微積分-經(jīng)管類-下冊(cè)-8.5 函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)

第5節(jié)兩類問題:在收斂域內(nèi)和函數(shù)求和展開本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)

二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)

第8章一、泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)

其中(

在

x

與x0

之間)稱為拉格朗日余項(xiàng)

.則在復(fù)習(xí):

f(x)的n

階泰勒公式若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),該鄰域內(nèi)有:為f(x)

的泰勒級(jí)數(shù).則稱當(dāng)x0=0

時(shí),泰勒級(jí)數(shù)又稱為麥克勞林級(jí)數(shù)

.1)對(duì)此級(jí)數(shù),它的收斂域是什么？2)在收斂域上,和函數(shù)是否為f(x)?待解決的問題:若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),定理1

.各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是f(x)的泰勒公式余項(xiàng)滿足:證明:令設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)具有定理2.若f(x)能展成x

的冪級(jí)數(shù),唯一的,且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.證:

設(shè)f(x)所展成的冪級(jí)數(shù)為則顯然結(jié)論成立.則這種展開式是二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)

1.直接展開法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知,第一步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0處的值;第二步寫出麥克勞林級(jí)數(shù),并求出其收斂半徑R;第三步判別在收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)是否為驟如下:展開方法直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知其級(jí)數(shù)展開式0.的函數(shù)展開例1.

將函數(shù)展開成x

的冪級(jí)數(shù).解:

其收斂半徑為對(duì)任何有限數(shù)

x,其余項(xiàng)滿足故(

在0與x之間)故得級(jí)數(shù)例2.

將展開成x

的冪級(jí)數(shù).解:

得級(jí)數(shù):其收斂半徑為對(duì)任何有限數(shù)

x,其余項(xiàng)滿足對(duì)上式兩邊求導(dǎo)可推出:例3.

將函數(shù)展開成x

的冪級(jí)數(shù),其中m為任意常數(shù).解:

易求出于是得級(jí)數(shù)由于級(jí)數(shù)在開區(qū)間(－1,1)內(nèi)收斂.因此對(duì)任意常數(shù)m,推導(dǎo)推導(dǎo)則為避免研究余項(xiàng),設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為稱為二項(xiàng)展開式

.說明：(1)在x＝±1

處的收斂性與m

有關(guān).(2)當(dāng)m為正整數(shù)時(shí),級(jí)數(shù)為x

的m

次多項(xiàng)式,上式就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理.由此得對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)展開式分別為例3附注2.間接展開法利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),例4.

將函數(shù)展開成x

的冪級(jí)數(shù).解:

因?yàn)榘褁

換成,得將所給函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù).例5.

將函數(shù)展開成x

的冪級(jí)數(shù).解:從0到x

積分,得定義且連續(xù),域?yàn)槔么祟}可得上式右端的冪級(jí)數(shù)在x

＝1

收斂,所以展開式對(duì)x

＝1也是成立的,于是收斂例6.

將展成解:

的冪級(jí)數(shù).例7.

將展成x－1的冪級(jí)數(shù).解:

內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法(1)直接