新高考數(shù)學(xué)題型全歸納之排列組合專題10幾何問題(原卷版+解析)

專題10幾何問題例1．從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對．其中所成的角為的共有A．24對 B．30對 C．48對 D．60對例2．四面體的一個頂點為，從其它頂點與各棱的中點中取3個點，使它們和點在同一平面上，不同的取法有A．30種 B．33種 C．36種 D．39種例3．從四面體的頂點及各棱的中點這十個點中，任取3個點確定一個平面，則不同平面?zhèn)€數(shù)為A．17 B．23 C．25 D．29例4．四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，則不同的取法共有A．150種 B．147種 C．144種 D．141種例5．如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”，在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是A．60 B．48 C．36 D．24例6．正八邊形的8個頂點，以其中3個點為頂點的不同位置的直角三角形共有個．例7．如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有多少個．例8.不共面的四點確定四面體(記得易除共面的情況）(I)以正方體的頂點為頂點,可以確定多少個四面體?（II）以正方體的頂點為頂點,可以確定多少個四棱錐?例9.考慮的正方形方格表中的25個格點,則通過至少3個格點有不同直線的數(shù)目為例10.如圖，給定由10個點(任意相鄰兩點距離為1)組成的正三角形點陣，在其中任意取三個點，以這三個點為頂點構(gòu)成的正三角形的個數(shù)是

專題10幾何問題例1．從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對．其中所成的角為的共有A．24對 B．30對 C．48對 D．60對【解析】正方體的面對角線共有12條，兩條為一對，共有對，同一面上的對角線不滿足題意，對面的面對角線也不滿足題意，一組平行平面共有6對不滿足題意的直線對數(shù)，不滿足題意的共有：．從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對．其中所成的角為的共有：．故選：．例2．四面體的一個頂點為，從其它頂點與各棱的中點中取3個點，使它們和點在同一平面上，不同的取法有A．30種 B．33種 C．36種 D．39種【解析】根據(jù)題意，如圖，分析可得，①所取的3點在3個側(cè)面上時，每個側(cè)面有種取法，共種情況；②所取的3點不在側(cè)面上時，含頂點的三條棱上各有三個點，它們與所對的棱的中點共面，共有3種取法；綜合可得，共種，故選：．例3．從四面體的頂點及各棱的中點這十個點中，任取3個點確定一個平面，則不同平面?zhèn)€數(shù)為A．17 B．23 C．25 D．29【解析】考慮點的選擇：（1）三個點都是頂點：一共有4種，就是四面體的四個表面；（2）兩個頂點，一個棱中點：為了不和上面的四個面重合，當兩個頂點確定時，只有一個選擇（此時的面就是一條棱和它的對棱的中點確定的面），所以這種情況一共有6種；（3）一個頂點，兩個棱中點：為了不和上面重合，確定一個頂點后，則只能選取它的對面的三個中點了，有3種情況，共有種；（4）三個都是棱中點：可以在正四面體中想，這樣的面要么和外表面平行要么和一對對棱平行，所以有種，綜上，共有種．故選：．例4．四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，則不同的取法共有A．150種 B．147種 C．144種 D．141種【解析】從10個點中任取4個點有種取法，其中4點共面的情況有三類．第一類，取出的4個點位于四面體的同一個面上，有種；第二類，取任一條棱上的3個點及該棱對棱的中點，這4點共面，有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），它的4頂點共面，有3種．以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，不同的取法共有種．故選：．例5．如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”，在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是A．60 B．48 C．36 D．24【解析】由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，一個長方體的面可以和它相對的面上的4條棱和兩條對角線組成6個，一共有6個面，共有種結(jié)果，長方體的對角面組成兩組，共有6個對角面，共有12種結(jié)果，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有種結(jié)果，故選：．例6．正八邊形的8個頂點，以其中3個點為頂點的不同位置的直角三角形共有個．【解析】正八邊形的8個頂點在同一個圓上，8個等分點可得4條直徑，可構(gòu)成直角三角形有個，故答案為：24例7．如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有多少個．【解析】把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形共有（個；第二類，有兩條公共邊的三角形共有8（個．由分類加法計數(shù)原理知，共有（個．例8.不共面的四點確定四面體(記得易除共面的情況）(I)以正方體的頂點為頂點,可以確定多少個四面體?（II）以正方體的頂點為頂點,可以確定多少個四棱錐?【解析】（I）正方體的8個頂點可構(gòu)成個四點組,其中共面的四點組有正方體的6個表面及正方體6組相對棱分別所在的6個平面的四個頂點,故可以確定四面體的個數(shù)為(II)由(I)知，正方體共面的四點組有12個,以這每一個四點組構(gòu)成的四邊形為底面,以其余的四個點中任意一點為頂點都可以確定一個四棱錐,故可以確定四棱錐的個數(shù)為例9.考慮的正方形方格表中的25個格點,則通過至少3個格點有不同直線的數(shù)目為【解析】水平和豎直的直線共有10條,兩條對角線和與兩條對角線平行的直線共有10條,在的正方形中有6個的長方形,每個的長方形有2條對角線，即條,因此共有32條.例10.如圖，給定由10個點(任意相鄰兩點距離為1)組成的正三角形點陣