云南省昆明市三診一模高三復(fù)習(xí)教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

【考試時間：3月28日15∶00—17∶00】昆明市2024屆“三診一模”高三復(fù)習(xí)教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若是等比數(shù)列，，，則（）A.7 B.9 C.25 D.35【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算即可求解.【詳解】是等比數(shù)列，，，則，故．故選：C．2.雙曲線的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用雙曲線方程求解漸近線方程即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程是：故選：A3.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點在直線上，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】首先得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標，即可得到方程，解得即可.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，依題意可得，解得.故選：A4.已知下圖網(wǎng)格中面積最小的正方形邊長為1，平面向量，如圖所示，則（）A.2 B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，建立坐標系，可得、的坐標，進而求出的坐標，計算其?？傻么鸢福驹斀狻扛鶕?jù)題意，如圖建立坐標系，則，，則，故．故選：C．5.在的展開式中，含項的系數(shù)是（）A16 B.19 C.21 D.24【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式的通項計算可得.【詳解】因為展開式的通項為，所以的展開式中含項為，所以展開式中含項的系數(shù)是.故選：B6.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.為增函數(shù) B.有兩個零點C.的最大值為2e D.的圖象關(guān)于對稱【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合選項依次計算，即可求解.【詳解】A：，令，得，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯誤；B：由選項A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在R上沒有零點，故B錯誤；C：由選項A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的最小值為，故C錯誤；D：，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，故D正確.故選：D7.早期天文學(xué)家常采用“三角法”測量行星的軌道半徑．假設(shè)一種理想狀態(tài)：地球E和某小行星M繞太陽S在同一平面上的運動軌道均為圓，三個星體的位置如圖所示．地球在位置時，測出；行星M繞太陽運動一周回到原來位置，地球運動到了位置，測出，．若地球的軌道半徑為R，則下列選項中與行星M的軌道半徑最接近的是（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接，根據(jù)給定條件，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求解即得.【詳解】連接，在中，，又，則是正三角形，，由，，得，，在中，，由正弦定理得，則，在中，由余弦定理得.故選：A8.已知橢圓（）的左、右焦點為、，圓與的一個交點為，直線與的另一個交點為，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得，設(shè)，由橢圓的定義可知，的表達式，再由的值，可，在中，可得，可得點為短軸的端點，在中，由余弦定理可得，的關(guān)系，即求出橢圓的離心率的值．【詳解】由題意知，圓過橢圓的兩個焦點，因為為圓與橢圓的交點，所以，因為，設(shè)，可得，，所以，所以，在中，，即，解得或，解得或（舍去），此時點為橢圓短軸的頂點，又，解得（負值舍去），且，，在中，由余弦定理可得，整理可得，所以．故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及焦點三角形問題一般是利用橢圓的定義及余弦定理進行處理，本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出為短軸頂點.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，若，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)整體法以及特殊角的三角函數(shù)值可得或，即可求解.【詳解】令或，,故或，，故,取和可得或，故的值可以為或，故選：BD10.在數(shù)列中，，，，記的前n項和為，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知，結(jié)合條件，，可依次求出數(shù)列的前幾項，從而判斷A、B；由題意可得，根據(jù)等差數(shù)列的定義可判定數(shù)列為等差數(shù)列，從而判斷C、D.【詳解】若，，又，則，A正確；若，，由A選項可知，又，可得，，可得，B錯誤；若，，則，，，可得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且，所以，C正確；且，D正確.故選：ACD11.在矩形中，，，以對角線BD為折痕將△ABD進行翻折，折后為，連接得到三棱錐，在翻折過程中，下列說法正確的是（）A.三棱錐體積的最大值為 B.點都在同一球面上C.點在某一位置，可使 D.當時，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)錐體體積公式即可求解A，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解B，根據(jù)線面垂直得線性垂直即可求解CD.【詳解】如圖所示：分別過作，對A，當平面平面時，三棱錐的高最大為，三棱錐體積的最大值為，A正確；對B，，的中點為，則,故為三棱錐的外接球球心，B正確；對C，若存在點在某一位置，使，連接，由于，，平面，則平面，又平面，，這與相矛盾,不重合），不存在點在某一位置，使，C錯誤；對D，當，又，，平面,平面，又平面，，又，，，D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式求出，，再利用二倍角正切公式求解.【詳解】由，，，，.故答案為：.13.已知正六棱錐的側(cè)棱長為，其各頂點都在同一球面上，若該球的表面積為，則該正六棱錐的體積為__________．【答案】##【解析】【分析】作圖，分外接球的球心在棱錐內(nèi)部和外部兩種情況，運用勾股定理列式分別計算.【詳解】設(shè)正六棱錐，底面中心為，外接球半徑為，底面正六邊形邊長為，棱錐的高，則，，，當外接球的球心在棱錐內(nèi)部時，，在中，，即，在中，，即，聯(lián)立，解得，，所以正六棱錐的體積為.當外接球的球心在棱錐外部時，，在中，，即，在中，，即，聯(lián)立，解得，，這與矛盾，不合題意舍去.綜上，該正六棱錐的體積為.故答案為：.14.如圖，一個質(zhì)點從原點O出發(fā)，每隔一秒隨機、等可能地向左或向右移動一個單位，共移動六次．質(zhì)點位于4的位置的概率為__________；在質(zhì)點第一秒位于1的位置的條件下，該質(zhì)點共經(jīng)過兩次3的位置的概率為__________．【答案】①.##0.09375②.##0.125【解析】【分析】計算質(zhì)點移動6次可能的結(jié)果，質(zhì)點位于4的位置的可能結(jié)果，根據(jù)古典概型的概率公式即可求解；根據(jù)條件概率的概率公式計算.【詳解】由題意可得：質(zhì)點移動6次可能的結(jié)果有種，質(zhì)點位于4的位置則指點向右移動5次向左移動1次，從質(zhì)點移動6次中選1次向左移動，其它5次向右移動共有種，所以質(zhì)點位于4的位置的概率為；在質(zhì)點第一秒位于1的位置的條件下，該質(zhì)點共經(jīng)過兩次3的位置，可知從1開始的5步中，第1、2步必須向右，第3步向左或向右均可，若第3步向左則第4步向右，若第3步向右則第4步向左，第5步向左向右均可，則走法有種，總的質(zhì)點移動5次可能的結(jié)果有種，則在質(zhì)點第一秒位于1的位置的條件下，該質(zhì)點共經(jīng)過兩次3的位置的概率為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在直三棱柱中，D，E為，AB中點，連接，．（1）證明：DE∥平面；（2）若，，，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由三角形中位線的性質(zhì)可得，再由線面平行的判定定理可證明；（2）建系，分別找到平面的一個法向量和平面的法向量，代入空間向量的二面角余弦公式，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出正弦值即可.【小問1詳解】連接，因為D，E分別為，AB的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面．【小問2詳解】由（1）得，因為，所以，因為在直三棱柱中，平面ABC，所以，因為，所以AB⊥平面，故．建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz，則，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，可取為平面的一個法向量，可取為平面的一個法向量，則，設(shè)二面角的大小為，則，，所以二面角正弦值為．16.某企業(yè)響應(yīng)國家“強芯固基”號召，為匯聚科研力量，準備科學(xué)合理增加研發(fā)資金．為了解研發(fā)資金的投入額x（單位：千萬元）對年收入的附加額y（單位：千萬元）的影響，對2017年至2023年研發(fā)資金的投入額和年收入的附加額進行研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：年份2017201820192020202120222023投入額103040608090110年收入的附加額7．30（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若年收入的附加額與投入額的比值大于，則稱對應(yīng)的年份為“優(yōu)”，從上面的7個年份中任意取3個，記X表示這三個年份為“優(yōu)”的個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：，，．附：回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)最小二乘法即可求解，（2）根據(jù)超級幾何概率公式求解概率，即可由期望公式求解.【小問1詳解】依題意，，，，，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為.【小問2詳解】由題意，7個年收入的附加額與投入額的比值大于0.1的有3個，所以X的可能取值為0，1，2，3，，，，，X的分布列如下：X0123P所以X的期望是.17.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）當時，，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）由題意，將問題轉(zhuǎn)化為（）恒成立，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【小問1詳解】由于，則切點坐標為，因為，所以切線斜率為，故切線方程為，即．【小問2詳解】當時，等價于，令，，恒成立，則恒成立，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不符合題意；當時，由，得，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，，不符合題意；當時，，因為，所以，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，符合題意．綜上所述，．18.已知拋物線C：（）的焦點為F，直線與C交于A，B兩點，．（1）求C的方程；（2）過A，B作C的兩條切線交于點P，設(shè)D，E分別是線段PA，PB上的點，且直線DE與C相切，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，，直線方程聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理表示，結(jié)合拋物線的定義即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線PA、PB方程，進而求得，設(shè)，求得、，結(jié)合弦長公式表示與，即證，由（1），化簡計算即可證明.【小問1詳解】設(shè)，，，聯(lián)立，得，則，，，則，故，所以C的方程為．【小問2詳解】由（1）知，因為拋物線C：，則，則，，則直線PA方程為，即，同理直線PB方程為．聯(lián)立，得，則，將代入得，兩式相加得，即，所以點．設(shè)直線DE與拋物線相切于點，則直線DE方程為．設(shè)，，聯(lián)立，兩式作比，即，同理，因為，同理，故要證，即證，即證，即證，即證，即證，由（1）知，又，故，上式成立，故．【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．19.若非空集合A與B，存在對應(yīng)關(guān)系f，使A中的每一個元素a，B中總有唯一的元素b與它對應(yīng)，則稱這種對應(yīng)為從A到B的映射，記作f：A→B．設(shè)集合，（，），且．設(shè)有序四元數(shù)集合且，．對于給定的集合B，定義映射f：P→Q，記為，按映射f，若（），則；若（），則．記．（1）若，，寫出Y，并求；（2）若，，求所有的總和；（3）對于給定的，記，求所有的總和（用含m的式子表示）．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意中的新定義，直接計算即可求解；（2）對1，，5是否屬于B進行分類討論，求出對應(yīng)所有Y中的總個數(shù)，進而求解；（3）由題意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解.【小問1詳解】由題意知，，所以．【小問2詳解】對1，，5是否屬于B進行討論：①含1的B的個數(shù)為，此時在映射f下，；不含1的B的個數(shù)為，此時在映射f下，；所以所有Y中2總個數(shù)和1的總個數(shù)均為10；②含5的B的個數(shù)為，此時在映射f下，；不含5B的個數(shù)為，此時在映射f下，；所以所有Y中6的總個數(shù)和5的總個數(shù)均為10；②含的B的個數(shù)為，此時在映射f下，，