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文檔簡介
2024屆山西平遙縣和誠高三下學期階段性抽測二(4月)數(shù)學試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某設(shè)備使用年限x(年)與所支出的維修費用y(萬元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分別為,,,,由最小二乘法得到回歸直線方程為,若計劃維修費用超過15萬元將該設(shè)備報廢,則該設(shè)備的使用年限為()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年2.我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有蒲生一日,長三尺莞生一日,長一尺蒲生日自半,莞生日自倍.問幾何日而長倍?”意思是:“今有蒲草第天長高尺,蕪草第天長高尺以后,蒲草每天長高前一天的一半,蕪草每天長高前一天的倍.問第幾天莞草是蒲草的二倍?”你認為莞草是蒲草的二倍長所需要的天數(shù)是()(結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù),相關(guān)數(shù)據(jù):,)A. B. C. D.3.設(shè)實數(shù)、滿足約束條件,則的最小值為()A.2 B.24 C.16 D.144.若(是虛數(shù)單位),則的值為()A.3 B.5 C. D.5.若函數(shù)滿足,且,則的最小值是()A. B. C. D.6.元代數(shù)學家朱世杰的數(shù)學名著《算術(shù)啟蒙》是中國古代代數(shù)學的通論,其中關(guān)于“松竹并生”的問題:松長五尺,竹長兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個程序圖,若,,則輸出的()A.3 B.4 C.5 D.67.小明有3本作業(yè)本,小波有4本作業(yè)本,將這7本作業(yè)本混放在-起,小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作業(yè)本的概率為()A. B. C. D.8.已知命題,,則是()A., B.,.C., D.,.9.已知三點A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A. B.C. D.10.已知甲、乙兩人獨立出行,各租用共享單車一次(假定費用只可能為、、元).甲、乙租車費用為元的概率分別是、,甲、乙租車費用為元的概率分別是、,則甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為()A. B. C. D.11.已知函數(shù)f(x)=,若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.12.在中,已知,,,為線段上的一點,且,則的最小值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列滿足:,,若對任意的正整數(shù)均有,則實數(shù)的最大值是_____.14.已知二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)和為512,其展開式中第四項的系數(shù)__________.15.已知雙曲線(a>0,b>0)的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為_______.16.在某批次的某種燈泡中,隨機抽取200個樣品.并對其壽命進行追蹤調(diào)查,將結(jié)果列成頻率分布表如下:壽命(天)頻數(shù)頻率40600.30.4200.1合計2001某人從燈泡樣品中隨機地購買了個,如果這個燈泡的壽命情況恰好與按四個組分層抽樣所得的結(jié)果相同,則的最小值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù),.(1)若曲線在點處的切線與直線平行,求的值;(2)若,問函數(shù)有無極值點?若有,請求出極值點的個數(shù);若沒有,請說明理由.18.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),以坐標點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρcos(θ+)=1.(1)求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程;(2)已知點M(2,0),若直線l與曲線C相交于P、Q兩點,求的值.19.(12分)已知橢圓C的離心率為且經(jīng)過點(1)求橢圓C的方程;(2)過點(0,2)的直線l與橢圓C交于不同兩點A、B,以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點M在橢圓C上,求直線l的方程.20.(12分)“綠水青山就是金山銀山”,為推廣生態(tài)環(huán)境保護意識,高二一班組織了環(huán)境保護興趣小組,分為兩組,討論學習.甲組一共有人,其中男生人,女生人,乙組一共有人,其中男生人,女生人,現(xiàn)要從這人的兩個興趣小組中抽出人參加學校的環(huán)保知識競賽.(1)設(shè)事件為“選出的這個人中要求兩個男生兩個女生,而且這兩個男生必須來自不同的組”,求事件發(fā)生的概率;(2)用表示抽取的人中乙組女生的人數(shù),求隨機變量的分布列和期望21.(12分)已知函數(shù)(1)求單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若存在實數(shù),使得,求證:22.(10分)已知數(shù)列的前項和為,且滿足().(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)(),數(shù)列的前項和.若對恒成立,求實數(shù),的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)樣本中心點在回歸直線上,求出,求解,即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上,,由,估計第年維修費用超過15萬元.故選:D.【點睛】本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長度,進而可得:,解出即可得出.【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長度分別為據(jù)題意得:,解得2n=12,∴n21.故選:C.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.3、D【解析】
做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形即可求解.【詳解】做出滿足的可行域,如下圖陰影部分,根據(jù)圖象,當目標函數(shù)過點時,取得最小值,由,解得,即,所以的最小值為.故選:D.【點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合求線性目標函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
直接利用復數(shù)的模的求法的運算法則求解即可.【詳解】(是虛數(shù)單位)可得解得本題正確選項:【點睛】本題考查復數(shù)的模的運算法則的應(yīng)用,復數(shù)的模的求法,考查計算能力.5、A【解析】
由推導出,且,將所求代數(shù)式變形為,利用基本不等式求得的取值范圍,再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出其最小值.【詳解】函數(shù)滿足,,即,,,,即,,則,由基本不等式得,當且僅當時,等號成立.,由于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),所以,當時,取得最小值.故選:A.【點睛】本題考查代數(shù)式最值的計算,涉及對數(shù)運算性質(zhì)、基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.6、B【解析】分析:根據(jù)流程圖中的可知,每次循環(huán)的值應(yīng)是一個等比數(shù)列,公比為;根據(jù)流程圖中的可知,每次循環(huán)的值應(yīng)是一個等比數(shù)列,公比為,根據(jù)每次循環(huán)得到的的值的大小決定循環(huán)的次數(shù)即可.詳解:記執(zhí)行第次循環(huán)時,的值記為有,則有;記執(zhí)行第次循環(huán)時,的值記為有,則有.令,則有,故,故選B.點睛:本題為算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)和數(shù)列通項的綜合,屬于中檔題,解題時注意流程圖中蘊含的數(shù)列關(guān)系(比如相鄰項滿足等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義,是否是求數(shù)列的前和、前項積等).7、A【解析】
利用計算即可,其中表示事件A所包含的基本事件個數(shù),為基本事件總數(shù).【詳解】從7本作業(yè)本中任取兩本共有種不同的結(jié)果,其中,小明取到的均是自己的作業(yè)本有種不同結(jié)果,由古典概型的概率計算公式,小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為.故選:A.【點睛】本題考查古典概型的概率計算問題,考查學生的基本運算能力,是一道基礎(chǔ)題.8、B【解析】
根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,可得,本題正確選項:【點睛】本題考查含量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
選B.考點:圓心坐標10、B【解析】
甲、乙兩人所扣租車費用相同即同為1元,或同為2元,或同為3元,由獨立事件的概率公式計算即得.【詳解】由題意甲、乙租車費用為3元的概率分別是,∴甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為.故選:B.【點睛】本題考查獨立性事件的概率.掌握獨立事件的概率乘法公式是解題基礎(chǔ).11、D【解析】
由已知可將問題轉(zhuǎn)化為:y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個交點,作出圖象,由圖可得:點(1,0)必須在直線y=kx-的下方,即可求得:k>;再求得直線y=kx-和y=lnx相切時,k=;結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個不相等的實數(shù)根,則y=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個交點.作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖,故點(1,0)在直線y=kx-的下方.∴k×1->0,解得k>.當直線y=kx-和y=lnx相切時,設(shè)切點橫坐標為m,則k==,∴m=.此時,k==,f(x)的圖象和直線y=kx-有3個交點,不滿足條件,故所求k的取值范圍是,故選D..【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力,還考查了導數(shù)的幾何意義及計算能力、觀察能力,屬于難題.12、A【解析】
在中,設(shè),,,結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求,可得,再由已知條件求得,,,考慮建立以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立直角坐標系,根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標運算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中,設(shè),,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,則,所以,,解得,.以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系,則、、,為線段上的一點,則存在實數(shù)使得,,設(shè),,則,,,,,消去得,,所以,,當且僅當時,等號成立,因此,的最小值為.故選:A.【點睛】本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題,綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題,解題的關(guān)鍵是理解是一個單位向量,從而可用、表示,建立、與參數(shù)的關(guān)系,解決本題的第二個關(guān)鍵點在于由,發(fā)現(xiàn)為定值,從而考慮利用基本不等式求解最小值,考查計算能力,屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
根據(jù)遞推公式可考慮分析,再累加求出關(guān)于關(guān)于參數(shù)的關(guān)系,根據(jù)表達式的取值分析出,再用數(shù)學歸納法證明滿足條件即可.【詳解】因為,累加可得.若,注意到當時,,不滿足對任意的正整數(shù)均有.所以.當時,證明:對任意的正整數(shù)都有.當時,成立.假設(shè)當時結(jié)論成立,即,則,即結(jié)論對也成立.由數(shù)學歸納法可知,對任意的正整數(shù)都有.綜上可知,所求實數(shù)的最大值是2.故答案為:2【點睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解參數(shù)最值的問題,需要根據(jù)遞推公式累加求解,同時注意結(jié)合參數(shù)的范圍問題進行分析.屬于難題.14、【解析】
先令可得其展開式各項系數(shù)的和,又由題意得,解得,進而可得其展開式的通項,即可得答案.【詳解】令,則有,解得,則二項式的展開式的通項為,令,則其展開式中的第4項的系數(shù)為,故答案為:【點睛】此題考查二項式定理的應(yīng)用,解題時需要區(qū)分展開式中各項系數(shù)的和與各二項式系數(shù)和,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)題意,由雙曲線的漸近線方程可得,即a=2b,進而由雙曲線的幾何性質(zhì)可得cb,由雙曲線的離心率公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,雙曲線的漸近線方程為y=±x,又由該雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y=0,即yx,則有,即a=2b,則cb,則該雙曲線的離心率e;故答案為:.【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),關(guān)鍵是分析a、b之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.16、10【解析】
先求出a,b,根據(jù)分層抽樣的比例引入正整數(shù)k表示n,從而得出的最小值.【詳解】由題意得,a=0.2,b=80,由表可知,燈泡樣品第一組有40個,第二組有60個,第三組有80個,第四組有20個,所以四個組的比例為2:3:4:1,所以按分層抽樣法,購買的燈泡數(shù)為n=2k+3k+4k+k=10k(),所以的最小值為10.【點睛】本題考查分層抽樣基本原理的應(yīng)用,涉及抽樣比、總體數(shù)量、每層樣本數(shù)量的計算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)沒有,理由見解析【解析】
(1)求導,研究函數(shù)在x=0處的導數(shù),等于切線斜率,即得解;(2)對f(x)求導,構(gòu)造,可證得,得到,即得解【詳解】(1)由題意得,∵曲線在點處的切線與直線平行,∴切線的斜率為,解得.(2)當時,,,設(shè),則,則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,又函數(shù),故恒成立,∴函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,函數(shù)不存在極值點.【點睛】本題考查了導數(shù)在切線問題和函數(shù)極值問題中的應(yīng)用,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.18、(1)l:,C方程為;(2)=【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉(zhuǎn)換.
(2)利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】(1)曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),兩式相加得到,進一步轉(zhuǎn)換為.直線l的極坐標方程為ρcos(θ+)=1,則轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為.(2)將直線的方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入得到(t1和t2為P、Q對應(yīng)的參數(shù)),所以,,所以=.【點睛】本題考查參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)換,一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.19、(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)橢圓的離心率、橢圓上點的坐標以及列方程,由此求得,進而求得橢圓的方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,寫出韋達定理.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及向量加法的幾何意義得到,由此求得點的坐標,將的坐標代入橢圓方程,化簡后可求得直線的斜率,由此求得直線的方程.【詳解】(1)由橢圓的離心率為,點在橢圓上,所以,且解得,所以橢圓的方程為.(2)顯然直線的斜率存在,設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為,設(shè),由消去得,所以,由已知得,所以,由于點都在橢圓上,所以,展開有,又,所以,經(jīng)檢驗滿足,故直線的方程為.【點睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點的坐標求橢圓方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查運算求解能力,屬于中檔題.20、(Ⅰ);(Ⅱ)分布列見解析,.【解析】
(Ⅰ)直接利用古典概型概率公式求.(Ⅱ)先由題得可能取值為,再求x的分布列和期望.【詳解】(Ⅰ)(Ⅱ)可能取值為,,,,,的分
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