河南安陽市林慮中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題含解析

河南安陽市林慮中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若拋物線的焦點與橢圓的下焦點重合，則m的值為（）A.4 B.2C. D.2．為調查參加考試的高二級1200名學生的成績情況，從中抽查了100名學生的成績，就這個問題來說，下列說法正確的是（）A.1200名學生是總體 B.每個學生是個體C.樣本容量是100 D.抽取的100名學生是樣本3．已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.250 B.210C.160 D.904．已知是拋物線的焦點，為拋物線上的動點，且的坐標為，則的最小值是A. B.C. D.5．如圖，是對某位同學一學期次體育測試成績（單位：分）進行統(tǒng)計得到的散點圖，關于這位同學的成績分析，下列結論錯誤的是（）A.該同學的體育測試成績總的趨勢是在逐步提高，且次測試成績的極差超過分B.該同學次測試成績的眾數(shù)是分C.該同學次測試成績的中位數(shù)是分D.該同學次測試成績與測試次數(shù)具有相關性，且呈正相關6．已知橢圓的左右焦點分別為，，點B為短軸的一個端點，則的周長為（）A.20 B.18C.16 D.97．一動圓與兩圓x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，則動圓圓心軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線的一支 D.拋物線8．函數(shù)在上的極大值點為（）A. B.C. D.9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）A. B.C. D.10．在平面直角坐標系中，已知的頂點，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點C的軌跡方程為（）A. B.C. D.11．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當時，，且f(-1)=0，則不等式的解集是（）A. B.C. D.12．已知命題：△中，若，則；命題：函數(shù)，，則的最大值為.則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則___________.14．已知，求_____________.15．設有下列命題：①當，時，不等式恒成立；②函數(shù)在上的最小值為2；③函數(shù)在上的最大值為；④若，，且，則的最小值為其中真命題為________________．（填寫所有真命題的序號）16．已知、是空間內(nèi)兩個單位向量，且，如果空間向量滿足，且，，則對于任意的實數(shù)、，的最小值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C的圓心C在直線上，且與直線相切于點.（1）求圓C的方程；（2）過點的直線與圓C交于兩點，線段的中點為M，直線與直線的交點為N.判斷是否為定值.若是，求出這個定值，若不是，說明理由.18．（12分）已知圓經(jīng)過坐標原點和點，且圓心在軸上.（1）求圓的方程；（2）已知直線與圓相交于A、B兩點，求所得弦長的值.19．（12分）一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)（圓形區(qū)域的邊界上無暗礁），已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處.（1）若，輪船直線返港，沒有觸礁危險，求的取值范圍?（2）若輪船直線返港，且必須經(jīng)過小島中心東北方向處補水，求的最小值.20．（12分）已知圓.（1）求過點M（2，1）的圓的切線方程；（2）直線過點且被圓截得的弦長為2，求直線的方程；（3）已知圓的圓心在直線y=1上，與y軸相切，且與圓相外切，求圓的標準方程.21．（12分）已知橢圓過點，離心率為（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓的上頂點作直線l交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點①求證：；②設OA，OB分別與橢圓相交于C，D兩點，過點O作直線CD的垂線OH，垂足為H，證明：為定值22．（10分）如圖，在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，O是BC的中點，（1）證明：平面平面BCD；（2）若三棱錐的體積為，E是棱AC上的一點，當時，二面角E－BD－C大小為60°，求t的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求出橢圓的下焦點，即拋物線的焦點，即可得解.【詳解】解：橢圓的下焦點為，即為拋物線焦點，∴，∴.故選：D.2、C【解析】根據(jù)總體、個體、樣本容量、樣本的定義，結合題意，即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意，總體是名學生的成績；個體是每個學生的成績；樣本容量是，樣本是抽取的100名學生的成績；故正確的是C.故選：C.3、B【解析】設為等比數(shù)列，由此利用等比數(shù)列的前項和為能求出結果【詳解】設，等比數(shù)列的前項和為為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，解得故選：B4、C【解析】由題意可得，拋物線的焦點，準線方程為過點作垂直于準線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角∴當最小時，最小，則當和拋物線相切時，最小設切點，由的導數(shù)為，則的斜率為.∴，則.∴，∴故選C點睛：本題主要考查拋物線的定義和幾何性質，與焦點、準線有關的問題一般情況下都與拋物線的定義有關，解決這類問題一定要注意點到焦點的距離與點到準線的距離的轉化，這樣可利用三角形相似，直角三角形中的銳角三角函數(shù)或是平行線段比例關系可求得距離弦長以及相關的最值等問題.5、C【解析】根據(jù)給定的散點圖，逐一分析各個選項即可判斷作答.【詳解】對于A，由散點圖知，8次測試成績總體是依次增大，極差為，A正確；對于B，散點圖中8個數(shù)據(jù)的眾數(shù)是48，B正確；對于C，散點圖中的8個數(shù)由小到大排列，最中間兩個數(shù)都是48，則次測試成績的中位數(shù)是分，C不正確；對于D，散點圖中8個點落在某條斜向上的直線附近，則次測試成績與測試次數(shù)具有相關性，且呈正相關，D正確.故選：C6、B【解析】根據(jù)橢圓的定義求解【詳解】由橢圓方程知，所以，故選：B7、C【解析】設動圓圓心，與兩圓x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，列出幾何關系式，化簡，再根據(jù)圓錐曲線的定義，可得到動圓圓心軌跡.【詳解】設動圓圓心，半徑為，圓x2+y2＝1的圓心為，半徑為，圓x2+y2﹣8x+12＝0，得，則圓心，半徑為，根據(jù)圓與圓相切，則，，兩式相減得，根據(jù)定義可得動圓圓心軌跡為雙曲線的一支.故選：C【點睛】本題考查了兩圓的位置關系，圓錐曲線的定義，屬于基礎題.8、C【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性，即可求出函數(shù)的極大值點【詳解】，∴當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，∴函數(shù)在的極大值點為故選：C9、C【解析】按照程序框圖的流程進行計算.【詳解】，故輸出S的值為.故選：C10、A【解析】根據(jù)圖可得：為定值，利用根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，從而寫出其方程即得【詳解】解：如圖設與圓切點分別為、、，則有，，，所以根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支（右頂點除外），即、，又，所以，所以方程為故選：A11、D【解析】根據(jù)題意可知，當時，，即函數(shù)在上單調遞增，再結合函數(shù)f(x)的奇偶性得到函數(shù)的奇偶性，并根據(jù)奇偶性得到單調性，進而解得答案.【詳解】由題意，當時，，則函數(shù)在上單調遞增，而f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，容易判斷是定義在上的奇函數(shù)，于是在上單調遞增，而f(-1)=0，則.于是當時，.故選：D.12、A【解析】由三角形內(nèi)角及正弦函數(shù)的性質判斷、的真假，應用換元法令，結合對勾函數(shù)的性質確定的值域即知、的真假，根據(jù)各選項復合命題判斷真假即可.【詳解】由且，可得或，故為假命題，為真命題；令，又，則，故，∵在上遞減，∴，故的最大值為.∴為真命題，為假命題；∴為真，為假，為假，為假.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由，可兩平面的法向量也平行，從而可求出，進而可求得答案【詳解】因為平面的法向量為，平面的法向量為，，所以∥，所以存實數(shù)使，所以，所以，解得，所以，故答案為：214、【解析】根據(jù)導數(shù)的定義即可求解.【詳解】，所以，故答案為：.15、①③④【解析】①直接利用基本不等式判斷即可；②直接利用基本不等式以及等號成立的條件判斷即可；③分子、分母同除，利用基本不等式即可判斷；④設，，利用指、對互化以及基本不等式即可判斷.【詳解】由于，，故恒成立，當且僅當時取等號，所以①正確；，當且僅當，即時取等號，由于，所以②不正確；因為，所以，當且僅當時取等號，而，即函數(shù)的最大值為，所以③正確；設，，則，，，，，所以，當且僅當，時取等號，故的最小值為，所以④正確.故答案為：①③④【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.16、【解析】根據(jù)已知可設，，，根據(jù)已知條件求出、、的值，將向量用坐標加以表示，利用空間向量的模長公式可求得的最小值.【詳解】因為、是空間內(nèi)兩個單位向量，且，所以，，因為，則，不妨設，，設，則，，解得，則，因為，可得，則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，對于任意的實數(shù)、，的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設過點且與直線垂直的直線為，將代入直線方程，即可求出，再與求交點坐標，得到圓心坐標，再求出半徑，即可得解；（2）分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當斜率不存在直接求出、的坐標，即可求出，當直線的斜率存在，設直線為、、，聯(lián)立直線與圓的方程，消元列出韋達定理，即可表示出的坐標，再求出的坐標，即可表示出、，即可得解；【小問1詳解】解：設過點且與直線垂直的直線為，則，解得，即，由，解得，即圓心坐標為，所以半徑，所以圓的方程為【小問2詳解】解：當直線的斜率存在時，設過點的直線為，所以，消去得，設、，則，，所以，所以的中點，由解得，即，所以，，所以；當直線的斜率不存在時，直線的方程為，由，解得或，即、，所以，所以又解得，即，所以，所以，綜上可得.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)條件可以確定圓心坐標和半徑，寫出圓的方程；（2）先求圓心到直線的距離，結合勾股定理可求弦長.【詳解】(1)由題意可得，圓心為(2，0)，半徑為2.則圓的方程為；(2)圓心（2，0）到l的距離為d，=1，.【點睛】圓的方程求解方法：（1）直接法：確定圓心，求出半徑，寫出方程；（2）待定系數(shù)法：設出圓的方程，可以是標準方程也可以是一般式方程，根據(jù)條件列出方程，求解系數(shù)即可.19、（1）（2）120【解析】（1）建立平面直角坐標系設直線方程，根據(jù)點到直線的距離公式可得；（2）先求補水點的坐標，根據(jù)直線過該點，結合所求，根據(jù)基本不等式可得.【小問1詳解】根據(jù)題意，以小島中心為原點，建立平面直角坐標系，當時，則輪船返港的直線為，因為沒有觸礁危險，所以原點到的距離，解得.【小問2詳解】根據(jù)題意可得，，點C在直線上，故點C，設輪船返港的直線是，則，所以.當且僅當時取到最小值.20、（1）y=1；（2）x+y-2=0；（3）.【解析】(1)將圓的一般方程化為圓的標準方程，結合圖形即可求出結果；(2)根據(jù)題意可知直線過圓心，利用直線的兩點式方程計算即可得出結果；(3)設圓E的圓心E（a，1），根據(jù)題意可得圓E的半徑為，結合圓與圓的位置關系和兩點距離公式計算求出，進而得出圓的標準方程.【小問1詳解】圓，即，其圓心為，半徑為1.因為點（2，1）在圓上，如圖，所以切線方程為y=1；【小問2詳解】由題意得，圓的直徑為2，所以直線過圓心，由直線的兩點式方程，得，即直線的方程為x+y-2=0；【小問3詳解】因為圓E的圓心在直線y=1上，設圓E的圓心E（a，1），由圓E與y軸相切，得R=a()又圓E與圓相外切，所以，由兩點距離公式得，所以，解得，所以圓心，，所以圓E的方程為.21、（1）（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】（1）根據(jù)離心率及過點求出求解即可；（2）①設直線l的方程為，利用向量的數(shù)量積計算證明即可；②設直線CD方程為，利用求出，再由點O到直線CD的距離即可求證.【小問1詳解】因為，所以，又因為，解得，，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】①證明：設，，依題意，直線l斜率存在，設直線l的方程為，聯(lián)立方程，消去y得，所以，又因為，所以，因此，②證明：設，，設直線CD方程為，因為，所以，則，聯(lián)立，得當時，，則所以，即滿足則，即為定值22、（1）證明見解析（2）3【解析】（1）證得平面BCD，結合面面垂直判定定理即可得出結論；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角的公式可得，進而解方程即可求出結果.【小問1詳解】因為，O