臨汾市第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

臨汾市第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（）A B.C. D.62．設(shè)雙曲線(xiàn)（）的焦距為12，則（）A.1 B.2C.3 D.43．過(guò)雙曲線(xiàn)Ω：(a＞0，b＞0)右焦點(diǎn)F作x軸的垂線(xiàn)，與Ω在第一象限的交點(diǎn)為M，且直線(xiàn)AM的斜率大于2，其中A為Ω的左頂點(diǎn)，則Ω的離心率的取值范圍為()A.(1,3) B.(3，＋∞)C.(1,) D.(，＋∞)4．下列說(shuō)法中正確的是（）A.存在只有4個(gè)面的棱柱 B.棱柱的側(cè)面都是四邊形C.正三棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等 D.所有幾何體的表面都能展開(kāi)成平面圖形5．過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F作一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M，且FM的中點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)上，則雙曲線(xiàn)離心率e等于（）A. B.C. D.6．已知直線(xiàn)，兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則7．已知函數(shù)，若在處取得極值，且恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B.C. D.8．現(xiàn)要完成下列兩項(xiàng)調(diào)查：①?gòu)哪成鐓^(qū)70戶(hù)高收入家庭、335戶(hù)中等收入家庭、95戶(hù)低收入家庭中選出100戶(hù)，調(diào)查社會(huì)購(gòu)買(mǎi)能力的某項(xiàng)指標(biāo)；②從某中學(xué)的15名藝術(shù)特長(zhǎng)生中選出3名調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況．這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法是（）A①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，②分層抽樣 B.①分層抽樣，②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣C.①②都用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 D.①②都用分層抽樣9．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開(kāi)式中所有的項(xiàng)重新排成一列，則有理項(xiàng)互不相鄰的概率（）A. B.C. D.10．記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.12 B.18C.21 D.2711．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.A. B.C. D.12．已知，分別為雙曲線(xiàn)：的左，右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線(xiàn)的右支在第一象限交于點(diǎn)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好為線(xiàn)段的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))，則雙曲線(xiàn)的離心率等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________14．已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)分別是拋物線(xiàn)上位于第一、四象限的點(diǎn)，若，則的面積為_(kāi)_________.15．已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)__________.16．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)（1）求證：直線(xiàn)平面；（2）求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值18．（12分）如圖，矩形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段AB，CD的中點(diǎn)，，，以EF為軸，將正方形AEFD翻折至與平面EBCF垂直的位置處.請(qǐng)按圖中所給的方法建立空間直角坐標(biāo)系，然后用空間向量坐標(biāo)法完成下列問(wèn)題（1）求證：直線(xiàn)平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.19．（12分）一位父親在孩子出生后，每月給小孩測(cè)量一次身高，得到前7個(gè)月的數(shù)據(jù)如下表所示．月齡1234567身高（單位：厘米）52566063656870（1）求小孩前7個(gè)月的平均身高；（2）求出身高y關(guān)于月齡x的回歸直線(xiàn)方程（計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)部分）；（3）利用（2）的結(jié)論預(yù)測(cè)一下8個(gè)月的時(shí)候小孩的身高參考公式：20．（12分）在等比數(shù)列中，已知，（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若以數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)，構(gòu)造雙曲線(xiàn)，求證：雙曲線(xiàn)系中所有雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)、離心率都相同21．（12分）如圖，已知橢圓的短軸端點(diǎn)為、，且，橢圓C的離心率，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線(xiàn)l橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N與，均不重合），連接，，交于點(diǎn)T（1）求橢圓C的方程；（2）求證：當(dāng)直線(xiàn)l繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)T總在一條定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)；（3）是否存在直線(xiàn)l，使得？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由22．（10分）已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)為，且.（1）求橢圓的方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓相切于點(diǎn)，與直線(xiàn)相交于點(diǎn).已知點(diǎn)，且，求此時(shí)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】按照空間中點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.故選：C.2、B【解析】根據(jù)可得關(guān)于的方程，解方程即可得答案.【詳解】因?yàn)榭苫癁?，所以，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查已知雙曲線(xiàn)的焦距求參數(shù)的值，考查函數(shù)與方程思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】求點(diǎn)A和M的坐標(biāo)，進(jìn)而表示斜率，可得，整理得b2＞2ac＋2a2，從而可解得離心率的范圍.【詳解】F(c,0)，設(shè)M(c，yM)，(yM＞0)代入可解得yM＝，A(－a,0)，由于kAM＞2，即，整理得b2＞2ac＋2a2，又b2＝c2－a2，∴c2－a2＞2ac＋2a2，即c2－2ac－3a2＞0，∴e2－2e－3＞0，e＜－1(舍)或e＞3.答案：B【點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.4、B【解析】對(duì)于A、B：由棱柱的定義直接判斷；對(duì)于C：由正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)不一定相等，即可判斷；對(duì)于D：由球的表面不能展開(kāi)成平面圖形即可判斷【詳解】對(duì)于A：棱柱最少有5個(gè)面，則A錯(cuò)誤；對(duì)于B：棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，則B正確；對(duì)于C：正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)不一定相等，則C錯(cuò)誤；對(duì)于D：球的表面不能展開(kāi)成平面圖形，則D錯(cuò)誤故選：B5、A【解析】根據(jù)題意可表示出漸近線(xiàn)方程，進(jìn)而可知的斜率，表示出直線(xiàn)方程，求出的坐標(biāo)進(jìn)而求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線(xiàn)方程整理求得和的關(guān)系式，進(jìn)而求得離心率【詳解】：由題意設(shè)相應(yīng)的漸近線(xiàn)：，則根據(jù)直線(xiàn)的斜率為，則的方程為，聯(lián)立雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程求出，則，，則的中點(diǎn)，把中點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程中，即，整理得，即，求得，即離心率為，故答案為：6、A【解析】根據(jù)線(xiàn)面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)面面垂直的判定定理可知，A選項(xiàng)正確，對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，和可能相交，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，可能含于，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，可能含于，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A7、D【解析】根據(jù)已知在處取得極值，可得，將在恒成立，轉(zhuǎn)化為，只需求，求出最小值即可得答案【詳解】解：，，由在處取得極值，得，解得，所以，，其中，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，，恒成立，轉(zhuǎn)化為，令，，則，，令得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即得，故選：D8、B【解析】通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層抽樣的定義辨析得到選項(xiàng)【詳解】在①中，由于購(gòu)買(mǎi)能力與收入有關(guān)，應(yīng)該采用分層抽樣；在②中，由于個(gè)體沒(méi)有明顯差別，而且數(shù)目較少，應(yīng)該采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣故選：B9、A【解析】先根據(jù)前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列求，再根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果【詳解】因?yàn)榍叭?xiàng)的系數(shù)為，，，當(dāng)時(shí)，為有理項(xiàng)，從而概率為.故選：A.10、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列，根據(jù)等比的中項(xiàng)性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，且，，易知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列所以，所以，解得.故選：C11、D【解析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性【詳解】的定義域?yàn)椋?，令，解得故的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：D12、C【解析】設(shè)，，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可得，，在中由勾股定理列方程可得，在中由勾股定理可得關(guān)于，的方程，再由離心率公式即可求解.【詳解】設(shè)，則，由雙曲線(xiàn)的定義可得：，，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，所以，即，解得：，在中，，，，由可得，即，所以雙曲線(xiàn)離心率為，故選：C.第II卷（非選擇題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：應(yīng)用換元法，令，，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為在恒成立，確定關(guān)系式，即可求得答案.詳解：函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸，最小值令，則恒成立，即在上.，在單調(diào)遞增，，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為.點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題、不等式恒成立問(wèn)題以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，考查了復(fù)合函數(shù)問(wèn)題求解的換元法14、42【解析】由焦半徑公式求得參數(shù)，得拋物線(xiàn)方程，從而可求得兩點(diǎn)縱坐標(biāo)，再求得直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)后可得面積【詳解】因?yàn)?，所以，拋物線(xiàn)的方程為，把代入方程，得（舍去），即.同理，直線(xiàn)方程為，即．所以直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，所以.故答案為：4215、【解析】先求定義域，再求導(dǎo)，針對(duì)分類(lèi)討論，結(jié)合單調(diào)性，極值，最值得到，研究其單調(diào)性及其零點(diǎn)，求出結(jié)果.【詳解】定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞減，不會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)，故舍去；當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，故，又因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，故要想在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，令，，，單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，.故答案為：16、132【解析】根據(jù)程序框圖模擬程序運(yùn)行，確定變量值的變化可得結(jié)論【詳解】程序運(yùn)行時(shí)，變量值變化如下：，判斷循環(huán)條件，滿(mǎn)足，，；判斷循環(huán)條件，滿(mǎn)足，，；判斷循環(huán)條件，不滿(mǎn)足，輸出故答案為：132三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）證明，則，可證明，由平面，可得，再由線(xiàn)面垂直的判定定理即可求證；（2）連結(jié)，可知，所以或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)與所成的角，在中由余弦定理計(jì)算的值即可求解.【小問(wèn)1詳解】在正方形中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則，，，所以，則，所以，即，又因?yàn)槠矫?，面，所以，因?yàn)?，所以平面【小?wèn)2詳解】連結(jié)，，可知，所以或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)與所成的角，令，則，，，在中，由余弦定理可得：，故異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直，即可證明線(xiàn)面垂直；（2）根據(jù)（1）中所求平面的法向量，利用向量法，即可容易求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段AB，CD的中點(diǎn)，∴，∴翻折后∵平面平面，且面，面，故可得面，又面，∴，故兩兩垂直，∴分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：∵，則，，，，，，∵，，∴，∴，，又面，∴平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，平面的法向量為，又向量，則向量與法向量為所成角的余角即是直線(xiàn)與平面所成角，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，向量與法向量為所成角為，則.故直線(xiàn)與平面所成角正弦值為.19、（1）62；（2）；（3）74.【解析】（1）直接利用平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；（2）套公式求出b、a，求出回歸方程；（3）把x=8代入回歸方程即可求出.【小問(wèn)1詳解】小孩前7個(gè)月的平均身高為.【小問(wèn)2詳解】(2)設(shè)回歸直線(xiàn)方程是.由題中的數(shù)據(jù)可知.，..計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)部分,所以,于是，所以身高y關(guān)于月齡x的回歸直線(xiàn)方程為.【小問(wèn)3詳解】由(2)知,.當(dāng)x=8時(shí),y=3×8+50=74,所以預(yù)測(cè)8個(gè)月的時(shí)候小孩的身高為74厘米.20、（1）；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列和等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程和離心率公式進(jìn)行證明即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，因此，所以，所以；【小?wèn)2詳解】由（1）知，在雙曲線(xiàn)中，，所以得，因此雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：，雙曲線(xiàn)的離心率為：，所以雙曲線(xiàn)系中所有雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)、離心率都相同.21、（1）（2）證明見(jiàn)解析；（3）不存在直線(xiàn)l，使得成立，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組求得，設(shè)，根據(jù)和在同一條直線(xiàn)上，列出方程求得的值，即可求解；（3）設(shè)直線(xiàn)的為，把轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立方程組求得，代入列方程，求得，即可得到結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：由題意可得，解得，所以所求橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，，聯(lián)立方程組，整理得，可得，因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，設(shè)，因?yàn)樵谕粭l直線(xiàn)上，則，①又由在同一條直線(xiàn)上，則，②由①+②3所以，整理得，解得，所