能正確表示點(diǎn)A在直線l上且直線l在平面α內(nèi)的是()C[選項(xiàng)A只表示點(diǎn)A在直線l上；選項(xiàng)D表示直線l與平面α相交于點(diǎn)A；選項(xiàng)B中的直線l有部分在平行四邊形的外面，所以不能表示直線在平面α內(nèi)，故選C.]3．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是()A．異面或平行 B．異面或相交C．異面 D．相交、平行或異面D[可參考長(zhǎng)方體中各條線的位置關(guān)系判斷．]4．線段AB長(zhǎng)為5cm，在水平面上向右移動(dòng)4cm后記為CD，將CD沿鉛垂線方向向下移動(dòng)3cm后記為C′D′，再將C′D′沿水平方向向左移動(dòng)4cm后記為A′B′，依次連接構(gòu)成長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′.(1)該長(zhǎng)方體的高為________cm；(2)平面A′B′BA與平面CDD′C′間的距離為_______