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2025屆廣州市番禺區(qū)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.【山東省濰坊市二模】已知雙曲線的離心率為,其左焦點(diǎn)為,則雙曲線的方程為()A. B.C. D.2.設(shè)函數(shù),,,則()A. B.C. D.3.已知拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在拋物線上,直線FA與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).若,且,則()A.1 B.2C.3 D.44.已知數(shù)列滿足,且,那么()A. B.C. D.5.為迎接第24屆冬季奧運(yùn)會(huì),某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名學(xué)生擔(dān)任冰球、冰壺和短道速滑三個(gè)項(xiàng)目的志愿者,每個(gè)比賽項(xiàng)目至少安排1人,每人只能安排到1個(gè)項(xiàng)目,則所有排法的總數(shù)為()A.60 B.120C.150 D.2406.在等差數(shù)列中,為其前項(xiàng)和,若.則()A. B.C. D.7.設(shè)是周期為2的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則()A. B.C. D.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則輸人的()A. B.或C. D.或9.已知數(shù)列中,,,是的前n項(xiàng)和,則()A. B.C. D.10.直線分別與曲線,交于,兩點(diǎn),則的最小值為()A. B.1C. D.211.從某個(gè)角度觀察籃球(如圖甲),可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形,如圖乙所示,籃球的外輪廓為圓,將籃球表面的粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線,若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長(zhǎng)八等分,且,則該雙曲線的離心率為()A. B.C.2 D.12.如圖所示,向量在一條直線上,且則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),的直線的斜率為1,則a的值為_(kāi)__________.14.已知點(diǎn)和,圓,當(dāng)圓C與線段沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)__________15.已知點(diǎn),為拋物線:上不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn),且,則的面積的最小值為_(kāi)_________.16.若雙曲線的漸近線與圓相切,則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)記為數(shù)列的前項(xiàng)和,且(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和18.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若在上恒成立,求取值范圍.19.(12分)已知橢圓的左,右頂點(diǎn)分別是,,且,是橢圓上異于,的不同的兩點(diǎn)(1)若,證明:直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn);(2)設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn),記線段的中點(diǎn)為,若,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程20.(12分)已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是,且離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn),線段的垂直平分線交軸于點(diǎn),求的取值范圍.21.(12分)已知圓C的圓心為,一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和y軸上(1)求圓C的方程;(2)直線l:與圓C相交于M,N兩點(diǎn),P(異于點(diǎn)M,N)為圓C上一點(diǎn),求△PMN面積的最大值22.(10分)在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,并完成解答(若選擇多個(gè)條件分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分).①與直線平行;②與直線垂直;③直線l的一個(gè)方向向量為;已知直線l過(guò)點(diǎn),且___________.(1)求直線l的一般方程;(2)若直線l與圓C:相交于M,N兩點(diǎn),求弦長(zhǎng).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析:根據(jù)題設(shè)條件,列出方程,求出,,的值,即可求得雙曲線得標(biāo)準(zhǔn)方程詳解:∵雙曲線的離心率為,其左焦點(diǎn)為∴,∴∵∴∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選D.點(diǎn)睛:本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,根據(jù)題設(shè)條件求出,,的值是解決本題的關(guān)鍵.2、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出在的單調(diào)性,進(jìn)而由單調(diào)性得出大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?,所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?,所以,而,所?因?yàn)椋?,所?即.故選:A3、D【解析】設(shè),由和在拋物線上,求出和,利用求出p.【詳解】過(guò)A作AP垂直x軸與P.拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程為.設(shè),因?yàn)椋?,解得?因?yàn)樵趻佄锞€上,則.所以,即,解得:.故選:D4、D【解析】由遞推公式得到,,,再結(jié)合已知即可求解.【詳解】解:由,得,,又,那么故選:D5、C【解析】結(jié)合排列組合的知識(shí),分兩種情況求解.【詳解】當(dāng)分組為1人,1人,3人時(shí),有種,當(dāng)分組為1人,2人,2人時(shí)有種,所以共有種排法.故選:C6、C【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得.故選:C.7、A【解析】由周期函數(shù)得,再由奇函數(shù)的性質(zhì)通過(guò)得結(jié)論【詳解】∵函數(shù)是周期為2的周期函數(shù),∴,而,又函數(shù)為奇函數(shù),∴.故選A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性與奇偶性,屬于基礎(chǔ)題.此類題型,求函數(shù)值時(shí),一般先用周期性化自變量到已知區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間,然后再由奇函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)值8、A【解析】根據(jù)題意可知該程序框圖顯示的算法函數(shù)為,分和兩種情況討論即可得解.【詳解】解:該程序框圖顯示得算法函數(shù)為,由,當(dāng)時(shí),,方程無(wú)解;當(dāng)時(shí),,解得,綜上,若輸出的,則輸入的.故選:A.9、D【解析】由,得到為遞增數(shù)列,又由,得到,化簡(jiǎn),即可求解.【詳解】解:由,得,又,所以,所以,即,所以數(shù)列為遞增數(shù)列,所以,得,即,又由是的前項(xiàng)和,則.故選:D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題考查數(shù)列求和問(wèn)題,關(guān)鍵在于由已知條件得出,運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和法.10、B【解析】設(shè),,,,得到,用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解:設(shè),,,,則,,,令,則,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,時(shí),函數(shù)的最小值為1,故選:B11、B【解析】設(shè)出雙曲線方程,把雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)并代入到方程中,找到的關(guān)系即可求解.【詳解】以O(shè)為原點(diǎn),AD所在直線為x軸建系,不妨設(shè),則該雙曲線過(guò)點(diǎn)且,將點(diǎn)代入方程,故離心率為,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查已知點(diǎn)在雙曲線上求雙曲線離心率的方法,屬于基礎(chǔ)題目12、D【解析】根據(jù)向量加法的三角形法則得到化簡(jiǎn)得到故答案為D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、6【解析】根據(jù)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率計(jì)算公式即可求的參數(shù)a﹒【詳解】由題意可知,解得故答案為:614、【解析】當(dāng)點(diǎn)和都在圓的內(nèi)部時(shí),結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得出實(shí)數(shù)m的取值范圍,再由圓心到直線的距離大于半徑得出實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】當(dāng)點(diǎn)和都在圓的內(nèi)部時(shí),,解得或直線的方程為,即圓心到直線的距離為,當(dāng)圓心到直線的距離大于半徑時(shí),,且.綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為:15、【解析】設(shè),,利用可得即可求得,利用兩點(diǎn)間距離公式求出、,面積,利用基本不等式即可求最值.【詳解】設(shè),,由可得,解得:,,,,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以的面積的最小值為,故答案為:.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè),坐標(biāo),采用設(shè)而不求的方法,將轉(zhuǎn)化為,求出參數(shù)之間的關(guān)系,再利用基本不等式求的最值.16、【解析】由雙曲線方程寫出漸近線,根據(jù)相切關(guān)系,結(jié)合點(diǎn)線距離公式求參數(shù)a,即可確定實(shí)軸長(zhǎng).【詳解】由題設(shè),漸近線方程為,且圓心為,半徑為1,所以,由相切關(guān)系知:,可得,又,即,所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)利用,再結(jié)合等比數(shù)列的概念,即可求出結(jié)果;(2)由(1)可知數(shù)列是以為首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解:當(dāng)時(shí),,解得;當(dāng)且時(shí),所以所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列所以;【小問(wèn)2詳解】解:由(1)可知,所以,又,所以數(shù)列是以為首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列,所以數(shù)列的前項(xiàng)和.18、(1)或;(2).【解析】(1)解不含參數(shù)的一元二次不等式即可求出結(jié)果;(2)二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題需要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為0進(jìn)行分類討論,即可求出結(jié)果.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,即,解得或,所以,解集為或.(2)因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ佼?dāng)時(shí),恒成立;②當(dāng)時(shí),,解得,綜上,的取值范圍為.19、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】(1)設(shè),首先證明,從而可得到,即得到;進(jìn)而可得到四邊形為平行四邊形;再根據(jù)為的中點(diǎn),即可證明直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)(2)設(shè)出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,消元,寫韋達(dá);根據(jù)條件可求出直線MN過(guò)定點(diǎn),從而可得到過(guò)定點(diǎn),進(jìn)而可得到點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),從而可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【小問(wèn)1詳解】設(shè),則,即因?yàn)?,,所以因?yàn)?,所以,所?同理可證.因?yàn)?,,所以四邊形為平行四邊形,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,,聯(lián)立,整理得,則,,.因?yàn)?,所以,因?yàn)椋獾没?當(dāng)時(shí),直線的方程為過(guò)點(diǎn)A,不滿足題意,所以舍去;所以直線的方程為,所以直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),因?yàn)?,所以直線的方程為,經(jīng)驗(yàn)證,符合題意.故直線過(guò)定點(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),為的中點(diǎn),所以過(guò)定點(diǎn).因?yàn)榇怪逼椒止蚕遥渣c(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),該圓的半徑,圓心坐標(biāo)為,故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.20、(1)(2)【解析】(1)由條件可得,,然后可得答案;(2)設(shè)直線的方程為,,聯(lián)立直線與橢圓的方程消元,然后算出中點(diǎn)的坐標(biāo),然后可得線段的垂直平分線方程,然后可得,然后可求出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)是,且離心率所以,,所以所以橢圓的方程為【小問(wèn)2詳解】顯然直線的斜率不為0,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立可得,所以所以中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,橫坐標(biāo)為所以線段的垂直平分線方程為令,可得當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,所以綜上:21、(1);(2).【解析】(1)設(shè)直徑兩端點(diǎn)分別為,,由中點(diǎn)公式求參數(shù)a、b,進(jìn)而求半徑,即可得圓C的方程;(2)利用弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的幾何關(guān)系求,再由圓心到直線l的距離求P到直線l的距離的最大值,即可得△PMN面積的最大值【小問(wèn)1詳解】設(shè)直徑兩端點(diǎn)分別為,,則,,所以,,則圓C半徑,所以C的方程為【小問(wèn)2詳解】圓心C到直線l的距離,則,點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為,所以,△PMN面積的最大值為22、(1)若選擇①②,則直線方程為:;若選擇③,則直線方程為;(2)若選擇①②,則;若選擇③,則.【解析】(1)根據(jù)所選擇的條件,結(jié)合直線過(guò)點(diǎn),即可寫出直線的方程;(2)利用(1)中所求直線方程,以及弦長(zhǎng)公式,即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】若選①與直線平行,則直線的斜率;又其過(guò)點(diǎn),故直線的方程為,
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