福建省廈門(mén)市翔安一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

福建省廈門(mén)市翔安一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），問(wèn)立夏日影長(zhǎng)為（）A.一尺五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸2．圓和圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切C.相交 D.外離3．動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在拋物線(xiàn)和圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.4．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（）A. B.C. D.5．下列數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）A. B.C. D.6．橢圓中以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)斜率為（）A. B.C. D.7．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)，若，則（）A.6 B.C.2 D.8．“中國(guó)剩余定理”又稱(chēng)“孫子定理”.1852年英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱(chēng)之為“中國(guó)剩余定理”.“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將2至2021這2020個(gè)數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）A. B.C. D.9．圓的圓心為（）A. B.C. D.10．若圓與圓相切，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.或0 B.0C. D.或11．已知?jiǎng)又本€(xiàn)的傾斜角的取值范圍是，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知雙曲線(xiàn)的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)上除A、B外任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A、B連線(xiàn)的斜率為，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為，按此規(guī)律，則___________，___________.14．以?huà)佄锞€(xiàn)C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于、兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線(xiàn)于、兩點(diǎn).，，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為_(kāi)___.15．長(zhǎng)方體中，，，已知點(diǎn)H，A，三點(diǎn)共線(xiàn)，且，則點(diǎn)H到平面ABCD的距離為_(kāi)_____16．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前5項(xiàng)為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，C上的點(diǎn)M滿(mǎn)足，且直線(xiàn)的斜率之積等于（1）求C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，若，其中，證明：19．（12分）在中，角、、C所對(duì)的邊分別為、、，，.（1）若，求的值；（2）若的面積，求，的值.20．（12分）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，最小值為1.（1）求a，b的值；（2）若方程在上有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.21．（12分）證明：是無(wú)理數(shù)．（我們知道任意一個(gè)有理數(shù)都可以寫(xiě)成形如（m，n互質(zhì)，）的形式）22．（10分）物聯(lián)網(wǎng)(Internetofthings)是一個(gè)基于互聯(lián)網(wǎng)、傳統(tǒng)電信網(wǎng)等信息承載體，讓所有能夠被獨(dú)立尋址的普通物理對(duì)象實(shí)現(xiàn)互聯(lián)互通的網(wǎng)絡(luò)，具有十分廣闊的市場(chǎng)前景.現(xiàn)有一家物流公司計(jì)劃租地建造倉(cāng)庫(kù)存儲(chǔ)貨物，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息：倉(cāng)庫(kù)每月土地占地費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離x（單位：千米）之間的關(guān)系為，每月庫(kù)存貨物費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與x之間的關(guān)系為：；若在距離車(chē)站11.5千米建倉(cāng)庫(kù)，則和分別為4萬(wàn)元和23萬(wàn)元.（1）求的值；（2）這家公司應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車(chē)站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小？最小費(fèi)用是多少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】結(jié)合等差數(shù)列知識(shí)求得正確答案.【詳解】設(shè)冬至日影長(zhǎng)，公差為，則，所以立夏日影長(zhǎng)丈，即四尺五寸.故選：D2、C【解析】根據(jù)兩圓圓心的距離與兩圓半徑和差的大小關(guān)系即可判斷.【詳解】解：因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以?xún)蓤A圓心的距離為，因?yàn)椋?，所以圓和圓的位置關(guān)系是相交，故選：C.3、B【解析】設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，先求得P到圓心的最小距離，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，即可得答案.【詳解】設(shè)，圓化簡(jiǎn)為，即圓心為（0,4），半徑為，所以點(diǎn)P到圓心的距離，令，則，令，，為開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為的拋物線(xiàn)，所以的最小值為，所以，所以的最小值為.故選：B4、B【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，得極值，并求出端點(diǎn)處函數(shù)值比較后可得最小值【詳解】解：因?yàn)椋谑呛瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，得函數(shù)在區(qū)間上的最小值是故選：B5、C【解析】分別判斷的符號(hào)，從而可得出答案.【詳解】解：對(duì)于A，，則，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故A不符合題意；對(duì)于B，，則，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故B不符合題意；對(duì)于C，，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，故C符合題意；對(duì)于D，，則，所以數(shù)列遞減數(shù)列，故D不符合題意.故選：C.6、A【解析】先設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線(xiàn)的斜率【詳解】設(shè)弦的兩端點(diǎn)為，，代入橢圓得兩式相減得，即，即，即，即，弦所在的直線(xiàn)的斜率為，故選:A7、A【解析】根據(jù)兩直線(xiàn)垂直的充要條件得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)，且，所以，解得；故選：A8、C【解析】由題設(shè)且，應(yīng)用不等式求的范圍，即可確定項(xiàng)數(shù).【詳解】由題設(shè)，且，所以，可得且.所以此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為.故選：C9、D【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.【詳解】圓的圓心為，故選：D10、D【解析】根據(jù)給定條件求出兩圓圓心距，再借助兩圓相切的充要條件列式計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，而，即點(diǎn)不可能在圓內(nèi)，則兩圓必外切，于是得，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為或.故選：D11、B【解析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系可得，即可求m的范圍.【詳解】由題設(shè)知：直線(xiàn)斜率范圍為，即，可得.故選：B.12、C【解析】根據(jù)題意設(shè)設(shè)，根據(jù)題意得到，進(jìn)而求得離心率【詳解】根據(jù)題意得到設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，則故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】利用題中所給規(guī)律求出即可.【詳解】解：由圖可知，，，，，因?yàn)榉系炔顢?shù)列的定義且公差為所以，所以，故答案為：，.14、2【解析】畫(huà)出圖形，設(shè)出拋物線(xiàn)方程，利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解即可.【詳解】解：設(shè)拋物線(xiàn)為y2＝2px，如圖：，又，解得，設(shè)圓的半徑為，，解得：p＝2，即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為：2.故答案為：2.15、【解析】在長(zhǎng)方體中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用已知條件求出點(diǎn)H的坐標(biāo)作答.【詳解】在長(zhǎng)方體中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，因點(diǎn)H，A，三點(diǎn)共線(xiàn)，令，點(diǎn)，則，又，則，解得，所以點(diǎn)到平面ABCD的距離為.故答案為：16、【解析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列的前5項(xiàng)為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1).(2).【解析】分析：（1）由和可由點(diǎn)斜式得切線(xiàn)方程；（2）由函數(shù)在上是減函數(shù)，可得在上恒成立，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得解.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，所以，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以在上恒成立.做法一：令,有，得故.實(shí)數(shù)的取值范圍為做法二：即在上恒成立，則在上恒成立，令，顯然在上單調(diào)遞減，則，得實(shí)數(shù)的取值范圍為點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問(wèn)題經(jīng)常會(huì)遇見(jiàn)恒成立的問(wèn)題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值）.18、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由橢圓定義可得到，再利用斜率公式及直線(xiàn)的斜率之積等于，列出方程，化簡(jiǎn)對(duì)比系數(shù)可得；（2）分直線(xiàn)l的斜率為0和不為0兩種情況討論，利用可得到T在定直線(xiàn)上，且該直線(xiàn)是的中垂線(xiàn)即可得到證明.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镃上的點(diǎn)M滿(mǎn)足，所以C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且，即，，所以，設(shè)，則，①所以直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率，由已知得，即，②由①②得，所以C的方程為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為0時(shí)，A與重合，B與重合，，，成立.當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不為0時(shí)，設(shè)l的方程為聯(lián)立方程組，消x整理得所以，解得或設(shè)，則，由，得，所以設(shè)，由，得，所以，所以，所以點(diǎn)T在直線(xiàn)上，且，所以是等腰三角形，且，所以，綜上，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題第二問(wèn)突破點(diǎn)是證明T在定直線(xiàn)上，且該直線(xiàn)是的垂直平分線(xiàn)，從而得到，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)化化歸思想.19、（1）（2），【解析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解的值，再結(jié)合正弦定理求解即可；（2）根據(jù)三角形的面積可求解出邊c的值，再運(yùn)用余弦定理求解邊b.【詳解】（1），且，.由正弦定理得，.（2），.由余弦定理得，.20、（1）（2）【解析】（1）令，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；（2）令，方程化為，求出的變化情況即可求出.【小問(wèn)1詳解】令，則，則題目等價(jià)于在的最大值為9，最小值為1，對(duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口向上，則，解得；【小問(wèn)2詳解】令，則，于是方程可變?yōu)?，即，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，要使方程有兩個(gè)不同的解，則與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以.21、詳見(jiàn)解析【解析】利用反證法，即可推得矛盾.【詳解】假設(shè)有理數(shù)，則，則，為整數(shù)，的尾數(shù)只能是0,1,4,5,6,9，的尾數(shù)只能是0,1,4,5,6,9，則的尾數(shù)是0,2,8，由得，尾數(shù)為0，則的尾數(shù)是0，而的尾數(shù)為0或5，這與為最簡(jiǎn)