2025屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考二輪復(fù)習(xí)增分強化練二十五概率離散型隨機變量及其分布理含解析

PAGE增分強化練(二十五)考點一古典概型與幾何概型1．一個盒子里裝有標(biāo)號為1－6的6個大小和形態(tài)都相同的小球，其中1到4號球是紅球，其余兩個是黃球，若從中任取兩個球，則取的兩個球顏色不同，且恰有1個球的號碼是偶數(shù)的概率是()A.eq\f(1,15) B.eq\f(2,15)C.eq\f(3,15) D.eq\f(4,15)解析：盒子里裝有標(biāo)號為1－6的6個大小和形態(tài)都相同的小球，其中1到4號球是紅球，5,6號是黃球，從中任取兩個球，有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15種狀況，恰有1個球的號碼是偶數(shù)且顏色不同的有16,25,36,45共有4種狀況，故所求概率P＝eq\f(4,15).故選D.答案：D2．(2024·合肥模擬)某商場進行購物摸獎活動，規(guī)則是：在一個封閉的紙箱中裝有標(biāo)號分別為1,2,3,4,5的五個小球，每次摸獎須要同時取出兩個球，每位顧客最多有兩次摸獎機會，并規(guī)定：若第一次取出的兩球號碼連號，則中獎，摸獎結(jié)束；若第一次未中獎，則將這兩個小球放回后進行其次次摸球．若與第一次取出的兩個小球號碼相同，則為中獎．依據(jù)這樣的規(guī)則摸獎，中獎的概率為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(19,25)C.eq\f(23,50) D.eq\f(41,100)解析：分兩種狀況，第一種第一次摸到連號，則概率為P(A)＝eq\f(4,C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，其次種狀況對應(yīng)概率為P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5)－4,C\o\al(2,5))·eq\f(1,C\o\al(2,5))＝eq\f(3,50)，所以概率為P(A)＋P(B)＝eq\f(2,5)＋eq\f(3,50)＝eq\f(23,50)，故選C.答案：C考點二相互獨立事務(wù)和獨立重復(fù)試驗1．(2024·內(nèi)江模擬)設(shè)隨機變量X～N(1,1)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形ABCD中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是()(注：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0．6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9544.A．7539 B．7028C．6587 D．6038解析：由題意知，正方形的邊長為1，所以正方形的面積為S＝1，又由隨機變量聽從正態(tài)分布X～N(1,1)，所以正態(tài)分布密度曲線關(guān)于x＝1對稱，且σ＝1，又由P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6826，即P(0<X<2)≈0.6826，所以陰影部分的面積為S1＝1－eq\f(0.6826,2)＝0.6587，由面積比的幾何概型可得概率為P＝eq\f(S1,S)＝0.6587，所以落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是10000×0.6587＝6587，故選C.答案：C2．(2024·南昌模擬)某品牌餐飲公司打算在10個規(guī)模相當(dāng)?shù)牡貐^(qū)開設(shè)加盟店，為合理支配各地區(qū)加盟店的個數(shù)，先在其中5個地區(qū)試點，得到試點地區(qū)加盟店個數(shù)分別為1,2,3,4,5時，單店日平均營業(yè)額y(萬元)的數(shù)據(jù)如下：加盟店個數(shù)x(個)12345單店日平均營業(yè)額y(萬元)10.910.297.87.1(1)求單店日平均營業(yè)額y(萬元)與所在地區(qū)加盟店個數(shù)x(個)的線性回來方程；(2)該公司依據(jù)回來方程，確定在其他5個地區(qū)中，開設(shè)加盟店個數(shù)為5,6,7的地區(qū)數(shù)分別是2,1,2.小趙與小王都打算加入該公司的加盟店，但依據(jù)公司規(guī)定，他們只能分別從這5個地區(qū)的30個加盟店中隨機抽取一個加入．記事務(wù)A：小趙與小王抽取到的加盟店在同一個地區(qū)，事務(wù)B：小趙與小王抽取到的加盟店預(yù)料日平均營業(yè)額之和不低于12萬元，求在事務(wù)A發(fā)生的前提下事務(wù)B發(fā)生的概率．(參考數(shù)據(jù)及公式：eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝125，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝55，線性回來方程eq\o(y,\s\up11(^))＝eq\o(b,\s\up11(^))x＋eq\o(a,\s\up11(^))，其中eq\o(b,\s\up11(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up11(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up11(^))eq\x\to(x).)解析：(1)由題可得，eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝9，設(shè)所求線性回來方程為eq\o(y,\s\up11(^))＝bx＋a，則eq\o(b,\s\up11(^))＝eq\f(125－135,55－45)＝－1，將eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝9代入，得eq\o(a,\s\up11(^))＝9－(－3)＝12，故所求線性回來方程為eq\o(y,\s\up11(^))＝－x＋12.(2)依據(jù)回來方程，加盟店個數(shù)為5的地區(qū)單店預(yù)料日平均營業(yè)額為7萬元，加盟店個數(shù)為6的地區(qū)單店預(yù)料日平均營業(yè)額為6萬元，加盟店個數(shù)為7的地區(qū)單店預(yù)料日平均營業(yè)額為5萬元；P(A)＝eq\f(C\o\al(2,5)×2＋C\o\al(2,6)＋C\o\al(2,7)×2,C\o\al(2,30))＝eq\f(77,435)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,5)×2＋C\o\al(2,6),C\o\al(2,30))＝eq\f(35,435)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(5,11).考點三隨機變量的分布列、均值與方差1．(2024·云南質(zhì)檢)已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(1,2)，則D(2ξ＋3)＝________.解析：∵隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(1,2)，∴D(ξ)＝2，則D(2ξ＋3)＝22×D(ξ)＝8.答案：82．(2024·保定模擬)某次聘請分為筆試和面試兩個環(huán)節(jié)，且只有筆試過關(guān)者方可進入面試環(huán)節(jié)，筆試與面試都過關(guān)才會被錄用．筆試需考完全部三科，且至少有兩科優(yōu)秀才算筆試過關(guān)，面試需考完全部兩科且兩科均為優(yōu)秀才算面試過關(guān)．假設(shè)某考生筆試三科每科優(yōu)秀的概率均為eq\f(2,3)，面試兩科每科優(yōu)秀的概率均為eq\f(3,4).(1)求該考生被錄用的概率；(2)設(shè)該考生在此次聘請活動中考試的科目總數(shù)為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．解析：(1)該考生被錄用，說明該考生筆試與面試均得以過關(guān)．所以P＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋C\o\al(2,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·\f(1,3)))·eq\f(3,4)·eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).(2)易得ξ的可能取值為3,5.∴P(ξ＝3)＝1－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋C\o\al(2,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·\f(1,3)))＝1－eq\f(20,27)＝eq\f(7,27)，P(ξ＝5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\