三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（十大題型＋精準(zhǔn)練習(xí)）

三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（十一大題型＋精準(zhǔn)練習(xí)）（解析版）題型歸類題型一、五點(diǎn)作圖法題型二、函數(shù)的奇偶性題型三、函數(shù)的周期性題型四、函數(shù)的單調(diào)性題型五、函數(shù)的對稱性題型六、函數(shù)的定義域、值域（最值）題型七、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型八、根據(jù)條件確定解析式⑴知圖求式⑵知性質(zhì)求式題型九、三角函數(shù)圖像變換題型十、三角函數(shù)模型題型十一、正弦型、余弦型函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)問題題型一、五點(diǎn)作圖法及函數(shù)圖像的應(yīng)用知識要點(diǎn)用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖⑴在正弦函數(shù)，的圖象中，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：，，，，；在余弦函數(shù)，的圖象中，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：，，，，．⑵畫的圖像時，如下表：精準(zhǔn)練習(xí)1．（2425高三·山東泰安·開學(xué)考試）曲線與交點(diǎn)個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】作出曲線與大致圖象，可知，而，由曲線與圖象知，曲線與有個交點(diǎn).故選：A.2．（2425高三·河北·開學(xué)考試）當(dāng)時，曲線與的交點(diǎn)個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】依題意，曲線與的交點(diǎn)個數(shù)即為方程根的個數(shù)，由，得，，則或或，解得或或，因此方程在上有3個解.所以當(dāng)時，曲線與的交點(diǎn)個數(shù)為3.故選：A3．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）方程在內(nèi)實(shí)數(shù)根的個數(shù)為（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】A【詳解】由，得，方程實(shí)根的個數(shù)就是函數(shù)與圖象公共點(diǎn)的個數(shù)，當(dāng)時，由兩函數(shù)圖象可知兩圖象共有11個公共點(diǎn)，從而方程有11個實(shí)數(shù)根．故選：A4．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預(yù)測）當(dāng)時，曲線與的交點(diǎn)個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】作出兩函數(shù)在上的圖象，結(jié)合圖象即可得答案.【詳解】時，，令，得，此時，令，得，此時，令，得，此時，令，得，此時，時，，函數(shù)的周期，結(jié)合周期，利用五點(diǎn)法作出圖象，

由圖知，共有4個交點(diǎn).故選：.5．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）已知函數(shù)，則方程在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)根的個數(shù)為（

）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】B【詳解】因?yàn)?，可得，則或，解得或，又因?yàn)椋瑒t，可得或或或，所以方程在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)根的個數(shù)為4.故選：B.6．（2425高三·浙江·開學(xué)考試）方程在的根的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出和圖象，因?yàn)椋?，，，所以與圖象在區(qū)間上有三個不同的交點(diǎn)，即方程有三個不同的根，故選：B．

7．（2425高三·安徽亳州·開學(xué)考試）已知函數(shù)與的圖象上任意3個相鄰的交點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則．【答案】【詳解】如圖所示，設(shè)函數(shù)與的交點(diǎn)分別為，

由得，所以，則，由對稱性和已知可得為等腰直角三角形，所以點(diǎn)到直線的距離為，即，解得．故答案為：8．（2024·陜西·一模）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且在軸右側(cè)的第一個零點(diǎn)為，當(dāng)時，曲線與的交點(diǎn)有個，【答案】6【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)的解析式為，畫出與在區(qū)間上的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，可得，即，又因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谳S右側(cè)的第一個零點(diǎn)為所以，解得，所以，畫出與在區(qū)間上的圖象，如圖所示，由圖可知曲線與的交點(diǎn)有6個.故答案為：6.題型二、函數(shù)的奇偶性知識要點(diǎn)1、為奇函數(shù)，則；為偶函數(shù)，則；2、為奇函數(shù)，則；為偶函數(shù)，則；3、為奇函數(shù)，則，該函數(shù)不可能為偶函數(shù)；精準(zhǔn)練習(xí)1．（2024·廣東江門·模擬預(yù)測）已知函數(shù)部分圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（

）B． C． D．【答案】D【詳解】對于選項A：因?yàn)?，可知為偶函?shù)，但函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，不合題意，故A錯誤；對于選項BC：若，則，即，，可知函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，不合題意，故B，C錯誤，檢驗(yàn)可知選項D符合題意，故D正確．故選：D.、2．（多選）（2425高三·江蘇南通·階段練習(xí)）下列的函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑢τ谶x項A：因?yàn)?，可知不是偶函?shù)，故A錯誤；對于選項B：因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，故B正確；對于選項C：因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，故C正確；對于選項D：因?yàn)?，所以是偶函?shù)，故D正確；故選：BCD.3．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則“是函數(shù)為偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當(dāng)時，，故函數(shù)為偶函數(shù)，即充分性成立；當(dāng)為偶函數(shù)時，，此時不一定成立，即必要性不成立；所以“是函數(shù)為偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】若0在定義域內(nèi)，由時，得，；若0不在定義域內(nèi)，由時，無意義，得．綜上，．故選：C．5．（2023·陜西榆林·二模）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到一個奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意，函數(shù)，則，由函數(shù)是奇函數(shù)，得，解得，由，得，因此當(dāng)時，.故選：D6．（2324高一·江西南昌·期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，又函數(shù)為奇函數(shù)，則，，解得，，所以，故選：D.7．（2024·浙江杭州·三模）已知函數(shù)，則“”是“為奇函數(shù)且為偶函數(shù)”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】一方面，當(dāng)，時，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，故充分性成立，另一方面，當(dāng)時，有是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，但此時關(guān)于的方程沒有解，故必要性不成立，綜上所述，在已知的情況下，“”是“為奇函數(shù)且為偶函數(shù)”的充分而不必要條件.故選：A.8．（2024·四川樂山·三模）已知，若存在常數(shù)，使得為奇函數(shù)，則的可能值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋蔀槠婧瘮?shù)，得是奇函數(shù)，則必有函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，此時，因此，當(dāng)時，，不存在整數(shù)，使得值為BCD，當(dāng)時，是奇函數(shù).故選：A9．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為．【答案】【詳解】，圖像向右平移個單位長度后得到是偶函數(shù)，，的最小值為.故答案為：.10．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則實(shí)數(shù)m的值為.【答案】【詳解】，將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，解析為，而的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因此有，因?yàn)?，所以，即，故答案為：題型三、函數(shù)的周期性知識要點(diǎn)1、、的周期；的周期；2、、的周期；的周期；精準(zhǔn)練習(xí)1．（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由余弦和角公式、倍角公式、降冪公式可得，所以的最小正周期為．故選：C2．（2425高三·貴州黔東南·開學(xué)考試）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與的最小正周期分別為，，所以的最小正周期為.故選：A.3．（2324高三·陜西西安·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，由于函數(shù)的最小正周期為，且為偶函數(shù)，是將在下方的圖象沿著軸翻折得到，故最小正周期為,故選：A4．（2324高三·湖南岳陽·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，若對于任意的，都有，則的最小值為（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【詳解】函數(shù)，若對于任意的，都有，則是函數(shù)的最小值，是函數(shù)的最大值，的最小值即為函數(shù)的半周期長，而函數(shù)的最小正周期，因此.故選：B5．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，又，可得，即，且、，故.故選：C.6．（2022高三·全國·專題練習(xí)）若，則（

）A． B． C．0 D．【答案】C【詳解】由題意知的最小正周期為，且，故，故選：C7．（2425高三·北京房山·開學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰兩個交點(diǎn)間的距離等于，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由已知，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與直線的相鄰兩個交點(diǎn)間的距離等于，所以函數(shù)的最小正周期為，又，所以，故.故選：B.8．（2024·天津河西·二模）若函數(shù)滿足對于，，，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以關(guān)于對稱，又，則，所以是以為周期的周期函數(shù)；對于A：若，則最小正周期，又，所以不關(guān)于對稱，故A錯誤；對于B：若，則最小正周期，又，所以不關(guān)于對稱，故B錯誤；對于C：若，則最小正周期，則，又不恒成立，所以不恒成立，故C錯誤；對于D：若，則最小正周期，又，滿足關(guān)于對稱，故D正確.故選：D9．（2324高三·安徽·階段練習(xí)）寫出同時滿足下列條件的函數(shù)的一個解析式.．【答案】答案不唯一【詳解】因?yàn)?，故函?shù)是上的偶函數(shù)，又因?yàn)?，故，因此函?shù)是周期為的函數(shù)，故滿足以上條件的一個函數(shù)為．故答案為：（答案不唯一）.題型四、函數(shù)的單調(diào)性知識要點(diǎn)1、的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間；2、的單調(diào)性，需將函數(shù)看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的單調(diào)方法轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式．如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定基本思想是把看做是一個整體，如由解出的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．對于函數(shù)的單調(diào)性的討論與以上類似處理即可．精準(zhǔn)練習(xí)1．（2425高三·湖南長沙·階段練習(xí)）在下列區(qū)間函數(shù)單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.故選：C.2．（多選）（2425高三·江蘇南通·開學(xué)考試）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】A選項，對于，由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)，A選項正確.B選項，對于，由，得，不符合題意.C選項，由，得，且，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)，C選項正確.D選項，對于，由，得，不符合題意.故選：AC3．（2024·貴州·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【詳解】，則，函數(shù)在上單調(diào)，所以，解得：，所以的最大值為.故選：D4．（多選）（2324高三·江蘇南京·期中）已知函數(shù)，則在區(qū)間上可能（

）A．單調(diào)遞增 B．有零點(diǎn) C．有最小值 D．有極值點(diǎn)【答案】ABD【詳解】由題意，則，因?yàn)?，所以，令，所以，?dāng)時，故A對；當(dāng)時，故B對，C錯，D對；故選：ABD.5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【詳解】由題意知，，由，得，令，得，令，則，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則的最大值為.【答案】【詳解】的最小正周期.因?yàn)樵趨^(qū)間上是單調(diào)的，所以，解得.由，得圖象的對稱軸方程為.由題意，知的圖象在區(qū)間上沒有對稱軸，得，解得.結(jié)合，得的最大值為.故答案為：.7．（2425高三·廣東·階段練習(xí)）若函數(shù)與在區(qū)間上均單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】當(dāng)時，不具備單調(diào)性，當(dāng)時，，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得，因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增的，所以在上不可能單調(diào)遞減，所以不成立，于是.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，因?yàn)椋詴r，，綜上所述，.故答案為：.8．（2425高三·江蘇南京·開學(xué)考試）若函數(shù)的圖象向右平移個單位后在區(qū)間上單調(diào)遞減，則.【答案】【詳解】向右平移個單位后得到因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以，即，所以，所以，因?yàn)椋援?dāng)時，.故答案為：.9．（2425高三·安徽·開學(xué)考試）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，在上單調(diào)遞減，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【詳解】由題意得，，由，則，若在上單調(diào)遞減，只需，解得故答案為：10．（2324高一·廣東潮州·階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞增則的取值范圍為.【答案】【詳解】由，得.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，得，則，解得，則，故的取值范圍為.故答案為：11．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上的最大值與最小值的和為.【答案】3【詳解】設(shè)的最小正周期為，由題意，得.且在上單調(diào)遞減，.又或.①當(dāng)時，，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.，符合題意；②當(dāng)時，.由正切函數(shù)性質(zhì)知；，則，由，.故答案為：3.12．（2324高三·山東威海·期末）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是.【答案】【詳解】根據(jù)題意，，解得，又，則；當(dāng)，，由題可得，解得；綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.13．（2024·遼寧錦州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．且在區(qū)間上單調(diào)，則的值為．【答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于對稱，所以，解得：，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，解得：，綜上，當(dāng)時，，故答案為：14．（2025·安徽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則．【答案】【詳解】由，，且的最大值為，最小值為，由，可知當(dāng)且僅當(dāng)且時等式成立.又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故與為兩條相鄰的對稱軸，所以周期，從而，故，故，，由代入解析式可得，則，則，故.故答案為：.15．（2425高三·北京·開學(xué)考試）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】上的最大值即可求解.【詳解】，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上恒成立，，，，則.故答案為：.題型五、函數(shù)的對稱性知識要點(diǎn)1、的對稱軸方程為，對稱中心為；的對稱軸為，對稱中心為；的對稱中心為；2、求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為精準(zhǔn)練習(xí)1．（2425高三·山西呂梁·開學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可得：，解得，根據(jù)各選項，代入檢驗(yàn)知：當(dāng)取1時，，即只有選項C符合題意.故選：C.2．（2425高三·浙江·開學(xué)考試）函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有一個對稱中心，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由，得，由的圖象在區(qū)間上恰有一個對稱中心，得，所以.故選：C3．（2024·安徽·三模）“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于對稱”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則，解得，因?yàn)槭堑恼孀蛹浴啊笔恰昂瘮?shù)的圖象關(guān)于對稱”的充分不必要條件.故選：A.4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的對稱中心是（）A． B．，C．， D．，【答案】D【詳解】令（），解得（），故函數(shù)的對稱中心為，．故選:D．5．（2425高三·湖南永州·開學(xué)考試）已知函數(shù)的最小正周期為，則的對稱軸可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，則，令，則，對比選項可知，只有當(dāng)時，，符合題意，故D正確；故選：D．6．（2324高三·河南·期中）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】B【詳解】函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線對稱，則，，解得，，則，解得．故選：B．7．（2425高三·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且均為偶函數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】因?yàn)榫鶠榕己瘮?shù)，所以與的圖象均關(guān)于直線對稱，所以，即，.所以的最小值為2．故選：B8．（多選）（2425高三·河北邢臺·開學(xué)考試）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于軸對稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．的圖象關(guān)于直線對稱D．是的極大值點(diǎn)【答案】BD【詳解】對于A：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以不是偶函?shù)，則函數(shù)圖象不關(guān)于軸對稱，故A錯誤；對于B：因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；對于C：因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，故C錯誤；對于D：因?yàn)?，所以，則，且當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極大值，故D正確.故選：BD9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，那么的最小值為．【答案】【詳解】的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，即，令，可得的最小值為．故答案為：10．（2223高三·河南·期末）將函數(shù)圖象向右平移個單位，得到的圖象關(guān)于直線對稱，則的最小值為.【答案】【詳解】，的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，由題意的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，又，則當(dāng)時，.故答案為：.11．（2324高一·北京·期中）若函數(shù)（）和的圖象的對稱軸完全重合，則，.【答案】2；或1【詳解】依題意，，函數(shù)的周期為，由函數(shù)和的圖象對稱軸完全重合，得的周期，所以；函數(shù)，由，得，函數(shù)中，由，得，依題意，，則當(dāng)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，所以或.故答案為：2；或112．（2425高三·四川瀘州·開學(xué)考試）已知函數(shù)（，）的最小正周期為，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若函數(shù)在上既存在最大值也存在最小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【答案】【詳解】由題知，，所以，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)時，，因?yàn)楹瘮?shù)在上既存在最大值也存在最小值，所以，即，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為：題型六、函數(shù)的定義域、值域（最值）題型七、知識要點(diǎn)假設(shè)．①對于，②對于，精準(zhǔn)練習(xí)1．（2223高三·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得最大值，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，其中為銳角，.又因?yàn)樵谔幦〉米畲笾?，所以，，即，，所以，又，故選：D.2．（2024·青?！ざ＃┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)椋ǎ涤驗(yàn)?，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時，.由題意可得，解得.故選：D.3．（2324高二·福建泉州·期末）已知函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)在的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由函數(shù)，則，得，即，當(dāng)時，，所以當(dāng)，即時函數(shù)取最大值為，故選：D.4．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）函數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．0【答案】C【詳解】由題意可得，所以的最大值為．故選：C.5．（2023·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．若存在，，使得，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，因，必有，或者，，由，，分別得到，．于是，，或者，，得的最大值為．故選：D．6.（2425高三·云南大理·開學(xué)考試）已知函數(shù)在與上的值域均為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，若，則，若，則，因?yàn)椋?，所以，則有，解得，即的取值范圍是.故選：A.7．（2425高三·福建南平·階段練習(xí)）函數(shù)在上的最大值是．【答案】2【詳解】，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以在上的最大值?.故答案為：2.8．（2023·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則的取值范圍為.【答案】【詳解】解：，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋栽谝粋€周期內(nèi)，最小區(qū)間為：，得，得的最小值為：，最大區(qū)間為：，得，得的最大值為：，則的取值范圍為：，故答案為：9．（2425高三·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則當(dāng)時的最大值為．【答案】【詳解】，因?yàn)?，所以，所以，所以的最大值?故答案為：題型七、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用知識要點(diǎn)1、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是；相鄰的對稱中心之間的距離為；相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為；2、在相鄰的對稱軸之間，函數(shù)單調(diào)，特殊的，若，函數(shù)在上單調(diào)，且，設(shè)，則深刻體現(xiàn)了三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性、對稱性之間的緊密聯(lián)系.精準(zhǔn)練習(xí)1．（2425高三·云南昆明·階段練習(xí)）函數(shù)，若對恒成立，且在上有3條對稱軸，則（

）A． B． C． D．或【答案】B【詳解】由題知，當(dāng)時取得最大值，即，所以，即，又在上有3條對稱軸，所以，所以，所以.故選：B2．（2425高三·四川達(dá)州·開學(xué)考試）已知函數(shù)，將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，若在上的值域?yàn)椋瑒t函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【詳解】故，因?yàn)楫?dāng)時，由于，所以在上的值域?yàn)椋越獾?，即的零點(diǎn)即為的根，則或，即或，所以函數(shù)在上的零點(diǎn)有，共8個．故選：C．3．（2425高三·廣東·開學(xué)考試）已知函數(shù)與，則下列說法錯誤的是（

）A．與存在相同的對稱軸B．與存在相同的對稱中心C．與的值域相同D．與在上有相同的單調(diào)性【答案】B【詳解】對于，令，得的對稱軸為，令，得的對稱軸為，顯然與有相同的對稱軸，A正確；對于，令，得的對稱中心為，令，得的對稱中心為，由得，顯然不存在整數(shù)使成立，故與沒有相同的對稱中心，B錯誤；對于C，與的值域顯然均為，C正確；對于D，當(dāng)時由在上遞增，由在上遞減，由在上遞增，由在上遞減，與均在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，D正確.故選：B4．（多選）（2024·湖南益陽·一模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是（

）A．的最小正周期為 B．曲線關(guān)于直線對稱C．點(diǎn)是曲線的對稱中心 D．在上單調(diào)遞增【答案】AC【詳解】設(shè)的最小正周期為，故A正確；因?yàn)?，所以B錯誤；因?yàn)?，所以點(diǎn)是曲線的對稱中心,C正確；由得，在上單調(diào)遞減，所以D錯誤．故選：AC．5．（多選）（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．是周期為的周期函數(shù) B．點(diǎn)是函數(shù)圖象的對稱中心C．的最大值為 D．直線是函數(shù)圖象的對稱軸【答案】BC【詳解】A：由，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，的最小正周期為，故函?shù)的最小正周期為，故A錯誤；B：由，可得點(diǎn)是函數(shù)圖象的對稱中心，故B正確；C：因?yàn)椋援?dāng)時，即，則，當(dāng)時，即，則，因?yàn)榈闹芷跒椋灾恍栌懻搩?nèi)的的最大值，此時當(dāng)，時，，當(dāng)，，所以當(dāng)時，即時有極大值，又，故C正確；D：因?yàn)?，，且與關(guān)于直線對稱，所以，所以不是函數(shù)的對稱軸，故D錯誤.故選：BC.6．（多選）（2024·四川·一模）已知函數(shù)的最小正周期為，則（

）A．的最大值為2B．在上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱D．的圖象可由的圖象向右平移個單位得到【答案】ACD【詳解】易知，其最小正周期為，所以，即，顯然，故A正確；令，顯然區(qū)間不是區(qū)間的子區(qū)間，故B錯誤；令，則是的一個對稱中心，故C正確；將的圖象向右平移個單位得到，故D正確.故選：ACD7.（多選）（2425高三·河北張家口·開學(xué)考試）已知函數(shù)，周期為，且滿足，則（

）A．B．向右平移個單位變?yōu)榕己瘮?shù)C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)解【答案】BD【詳解】由周期為，可得，故，由可得，故是的一個對稱中心，故，結(jié)合，故，進(jìn)而可得，故A錯誤，對于B，向右平移個單位得到為偶函數(shù)，故B正確，對于C，當(dāng)時，則，故C錯誤，對于D，令，則或，,解得或，，當(dāng)，此時有和，故D正確，故選:BD8．（多選）（2023·河北·三模）已知函數(shù)在的圖像大致如下圖，則（

）

A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【詳解】對于A中，由函數(shù)過點(diǎn)(，可得，所以，解得，由圖知，所以，所以，可得最小正周期為，所以A正確；對于B中，當(dāng)時，可得，由余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)單調(diào)遞減，所以B正確；對于C中，由函數(shù)的對稱軸為，令，解得，所以不是的對稱軸，所以C不正確；對于D中，將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到的圖象，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到的圖象，又因?yàn)?，所以D正確.故選：ABD.9．（多選）（2425高三·江西·開學(xué)考試）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若這兩函數(shù)圖象的對稱軸都相同，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C．與的零點(diǎn)相同 D．與的單調(diào)遞增區(qū)間相同【答案】BC【詳解】對于AB，，函數(shù)圖象的對稱軸滿足，函數(shù)圖象的對稱軸滿足，兩式相減得，因此，A錯誤，B正確；對于C，，因此與的零點(diǎn)相同，C正確；對于D，取，函數(shù)的遞增區(qū)間為，函數(shù)的遞增區(qū)間為，D錯誤.故選：BC10．（多選）（2425高三·江西九江·開學(xué)考試）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．與有相同的最小值C．直線為圖象的一條對稱軸D．將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖像【答案】ABD【詳解】因?yàn)椋瑢τ谶x項A：的最小正周期，故A正確；對于選項B：與的最小值均為，故B正確；對于選項C：因?yàn)?，可知直線不為圖象的對稱軸，故C錯誤；對于選項D：將的圖象向左平移個單位長度后，得到，故D正確.故選：ABD.11．（多選）（2425高三·廣東汕頭·開學(xué)考試）函數(shù)圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)相差，的一條對稱軸，且，下列敘述正確的是（

）A．函數(shù)的解析式為B．的一個對稱中心，且在上單調(diào)遞減C．向左平移個單位得到的圖象關(guān)于y軸對稱且D．對任意，恒成立時，滿足條件的a值可為1【答案】ABD【詳解】對于A，由題意可知，，∴，則，，的一條對稱軸，,,或,當(dāng)時,舍當(dāng)時,,所以，A選項正確；對于B，所以的一個對稱中心為，單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,B選項正確；對于C，把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位，得,即，得到的圖象關(guān)于y軸對稱,,C錯誤；對于D，對任意，恒成立時，滿足條件的，當(dāng)時，，故，所以,滿足條件的a值可為1，D選項正確.故選:ABD.12．（多選）（2425高三·河北保定·開學(xué)考試）已知函數(shù)在上有最大值，無最小值，則（

）A．為奇函數(shù)B．在上單調(diào)遞增C．是離軸距離最近的對稱軸D．的最小正周期為【答案】CD【詳解】.當(dāng)時，，因?yàn)楹瘮?shù)在上有最大值，無最小值，所以存在，使得整理得，，所以，解得.又因?yàn)?，故，得，A.，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故A錯誤；B.當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B錯誤；C.令，，則，，所以離軸距離最近的對稱軸方程為，故C正確；D.的最小正周期為，故D正確.故選：CD13．（多選）（2425高三上·江蘇常州·開學(xué)考試）已知函數(shù)圖像的一條對稱軸是，則（

）A．的最小正周期為B．C．函數(shù)圖像的一個對稱中心為D．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則【答案】AD【詳解】，則有，，解得，，因?yàn)?，所以，所以，則的最小正周期為，故A正確；，故B錯誤；圖像的一個對稱中心為，故C錯誤；，當(dāng)時，，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得，故D正確．故選：AD14．（2023·河南周口·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移a個單位長度（a為常數(shù)，且），得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上單調(diào)遞增．在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為．【答案】【詳解】，故向右平移a個單位長度后得到，所以，解得，，，，，，其中，，要想在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，，，，解得，故，要想求出的最大值，只需，此時，即的最大值為.故答案為：題型八、根據(jù)條件確定解析式知識要點(diǎn)⑴知圖求式（已知三角形函數(shù)的部分圖像，求函數(shù)解析式）：利用函數(shù)的最值確定，利用函數(shù)的周期確定，利用特殊點(diǎn)確定.⑵知性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、對稱性、最值），求解函數(shù)解析式（即的值的確定）精準(zhǔn)練習(xí)1．（多選）（2425高三·湖南衡陽·開學(xué)考試）已知函數(shù)的部分圖象如圖，則關(guān)于函數(shù)的描述正確的是（

）

A．關(guān)于對稱B．關(guān)于點(diǎn)對稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在區(qū)間上的最大值為3【答案】AD【詳解】由函數(shù)的部分圖象，得函數(shù)的最小正周期，則，由，則，有，將點(diǎn)代入函數(shù)解析式可得，即，由，得，所以，當(dāng)時，，有最大值，的圖象關(guān)于對稱，A選項正確；時，，，，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，B選項錯誤；時，，不是正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，C選項錯誤；時，，則當(dāng)，即時，有最大值，D選項正確.故選：AD.2．（多選）（2425高三·遼寧沈陽·開學(xué)考試）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點(diǎn)和兩個極值點(diǎn)，則【答案】AB【詳解】由題圖得，，又，所以，選項A正確；即，由，得，，解得，，又，所以，故，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，選項B正確；令，，解得，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，則函數(shù)在區(qū)間上先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，選項C錯誤；因?yàn)椋?，由，得，若函?shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點(diǎn)和兩個極值點(diǎn)，則，解得，選項D錯誤．故選：AB．3．（多選）（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B．C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緽C【詳解】由函數(shù)的部分圖象可知：，又因?yàn)?，即結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得,故A錯誤；即所以,故B正確；所以．對于選項C：當(dāng)時，可得，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；對于選項D：當(dāng)時，，所以，即，故D錯誤；故選：BC．4．（多選）（2425高三·山東煙臺·開學(xué)考試）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，令，則（

）A．的一個對稱中心是B．的對稱軸方程為C．在上的值域?yàn)镈．的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】ABD【詳解】由題圖可得函數(shù)的最小值為，，又，，，所以，結(jié)合對稱性可得函數(shù)的圖象過點(diǎn)，所以，解得，又，所以，所以，所以，所以.對于A，當(dāng)，，所以是的一個對稱中心，故A正確；對于B，令，，可得，，故的對稱軸方程為，，故B正確；對于C，時，，所以，故在上的值域?yàn)?，故C錯誤；對于D，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故D正確.故選：ABD.5．（2425高三·四川瀘州·開學(xué)考試）函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個交點(diǎn)之間的距離為，且圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的圖象的對稱軸方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由題意，因?yàn)楹瘮?shù)圖象與軸交點(diǎn)中相鄰兩個交點(diǎn)之間的距離為，所以，則，即，又圖象過點(diǎn)，所以，即或，因?yàn)椋?所以.由，解得，所以函數(shù)的圖象的對稱軸為.故選：A.6．（2425高三·江西南昌·開學(xué)考試）如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移得到的圖象，其中和分別是圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)分別是圖象的一個對稱中心，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位得的圖象，由于分別是圖象的一個對稱中心，結(jié)合圖象可知：,,故，由于所以，進(jìn)而可得,故，解得，，故，故選：D7．（2425高三·河北秦皇島·開學(xué)考試）如圖，和分別為函數(shù)圖象上的兩個最高點(diǎn)、兩個最低點(diǎn)，若四邊形的面積為，直線過點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為，且，，梯形的高為2，故，解得，即.又直線過點(diǎn)，由對稱性可得過點(diǎn)，即，即.又，可得，故.故.故選：A8．（2425高三·山西大同·開學(xué)考試）已知函數(shù)圖象的兩相鄰對稱軸之間的距離為，若存在，，使得成立，則的最大值為（

）A．－4 B．－2 C．4 D．2【答案】C【詳解】因?yàn)橄噜弻ΨQ軸之間的距離為，故函數(shù)的最小正周期為，故，故，當(dāng)時，，故，因?yàn)榇嬖?，，使得成立，所以即，故的最大值?，故選：C9．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞減，，由，得①.又，圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即②.由②①得，由于，則，代入①，即，由于，則，則．故選：C.10．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知（為常數(shù)），，，且的最小值為，若在區(qū)間上恰有8個零點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得，解得，設(shè)的最小正周期為，故，解得，因?yàn)?，所以，故，?dāng)時，，令，得，畫出的圖象，如下：

要想在區(qū)間上恰有8個零點(diǎn)，且取得最小值，故，，且，兩式相減得，.所以的最小值為.故選：D11．（2024·安徽·三模）已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，若曲線過點(diǎn)，，，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)?，所以，而，因此，即因?yàn)?，所以由“五點(diǎn)法”作圖得：，解得，由于,解得，故取，則，因此.因?yàn)?，所以?因?yàn)橛珊瘮?shù)的圖象，結(jié)合“五點(diǎn)法”作圖知：，，所以由和得：，，因此.故選：A12．（多選）（2024·山西太原·一模）如圖，函數(shù)的圖象與軸的其中兩個交點(diǎn)為，，與軸交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，，，，則（

）A．的圖象不關(guān)于直線對稱B．的最小正周期為C．的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱D．在單調(diào)遞減【答案】ACD【詳解】由題可，，，則，有，，，把代入上式，得，解得（負(fù)值舍去），，，由，解得，解得，，對A，，故A正確；對B：的最小正周期為，故B錯誤；對C：，為奇函數(shù)，故C正確；對D：當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，為奇函數(shù)，故D正確.故選：ACD.13．（多選）（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，對于任意，有，則（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)在上共有6個極值點(diǎn)【答案】ACD【詳解】因?yàn)?，所以，因此，從而，注意到，故，所以，又，所以的圖象關(guān)于直線對稱，從而，即，所以，又，所以，所以，所以的最小正周期為，故A正確；因?yàn)?，所以函?shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故B錯誤；當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C正確；令，得，令，得，故，易知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故函數(shù)在上共有6個極值點(diǎn)，故D正確．故選：ACD．14．（多選）（2223高三上·河北唐山·開學(xué)考試）已知函數(shù)，曲線關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（

）A．的最小正周期是B．在上遞增C．在上有2個極值點(diǎn)D．曲線關(guān)于直線對稱【答案】AB【詳解】因?yàn)榍€關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)的最小正周期是，故A正確；因?yàn)?，所以，又函?shù)在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，所以在上遞增，故B正確；因?yàn)椋?，所以在上?個極值點(diǎn)，故C錯誤；因?yàn)椋?，所以曲線不關(guān)于直線對稱，故D錯誤.故選：AB.15．（多選）（2425高三·湖南長沙·開學(xué)考試）已知函數(shù)（，），函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（

）A．的表達(dá)式可以寫成B．的圖象向右平移個單位長度后得到的新函數(shù)是奇函數(shù)C．的對稱中心（，1），D．若方程在（0，m）上有且只有6個根，則【答案】AB【詳解】對A，由圖分析可知：得；由，得，即，又，所以，又，所以，即得，，又，所以，所以，故A正確；對B，向右平移個單位后得，為奇函數(shù)，故B正確；對于C，，令（）得（），所以對稱中心（，1），，故C不正確；對于D，由，得，因?yàn)椋?，令，，，，，，解得，，，，，．又在?，m）上有6個根，則根從小到大為，，，，，，再令，解得，則第7個根為，，故D錯誤．故選：AB．16．（2425高三·北京·開學(xué)考試）若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值是【答案】【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，的最小正周期，又，，又，，.故答案為：.17．（2324高三·天津·階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列四個結(jié)論：①關(guān)于點(diǎn)對稱；

②關(guān)于直線對稱；③在區(qū)間上單調(diào)遞減；④在區(qū)間上的值域?yàn)?正確結(jié)論的序號為.【答案】②③【詳解】由圖得，，故有，將點(diǎn)代入函數(shù)得，即，所以或，又，所以，故，又，所以，所以，又由圖像可知，又，所以，所以，所以，對于①，因?yàn)椋圆魂P(guān)于點(diǎn)對稱，故①錯；對于②，因?yàn)椋盛谡_；對于③，令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)椋院瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故③正確；對于④，時，，所以，所以，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?，故④錯誤.故答案為：②③.題型九、三角函數(shù)圖像變換知識要點(diǎn)由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像．方法：先相位變換，后周期變換，再振幅變換．的圖像的圖像的圖像的圖像.精準(zhǔn)練習(xí)1．（2425高三·遼寧沈陽·開學(xué)考試）函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到的圖象，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到的圖象故選：A．2．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)先向左平移個單位長度，再將所得曲線圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將所得曲線圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.故選：D.3．（2024·河南·三模）已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的圖象的對稱軸可以為（

）．A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即對任意，有，取，可得，即．故，令，，可得的圖象的對稱軸為，．故選：D．4．（2425高三·浙江·開學(xué)考試）將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度，再把所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼暮?，得到函?shù)的圖象.則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，橫坐標(biāo)不變，可得函數(shù)的圖象，所以，故.故選：C.5．（2223高三·貴州黔東南·開學(xué)考試）若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，恰好得到函數(shù)的圖象，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，將的圖象向左平移個單位長度，得，所以，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以ABC錯誤，D正確.故選：D6．（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，到得函數(shù)的圖象，則的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】A【詳解】由題意得，又所以，所以，，又因?yàn)?，所以的最小值?故選：A.7．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移φ個單位長度得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，其中，因?yàn)榈膱D象向右平移φ個單位長度得到函數(shù)，所以，所以.故選：A.8．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮梢缘玫胶瘮?shù)的圖象，若在上沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象，即因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谏蠠o零點(diǎn)，所以，即，解得，因?yàn)椋裕?故選：A9．（2425高三·云南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，若的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，要的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，則，所以，故，又，故，故選：B.10．（2425高三·浙江·開學(xué)考試）已知函數(shù)滿足,最小正周期為，函數(shù)，則將的圖象向左平移（

）個單位長度后可以得到的圖象A． B． C． D．【答案】A【詳解】由函數(shù)的最小正周期為，可得，因?yàn)?，可得，可得，即，又，?dāng)時，可得，所以，將向左平移個單位，可得函數(shù).故選：A.11.（2022·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位長度，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為，對于A，，A不是；對于B，，B是；對于C，，C不是；對于D，，D不是.故選：B12．（多選）（2425高三·廣西貴港·開學(xué)考試）將函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則（

）A．為偶函數(shù)B．的最小正周期為C．與在上均單調(diào)遞減D．函數(shù)在上有5個零點(diǎn)【答案】ACD【詳解】對A，，顯然為偶函數(shù)，A正確；對B，由題知，，則最小正周期，B錯誤；對C，由得，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，由得，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，C正確；對D，由得，所以或，即或，因?yàn)椋?，所以函?shù)在上有5個零點(diǎn)，D正確.故選：ACD13．（多選）（2425高三·貴州·開學(xué)考試）已知函數(shù)，若將的圖象平移后能與函數(shù)的圖象完全重合，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．在上單調(diào)遞增【答案】BC【詳解】因?yàn)椋?，所以，而將的圖象平移后能與函數(shù)的圖象完全重合，所以，解得，故A錯誤，此時，向右平移個單位長度后，設(shè)得到的新函數(shù)為，，由正弦函數(shù)性質(zhì)得是奇函數(shù)，故B正確，令，解得，當(dāng)時，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故C正確，由題意得，，，所以在上不單調(diào)，故D錯誤.故選：BC14．（2425高三·全國·階段練習(xí)）將函數(shù)向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最接近的對稱中心的坐標(biāo)是【答案】【詳解】首先求出平移后的解析式，可得，而正弦函數(shù)的對稱中心就是正弦函數(shù)時的所有點(diǎn)，因此我們令因此令，從而進(jìn)而距離y軸更近，所以對稱中心的坐標(biāo)為.故答案為：15．（2024·四川達(dá)州·二模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象.若，則的最小值為.【答案】【詳解】，向左平移個單位得到，，故，故，，解得，，又，故當(dāng)時，取得最小值，最小值為.故答案為：16．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，則．【答案】【詳解】由已知，其中，為銳角，又，其中，，為銳角，都為銳角，且，因此，要把的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，則，，故答案為：．題型十、三角函數(shù)模型知識要點(diǎn)三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題．精準(zhǔn)練習(xí)1．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）如圖所示的音樂噴泉曲線，我們叫葫蘆曲線（像湖面上高低起伏的小島在水中的倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱它為倒影曲線），每過相同的間隔，它的振幅就變化一次，且過點(diǎn)，其對應(yīng)的方程為（，），其中為不超過x的最大整數(shù).若該葫蘆曲線上一點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得，即，所以，因?yàn)椋?，故，解得，所以，將代入得，，故，所以點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為.故選：D2．（2024·北京·三模）2024年1月17日我國自行研制的天舟七號貨運(yùn)飛船在發(fā)射3小時后成功對接于空間站天和核心艙后向端口，創(chuàng)造了自動交會對接的記錄.某學(xué)校的航天科技活動小組為了探索運(yùn)動物體追蹤技術(shù)，設(shè)計了如下實(shí)驗(yàn)：目標(biāo)P在地面軌道上做勻速直線運(yùn)動；在地面上相距的A，B兩點(diǎn)各放置一個傳感器，分別實(shí)時記錄A，B兩點(diǎn)與物體P的距離.科技小組的同學(xué)根據(jù)傳感器的數(shù)據(jù)，繪制了“距離時間”函數(shù)圖像，分別如曲線a，b所示.和分別是兩個函數(shù)的極小值點(diǎn).曲線a經(jīng)過和，曲線b經(jīng)過.已知，并且從時刻到時刻P的運(yùn)動軌跡與線段AB相交.分析曲線數(shù)據(jù)可知，P的運(yùn)動軌跡與直線AB所成夾角的正弦值以及P的速度大小分別為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)動點(diǎn)P的軌跡與y軸重合，其在時刻對應(yīng)的點(diǎn)分別為（坐標(biāo)原點(diǎn)），，P的速度為，因?yàn)?，可得，由題意可知：均與y軸垂直，且，作垂足為，則，因?yàn)?，即，解得；又因?yàn)椤蝭軸，可知P的運(yùn)動軌跡與直線AB所成夾角即為，所以P的運(yùn)動軌跡與直線AB所成夾角的正弦值為.故選：B.3．（2024·山西·模擬預(yù)測）某質(zhì)點(diǎn)的位移與運(yùn)動時間的關(guān)系式為，其圖象如圖所示，圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，與直線的相鄰三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，，則下列說法正確的是（

）A．B．C．質(zhì)點(diǎn)在內(nèi)的位移圖象為單調(diào)遞減D．質(zhì)點(diǎn)在內(nèi)走過的路程為【答案】C【詳解】由已知函數(shù)圖象得，函數(shù)的周期，所以，故A錯誤；令，所以，又，所以，因?yàn)椋曰?又，所以，所以.故B錯誤；由已知得圖象相鄰的兩條對稱軸分別為直線，，且在內(nèi)單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，故C正確；由圖象得該質(zhì)點(diǎn)在內(nèi)的路程為，故D錯誤.故選：C.4．（2324高一·廣東湛江·期末）如圖是摩天輪的示意圖，已知摩天輪半徑為40米，摩天輪中心到地面的距離為41米，每30分鐘按逆時針方向轉(zhuǎn)動1圈．若初始位置是從距地面21米時開始計算時間，以摩天輪的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的水平直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時所經(jīng)過的時間為（單位：分鐘），且此時點(diǎn)距離地面的高度為（單位：米），則是關(guān)于的函數(shù)．當(dāng)時，（

）

A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意得，而是以為始邊，為終邊的角，由在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為，可知以為始邊，為終邊的角為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以點(diǎn)距地面的高度為，故選：A.5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）阻尼器是一種以提供運(yùn)動的阻力，耗減運(yùn)動能量，從而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置.如圖，是被稱為“鎮(zhèn)樓神器”的我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器.由物理學(xué)知識可知，某阻尼器模型的運(yùn)動過程可近似為單擺運(yùn)動，其離開平衡位置的位移S（cm）與時間t（s）的函數(shù)關(guān)系式為，若該阻尼器模型在擺動過程中連續(xù)三次位移為的時間分別為，，，且，，則下列為的單調(diào)區(qū)間的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，則，，由，可知是函數(shù)的一條對稱軸方程，則，解得，可知的取值不影響單調(diào)區(qū)間，不妨取，所以，令，解得，可知其單調(diào)增區(qū)間是，令，解得，可知其減區(qū)間是，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為.故選：A.6．（2024·四川涼山·三模）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近位置進(jìn)倉，轉(zhuǎn)一周大約需要30min．某游客坐上摩天輪的座艙10min后距離地面高度約為（

）A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．【答案】A【詳解】設(shè)座艙距離地面的最近的位置為點(diǎn)，以軸心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)函數(shù)表示游客離底面的高度，因?yàn)槟μ燧喌淖罡唿c(diǎn)距離地面為，直徑為，且轉(zhuǎn)一周大約需要，周期，，所以，即，當(dāng)時，游客在點(diǎn)，其中以為終邊的角為，所以，當(dāng)時，可得所以，摩天輪的座艙后距離地面高度約為.故選：A.7．（2024·北京東城·二模）聲音是由物體振動產(chǎn)生的，每一個純音都是由單一簡諧運(yùn)動產(chǎn)生的樂音，其數(shù)學(xué)模型為，其中表示振幅，響度與振幅有關(guān)；表示最小正周期，，它是物體振動一次所需的時間；表示頻率，，它是物體在單位時間里振動的次數(shù).下表為我國古代五聲音階及其對應(yīng)的頻率：音宮商角徵羽頻率小明同學(xué)利用專業(yè)設(shè)備，先彈奏五聲音階中的一個音，間隔個單位時間后，第二次彈奏同一個音（假設(shè)兩次聲音響度一致，且不受外界阻力影響，聲音響度不會減弱），若兩次彈奏產(chǎn)生的振動曲線在上重合，根據(jù)表格中數(shù)據(jù)判斷小明彈奏的音是（

）A．宮 B．商 C．角 D．徵【答案】C【詳解】由題意可知：，可得，則，結(jié)合題意可知：只有“角”的頻率為3的倍角，所以小明彈奏的音是“角”.故選：C.8．（多選）（2425高三·湖北·開學(xué)考試）受潮汐影響，某港口5月份每一天水深y（單位：米）與時間x（單位：時）的關(guān)系都符合函數(shù)（，，，）.根據(jù)該港口的安全條例，要求船底與水底的距離必須不小于2.5米，否則該船必須立即離港，一艘船滿載貨物，吃水（即船底到水面的距離）6米，計劃于5月10日進(jìn)港卸貨（該船進(jìn)港立即可以開始卸貨），已知卸貨時吃水深度以每小時0.3米的速度勻速減少，卸完貨后空船吃水3米（不計船停靠碼頭和駛離碼頭所需時間）.下表為該港口5月某天的時刻與水深關(guān)系：時刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深/米1074710747以下選項正確的有（

）A．水深y（單位：米）與時間x（單位：時）的函數(shù)關(guān)系為，B．該船滿載貨物時可以在0：00到4：00之間以及12：00到16：00之間進(jìn)入港口C．該船卸完貨物后可以在19：00離開港口D．該船5月10日完成卸貨任務(wù)的最早時間為16：00【答案】ABD【詳解】解：依題意，，，解得，顯然函數(shù)的圖象過點(diǎn)，即，又，因此，所以函數(shù)表達(dá)式為，，故A對；依題意，，整理得，即有，即,解得或，所以該船可以在0點(diǎn)到4點(diǎn)以及12點(diǎn)到16點(diǎn)進(jìn)入港口，故B對；該船卸完貨后符合安全條例的最小水深為5.5，19時水深為，故C錯；該船0點(diǎn)進(jìn)港即可以開始卸貨，設(shè)自0點(diǎn)起卸貨x小時后，該船符合安全條例的最小水深為函數(shù)與的圖象交于點(diǎn)，即卸貨5小時后，在5點(diǎn)該船必須暫時駛離港口，此時該船的吃水深度為4.5米，下次水深為7米時刻為11點(diǎn)，故該船在11點(diǎn)可返回港口繼續(xù)卸貨，5小時后完成卸貨，此時為16點(diǎn)，綜上，該船在0點(diǎn)進(jìn)港開始卸貨，5點(diǎn)暫時駛離港口，11點(diǎn)返回港口繼續(xù)卸貨，16點(diǎn)完成卸貨任務(wù)，故D對.故選：ABD.9．（多選）（2024·福建·模擬預(yù)測）小竹以某速度沿正北方向勻速行進(jìn).某時刻時，其北偏西方向上有一距其6米的灑水樁恰好面朝正東方向.已知灑水樁會向面朝方向噴灑長為米，可視為筆直線段的水柱，且其沿東—北—西—南—東的方向每3秒勻速旋轉(zhuǎn)一周循環(huán)轉(zhuǎn)動.若小竹不希望被水柱淋濕且不改變行進(jìn)方向和速度，則他行進(jìn)的速度可以是（

）A． B．C． D．【答案】BD【詳解】依題意，繪出示意圖如圖所示易知，當(dāng)且僅當(dāng)在噴灑范圍與行進(jìn)路線重疊的危險區(qū)域內(nèi)，小竹可能被淋濕.由于灑水樁最初面朝正東方向，不妨以灑水樁為起點(diǎn)向面朝方向作射線，即可將問題轉(zhuǎn)化為小竹（用點(diǎn)代替）與該射線在行進(jìn)路線上的交點(diǎn)不重合的問題.設(shè)時間為t秒以灑水樁為原點(diǎn)，正東方向、正北方向分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系.AI

則小竹行進(jìn)路線的方程為，由每3秒旋轉(zhuǎn)一周循環(huán)轉(zhuǎn)動知t秒旋轉(zhuǎn)，因?yàn)?，結(jié)合題意可知，因?yàn)樗谏渚€與行進(jìn)路線的交點(diǎn)縱坐標(biāo)為，又因?yàn)樾≈瘢ㄓ命c(diǎn)代替）的縱坐標(biāo)為，故可將原問題轉(zhuǎn)化為圖像，，與圖像的交點(diǎn)問題，即求當(dāng)v為何值時兩圖像無交點(diǎn)，

由圖可得：.結(jié)合選項可知：AC錯誤；BD正確.故選：BD.10．（多選）（2024·云南曲靖·二模）如圖，一個半徑為的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)圈，水面在筒車圓弧內(nèi)的寬度為.記筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：，在水面以下時），若在盛水筒某次剛出