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第5章微分法:積分法:互逆運(yùn)算不定積分二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念第1節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)

第5章一、原函數(shù)與不定積分的概念定義1.

若在區(qū)間I

上定義的兩個(gè)函數(shù)F(x)及f(x)滿足在區(qū)間

I

上的一個(gè)原函數(shù).則稱F(x)為f(x)問題:1.在什么條件下,一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在?2.若原函數(shù)存在,它如何表示?

定理1.

存在原函數(shù).(下章證明：原函數(shù)存在定理)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)定理2.原函數(shù)都在函數(shù)族(C為任意常數(shù))內(nèi).證:1)又知故它屬于函數(shù)族即定義2.在區(qū)間

I上的原函數(shù)全體稱為上的不定積分,其中—積分號(hào);—被積函數(shù);—被積表達(dá)式.—積分變量;若則(C為任意常數(shù))C

稱為積分常數(shù),不可丟!例如,記作不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.的積分曲線

.例1.

設(shè)曲線通過點(diǎn)(1,2),

且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過點(diǎn)(1,2),故有因此所求曲線為二、基本積分表(P2)從不定積分定義可知:或或利用逆向思維(k

為常數(shù))或或例2.求解:

原式=例3.

求解:

原式=三、不定積分的性質(zhì)推論:

若則例4.求解:

原式例5.

求解:

原式=例6.

求解:

原式=例7.

求解:

原式=內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質(zhì)?基本積分表2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式

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