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文檔簡介
河南安陽市林慮中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若拋物線的焦點與橢圓的下焦點重合,則m的值為()A.4 B.2C. D.2.為調查參加考試的高二級1200名學生的成績情況,從中抽查了100名學生的成績,就這個問題來說,下列說法正確的是()A.1200名學生是總體 B.每個學生是個體C.樣本容量是100 D.抽取的100名學生是樣本3.已知等比數(shù)列的前n項和為,若,,則()A.250 B.210C.160 D.904.已知是拋物線的焦點,為拋物線上的動點,且的坐標為,則的最小值是A. B.C. D.5.如圖,是對某位同學一學期次體育測試成績(單位:分)進行統(tǒng)計得到的散點圖,關于這位同學的成績分析,下列結論錯誤的是()A.該同學的體育測試成績總的趨勢是在逐步提高,且次測試成績的極差超過分B.該同學次測試成績的眾數(shù)是分C.該同學次測試成績的中位數(shù)是分D.該同學次測試成績與測試次數(shù)具有相關性,且呈正相關6.已知橢圓的左右焦點分別為,,點B為短軸的一個端點,則的周長為()A.20 B.18C.16 D.97.一動圓與兩圓x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切,則動圓圓心軌跡為()A.圓 B.橢圓C.雙曲線的一支 D.拋物線8.函數(shù)在上的極大值點為()A. B.C. D.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出S的值是()A. B.C. D.10.在平面直角坐標系中,已知的頂點,,其內(nèi)切圓圓心在直線上,則頂點C的軌跡方程為()A. B.C. D.11.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當時,,且f(-1)=0,則不等式的解集是()A. B.C. D.12.已知命題:△中,若,則;命題:函數(shù),,則的最大值為.則下列命題是真命題的是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知平面的法向量為,平面的法向量為,若,則___________.14.已知,求_____________.15.設有下列命題:①當,時,不等式恒成立;②函數(shù)在上的最小值為2;③函數(shù)在上的最大值為;④若,,且,則的最小值為其中真命題為________________.(填寫所有真命題的序號)16.已知、是空間內(nèi)兩個單位向量,且,如果空間向量滿足,且,,則對于任意的實數(shù)、,的最小值為______三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知圓C的圓心C在直線上,且與直線相切于點.(1)求圓C的方程;(2)過點的直線與圓C交于兩點,線段的中點為M,直線與直線的交點為N.判斷是否為定值.若是,求出這個定值,若不是,說明理由.18.(12分)已知圓經(jīng)過坐標原點和點,且圓心在軸上.(1)求圓的方程;(2)已知直線與圓相交于A、B兩點,求所得弦長的值.19.(12分)一個小島的周圍有環(huán)島暗礁,暗礁分布在以小島中心為圓心,半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)(圓形區(qū)域的邊界上無暗礁),已知小島中心位于輪船正西處,港口位于小島中心正北處.(1)若,輪船直線返港,沒有觸礁危險,求的取值范圍?(2)若輪船直線返港,且必須經(jīng)過小島中心東北方向處補水,求的最小值.20.(12分)已知圓.(1)求過點M(2,1)的圓的切線方程;(2)直線過點且被圓截得的弦長為2,求直線的方程;(3)已知圓的圓心在直線y=1上,與y軸相切,且與圓相外切,求圓的標準方程.21.(12分)已知橢圓過點,離心率為(1)求橢圓的標準方程;(2)過橢圓的上頂點作直線l交拋物線于A,B兩點,O為坐標原點①求證:;②設OA,OB分別與橢圓相交于C,D兩點,過點O作直線CD的垂線OH,垂足為H,證明:為定值22.(10分)如圖,在三棱錐中,是邊長為2的等邊三角形,,O是BC的中點,(1)證明:平面平面BCD;(2)若三棱錐的體積為,E是棱AC上的一點,當時,二面角E-BD-C大小為60°,求t的值
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求出橢圓的下焦點,即拋物線的焦點,即可得解.【詳解】解:橢圓的下焦點為,即為拋物線焦點,∴,∴.故選:D.2、C【解析】根據(jù)總體、個體、樣本容量、樣本的定義,結合題意,即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意,總體是名學生的成績;個體是每個學生的成績;樣本容量是,樣本是抽取的100名學生的成績;故正確的是C.故選:C.3、B【解析】設為等比數(shù)列,由此利用等比數(shù)列的前項和為能求出結果【詳解】設,等比數(shù)列的前項和為為等比數(shù)列,為等比數(shù)列,解得故選:B4、C【解析】由題意可得,拋物線的焦點,準線方程為過點作垂直于準線,為垂足,則由拋物線的定義可得,則,為銳角∴當最小時,最小,則當和拋物線相切時,最小設切點,由的導數(shù)為,則的斜率為.∴,則.∴,∴故選C點睛:本題主要考查拋物線的定義和幾何性質,與焦點、準線有關的問題一般情況下都與拋物線的定義有關,解決這類問題一定要注意點到焦點的距離與點到準線的距離的轉化,這樣可利用三角形相似,直角三角形中的銳角三角函數(shù)或是平行線段比例關系可求得距離弦長以及相關的最值等問題.5、C【解析】根據(jù)給定的散點圖,逐一分析各個選項即可判斷作答.【詳解】對于A,由散點圖知,8次測試成績總體是依次增大,極差為,A正確;對于B,散點圖中8個數(shù)據(jù)的眾數(shù)是48,B正確;對于C,散點圖中的8個數(shù)由小到大排列,最中間兩個數(shù)都是48,則次測試成績的中位數(shù)是分,C不正確;對于D,散點圖中8個點落在某條斜向上的直線附近,則次測試成績與測試次數(shù)具有相關性,且呈正相關,D正確.故選:C6、B【解析】根據(jù)橢圓的定義求解【詳解】由橢圓方程知,所以,故選:B7、C【解析】設動圓圓心,與兩圓x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切,列出幾何關系式,化簡,再根據(jù)圓錐曲線的定義,可得到動圓圓心軌跡.【詳解】設動圓圓心,半徑為,圓x2+y2=1的圓心為,半徑為,圓x2+y2﹣8x+12=0,得,則圓心,半徑為,根據(jù)圓與圓相切,則,,兩式相減得,根據(jù)定義可得動圓圓心軌跡為雙曲線的一支.故選:C【點睛】本題考查了兩圓的位置關系,圓錐曲線的定義,屬于基礎題.8、C【解析】求出函數(shù)的導數(shù),利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性,即可求出函數(shù)的極大值點【詳解】,∴當時,,單調遞減,當時,,單調遞增,當時,,單調遞減,∴函數(shù)在的極大值點為故選:C9、C【解析】按照程序框圖的流程進行計算.【詳解】,故輸出S的值為.故選:C10、A【解析】根據(jù)圖可得:為定值,利用根據(jù)雙曲線定義,所求軌跡是以、為焦點,實軸長為6的雙曲線的右支,從而寫出其方程即得【詳解】解:如圖設與圓切點分別為、、,則有,,,所以根據(jù)雙曲線定義,所求軌跡是以、為焦點,實軸長為4的雙曲線的右支(右頂點除外),即、,又,所以,所以方程為故選:A11、D【解析】根據(jù)題意可知,當時,,即函數(shù)在上單調遞增,再結合函數(shù)f(x)的奇偶性得到函數(shù)的奇偶性,并根據(jù)奇偶性得到單調性,進而解得答案.【詳解】由題意,當時,,則函數(shù)在上單調遞增,而f(x)是定義在R上的偶函數(shù),容易判斷是定義在上的奇函數(shù),于是在上單調遞增,而f(-1)=0,則.于是當時,.故選:D.12、A【解析】由三角形內(nèi)角及正弦函數(shù)的性質判斷、的真假,應用換元法令,結合對勾函數(shù)的性質確定的值域即知、的真假,根據(jù)各選項復合命題判斷真假即可.【詳解】由且,可得或,故為假命題,為真命題;令,又,則,故,∵在上遞減,∴,故的最大值為.∴為真命題,為假命題;∴為真,為假,為假,為假.故選:A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】由,可兩平面的法向量也平行,從而可求出,進而可求得答案【詳解】因為平面的法向量為,平面的法向量為,,所以∥,所以存實數(shù)使,所以,所以,解得,所以,故答案為:214、【解析】根據(jù)導數(shù)的定義即可求解.【詳解】,所以,故答案為:.15、①③④【解析】①直接利用基本不等式判斷即可;②直接利用基本不等式以及等號成立的條件判斷即可;③分子、分母同除,利用基本不等式即可判斷;④設,,利用指、對互化以及基本不等式即可判斷.【詳解】由于,,故恒成立,當且僅當時取等號,所以①正確;,當且僅當,即時取等號,由于,所以②不正確;因為,所以,當且僅當時取等號,而,即函數(shù)的最大值為,所以③正確;設,,則,,,,,所以,當且僅當,時取等號,故的最小值為,所以④正確.故答案為:①③④【點睛】易錯點睛:利用基本不等式求最值時,要注意其必須滿足的三個條件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù);(2)“二定”就是要求和的最小值,必須把構成和的二項之積轉化成定值;要求積的最大值,則必須把構成積的因式的和轉化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時,必須驗證等號成立的條件,若不能取等號則這個定值就不是所求的最值,這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.16、【解析】根據(jù)已知可設,,,根據(jù)已知條件求出、、的值,將向量用坐標加以表示,利用空間向量的模長公式可求得的最小值.【詳解】因為、是空間內(nèi)兩個單位向量,且,所以,,因為,則,不妨設,,設,則,,解得,則,因為,可得,則,所以,,當且僅當時,即當時,等號成立,因此,對于任意的實數(shù)、,的最小值為.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)設過點且與直線垂直的直線為,將代入直線方程,即可求出,再與求交點坐標,得到圓心坐標,再求出半徑,即可得解;(2)分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論,當斜率不存在直接求出、的坐標,即可求出,當直線的斜率存在,設直線為、、,聯(lián)立直線與圓的方程,消元列出韋達定理,即可表示出的坐標,再求出的坐標,即可表示出、,即可得解;【小問1詳解】解:設過點且與直線垂直的直線為,則,解得,即,由,解得,即圓心坐標為,所以半徑,所以圓的方程為【小問2詳解】解:當直線的斜率存在時,設過點的直線為,所以,消去得,設、,則,,所以,所以的中點,由解得,即,所以,,所以;當直線的斜率不存在時,直線的方程為,由,解得或,即、,所以,所以又解得,即,所以,所以,綜上可得.18、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)條件可以確定圓心坐標和半徑,寫出圓的方程;(2)先求圓心到直線的距離,結合勾股定理可求弦長.【詳解】(1)由題意可得,圓心為(2,0),半徑為2.則圓的方程為;(2)圓心(2,0)到l的距離為d,=1,.【點睛】圓的方程求解方法:(1)直接法:確定圓心,求出半徑,寫出方程;(2)待定系數(shù)法:設出圓的方程,可以是標準方程也可以是一般式方程,根據(jù)條件列出方程,求解系數(shù)即可.19、(1)(2)120【解析】(1)建立平面直角坐標系設直線方程,根據(jù)點到直線的距離公式可得;(2)先求補水點的坐標,根據(jù)直線過該點,結合所求,根據(jù)基本不等式可得.【小問1詳解】根據(jù)題意,以小島中心為原點,建立平面直角坐標系,當時,則輪船返港的直線為,因為沒有觸礁危險,所以原點到的距離,解得.【小問2詳解】根據(jù)題意可得,,點C在直線上,故點C,設輪船返港的直線是,則,所以.當且僅當時取到最小值.20、(1)y=1;(2)x+y-2=0;(3).【解析】(1)將圓的一般方程化為圓的標準方程,結合圖形即可求出結果;(2)根據(jù)題意可知直線過圓心,利用直線的兩點式方程計算即可得出結果;(3)設圓E的圓心E(a,1),根據(jù)題意可得圓E的半徑為,結合圓與圓的位置關系和兩點距離公式計算求出,進而得出圓的標準方程.【小問1詳解】圓,即,其圓心為,半徑為1.因為點(2,1)在圓上,如圖,所以切線方程為y=1;【小問2詳解】由題意得,圓的直徑為2,所以直線過圓心,由直線的兩點式方程,得,即直線的方程為x+y-2=0;【小問3詳解】因為圓E的圓心在直線y=1上,設圓E的圓心E(a,1),由圓E與y軸相切,得R=a()又圓E與圓相外切,所以,由兩點距離公式得,所以,解得,所以圓心,,所以圓E的方程為.21、(1)(2)①證明見解析;②證明見解析【解析】(1)根據(jù)離心率及過點求出求解即可;(2)①設直線l的方程為,利用向量的數(shù)量積計算證明即可;②設直線CD方程為,利用求出,再由點O到直線CD的距離即可求證.【小問1詳解】因為,所以,又因為,解得,,所以橢圓的方程為;【小問2詳解】①證明:設,,依題意,直線l斜率存在,設直線l的方程為,聯(lián)立方程,消去y得,所以,又因為,所以,因此,②證明:設,,設直線CD方程為,因為,所以,則,聯(lián)立,得當時,,則所以,即滿足則,即為定值22、(1)證明見解析(2)3【解析】(1)證得平面BCD,結合面面垂直判定定理即可得出結論;(2)建立空間直角坐標系,利用空間向量求二面角的公式可得,進而解方程即可求出結果.【小問1詳解】因為,O
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