人工智能-第二章 知識表示與推理

知識表示與推理第二章“使計(jì)算機(jī)像人一樣思考”是人工智能最早被廣泛接受的定義之一。人類的思考方式體現(xiàn)在能夠運(yùn)用知識進(jìn)行推理，而計(jì)算機(jī)進(jìn)行知識推理的前提在于知識的表示。因此，知識表示與推理是人工智能的重要研究內(nèi)容之一。本章要點(diǎn)知識的概念、分類和特性產(chǎn)生式表示法、框架表示法不確定性推理的概念和分類概率推理、主觀Bayes方法可信度方法模糊推理目錄Contents2.1知識表示2.1.1知識的概念2.1.2知識的分類和特性2.1.3產(chǎn)生式表示法2.1.4框架表示法2.1.5其他表示法2.2知識推理2.2.1不確定性推理的概念和分類2.2.2概率推理2.2.3主觀Bayes方法2.2.4可信度方法2.2.5模糊推理2.1知識表示人類一切智能活動(dòng)所表現(xiàn)出來的智能行為歸根結(jié)底就是一個(gè)不斷獲取知識和應(yīng)用知識的過程。知識是智能的基礎(chǔ)，計(jì)算機(jī)要想具有智能，就必須像人類一樣首先具有知識。但人類的知識需要用適當(dāng)?shù)哪Ｊ奖硎境鰜恚拍鼙阌谟?jì)算機(jī)訪問和處理，這就是知識表示要解決的問題。因此，知識表示是人工智能中一個(gè)十分重要的研究課題。2.1知識表示知識的分類和特性知識的概念產(chǎn)生式表示法框架表示法01020304其他表示法052.1.1知識的概念“知識”是我們熟悉的名詞，從接受教育開始，我們基本就在學(xué)習(xí)知識。日常生活中，人們也幾乎每天都會(huì)涉及“知識”這一術(shù)語。例如，“知識改變命運(yùn)”、“知識是人類進(jìn)步的階梯”、“知識就是力量”、“把我們學(xué)到的知識應(yīng)用到社會(huì)實(shí)踐中”等等。但究竟什么是知識，它和信息及數(shù)據(jù)之間又具有什么樣的聯(lián)系呢？2.1.1知識的概念知識數(shù)據(jù)信息數(shù)據(jù)是記錄信息的符號，是信息的載體和具體表現(xiàn)形式。數(shù)據(jù)經(jīng)過加工處理后，就成了信息，信息可以簡單理解為數(shù)據(jù)中包含的有用的內(nèi)容。一般把有關(guān)信息關(guān)聯(lián)在一起所形成的信息結(jié)構(gòu)稱為知識。知識是人們在長期的生活及社會(huì)實(shí)踐中、在科學(xué)研究及實(shí)驗(yàn)中積累起來的對客觀世界的認(rèn)識與經(jīng)驗(yàn)，人們把實(shí)踐中獲得的信息關(guān)聯(lián)在一起，就形成了知識。知識的概念2.1.1知識的概念全球零售業(yè)巨頭沃爾瑪在對消費(fèi)者購物行為分析時(shí)發(fā)現(xiàn)，男性顧客在購買嬰兒尿片時(shí)，常常會(huì)順便搭配幾瓶啤酒來犒勞自己，于是嘗試推出了將啤酒和尿布擺在一起的促銷手段。沒想到這個(gè)舉措居然使尿布和啤酒的銷量都大幅增加了。這就是有名的“啤酒與尿布”的故事。如果以我們?nèi)粘５乃季S來思考，人們恐怕很難把這兩樣商品聯(lián)系在一起，更別說放在一起進(jìn)行銷售。這就是通過在大量的數(shù)據(jù)背后發(fā)掘出隱藏著的可用信息，通過對信息的分析，找出“啤酒”與“尿布”之間確實(shí)存在關(guān)聯(lián)關(guān)系，此時(shí)，這種關(guān)聯(lián)關(guān)系就已經(jīng)變成了有用的知識。舉例2.1.1知識的概念數(shù)據(jù)、信息和知識是三個(gè)層次的概念。數(shù)據(jù)經(jīng)過加工處理形成信息，把有關(guān)的信息關(guān)聯(lián)在一起，經(jīng)過處理過程就形成了知識。知識反映了客觀世界中事物之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，不同事物或者相同事物之間的不同關(guān)系形成了不同的知識。這種關(guān)聯(lián)關(guān)系有多種，其中最常見的有規(guī)則、事實(shí)等。規(guī)則通常以“如果……，則……”的形式出現(xiàn)，反映兩個(gè)事物之間的因果關(guān)系，例如：“如果大雁向南飛，則冬天就要來臨了”，“如果溫度低于0度，則水就會(huì)結(jié)冰”等。事實(shí)通常以“……是……”的形式出現(xiàn)，陳述的是一種狀態(tài)或一種現(xiàn)象，例如：“雪是白色的”、“今天不下雨”等。2.1.2知識的分類和特性知識是人們對客觀事物及其規(guī)律的認(rèn)識，還包括人們利用客觀規(guī)律解決實(shí)際問題的方法和策略等。不同的學(xué)者在對知識進(jìn)行研究時(shí)，由于觀察的角度不同形成了不同的分類方法。1.知識的分類（1）就知識的形式而言，知識分為顯式知識和隱式知識。（2）就知識的作用范圍而言，知識分為常識性知識和領(lǐng)域性知識。（3）就知識的確定性而言，知識分為確定性知識和不確定性知識。（4）就知識的確切性而言，知識分為硬的、確切描述的知識和軟的、非確切描述的知識。2.1.2知識的分類和特性（5）就知識的作用及表示而言，知識分為事實(shí)性知識、過程性知識和控制性知識。（6）就人類的思維及認(rèn)識方法而言，知識分為邏輯性知識和形象性知識。2.知識的特性知識是人類對客觀世界認(rèn)識的結(jié)晶，想要更好地理解知識，就要了解知識的特性。知識主要具有以下幾個(gè)特性：2.1.2知識的分類和特性（1）相對正確性任何知識都是在一定的條件及環(huán)境下產(chǎn)生的，只有在這種條件及環(huán)境下才是正確的。（2）不確定性隨機(jī)性引起的不確定性。模糊性引起的不確定性。經(jīng)驗(yàn)引起的不確定性。不完全性引起的不確定性。（3）可表示性與可利用性2.1.2知識的分類和特性3.知識的表示知識的表示是對知識的一種描述，可看成是一組事物的約定，把人類知識表示成機(jī)器能處理的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。簡單來說，知識表示就是將人類知識形式化或者模型化。對知識進(jìn)行表示的過程實(shí)際上就是把知識編碼成某種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的過程。目前，知識的表示有多種不同的方法，主要包括產(chǎn)生式表示法、框架表示法等。2.1.3產(chǎn)生式表示法產(chǎn)生式這個(gè)術(shù)語最早由美國數(shù)學(xué)家波斯特（E.Post）于1943年提出，在符號邏輯中使用。根據(jù)知識之間具有因果關(guān)聯(lián)關(guān)系的邏輯，形成了“IF-THEN”的知識表示方法，也是早期專家系統(tǒng)常用的知識表示方法之一。目前，產(chǎn)生式系統(tǒng)已被應(yīng)用于更多領(lǐng)域，成為人工智能中應(yīng)用最多的一種知識表示方法。2.1.3產(chǎn)生式表示法1.產(chǎn)生式的基本形式產(chǎn)生式又稱產(chǎn)生式規(guī)則，通常用于表示具有因果關(guān)系的知識，其基本形式是：P→Q或者IFPTHENQ其中：P又稱前件，是產(chǎn)生式的前提或條件，用于指出該產(chǎn)生式是否是可用的條件；Q又稱后件，是一組結(jié)論或操作，用于指出該產(chǎn)生式的前提條件P被滿足時(shí)，得出的結(jié)論或應(yīng)該執(zhí)行的操作；整個(gè)產(chǎn)生式的含義是：如果前提P被滿足，則可推出結(jié)論Q或執(zhí)行Q所規(guī)定的操作。2.1.3產(chǎn)生式表示法2.產(chǎn)生式表示知識的方法（1）確定性規(guī)則性知識的表示采用產(chǎn)生式的基本形式來表示，即：P→Q或者IFPTHENQ例如：IF動(dòng)物會(huì)飛AND會(huì)下蛋THEN該動(dòng)物是鳥，就是一個(gè)產(chǎn)生式。2.1.3產(chǎn)生式表示法（2）不確定性規(guī)則性知識的表示產(chǎn)生式在表示不確定性知識的時(shí)候，加入置信度來表示知識不確定性的程度，用0到1之間的數(shù)來表示。不確定性規(guī)則性知識的產(chǎn)生式表示形式為：P→Q（置信度）或者IFPTHENQ（置信度）例如：IF下雨THEN打傘（0.6）就是一個(gè)產(chǎn)生式。2.1.3產(chǎn)生式表示法（3）確定性事實(shí)性知識的表示確定性事實(shí)性知識通常用一個(gè)三元組來表示，具體表示形式為：（對象，屬性，值）或者（關(guān)系，對象1，對象2）例如：“小明年齡是9歲”表示為（XiaoMing，Age，9），

“小張和小王是朋友”表示為（Friend，Zhang，Wang）2.1.3產(chǎn)生式表示法（4）不確定性事實(shí)性知識的表示不確定性事實(shí)性知識通常用一個(gè)四元組來表示，具體表示形式為：（對象，屬性，值，置信度）或者（關(guān)系，對象1，對象2，置信度）例如：“這座樓高約30米”表示為（Building，High，30，0.9），這里用置信度0.9表示可能性比較大；“小張和小王不大可能是朋友”表示為（Friend，Zhang，Wang，0.1），這里用置信度0.1表示可能性較小。2.1.3產(chǎn)生式表示法3.產(chǎn)生式系統(tǒng)產(chǎn)生式系統(tǒng)是人工智能系統(tǒng)中常用的一種程序結(jié)構(gòu)，通常由三部分組成：規(guī)則庫、綜合數(shù)據(jù)庫和控制系統(tǒng)（推理機(jī)），其基本結(jié)構(gòu)如下圖所示。2.1.3產(chǎn)生式表示法（1）規(guī)則庫用于描述相應(yīng)領(lǐng)域內(nèi)知識的產(chǎn)生式集合，是相應(yīng)領(lǐng)域知識（規(guī)則）的存儲(chǔ)器。例如，在統(tǒng)計(jì)學(xué)生成績S所對應(yīng)的等級時(shí)，規(guī)則庫中會(huì)有如下的規(guī)則：R1：IFS<60THENFailR2：IFS>=60THENPassR3：IFS>=70THENAverageR4：IFS>=80THENGoodR5：IFS>=90THENExcellent其中，R1，R2，……，R5分別是對各產(chǎn)生式規(guī)則所做的編號，以便于對它們的引用。2.1.3產(chǎn)生式表示法（2）綜合數(shù)據(jù)庫用來存放輸入事實(shí)、中間和最后結(jié)果及問題求解過程中各種當(dāng)前信息。例如，在統(tǒng)計(jì)學(xué)生成績S所對應(yīng)的等級時(shí)，每個(gè)學(xué)生的具體成績S就是放在綜合數(shù)據(jù)庫中作為問題的初始狀態(tài)，引導(dǎo)推理的下一步進(jìn)行。（3）控制系統(tǒng)（推理機(jī)）控制系統(tǒng)又稱推理機(jī)，由一組程序組成，用來控制協(xié)調(diào)規(guī)則庫與數(shù)據(jù)庫的運(yùn)行，包括推理方式和控制策略。2.1.3產(chǎn)生式表示法在此，還以統(tǒng)計(jì)學(xué)生成績S所對應(yīng)等級的例子進(jìn)行說明。比如，學(xué)生甲考了85分，即S=85，控制系統(tǒng)主要做以下幾項(xiàng)工作：①匹配：學(xué)生甲考85分可以匹配上規(guī)則R2、R3和R4。此時(shí)學(xué)生甲匹配上三條規(guī)則，到底選用哪條規(guī)則進(jìn)行推理的執(zhí)行，此時(shí)就產(chǎn)生了沖突；②沖突消解：如果匹配成功的規(guī)則不止一條，則稱“發(fā)生了沖突”。此時(shí)，控制系統(tǒng)必須調(diào)用相應(yīng)的解決沖突的策略進(jìn)行消解，以便從匹配的規(guī)則中選用一條執(zhí)行。此處可以采用規(guī)則排序（即優(yōu)先匹配到的第一條規(guī)則即為要采用的規(guī)則）進(jìn)行沖突的解決，即啟用如下次序：2.1.3產(chǎn)生式表示法IFS>=90THENExcellentIFS>=80THENGoodIFS>=70THENAverageIFS>=60THENPassIFS<60THENFail最終，選用S>=80這條規(guī)則。③執(zhí)行規(guī)則：如果某一規(guī)則的右部是一個(gè)或多個(gè)結(jié)論，則把這些結(jié)論加入綜合數(shù)據(jù)庫中；如果是操作，則執(zhí)行這些操作。因此，該例在執(zhí)行規(guī)則時(shí)會(huì)將結(jié)論Good加入到綜合數(shù)據(jù)庫。④檢查推理終止條件。檢查綜合數(shù)據(jù)庫中是否包含了最終結(jié)論，決定是否停止系統(tǒng)運(yùn)行。由此最終推出學(xué)生甲的成績是Good。2.1.3產(chǎn)生式表示法雙向推理正向推理反向推理正向推理是指從已知事實(shí)出發(fā)，通過規(guī)則求得結(jié)論，也稱自底向上的方式。反向推理是指從目標(biāo)（作為假設(shè)）出發(fā)，反向使用規(guī)則，求得已知事實(shí)，也稱自頂向下的方式。雙向推理是指推理從兩個(gè)方向同時(shí)進(jìn)行，既自頂向下、又自底向上進(jìn)行推理，直至某個(gè)中間界面上兩方向結(jié)果相符便成功結(jié)束。產(chǎn)生式的推理方式2.1.3產(chǎn)生式表示法4.產(chǎn)生式的特點(diǎn)1自然性整個(gè)推理過程由推理機(jī)完成，可以發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生式系統(tǒng)求解問題的過程和人類求解問題的思維過程很相似。2模塊性產(chǎn)生式規(guī)則之間沒有相互的直接作用，它們之間只能通過綜合數(shù)據(jù)庫發(fā)生間接聯(lián)系，而不能相互調(diào)用，這種模塊化結(jié)構(gòu)使得在規(guī)則庫中的每條規(guī)則都可以自由增刪和修改。3清晰性產(chǎn)生式規(guī)則有固定的格式，每一條產(chǎn)生式規(guī)則都由前提和結(jié)論組成，而且每一部分所含的知識量都比較少，這既便于對規(guī)則進(jìn)行設(shè)計(jì)，又易于對規(guī)則庫中知識的一致性及完整性進(jìn)行檢測。2.1.4框架表示法框架表示法是以框架理論為基礎(chǔ)的一種結(jié)構(gòu)化知識表示方法。1975年，美國麻省理工學(xué)院明斯基（MarvinLeeMinsky）提出了框架理論，作為理解視覺、自然語言對話以及其他復(fù)雜行為的一種基礎(chǔ)，受到了人工智能界的廣泛重視。1.框架的一般結(jié)構(gòu)框架是一種描述所論對象（一個(gè)事物、事件或概念）屬性的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。一個(gè)框架由框架名和若干個(gè)被稱為“槽”的結(jié)構(gòu)組成，每個(gè)槽又根據(jù)實(shí)際情況劃分為若干個(gè)“側(cè)面”。每個(gè)槽設(shè)有一個(gè)槽名，一個(gè)槽用于描述所論對象某一方面的屬性。一個(gè)側(cè)面用于描述相應(yīng)屬性的一個(gè)方面。槽和側(cè)面所具有的屬性值分別稱為槽值和側(cè)面值。2.1.4框架表示法下面是框架的一般表示形式：<框架名>槽名1：側(cè)面名11側(cè)面值111，側(cè)面值112，……

側(cè)面名1m側(cè)面值1m1，側(cè)面值1m2，…槽名2：側(cè)面名21側(cè)面值111，側(cè)面值112，……

側(cè)面名2m側(cè)面值2m1，側(cè)面值2m2，……槽名n：側(cè)面名n1側(cè)面值n11，側(cè)面值n12，……

側(cè)面名nm側(cè)面值nm1，側(cè)面值nm2，…約束：約束條件1…

約束條件n2.1.4框架表示法2.框架的應(yīng)用舉例【例2-1】大學(xué)生框架結(jié)構(gòu)?！景咐治觥靠蚣苊?lt;大學(xué)生>姓名：單位（姓、名）年齡：單位（歲）性別：范圍（男、女），缺?。耗袑W(xué)院：單位（學(xué)院）專業(yè)：單位（專業(yè)）班級：單位（班）住址：<學(xué)生住址框架>電話：移動(dòng)電話單位（數(shù)字）住宅電話單位（數(shù)字）2.1.4框架表示法當(dāng)把具體的信息填入槽或側(cè)面后，就得到相應(yīng)框架的一個(gè)事例框架。例如，把某一大學(xué)生的具體信息填入“大學(xué)生”框架的各個(gè)槽中，就能得到該框架的一個(gè)事例框架如下：框架名：<大學(xué)生-1>姓名：王明年齡：19性別：男學(xué)院：信息工程學(xué)院專業(yè)：大數(shù)據(jù)專業(yè)班級：01班住址：<adr-1>電話：139111111110371111111112.1.4框架表示法【例2-2】將下列一則地震消息用框架表示：“某年某月某日，某地發(fā)生6.0級地震，若以膨脹注水孕震模式為標(biāo)準(zhǔn)，則三項(xiàng)地震前兆中的波速比為0.45，水氡含量為0.43，地形改變?yōu)?.60?！薄景咐治觥俊暗卣鹂蚣堋币部梢允恰白匀粸?zāi)害事件框架”的子框架，“地震框架”中的值也可以是一個(gè)子框架，如其中的槽值“地形改變”就是一個(gè)子框架。2.1.4框架表示法2.1.4框架表示法3.框架表示法的特點(diǎn)1結(jié)構(gòu)性框架表示最突出的特點(diǎn)就是便于表達(dá)結(jié)構(gòu)性知識，能夠?qū)⒅R的內(nèi)部結(jié)構(gòu)關(guān)系及知識間的聯(lián)系表示出來，這是產(chǎn)生式知識表示方法不具備的?？蚣鼙硎痉ǖ闹R單位是框架，而框架是由槽組成，槽又分為若干個(gè)側(cè)面，這樣就可以把知識的內(nèi)部結(jié)構(gòu)顯式地表示出來。2繼承性框架表示法通過使槽值為另一個(gè)框架的名字來實(shí)現(xiàn)框架間的聯(lián)系，建立起表示復(fù)雜知識的框架網(wǎng)絡(luò)。在框架網(wǎng)絡(luò)中，下層框架可以繼承上層框架的槽值，也可以進(jìn)行補(bǔ)充和修改，這樣不僅減少了知識的冗余，而且較好地保證了知識的一致性。3自然性框架表示法體現(xiàn)了人們在觀察事物時(shí)的思維活動(dòng)，當(dāng)遇到新事物時(shí)，通過從記憶中調(diào)用類似事物的框架，并根據(jù)實(shí)際情況對其中某些細(xì)節(jié)進(jìn)行修改、補(bǔ)充，就形成了對新事物的認(rèn)識，這與人們的認(rèn)識活動(dòng)是一致的。2.1.5其他表示法1．一階謂詞邏輯表示法一階謂詞邏輯表示法以數(shù)理邏輯為基礎(chǔ)，是一種最早應(yīng)用于人工智能的表示方法，在人工智能發(fā)展中具有重要的作用。在將知識進(jìn)行謂詞邏輯表示前我們需要知曉以下知識點(diǎn)：（1）命題：非真即假的陳述句。分為簡單命題和復(fù)合命題，簡單命題又稱原子命題。在命題邏輯中，簡單命題不可再分，復(fù)合命題通過邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)而成。常見的邏輯聯(lián)結(jié)詞有否定聯(lián)結(jié)詞?、合取聯(lián)結(jié)詞∧、析取聯(lián)結(jié)詞∨、蘊(yùn)含聯(lián)結(jié)詞→、等價(jià)聯(lián)結(jié)詞?等。2.1.5其他表示法（2）謂詞邏輯：將命題進(jìn)一步分解研究的邏輯稱為謂詞邏輯。在謂詞邏輯中，謂詞可表示為P（x1，x2，x3，…，xn），其中P是謂詞符號，表示個(gè)體屬性、狀態(tài)或關(guān)系；x1，x2，x3，…，xn稱為謂詞的參量或項(xiàng)，通常表示個(gè)體對象。（3）量詞：表示數(shù)量的詞。為了刻畫謂詞和個(gè)體之間的關(guān)系，在謂詞邏輯中引入了兩個(gè)量詞：全稱量詞?、存在量詞?。在使用謂詞邏輯表示知識的時(shí)候，一般步驟如下：（1）定義謂詞及個(gè)體，確定每個(gè)謂詞及個(gè)體的確切含義；（2）根據(jù)所要表達(dá)的事物或概念，為每個(gè)謂詞中的變元賦予特定的值；（3）根據(jù)所要表達(dá)的知識的語義，用適當(dāng)?shù)穆?lián)接符號將各個(gè)謂詞聯(lián)接起來，形成謂詞公式。2.1.5其他表示法【例2-3】用謂詞公式表示以下知識：1）張三是一名計(jì)算機(jī)系的學(xué)生，但他不喜歡編程。2）大多數(shù)籃球運(yùn)動(dòng)員都很高?！景咐治觥康谝徊剑x謂詞：Computer(x)：x是計(jì)算機(jī)系的學(xué)生。Like(x,y)：x喜歡y。Basketball_plaer(x)：x是籃球運(yùn)動(dòng)員。Tall(x)：x個(gè)子很高。定義個(gè)體：張三（ZhangSan）、編程（Programming）第二步，將這些個(gè)體代入謂詞中，得到Computer(ZhangSan)、?Like(ZhangSan,Programming)第三步，根據(jù)語義，用邏輯聯(lián)接詞將它們聯(lián)接起來，就得到了相應(yīng)的謂詞公式：1)Computer(ZhangSan)∧￢Like(ZhangSan,Programming)2)?x(Basketball_plaer(x)→Tall(x))2.1.5其他表示法2．語義網(wǎng)絡(luò)表示法語義網(wǎng)絡(luò)是一種表達(dá)能力強(qiáng)而且靈活的知識表示方法，它是通過概念及其語義關(guān)系來表達(dá)知識的一種網(wǎng)絡(luò)圖。一個(gè)語義網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)由一些有向圖表示的三元組（節(jié)點(diǎn)1，弧，節(jié)點(diǎn)2）連接而成的。一個(gè)三元組稱為一個(gè)基本網(wǎng)元，當(dāng)把多個(gè)基本網(wǎng)元用相應(yīng)的語義聯(lián)系在一起時(shí)，就構(gòu)成了一個(gè)語義網(wǎng)絡(luò)。例如，“蘋果是一種水果”的基本語義網(wǎng)絡(luò)如下圖所示。2.1.5其他表示法語義網(wǎng)絡(luò)可以描述事物之間多種復(fù)雜的語義關(guān)系。在實(shí)際使用中，人們可根據(jù)自己的實(shí)際需要進(jìn)行定義。下面列舉幾個(gè)經(jīng)常使用的語義關(guān)系（聯(lián)系）。（1）實(shí)例關(guān)系表示類與其實(shí)例（個(gè)體）之間的關(guān)系，即一個(gè)事物是另一個(gè)事物的具體例子。通常用“ISA”或“is-a”來標(biāo)識，表示“是一個(gè)”。例如，“小明是一個(gè)大學(xué)生”的語義網(wǎng)絡(luò)如下圖所示。2.1.5其他表示法（2）分類（從屬、泛化）關(guān)系分類關(guān)系描述事物之間的類屬關(guān)系，即一個(gè)事物是另一個(gè)事物的一個(gè)成員，體現(xiàn)的是子類與父類之間的關(guān)系。通常用“AKO”或“a-kind-of”來標(biāo)識，表示“是一種”。例如，部分動(dòng)物分類關(guān)系的語義網(wǎng)絡(luò)如下圖所示。2.1.5其他表示法（3）聚類關(guān)系聚類關(guān)系有時(shí)也稱組裝關(guān)系，表示下層概念節(jié)點(diǎn)是上層概念節(jié)點(diǎn)的一個(gè)方面或一部分。與分類關(guān)系最主要的區(qū)別在于聚類關(guān)系一般不具備屬性的繼承性。通常用“Partof”或“a-part-of”來標(biāo)識，表示“是一部分”。（4）屬性關(guān)系屬性關(guān)系用于表示個(gè)體、屬性和屬性取值之間的聯(lián)系，通常用有向弧表示屬性，用弧所指向的節(jié)點(diǎn)表示屬性的值。2.1.5其他表示法例如，描述“桌子”的語義網(wǎng)絡(luò)如下圖所示，其中就包含了實(shí)例關(guān)系、分類關(guān)系、聚類關(guān)系和屬性關(guān)系四種基本語義關(guān)系。2.1.5其他表示法（5）集合與成員關(guān)系集合與成員關(guān)系表示“……是……的成員”，通常用“AMF”或“a-member-of”來標(biāo)識。例如，“小明是學(xué)生會(huì)成員”的語義網(wǎng)絡(luò)如下圖所示。（6）所屬關(guān)系所屬關(guān)系表示“……具有……”，通常用“Have”來標(biāo)識。例如，“大象有長鼻子”、“狗有尾巴”、“鳥有翅膀”等，其中“鳥有翅膀”的語義網(wǎng)絡(luò)如下圖所示。2.1.5其他表示法3．過程表示法框架、語義網(wǎng)絡(luò)等知識表示方法，是對知識和事實(shí)的一種靜止的表達(dá)方法，這類知識表示方法稱為陳述性知識表示方法。與陳述性知識表示方法不同，過程性知識表示法是將知識及如何使用這些知識的控制策略隱式地表述為一個(gè)求解問題的過程。過程表示法強(qiáng)調(diào)的是對知識的利用，過程所給出的是事物的一些客觀規(guī)律，表達(dá)的是如何求解問題，它把與問題有關(guān)的知識以及如何運(yùn)用這些知識求解問題的控制策略都表述為一個(gè)或多個(gè)問題的求解過程。2.1.5其他表示法過程表示法用程序來表示知識，從程序求解問題的效率來看，過程表示法的效率要比陳述式表示法高的多。由于控制性質(zhì)已嵌入程序中，控制系統(tǒng)容易實(shí)現(xiàn)。但過程表示法不易修改和添加新知識，當(dāng)對某一過程進(jìn)行修改時(shí)，又可能影響到其他過程，給系統(tǒng)帶來不便。因此，過程表示維護(hù)困難。2.1.5其他表示法4．面向?qū)ο蟊硎痉嫦驅(qū)ο缶幊陶Z言的普及，如C++、Java、Python等，表明面向?qū)ο笫潜硎局R的有效和有用的方式。近年來，在智能系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和構(gòu)造中，人們開始使用面向?qū)ο蟮乃枷?、方法和開發(fā)技術(shù)，并在知識表示、知識庫的組成與管理、專家系統(tǒng)的設(shè)計(jì)等方面取得了快速的進(jìn)展。面向?qū)ο蟮闹R表示方法是按照面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計(jì)原則組成的一種混合知識表示形式，它以對象為中心，把對象的屬性、動(dòng)態(tài)行為、領(lǐng)域知識和處理方法等有關(guān)知識封裝在表達(dá)對象的結(jié)構(gòu)中。2.2知識推理通過知識表示方法，可以把知識用某種模式表示出來存儲(chǔ)到計(jì)算機(jī)中去。但是為了使計(jì)算機(jī)具有智能，僅僅使計(jì)算機(jī)擁有知識是不夠的，還必須讓它具有思維能力，即能運(yùn)用知識進(jìn)行問題求解的能力。推理是求解問題的一種重要方法，因此，對知識推理方法的研究成為人工智能的一個(gè)重要的研究課題。人類的智能活動(dòng)有多種思維方式，相應(yīng)地也有多種推理方式。若按推理時(shí)所用知識的確定性來劃分，推理可分為確定性推理與不確定性推理。在人類的知識和思維行為中，確定性只能是相對的，而不確定性才是絕對的。人工智能要解決這些不確定性問題，就必須采用不確定性的知識表示和推理方法。因此本節(jié)主要討論的是不確定性推理。2.2知識推理概率推理不確定性推理的概念和分類主觀Bayes方法可信度方法01020304模糊推理052.2.1不確定性推理的概念和分類現(xiàn)實(shí)生活中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況：今天有可能下雨、這場球賽甲隊(duì)可能會(huì)取勝、小王是個(gè)高個(gè)子、小紅和小麗是好朋友、“禿子悖論”等，這里的“可能”、“高個(gè)子”、“好朋友”、“禿子”等，都說明了現(xiàn)實(shí)世界中的事物以及事物之間關(guān)系的復(fù)雜性，導(dǎo)致人們對它們的認(rèn)識往往是不精確、不完全的，具有一定的不確定性。2.2.1不確定性推理的概念和分類1．不確定性推理的概念所謂推理就是從已知事實(shí)出發(fā)，運(yùn)用相關(guān)的知識（或規(guī)則）逐步推出結(jié)論或者證明某個(gè)假設(shè)成立或不成立的思維過程。其中，已知事實(shí)和知識（規(guī)則）是構(gòu)成推理的兩個(gè)基本要素。已知事實(shí)是推理過程的出發(fā)點(diǎn)及推理中使用的知識，我們把它稱為證據(jù)；而知識（規(guī)則）是推理得以向前推進(jìn)，并逐步達(dá)到最終目標(biāo)的根據(jù)。不確定性推理是指那些建立在不確定性知識和證據(jù)的基礎(chǔ)上的推理，包括不完備、不精確知識的推理，模糊知識的推理，非單調(diào)性推理等。2.2.1不確定性推理的概念和分類不確定性推理過程實(shí)際上就是一種從不確定的初始證據(jù)出發(fā)，通過運(yùn)用不確定性的知識，最終推出具有一定程度的不確定性但卻又合理或近乎合理的結(jié)論的思維過程。通過不確定性推理，使計(jì)算機(jī)對人類思維的模擬更接近于人類的真實(shí)思維過程。2．不確定性推理的分類不確定性推理方法控制方法模型方法數(shù)值方法基于概率理論的推理方法基于模糊理論的推理方法非數(shù)值方法2.2.1不確定性推理的概念和分類3．不確定性推理的基本問題（1）不確定性的表示與度量知識的不確定性證據(jù)的不確定性（2）不確定性的匹配不確定性的匹配算法閾值的選擇（3）組合證據(jù)不確定性的算法（4）不確定性的傳遞算法（5）結(jié)論不確定性的合成2.2.1不確定性推理的概念和分類以上問題就是不確定性推理中需要考慮的一些基本問題，但需要指出的是，并非每種不確定性推理方法都必須包括這些內(nèi)容。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，不同的不確定性推理方法所包括的內(nèi)容可以不同，對這些問題的處理方法也可以不同，應(yīng)具體問題具體分析。2.2.2概率推理概率是我們生活中不可替代的組件，例如，早上上班時(shí)，在公交車上，旁邊有乘客打噴嚏或咳嗽，那么你有可能感冒，但你也可能不會(huì)感冒，這具有一定的不確定性。而這樣的不確定性在現(xiàn)實(shí)問題中是普遍存在的。概率推理也稱Bayes推理，是以Bayes法則為基礎(chǔ)的不確定性推理方法，具有處理“事物發(fā)生與否不能確定”這樣的不確定性的能力，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用。2.2.2概率推理假設(shè)P(A)表示隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。那么由右圖可以得出：

由此可以得出：

2.2.2概率推理假設(shè)要乘坐三種不同的交通方式去上班，A1表示開車，A2表示乘坐公交車，A3表示乘坐地鐵，B表示上班遲到這個(gè)事件，如右圖所示，那么上班遲到的概率P(B)就可以表示為：當(dāng)i的取值為n時(shí)，得到：

2.2.2概率推理再結(jié)合下面的式子：

可以得出：

把P(B)代入上式中，最終得到：

2.2.2概率推理由于事件A是由若干個(gè)互斥事件（即兩個(gè)事件交集為空）組成的一個(gè)整體，在具體求解問題時(shí)通常只求解其中的一個(gè)事件，例如，針對上班遲到的例子，通常情況下，可能求的是在遲到的前提下開車的概率有多大，或者坐公交車的概率有多大，所以繼續(xù)改寫上式即可得到如下公式。這便是Bayes公式（又稱貝葉斯公式），其中P(Aj)稱為先驗(yàn)概率，P(B|Aj)稱為條件概率，P(Aj|B)稱為后驗(yàn)概率。

2.2.2概率推理【例2-4】已知男性中有5%患有色盲癥，女性中有0.25%患有色盲癥，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一個(gè)人發(fā)現(xiàn)其患有色盲癥，問此人是男性的概率（假設(shè)男女?dāng)?shù)量相等）?！景咐治觥考僭O(shè)集合A1表示男性，集合A2表示女性，集合B表示色盲癥患者，那么由已知條件可知，P(A1)=0.5，P(A2)=0.5，P(B|A1)=0.05，P(B|A2)=0.0025，接下來求解P(A1|B)。將已知條件代入Bayes公式可得：

2.2.2概率推理所謂概率推理就是求出在證據(jù)E下結(jié)論H發(fā)生的概率，即計(jì)算P(H|E)的值，若一個(gè)證據(jù)E支持多個(gè)假設(shè)H1，H2，…，Hn，即計(jì)算P(Hi|E)的值，這些均可直接代入Bayes公式計(jì)算得到，在此不再贅述。接下來我們看一個(gè)概率推理的例子。2.2.2概率推理【例2-5】設(shè)H1，H2，H3為三個(gè)結(jié)論，E是支持這些結(jié)論的證據(jù)，且已知：P(H1)=0.4P(H2)=0.3P(H3)=0.4P(E|H1)=0.4P(E|H2)=0.5P(E|H3)=0.3求：P(H1|E)，P(H2|E)和P(H3|E)的值?！景咐治觥扛鶕?jù)題意n=3，代入Bayes公式分別得到：

由于證據(jù)E的出現(xiàn)，H1、H3成立的可能性有不同程度的下降，而H2成立的可能性略有增加。2.2.3主觀Bayes方法主觀Bayes方法是由杜達(dá)(R.O.Duda)等人于1976年在概率論的基礎(chǔ)上，通過對Bayes公式的修正而形成的一種不確定性推理模型，并成功地將其應(yīng)用在地礦勘探專家系統(tǒng)PROSPECTOR中。1．知識不確定性的表示在主觀Bayes方法中，知識是用產(chǎn)生式規(guī)則表示的，具體形式為：IFETHEN(LS,LN)H(P(H))其中：P(H)是結(jié)論H的先驗(yàn)概率，由領(lǐng)域?qū)＜腋鶕?jù)經(jīng)驗(yàn)給出；LS稱為充分性度量，表示E對H的支持程度，取值范圍為［0，+∞)，定義如下：

2.2.3主觀Bayes方法

(LS,LN)用來表示該知識的知識強(qiáng)度。在實(shí)際系統(tǒng)中，LS和LN的值均是由領(lǐng)域?qū)＜腋鶕?jù)經(jīng)驗(yàn)給出的，而不是通過計(jì)算出來的。2.2.3主觀Bayes方法2．證據(jù)不確定性的表示在主觀Bayes方法中，證據(jù)的不確定性用概率表示。證據(jù)通常可分為全證據(jù)和部分證據(jù)。全證據(jù)就是所有的證據(jù)，即所有可能的證據(jù)和假設(shè)，它們組成證據(jù)E；部分證據(jù)S就是我們所知道的E的一部分，這一部分證據(jù)也可稱為觀察。全證據(jù)的可信度依賴于部分證據(jù)，表示為P(E|S)。如果知道所有的證據(jù)，則E=S，且有P(E|S)=P(E)。其中P(E)就是證據(jù)E的先驗(yàn)似然性，P(E|S)是已知全證據(jù)E中部分知識S后對E的信任，為E的后驗(yàn)似然性。2.2.3主觀Bayes方法

P(2.2.3主觀Bayes方法4．不確定性的傳遞算法主觀Bayes方法推理的任務(wù)就是根據(jù)E的概率P(E)及LS、LN的值，把H的先驗(yàn)概率P(H)更新為后驗(yàn)概率。（1）證據(jù)E肯定為真時(shí)，即P(E)=P(E|S)=1，把先驗(yàn)概率P(H)更新為后驗(yàn)概率P(H|E)的計(jì)算公式為：P(

2.2.3主觀Bayes方法

P(

2.2.3主觀Bayes方法結(jié)果表明，證據(jù)E1的存在，使H1的概率由0.05變成0.345，增加了將近7倍；證據(jù)E2的存在對H2沒有影響。2）當(dāng)證據(jù)E1、E2不存在時(shí)，P(

結(jié)果表明，證據(jù)E1不存在對H1沒有影響；證據(jù)E2不存在，使H2的概率由0.4變成0.001，削減了400倍。2.2.3主觀Bayes方法5．結(jié)論不確定性的合成算法假設(shè)有n條知識都支持同一結(jié)論H，且這些知識的前提條件分別是n個(gè)相互獨(dú)立的證據(jù)E1，E2，…，En，而每個(gè)證據(jù)所對應(yīng)的觀察又分別是S1，S2，…，Sn，那么可用下面的公式求出O(H|S1，S2，…，Sn)和P(H|S1，S2，…，Sn)：P(

2.2.3主觀Bayes方法其中，O(x)是幾率函數(shù)，它與概率函數(shù)P(x)的關(guān)系如下：P(

2.2.3主觀Bayes方法【例2-7】設(shè)有如下規(guī)則：R1：IFE1THEN(20,1)H(0.03)R2：IFE2THEN(200,1)H(0.03)已知證據(jù)E1、E2必然發(fā)生，求H的后驗(yàn)概率?！景咐治觥?）依據(jù)H的先驗(yàn)概率P(H)=0.03可以求出O(H)的先驗(yàn)幾率：P(

2）依據(jù)R1，可以得出：

2.2.3主觀Bayes方法3）依據(jù)R2，可以得出：P(4）那么

因此，由于E1、E2的必然發(fā)生，使H的概率由0.03增到0.992。2.2.3主觀Bayes方法主觀Bayes方法是在概率論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，具有較完善的理論基礎(chǔ)，且知識的輸入轉(zhuǎn)化為對LS和LN的賦值，這就避免大量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)工作，是一種比較實(shí)用且較靈活的不確定性推理方法。但是，它在要求專家給出LS和LN的同時(shí)，還要求給出H的先驗(yàn)概率P(H)，而且要求事件間相互獨(dú)立，這也比較困難，從而也就限制了它的應(yīng)用。P(2.2.4可信度方法可信度方法是在1975年由美國斯坦福大學(xué)數(shù)學(xué)家肖特里菲（E.H.Shortliffe）等人在確定性理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合概率論等提出的一種不確定性推理方法。盡管該方法未建立在嚴(yán)格的理論推導(dǎo)基礎(chǔ)上，但該方法直觀、簡單，且效果好。目前，許多專家系統(tǒng)都是基于這一方法建造起來的。所謂可信度是指根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對一個(gè)事物或現(xiàn)象為真的相信程度，其帶有較大的主觀性和經(jīng)驗(yàn)性，準(zhǔn)確性難以把握。C-F模型是基于可信度表示的不確定性推理的基本方法，其它可信度方法都是在此基礎(chǔ)上逐漸發(fā)展起來的。因此，對可信度方法的介紹主要以此模型為例。2.2.4可信度方法1．知識不確定性的表示在C-F模型中，知識用產(chǎn)生式規(guī)則表示：IFETHENH(CF(H,E))其中：CF(H,E)稱為可信度因子或規(guī)則強(qiáng)度，反映前提條件與結(jié)論的聯(lián)系強(qiáng)度，描述的是知識的靜態(tài)強(qiáng)度。CF(H,E)的取值范圍為[-1,1]。若由于相應(yīng)證據(jù)的出現(xiàn)增加結(jié)論H為真的可信度，則CF(H,E)>0，證據(jù)的出現(xiàn)越是支持H為真，就使CF(H,E)的值越大；反之，CF(H,E)<0，證據(jù)的出現(xiàn)越是支持H為假，CF(H,E)的值就越??；若證據(jù)的出現(xiàn)與否與H無關(guān)，則CF(H,E)=0。2.2.4可信度方法2．證據(jù)不確定性的表示證據(jù)的不確定性也是用可信度因子表示的，即CF(E)。CF(E)描述的是證據(jù)的動(dòng)態(tài)強(qiáng)度，表示證據(jù)E當(dāng)前的不確定性程度。CF(E)的取值范圍也為[-1,1]。對于初始證據(jù)，若所有觀察S能肯定它為真，則CF(E)=1；若肯定它為假，則CF(E)=-1；若以某種程度為真，則0<CF(E)<1；若以某種程度為假，則-1<CF(E)<0；若未獲得任何相關(guān)的觀察，則CF(E)=0。2.2.4可信度方法

2.2.4可信度方法4．不確定性的傳遞算法C-F模型中的不確定性推理過程為從不確定的初始證據(jù)出發(fā)，通過運(yùn)用相關(guān)的不確定性知識，最終推出結(jié)論并求出結(jié)論的可信度值。結(jié)論H的可信度由下式計(jì)算：

其中，當(dāng)CF(E)<0時(shí)，CF(H)=0；當(dāng)CF(E)=1時(shí)，CF(H)=CF(H,E)。2.2.4可信度方法5．結(jié)論不確定性的合成算法若有多條不同知識推出了相同的結(jié)論，但可信度不同，則可用合成算法求出綜合可信度。設(shè)有如下規(guī)則：IFE1THENH(CF(H,E1))IFE2THENH(CF(H,E2))（1）分別對每一條規(guī)則求出CF(H)：

2.2.4可信度方法（2）求出E1與E2對H的綜合影響所形成的可信度：

2.2.4可信度方法【例2-8】設(shè)有如下規(guī)則：R1：IFE1THENH(0.8)R2：IFE2THENH(0.6)R3：IFE3THENH(-0.5)R4：IFE4AND(E5ORE6)THENE1(0.7)已知：CF(E2)=0.8，CF(E3)=0.5，CF(E4)=0.5，CF(E5)=0.6，CF(E6)=0.8，求：CF(H)的值?！景咐治觥?）依據(jù)R4，可以得出：2.2.4可信度方法2）依據(jù)R1，可以得出：

2.2.4可信度方法3）依據(jù)R2，可以得出：

4）依據(jù)R3，可以得出：

5）根據(jù)結(jié)論不確定性的合成算法得出：2.2.4可信度方法

因此，所求的綜合可信度CF(H)=0.5008。2.2.4可信度方法可信度方法比較簡單、直觀，易于掌握和使用，已成功應(yīng)用于推理鏈較短、概率計(jì)算精度要求不高的專家系統(tǒng)中。但當(dāng)推理長度較長時(shí)，由可信度的不精確估計(jì)而產(chǎn)生的積累誤差會(huì)很大，所以該方法不適合長推理鏈的情況。2.2.5模糊推理關(guān)于禿子悖論，有人說，一般人平均有5000根頭發(fā)，以此為界，規(guī)定5000根以下為禿子，以上為不禿。如果這樣規(guī)定，那么4999根算不算禿？有5000根頭發(fā)的人，如果他在梳洗打扮時(shí)，不小心梳落了一根，是否當(dāng)即成為一名“禿子”了？這樣顯然太荒唐了！這里的主要問題就在于“禿子”這個(gè)概念是模糊的，沒有一個(gè)清晰的界限將“禿”與“不禿”分開。與“禿子”相似的模糊概念還有很多，如沙堆、雨的大小、風(fēng)的強(qiáng)弱、年齡的大小、個(gè)子的高低等。這種在生活中常見的模糊概念，用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法處理時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)問題。那么，這類問題究竟要如何解決呢？模糊理論及模糊邏輯是解決這一矛盾的主要工具之一。2.2.5模糊推理1．模糊理論的提出1965年扎德等人從集合論的角度出發(fā)，對事物存在的模糊性進(jìn)行了大量的研究，提出了模糊集、隸屬函數(shù)、模糊推理等重要概念，開創(chuàng)了模糊理論這一新興的數(shù)學(xué)分支，從而對模糊性的定量描述與處理提供了一種新途徑。在模糊集中定義了一個(gè)關(guān)鍵概念“隸屬度”，即一個(gè)元素隸屬于一個(gè)集合的程度，并且規(guī)定，當(dāng)一個(gè)元素完全屬于一個(gè)集合時(shí)，它的隸屬度為1，反之為0；若在某種程度上隸屬于一個(gè)集合，則它的隸屬度為0~1之間的某個(gè)值。2.2.5模糊推理2．模糊集合及其運(yùn)算處理某一特定問題時(shí)，要把議題限定在一個(gè)特定的范圍內(nèi)，這個(gè)范圍就是相應(yīng)問題的論域。論域中的每個(gè)對象稱為元素，論域中具有某種相同屬性的確定的、可以彼此區(qū)別的元素的全體稱為集合。所謂模糊集合是指在論域U中的模糊集F用一個(gè)在區(qū)間[0,1]上取值的隸屬函數(shù)μF來表示，即：μF：U→[0,1]其中，μF稱為F的隸屬函數(shù)，μF(u)稱為u對F的隸屬度，u是U中的元素。2.2.5模糊推理模糊集合常用的表示方法有三種：扎德表示法、序?qū)Ρ硎痉ā⑾蛄勘硎痉?，這里用一個(gè)例子進(jìn)行說明。假設(shè)論域U={x1,x2,x3,x4}為一個(gè)四人集合，X上的模糊集合A表示“漂亮”，隸屬度分別為0.6、0.8、1、0.5，那么（1）扎德表示法表示為：A=0.6/x1+0.8/x2+1/x3+0.5/x4扎德表示法采用“隸屬度/元素”的形式來記，這里的“+”號并不是求和，“/”號也不是求商，僅僅是一種記法，是模糊數(shù)學(xué)創(chuàng)始人扎德給出的一種記法。當(dāng)某一項(xiàng)的隸屬度為0時(shí)，可以省略不寫。2.2.5模糊推理（2）序?qū)Ρ硎痉ū硎緸椋篈={(x1,0.6),(x2,0.8),(x3,1),(x4,0.5)}序?qū)Ρ硎痉ㄟm合比較少的元素，一目了然，比較清晰，但對于元素比較多的模糊集合，扎德表示法更簡便。（3）向量表示法表示為：A={0.6,0.8,1,0.5}向量表示法是給論域中的元素規(guī)定了一個(gè)表達(dá)順序，在向量表示法中，隸屬度為0的項(xiàng)不能省略，因?yàn)橐坏┦÷?，隸屬度和元素的一一對應(yīng)關(guān)系就會(huì)發(fā)生改變。從該例中可以得出，x3是四人當(dāng)中最漂亮的。2.2.5模糊推理模糊集上的運(yùn)算主要有相等、包含、并、交、補(bǔ)等，接下來我們一一來看。（1）模糊集合相等兩個(gè)模糊集合相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的隸屬函數(shù)在論域U上恒等，即A=B，當(dāng)且僅當(dāng)?x∈U，μA(x)=μB(x)。（2）模糊集合的包含模糊集合A包含于模糊集合B中，當(dāng)且僅當(dāng)對于論域U上所有元素x，恒有μA(x)≤μB(x)2.2.5模糊推理（3）模糊集合的并、交、補(bǔ)集

【例2-9】設(shè)論域U={x1,x2,x3,x4}為一個(gè)四人集合，U上的模糊集合A表示“高個(gè)子”：A={(x1,0.8},(x2,0.6),(x3,1),(x4,0.4)}，模糊集合B表示“胖子”：B={(x1,0.6),(x2,0.5),(x3,0.3),(x4,0.4)}。分別求模糊集合“高或胖”、“又高又胖”、“個(gè)子不高”。2.2.5模糊推理【案例分析】模糊集合“高或胖”為：

模糊集合“又高又胖”為：

模糊集合“個(gè)子不高”為：

其中：“∨”表示取最大，“∧”表示取最小。2.2.5模糊推理（4）模糊集合的積設(shè)A、B是論域U和論域V上的模糊集合，那么

【例2-10】設(shè)U={1,2,3,4}，V={1,2,3}，A、B分別是論域U、V上的模糊集合，其中A=0.8/1+0.7/2+0.5/3+0.2/4，B=1/1+0.6/2+0.3/3，求A×B。【案例分析】A×B=0.8/(1,1)+0.6/(1,2)+0.3/(1,3)+0.7/(2,1)+0.6/(2,2)+0.3/(2,3)+0.5/(3,1)+0.5/(3,2)+0.3/(3,3)+0.2/(4,1)+0.2/(4,2)+0.2/(4,3)2.2.5模糊推理（5）模糊集合的有界和設(shè)A、B是論域U和論域V上的模糊集合，那么

3．模糊關(guān)系及其運(yùn)算（1）模糊關(guān)系設(shè)U、V是論域，從U到V上的模糊關(guān)系R是指U×V，由隸屬函數(shù)μR(x)刻畫，μR(x,y)代表有序?qū)?lt;x,y>具有關(guān)系R的程度。2.2.5模糊推理比如，設(shè)論域U=V={1,2,3,4}，模糊關(guān)系R大的多，μ(x,y)表示x比y大的程度，如下表：模糊關(guān)系R通常用矩陣表示，將上表轉(zhuǎn)化為矩陣表示如下，R就叫做模糊關(guān)系矩陣。

2.2.5模糊推理（2）模糊關(guān)系的合成假設(shè)R與S分別是U×V與V×W上的兩個(gè)模糊關(guān)系，則R與S的合成是指從U到W的一個(gè)模糊關(guān)系，記作R°S，