專題二　追及、相遇問題

專題二追及、相遇問題解決追及、相遇問題的一般方法1.球A以初速度vA=40m/s從地面上一點豎直向上拋出,經過一段時間Δt后又以初速度vB=30m/s將B從同一點豎直向上拋出(忽略空氣阻力),g取10m/s2,為了使兩球能在空中相遇,Δt的取值范圍正確的是 (C)A.3s<Δt<4sB.0<Δt<6sC.2s<Δt<8sD.0<Δt<8s[解析]用位移—時間圖像分析,如圖所示,豎直上拋運動的x-t圖線為拋物線,平移圖線B,可找到圖線的交點范圍,由此判斷Δt的取值范圍.A球在空中時間為tA=2vAg=8s,B球在空中時間為tB=2vBg=6s,因此,B球應在A球拋出2s后8s2.如圖在一條平直的道路上有三個紅綠燈A、B、C,其中AB間距L2=450m,BC間距L3=120m.三個燈都是綠燈持續(xù)10s,紅燈持續(xù)20s,假設紅綠燈切換不需要時間.有可視為質點的甲、乙兩個車行駛在路上依次經過A、B、C,兩車加速時加速度大小均為a1=2.5m/s2,減速時加速度大小均為a2=5m/s2.當乙車以v0=10m/s走到A處時,甲車以同樣速度v0走到距離A處L1=40m的地方,此時A顯示綠燈還有3s,B顯示紅燈還剩1s,C顯示紅燈還有18s.當甲、乙兩車不能夠勻速通過紅綠燈時,就會勻減速運動至剛好停到紅綠燈處;綠燈亮起,甲、乙兩車馬上從靜止做勻加速直線運動,加速到v0保持勻速直線.求:(1)甲車從A前40m的地方運動到A所需要的時間;(2)甲、乙兩車在AB之間的最大距離;(3)甲、乙兩車通過A、B、C之后的最近距離.[答案](1)5s(2)250m(3)20m[解析](1)甲車從A前40m處以v0勻速運動到A所需的時間為t=L1v0=4010s故甲車不能勻速行駛通過A燈,則甲車會在到達A之前做勻減速直線運動,甲車的剎車距離為x=v解得x=10m所以甲車將在A前方10m開始減速,則甲車勻速行駛的時間為t勻=L1-xv0減速運動的時間為t減=v0a2=105甲車從A前40m的地方運動到A所需要的時間為t甲1=t勻+t減=3s+2s=5s(2)由起初再經過t1=20s+3s=23s,A再次為綠燈時,甲車開始做勻加速運動,此時乙車與A的距離為x1=v0t1=10×23m=230m經過23s,B正顯示紅燈,紅燈還剩余的時間為tB1=1s+10s+20s-23s=8s顯然乙車在這8s時間內行駛距離為80m,并未到達B處,在接下來的10s綠燈時間內乙車再勻速行駛100m,之后B變?yōu)榧t燈,此時乙車到B燈的距離為x乙1=L2-x1-80m-100m=450m-230m-80m-100m=40m可知在之后B為20s紅燈時間內乙車無法勻速通過B,根據(jù)(1)的分析可知乙車在距B前方10m處開始減速.綜上所述,乙車在A、B之間勻速行駛的位移為450m-10m=440m,勻速行駛的時間為44010s=甲車開始勻加速運動后,設經過時間t2速度達到v0與乙車的速度相等,此時二者之間距離最大,且假設此段時間內乙車一直勻速運動,則t2=v0a1=102.假設成立,t2時間內乙車比甲車多行駛的距離為Δx=v0t2-12a1解得Δx=20m則甲、乙兩車在A、B之間的最大距離為sm=x1+Δx=230m+20m=250m(3)對甲、乙兩車分別分析由A到C的運動過程,判斷經過C處的時間和運動狀態(tài).①對乙車分析如下:由(1)(2)分析可知,乙車由A到B先勻速行駛44s,再勻減速行駛t減=2s,共計經過44s+2s=46s到達B,此時B為紅燈還剩1s+10s+20s+10s+20s-46s=15s,B變?yōu)榫G燈,乙車先勻加速行駛t2=4s時間達到速度v0.勻加速行駛的位移為x加=12a1t22=12×2.5×4假設之后一直勻速行駛通過C燈,則此段需要的時間為t乙1=L3-x加v則乙車從起初到達C處所用總時間為t乙2=46s+15s+4s+10s=75sC燈此時為紅燈還剩余時間為18s+10s+20s+10s+20s-75s=3s故假設不成立.所以從起初乙車經過t乙3=75s+3s=78s在C處從靜止做勻加速直線運動,加速到v0保持勻速直線運動.②對甲車分析如下:由(1)可知甲車先在A處等紅燈,經歷3s+20s=23s時間A變?yōu)榫G燈,甲車由靜止先勻加速行駛t2=4s時間達到速度v0,位移為x加=20m.假設之后一直勻速行駛通過B燈,則此過程需要的時間為t甲2=L2-x加v經過23s+4s+43s=70s時間B為綠燈還剩余時間為1s+10s+20s+10s+20s+10s-70s=1s則假設成立,甲車經過70s勻速通過B燈,再假設之后一直勻速行駛通過C燈,則由B到C的時間為t甲3=L3v0=120經過70s+12s=82s時間C為綠燈還剩余時間為18s+10s+20s+10s+20s+10s-82s=6s故假設成立,即甲車從起初經過t甲4=82s在C處以速度v0做勻速直線運動.由以上分析可得t甲4-t乙3=82s-78s=4s乙車比甲車早4s通過C處,而乙車在這4s時間內速度恰好達到v0,位移為x加=20m,即甲車通過C時乙車恰好與甲車速度相同,兩車都以速度v0勻速直線運動,兩車之間的距離為20m保持不變,則甲、乙兩車通過A、B、C之后的最近距離為20m.圖像法在追及、相遇問題中的綜合應用3.在同一條平直公路上行駛的甲、乙兩車,其v-t圖像分別如圖所示.t=0時兩車在同一位置,t2時刻兩車相遇,則在0~t2時間內(A)A.t0時刻兩車相距最遠B.t1時刻兩車相距最遠C.t1時刻甲車的運動方向發(fā)生改變D.t0~t1時間內兩車間的距離越來越大[解析]t0時刻之前甲車的速度大于乙車,兩車間距逐漸增加,t0時刻之后甲車的速度小于乙車,兩車間距逐漸減小,可知t0時刻兩車相距最遠,t0~t1時間內兩車間的距離越來越小,選項A正確,B、D錯誤;t1時刻前后甲車的速度均為正值,則該時刻甲車的運動方向沒有發(fā)生改變,選項C錯誤.4.揮桿套馬是我國蒙古傳統(tǒng)體育項目,烈馬從騎手身邊奔馳而過時,騎手持6m長的套馬桿,由靜止開始催馬追趕,二者的v-t圖像如圖所示,則(C)A.0~4s內騎手靠近烈馬B.6s時刻騎手剛好追上烈馬C.在0~4s內烈馬的平均速度大于騎手的平均速度D.0~6s內騎手的加速度大于8~9s內烈馬的加速度[解析]v-t圖像圖線與坐標軸所圍的面積表示位移大小,騎手與烈馬在t=0時并排運動,通過圖線在0~4s內所圍的面積可以看出0~4s內烈馬位移大于騎手位移,所以烈馬與騎手間距離在增大,0~6