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文檔簡介
2025屆江蘇省靖江市劉國鈞中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),則()A.1 B.2C.3 D.52.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子研究數(shù),他們根據(jù)沙粒和石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類,若:三角形數(shù)、、、、,正方形數(shù)、、、、等等.如圖所示為正五邊形數(shù),將五邊形數(shù)按從小到大的順序排列成數(shù)列,則此數(shù)列的第4項(xiàng)為()A. B.C. D.3.函數(shù)在上的最大值是A. B.C. D.4.在平面直角坐標(biāo)系中,線段的兩端點(diǎn),分別在軸正半軸和軸正半軸上滑動(dòng),若圓上存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn),則線段長度的最小值為()A.4 B.6C.8 D.105.拋物線準(zhǔn)線方程為()A. B.C. D.6.小明騎車上學(xué),開始時(shí)勻速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間,后為了趕時(shí)間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖象是()A. B.C. D.7.已知直線過點(diǎn),且與直線垂直,則直線的方程為()A. B.C. D.8.若某群體中成員只用現(xiàn)金支付的概率為,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為,則不用現(xiàn)金支付的概率為()A. B.C. D.9.傾斜角為45°,在y軸上的截距為2022的直線方程是()A. B.C. D.10.已知數(shù)列滿足且,則()A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是等比數(shù)列11.若不等式組表示的區(qū)域?yàn)?,不等式表示的區(qū)域?yàn)?,向區(qū)域均勻隨機(jī)撒顆芝麻,則落在區(qū)域中的芝麻數(shù)約為()A. B.C. D.12.若圓與圓相切,則的值為()A. B.C.或 D.或二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊為a,b,c,已知,且,則c的最小值為__________.14.若在上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.15.在數(shù)列中,,,則數(shù)列中最大項(xiàng)的數(shù)值為__________16.若x,y滿足約束條件,則的最小值為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知直線,,,其中與交點(diǎn)為P(1)求過點(diǎn)P且與平行的直線方程;(2)求以點(diǎn)P為圓心,截所得弦長為8的圓的方程18.(12分)設(shè)點(diǎn),動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)F且和直線相切,記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線W(1)求曲線W的方程;(2)直線與曲線W交于A、B兩點(diǎn),其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知點(diǎn)T的坐標(biāo)為,記直線TA,TB的斜率分別為,,則是否為定值,若是求出,不是說明理由19.(12分)已知,,分別為三個(gè)內(nèi)角,,的對(duì)邊,.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若=2,的面積為,求,.20.(12分)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為正方形,平面ABCD,,,.(1)求證:平面PAD;(2)求直線AB與平面PCE所成角的正弦值;21.(12分)已知數(shù)列滿足,,,n為正整數(shù).(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求通項(xiàng)公式;(2)證明:數(shù)列中的任意三項(xiàng),,都不成等差數(shù)列;(3)若關(guān)于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個(gè)元素,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;22.(10分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)若在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn).(?。┣蟮娜≈捣秶?;(ⅱ)證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義,以及運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】,,所以,所以故選:C2、D【解析】根據(jù)前三個(gè)五邊形數(shù)可推斷出第四個(gè)五邊形數(shù).【詳解】第一個(gè)五邊形數(shù)為,第二個(gè)五邊形數(shù)為,第三個(gè)五邊形數(shù)為,故第四個(gè)五邊形數(shù)為.故選:D.3、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令可得,可得上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,函數(shù)在上的最大值是故選D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,是一道中檔題4、C【解析】首先求點(diǎn)的軌跡,將問題轉(zhuǎn)化為兩圓有交點(diǎn),即根據(jù)兩圓的位置關(guān)系,求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè),,的中點(diǎn)為,則,故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,問題轉(zhuǎn)化為圓與圓有交點(diǎn),所以,,即,解得:,所以線段長度的最小值為.故選:C5、D【解析】由拋物線的準(zhǔn)線方程即可求解【詳解】由拋物線方程得:.所以,拋物線的準(zhǔn)線方程為故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的準(zhǔn)線方程,屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】先研究四個(gè)選項(xiàng)中圖象的特征,再對(duì)照小明上學(xué)路上的運(yùn)動(dòng)特征,兩者對(duì)應(yīng)即可選出正確選項(xiàng).【詳解】考查四個(gè)選項(xiàng),橫坐標(biāo)表示時(shí)間,縱坐標(biāo)表示的是離開學(xué)校的距離,由此知,此函數(shù)圖象一定是下降的,由此排除A;再由小明騎車上學(xué),開始時(shí)勻速行駛可得出圖象開始一段是直線下降型,又途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間,故此時(shí)有一段函數(shù)圖象與x軸平行,由此排除D,之后為了趕時(shí)間加快速度行駛,此一段時(shí)間段內(nèi)函數(shù)圖象下降的比較快,由此可確定C正確,B不正確故選C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的表示方法,關(guān)鍵是理解坐標(biāo)系的度量與小明上學(xué)的運(yùn)動(dòng)特征,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】求出直線斜率,利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【詳解】直線的斜率為,則直線的斜率為,故直線的方程為,即.故選:A.8、A【解析】利用對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由對(duì)立事件概率公式可知,該群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為.故選:A.9、A【解析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系,結(jié)合直線斜截式方程進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為45°,所以該直線的斜率為,又因?yàn)樵撝本€在y軸上的截距為2022,所以該直線的方程為:,故選:A10、D【解析】由,化簡得,結(jié)合等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義可求解.【詳解】由,可得,所以,又由,,所以是首項(xiàng)為,公比為2的等比數(shù)列,所以,,,,所以不是等差數(shù)列;不等于常數(shù),所以不是等比數(shù)列.故選:D.11、A【解析】作出兩平面區(qū)域,計(jì)算兩區(qū)域的公共面積,利用幾何概型得出芝麻落在區(qū)域Γ內(nèi)的概率,進(jìn)而可得答案.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中三角形ABC及其內(nèi)部,不等式表示的區(qū)域如下圖中的圓及其內(nèi)部:由圖可得,A點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為.區(qū)域即的面積為,區(qū)域的面積為圓的面積,即,其中區(qū)域和區(qū)域不相交的部分面積即空白面積,所以區(qū)域和區(qū)域相交的部分面積,所以落入?yún)^(qū)域的概率為.所以均勻隨機(jī)撒顆芝麻,則落在區(qū)域中芝麻數(shù)約為.故選:A.12、C【解析】分類討論:當(dāng)兩圓外切時(shí),圓心距等于半徑之和;當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),圓心距等于半徑之差,即可求解.【詳解】圓的圓心為,半徑為,圓的圓心為,半徑為.①當(dāng)兩圓外切時(shí),有,此時(shí).②當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),有,此時(shí).綜上,當(dāng)時(shí)兩圓外切;當(dāng)時(shí)兩圓內(nèi)切.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系,解答兩圓相切問題時(shí)易忽略兩圓相切包括內(nèi)切和外切兩種情況.解答時(shí)注意分類討論,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】先利用正弦定理邊化角式子,得到,再利用正弦定理求出,根據(jù)與的關(guān)系,求得,即可求得c的最小值.【詳解】,即,又,當(dāng)最大時(shí),即,最小,且為由正弦定理得:,當(dāng)時(shí),c的最小值為故答案為:【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:在解三角形題目中,若已知條件同時(shí)含有邊和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要選擇“邊化角”或“角化邊”,變換原則常用:(1)若式子含有的齊次式,優(yōu)先考慮正弦定理,“角化邊”;(2)若式子含有的齊次式,優(yōu)先考慮正弦定理,“邊化角”;(3)若式子含有的齊次式,優(yōu)先考慮余弦定理,“角化邊”;(4)代數(shù)變形或者三角恒等變換前置;(5)同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角(或三個(gè)自由角)時(shí),要用到.14、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),結(jié)合常變量分離法進(jìn)行求解即可.【詳解】,因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù),所以在上恒成立,即,當(dāng)時(shí),的最小值為,所以,故答案為:15、【解析】用累加法求出通項(xiàng),再由通項(xiàng)表達(dá)式確定最大項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí),,所以數(shù)列中最大項(xiàng)的數(shù)值為故答案為:16、##【解析】作出可行域,進(jìn)而根據(jù)z的幾何意義求得答案.【詳解】如圖,作出可行域,由z的幾何意義可知當(dāng)過點(diǎn)B時(shí)取得最小值.聯(lián)立,則最小值為.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】(1)首先求、的交點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)的斜率,應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出過P且與平行的直線方程;(2)根據(jù)弦心距、弦長、半徑的關(guān)系求圓的半徑,結(jié)合P的坐標(biāo)寫出圓的方程.【小問1詳解】聯(lián)立、得:,可得,故,又的斜率為,則過P且與平行的直線方程,∴所求直線方程為.【小問2詳解】由(1),P到的距離,∴以P為圓心,截所得弦長為8的圓的半徑,∴所求圓的方程為.18、(1);(2)是定值,.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合拋物線定義直接求解作答.(2)聯(lián)立直線與拋物線方程,借助韋達(dá)定理、斜率坐標(biāo)公式計(jì)算作答.【小問1詳解】過點(diǎn)P作直線的垂線,垂足為點(diǎn)N,依題意,,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線W的方程是.【小問2詳解】設(shè),,由消去x并整理得:,則,,因,,則,,因此,所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求定值問題常見的方法:(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān);(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過程中消去變量,從而得到定值19、(1)(2)=2【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得由于,所以,又,故.(Ⅱ)的面積==,故=4,而故=8,解得=220、(1)證明見詳解(2)【解析】(1)將線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行,由已知易證;(2)延長相交與點(diǎn)F,利用等體積法求點(diǎn)A到平面PCE,然后由可得.【小問1詳解】四邊形ABCD為正方形平面PAD,平面PAD平面PAD同理,,平面PAD又平面,平面平面平面PAD平面平面PAD【小問2詳解】延長相交與點(diǎn)F,因?yàn)椋苑謩e為的中點(diǎn).記點(diǎn)到平面PCF為d,直線AB與平面PCE所成角為,則.易知,,,,因?yàn)槠矫鍭BCD,所以,所以因?yàn)?,所以由得:即,得所?2.21、(1)證明見解析;(2)證明見解析(3)【解析】(1)將所給等式變形為,根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明結(jié)論;(2)假設(shè)存在,,成等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可推出矛盾,故說明假設(shè)錯(cuò)誤。從而證明原結(jié)論;(3)求出n=1,2,3,4時(shí)的情況,再結(jié)合時(shí),,即可求得結(jié)果.【小問1詳解】由已知可知,顯然有,否則數(shù)列不可能是等比數(shù)列;因?yàn)?,,故可得,由得:,即有,所以?shù)列等比數(shù)列,且;【小問2詳解】假設(shè)存在,,成等差數(shù)列,則,即,整理得,即,而是奇數(shù),故上式左側(cè)是奇數(shù),右側(cè)是一個(gè)偶數(shù),不可能相等,故數(shù)列中的任意三項(xiàng),,都不成等差數(shù)列;【小問3詳解】關(guān)于正整數(shù)n的不等式,即,當(dāng)n=1時(shí),;當(dāng)n=2時(shí),;當(dāng)n=3時(shí),;當(dāng)n=4時(shí),,并且當(dāng)時(shí),,因關(guān)于正整數(shù)n的不等式的解集中有且僅有三個(gè)元素,故.22、(1);(2)(?。?;(ⅱ)證明見解析.【解析】(1)求出,,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程;(2)(?。└鶕?jù)題意對(duì)參數(shù)分類討論,當(dāng)時(shí),等價(jià)轉(zhuǎn)化,且構(gòu)造函數(shù),利用零點(diǎn)存在定理,即可求得參數(shù)的取值范圍;(ⅱ)根據(jù)(?。┲兴蟮玫脚c的等量關(guān)系,求得并構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值,則問題得證.【小問1詳解】當(dāng)時(shí),,則,故,,則曲線在點(diǎn)處
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