2024-2025學(xué)年北京二中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京二中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x>1}，B={x|x2?2x?3>0}，則A∪B=A.(3,+∞) B.(1,3)

C.(?∞,?1)∪(1,+∞) D.(?∞,?1)∪(3,+∞)2.記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S5=15，A.2 B.1 C.0 D.?13.已知邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則AF?AE=A.1 B.2 C.3 D.44.在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)1+ai2?i所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的值可以為(

)A.?12 B.1 C.2 5.已知sin(π6+α)=?A.?23 B.?13 C.6.“sinθ+tanθ>0”是“θ為第一或第三象限角”的(

)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足2b2+c2?A.33 B.13 C.18.分貝(dB)、奈培(Np)均可用來量化聲音的響度，其定義式分別為1dB=10lgAA0，1Np=12lnAA0，其中A為待測值，A0A.8.686 B.4.343 C.0.8686 D.0.1159.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，存在常數(shù)t(t>0)，使得對任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)，當(dāng)x∈[0,t)時，f(x)=|x?t2|.若f(x)在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減，則t的最小值為A.3 B.83 C.2 D.10.設(shè)函數(shù)y=f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A(x1,y1)，B(xKA?KBAB(AB為線段AB的是(

)A.函數(shù)y=sinx圖象上兩點(diǎn)A與B的橫坐標(biāo)分別為1和?1，則φ(A,B)=0

B.存在這樣的函數(shù)，其圖象上任意不同兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)

C.設(shè)A，B是拋物線y=x2上不同的兩點(diǎn)，則φ(A,B)?2

D.設(shè)A，B是曲線y=ex(是自然對數(shù)的底數(shù))上不同的兩點(diǎn)二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.(12x?x)12.已知雙曲線x2a2?y2b13.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示．

①函數(shù)f(x)的最小正周期為______；

②將函數(shù)f(x)的圖象向右平移t(t>0)個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象.若函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，則t的最小值是______．14.已知函數(shù)f(x)=sinωx?2cosωx(ω>0)，且f(α+x)=f(α?x).若兩個不等的實(shí)數(shù)x1，x2滿足f(x1)f(x2)=515.已知函數(shù)f(x)=xx+2,x∈(12,1]?12x+14,x∈[0,12],g(x)=asin(π3x+3π2)?2a+2(a>0)，給出下列結(jié)論：

①函數(shù)f(x)的值域為[0,13]；

②函數(shù)g(x)在[0,1]上是增函數(shù)；三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=cosωxsin(ωx+π6).且滿足_____．

(在下列三個條件中任選一個，并解答問題)

①函數(shù)f(x)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2；

②函數(shù)f(x)的圖象相鄰兩個最大值之間的距離為π；

③已知x1≠x2，f(x1)=f(x2)=14，且|x1?x217.(本小題13分)

為了迎接北京冬奧會，弘揚(yáng)奧林匹克精神，某學(xué)校組織全體高一學(xué)生開展了冬奧知識競賽活動．從參加該活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取了12名學(xué)生的競賽成績，數(shù)據(jù)如下表：男生818486868891女生728084889297(Ⅰ)從抽出的男生和女生中，各隨機(jī)選取一人，求男生成績高于女生成績的概率；

(Ⅱ)從該校的高一學(xué)生中，隨機(jī)抽取3人，記成績?yōu)閮?yōu)秀(>90分)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(Ⅲ)表中男生和女生成績的方差分別記為s12，s22，現(xiàn)在再從參加活動的男生中抽取一名學(xué)生，成績?yōu)?6分，組成新的男生樣本，方差計為s32，試比較s1218.(本小題14分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：CD⊥平面POC．

(Ⅱ)求二面角C?PD?O的平面角的余弦值．

(Ⅲ)在側(cè)棱PC上是否存在點(diǎn)M，使得BM//平面POD，若存在試求出CMPC，若不存在，請說明理由．19.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ax2+xlnx(a∈R)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x+3y=0垂直．

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值；

(Ⅱ)若存在k∈Z，使得f(x)>k恒成立，求20.(本小題15分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，點(diǎn)A(?2,0)在C上．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過點(diǎn)B(?2,1)且斜率為k的直線交橢圓C于P(x1,y1)，Q(x2,y2)兩點(diǎn)，試用含k21.(本小題15分)

已知n為正整數(shù)，數(shù)列X：x1，x2，?，xn，記S(X)=x1+x2+?+xn，對于數(shù)列X，總有xk∈{0,1}，k=1，2，?，n，則稱數(shù)列X為n項0?1數(shù)列．

若數(shù)列A：a1，a2，?，an，B：b1，b2，?，bn，均為n項0?1數(shù)列，定義數(shù)列A?B：m1，m2，?，mn，其中mk=1?|ak?bk|，k=1，2，?，n．

(Ⅰ)已知數(shù)列A：1，0，1，B：0，1，1，直接寫出S(A?A)和S(A?B)的值；

(Ⅱ)若數(shù)列A參考答案1.C

2.D

3.B

4.D

5.B

6.C

7.C

8.A

9.B

10.D

11.?7

12.2

13.3π2

π14.?415.①②④

16.解：(I)因為f(x)=cosωxsin(ωx+π6)=cosωx[sinωx×32+cosωx×12]=sin2ωx×34+(1+cos2ωx)×14=12sin(2ωx+π6)+14，

若選擇①函數(shù)f(x)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2，可得函數(shù)周期為π，

所以2π2ω=π，ω=1，

若選擇②函數(shù)f(x)的圖象相鄰兩個最大值之間的距離為π，可得函數(shù)周期為π，

所以2π2ω=π，ω=1，

若選擇③已知x1≠x2，f(x1)=f(x2)=14，

即可得12sin(2ωx+π6)=0有2個根x1，x2，|x1?x2|的最小值為π2，可得函數(shù)周期為π，

所以2π2ω=π，ω=1，

所以17.解：(Ⅰ)設(shè)“從抽出的男生和女生中，男生成績高于女生成績“為事件A，

由表格得：從抽出的12名學(xué)生中男女生各隨機(jī)選取一人，共有C61C61=36種組合，

其中男生成績高于女生(81,72)，(81,80)，(84,72)，(84,80)，(86,72)，(86,80)，(86,84)，(86,72)，(86,80)，(86,84)，(88,72)，(88,80)，(88,84)，(91,72)，(91,80)，(91,84)，(91,88)，

所以事件A有17種組合，因此P(A)=1736；

(Ⅱ)由數(shù)據(jù)知，在抽取的12名學(xué)生中，成績?yōu)閮?yōu)秀(>90分)的有3人，即從該校參加活動的高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生成績優(yōu)秀的概率為14，

因此從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，成績優(yōu)秀人數(shù)X可取0，1，2，3且X～B(3,14)，

X

0

1

2

3

P

27

27

9

1數(shù)學(xué)期望E(X)=0+1×2764+2×964+3×164=4864=34．

(Ⅲ)男生的平均成績?yōu)閤1?=81+84+86+86+88+916=86，則s1218.解：(I)證明：平面ABCD內(nèi)，過C點(diǎn)作CE⊥AD于E

∵直角梯形ABCD中，AD//BC，BC=1，AB=2，AD=3，∴AE=1，CE=2

Rt△CDE中，DE=2，可得CD=CE2+DE2=22

∵Rt△BOC中，BO=12AB=1，BC=1，∴OC=BO2+BC2=2

同理，得OD=AO2+AD2=10

∴OD2=10=OC2+CD2，可得△OCD是以O(shè)D為斜邊的直角三角形，

∴OC⊥CD

∵PA=PB，O是AB中點(diǎn)，∴PO⊥AB，

∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO?平面PAB，

∴PO⊥平面ABCD，結(jié)合CD?平面ABCD，得PO⊥CD

∵PO、OC是平面POC內(nèi)的相交直線，∴CD⊥平面POC；

(II)設(shè)CD的中點(diǎn)為F，連結(jié)OF，則直線OB、OF、OP兩兩互相垂直，

分別以O(shè)B、OF、OP為x軸、y軸、z軸，建立直角坐標(biāo)系O?xyz，如圖所示

則C(1,1,0)，D(?1,3,0)，P(0,0,22)，

可得OP=(0,0,22)，OD=(?1,3,0)，

設(shè)m=(x,y,z)為平面POD的一個法向量，則m?OP=22z=0m?OD=?x+3y=0，

取y=1，得x=3且z=0，得m=(3,1,0)

設(shè)平面PCD的一個法向量為n=a,b,c，則n·CP19.解：(Ⅰ)∵f(x)=ax2+xlnx，∴f′(x)=2ax+lnx+1，

∵切線與直線x+3y=0垂直，∴切線的斜率為3，

∴f′(1)=3，即2a+1=3，故a=1；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x2+xlnx，a∈(0,+∞)，f′(x)=2x+lnx+1，x∈(0,+∞)，

令g(x)=2x+lnx+1，x∈(0,+∞)，則g′(x)=1x+2，x∈(0,+∞)，

由g′(x)>0對x∈(0,+∞)恒成立，故g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

又∵g(1e2)=2e2?1<0，g(12)=2?ln2>0，

∴存在x0∈(0,12)使g(x0)=0

∵g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)x∈(0,x0)時，g(x)=f′(x)<0，f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(x0,+∞)時，g(x)=f′(x)>0，f(x)在(x20.解：(Ⅰ)因為橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，點(diǎn)A(?2,0)在C上，

所以ca=32a=2a2=b2+c2，所以a=2，b=1，c=3，

所以橢圓C的方程為x24+y2=1．

(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)B(?2,1)且斜率為k的直線為：y?1=k(x+2)，即y=kx+2k+1，

聯(lián)立方程組x24+y2=1y=kx+2k+1，消去y得(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+(16k2+16k)=0，

因為P(x1,y1)，Q(x2,y2)是直線與橢圓的交點(diǎn)，

所以x1+x2=?16k2?8k1+4k2,x1x2=16k2+16k1+421.解：(I)S(A?A)=3，S(A?B)=1；

(II)證明：對于兩個0?1數(shù)列A：a1，a2，?，an，B：b1，b2，?，bn，

記數(shù)列A?B：c1，c2，?，cn，則對于ck(1,2,3,?,n)，

若ak=1，則此時|ak?bk|=1?bk，ck=1?|ak?bk|=bk，

若ak