2024年高考數(shù)學(xué)學(xué)霸糾錯筆記統(tǒng)計含解析

不能正確區(qū)分總體、樣本、樣本容量

為了了解2024年參與市運動會的240名運動員的身高狀況，從中抽取40名運動員進行測量．下列說法正確的是A．總體是240名運動員B．個體是每一名運動員C．40名運動員的身高是一個個體D．樣本容量是40【錯解】選擇A、B、C中的一個.【試題解析】選D．依據(jù)統(tǒng)計的相關(guān)概念并結(jié)合題意可得，此題的總體、個體、樣本這三個概念的考察對象都是運動員的身高，而不是運動員，并且一個個體是指一名運動員的身高，選項A，B表達的對象都是運動員，選項C未將個體和樣本理解透徹．在這個問題中，總體是240名運動員的身高，個體是每名運動員的身高，樣本是40名運動員的身高，樣本容量是40.因此選D．【參考答案】D．1．明確相關(guān)概念對總體、個體、樣本、樣本容量的概念要嫻熟把握，要明確總體與樣本的包含關(guān)系及樣本與樣本容量的區(qū)分，如本例選項C，是對概念把握不準．2．留意考察對象解決考查總體、個體、樣本、樣本容量的概念問題時，關(guān)鍵是明確考察對象，依據(jù)相關(guān)的概念可知總體、個體與樣本的考察對象是相同的，如本例中選項A，B表達的對象都是運動員的身高而不是運動員．1．某公司有350名員工參與了今年的年度考核.為了了解這350名員工的考核成果，公司確定從中抽取50名員工的考核成果進行統(tǒng)計分析.在這個問題中，50名員工的考核成果是A．總體 B．樣本容量C．個體 D．樣本【答案】D【解析】因為本題是從350名員工的考核成果中抽取50名員工的考核成果，所以50名員工的考核成果是樣本，故選D.對隨機抽樣的概念理解不透徹對于下列抽樣方法:①運動員從8個跑道中隨機抽取1個跑道;②從20個零件中一次性拿出3個來檢驗質(zhì)量;③某班50名學(xué)生,指定其中成果優(yōu)異的2名學(xué)生參與一次學(xué)科競賽;④為了保證食品平安,從某廠供應(yīng)的一批月餅中,拿出一個檢查后放回,再拿一個檢查,反復(fù)5次,拿了5個月餅進行檢查.其中,屬于簡潔隨機抽樣的是_______.(把正確的序號都填上)【錯解】②③④【錯因分析】對簡潔隨機抽樣的概念理解不透徹.【試題解析】對于②,一次性拿出3個來檢驗質(zhì)量,違反簡潔隨機抽樣特征中的“逐個”抽取;對于③,指定其中成果優(yōu)異的2名學(xué)生,不滿足等可能抽樣的要求;對于④,不滿足不放回抽樣的要求.故填①.【參考答案】①1．簡潔隨機抽樣是不放回抽樣，抽樣過程中，每個個體被抽到的機會(概率)相等.2．應(yīng)用簡潔隨機抽樣應(yīng)留意的問題：(1)一個抽樣試驗?zāi)芊裼贸楹灧ǎP(guān)鍵看兩點：一是抽簽是否便利；二是號簽是否易攪勻．一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法．(2)在運用隨機數(shù)表時，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)時，可從選擇的隨機數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計起，每三個或四個作為一個單位，自左向右選取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復(fù)號碼的數(shù)字舍去．(3)簡潔隨機抽樣需滿足：①被抽取的樣本總體的個體數(shù)有限；②逐個抽?。虎凼遣环呕爻槿?；④是等可能抽取．2．已知下列抽取樣本的方式：①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本；②盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進行質(zhì)量檢驗，在抽樣操作時，從中隨意拿出1個零件進行質(zhì)量檢驗后再把它放回盒子里；③從20件玩具中一次性抽取3件進行質(zhì)量檢驗；④某班有56名同學(xué)，指定個子最高的5名同學(xué)參與學(xué)校組織的籃球賽．其中，不是簡潔隨機抽樣的個數(shù)是A．1 B．2C．3 D．4【答案】D【解析】①不是簡潔隨機抽樣，緣由是簡潔隨機抽樣中總體的個數(shù)是有限的，而題中是無限的；②不是簡潔隨機抽樣，緣由是簡潔隨機抽樣是不放回地抽取，而題中是放回地；③不是簡潔隨機抽樣，緣由是簡潔隨機抽樣是逐個抽取，而題中是一次性抽取；④不是簡潔隨機抽樣，緣由是個子最高的5名同學(xué)是56名同學(xué)中特定的，不存在隨機性，不是等可能抽樣．故選擇D．【名師點睛】簡潔隨機抽樣的特征要推斷所給的抽樣方法是否是簡潔隨機抽樣，關(guān)鍵是看它們是否符合簡潔隨機抽樣的定義，即簡潔隨機抽樣的四個特點：有限性、逐一性、不放回性、等可能性．①有限性：簡潔隨機抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)是有限的，便于通過樣本對總體進行分析．②逐一性：簡潔隨機抽樣是從總體中逐個地進行抽取，便于實踐中操作．③不放回性：簡潔隨機抽樣是一種不放回抽樣，便于進行有關(guān)的分析和計算．④等可能性：簡潔隨機抽樣中各個個體被抽到的機會都相等，從而保證了抽樣方法的公允性．簡潔隨機抽樣在抽樣過程中每一個個體被抽取的機會都相等(隨機抽樣的等可能性).若樣本容量為n,總體的個體數(shù)為N,則用簡潔隨機抽樣時,每一個個體被抽到的可能性都是,體現(xiàn)了這種抽樣方法的客觀性和公允性.對系統(tǒng)抽樣的特點理解不到位從2003名學(xué)生中抽取一個容量為40的樣本,應(yīng)如何抽取?【錯解】將2003名學(xué)生按0001到2003編上號;將號碼隨機分成40份,每一份再用抽簽法隨機抽取一名學(xué)生,即得到了一個容量為40的樣本.【錯因分析】由于2003不能被40整除,誤以為只能用簡潔隨機抽樣進行抽取,對兩種抽樣方法的特點理解不到位.【試題解析】先將2003名學(xué)生按0001到2003編上號,利用隨機數(shù)表法從中剔除3名學(xué)生,再對剩余的2000名學(xué)生重新從0001到2000編號,按編號依次分成40組,每組50人,先在第一組中用抽簽法抽出某一號,如0006,依次在其他組抽取0056,0106,…,1956,這樣就得到了一個容量為40的樣本.【參考答案】見試題解析1．當(dāng)總體容量較大,總體可以分為勻稱的幾個部分時,用系統(tǒng)抽樣較為合理,但當(dāng)總體容量除以樣本容量不是整數(shù)時,要先在總體中剔除部分個體.2．系統(tǒng)抽樣的操作步驟：第一步編號：先將總體的N個個體編號；其次步分段：確定分段間隔k，對編號進行分段，當(dāng)(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k=；第三步確定首個個體：在第1段用簡潔隨機抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)；第四步獲得樣本：依據(jù)確定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號，再加k得到第3個個體編號，依次進行下去，直到獲得整個樣本．系統(tǒng)抽樣是等距抽樣，用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本，當(dāng)不為整數(shù)時，取，即先從總體中用簡潔隨機抽樣的方法剔除(N－nk)個個體，且剔除多余的個體不影響抽樣的公允性．3．某初級中學(xué)領(lǐng)導(dǎo)采納系統(tǒng)抽樣方法，從該校初一年級全體800名學(xué)生中抽50名學(xué)生做牙齒健康檢查，現(xiàn)將800名學(xué)生從1到800進行編號，求得間隔數(shù)，即每16人抽取一個人．在1～16中隨機抽取一個數(shù)，假如抽到的是7，則從33～48這16個數(shù)中應(yīng)取的數(shù)是A．40 B．39C．38 D．37【答案】B【解析】由題意，用系統(tǒng)抽樣的方法，在1～16中隨機抽取一個數(shù)，抽到的是7，分組間隔為，所以從33～48中抽取的數(shù)字為.故選B.對個體的入樣可能性與抽樣間隔理解不透中心電視臺動畫城節(jié)目為了對本周的熱心觀眾賜予嘉獎，要從2014名小觀眾中抽取50名幸運小觀眾．先用簡潔隨機抽樣從2014人中剔除14人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣方法抽取50人，則在2014人中，每個人被抽取的可能性A．均不相等 B．不全相等C．都相等，且為eq\f(25,1007) D．都相等，且為eq\f(1,40)【錯解】選A或D.【錯因分析】對于選項A，誤認為剔除14人，被抽取到的機會就不相等了，錯選A；對于選項D，認為被抽取的機會相等，但利用了剔除后的數(shù)據(jù)計算，錯選D．【試題解析】選C．因為在系統(tǒng)抽樣中，若所給的總體個數(shù)不能被樣本容量整除，則應(yīng)先剔除幾個個體，本題先剔除14人，然后再分組，在剔除過程中，每個個體被剔除的機會相等．所以，每個個體被抽到的機會都相等，均為eq\f(50,2014)＝eq\f(25,1007).【參考答案】C．1．明確系統(tǒng)抽樣的操作要領(lǐng)系統(tǒng)抽樣操作要領(lǐng)是先將個體數(shù)較多的總體分成均衡的若干部分，然后依據(jù)預(yù)先指定的規(guī)則，從每一部分中抽取一個個體，得到所需樣本．系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣，每個個體被抽到的機會是相等的，如本題中2000人要分為50段．2．對系統(tǒng)抽樣合理分段在系統(tǒng)抽樣過程中，為將整個編號分段，要確定分段間隔，當(dāng)在系統(tǒng)抽樣過程中比值不是整數(shù)時，要從總體中剔除一些個體(用簡潔隨機抽樣)，但每一個個體入樣的機會仍舊相等．如本題中剔除14人后，每個人被抽取的可能性不變．4．采納系統(tǒng)抽樣的方法，從個體數(shù)為1003的總體中抽取一個容量為50的樣本，則在抽樣過程中，被剔除的個體數(shù)為_________，抽樣間隔為_________.【答案】3，20【解析】因為1003除以50等于20，且余數(shù)為3，所以應(yīng)剔除的個體數(shù)為3，抽樣間隔為20.故填3,20.忽視分層抽樣的特點某單位有老年人28人,中年人54人,青年人81人,為了調(diào)查他們的身體狀況,需從中抽取一個容量為36的樣本,則適合的抽樣方法是A．簡潔隨機抽樣 B．系統(tǒng)抽樣C．干脆運用分層抽樣 D．先從老年人中剔除1人,再用分層抽樣【錯解】因為總體由差異明顯的三部分組成,所以考慮用分層抽樣.因為總?cè)藬?shù)為28+54+81=163,樣本容量為36,由于按抽樣,無法得到整數(shù)解,因此考慮先剔除1人,將抽樣比變?yōu)?若從老年人中隨機地剔除1人,則老年人應(yīng)抽取27×=6(人),中年人應(yīng)抽取54×=12(人),青年人應(yīng)抽取81×=18(人),從而組成容量為36的樣本.故選D．【錯因分析】假如用簡潔隨機抽樣先從老年人中剔除1人的話,老年人被抽到的概率明顯比其他人群小了,這不符合隨機抽樣的特征——每個個體入樣的幾率相等.留意題干明確地說“先從老年人中剔除1人”,這和以前做的從總體中隨機剔除1人是不一樣的.【試題解析】干脆運用分層抽樣,老年人、中年人和青年人中應(yīng)抽取的人數(shù)分別為×28≈6,×54≈12,×81≈18,故選C．【方法點睛】分層抽樣的一個很重要的特點是每個個體被抽到的概率是一樣的.當(dāng)依據(jù)比例計算出的值不是整數(shù)時,一般是采納四舍五入的方法取值,若四舍五入后得到的樣本容量與要求的不盡相同,則可依據(jù)問題的實際意義適當(dāng)處理,使之相同,這只是細微環(huán)節(jié)性問題,并未變更分層抽樣的本質(zhì).【參考答案】C.1．分層抽樣的前提和遵循的兩條原則(1)前提：分層抽樣運用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區(qū)分，而層內(nèi)個體間差異較小，每層中所抽取的個體數(shù)可按各層個體數(shù)在總體的個體數(shù)中所占比例抽?。?2)遵循的兩條原則：①將相像的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；②分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡潔隨機抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比．2．與分層抽樣有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求某一層的樣本數(shù)或總體個數(shù)．可依據(jù)題意求出抽樣比，再由某層總體個數(shù)(或樣本數(shù))確定該層的樣本(或總體)數(shù)．(2)求各層的樣本數(shù)．可依據(jù)題意，求出各層的抽樣比，再求出各層樣本數(shù)．進行分層抽樣時應(yīng)留意以下幾點：(1)分層抽樣中分多少層、如何分層要視詳細狀況而定，總的原則是層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊．(2)為了保證每個個體等可能入樣，全部層中每個個體被抽到的可能性相同．(3)在每層抽樣時，應(yīng)采納簡潔隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣．5．某校有高一學(xué)生n名，其中男生數(shù)與女生數(shù)之比為，為了解學(xué)生的視力狀況，現(xiàn)要求按分層抽樣的方法抽取一個樣本容量為的樣本，若樣本中男生比女生多12人，則A．990 B．1320 C．1430 D．1560【答案】B【解析】依題意可得，解得，故選B.【名師點睛】本題考查分層抽樣的相關(guān)計算，解題時要利用分層抽樣的特點列式求解，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.在分層抽樣中,確定抽樣比k是抽樣的關(guān)鍵.一般地,抽樣比k=nN(N為總體容量,n為樣本容量),再按抽樣比在各層中抽取個體,就能確保抽樣的公允性.在每層抽樣時,應(yīng)采納簡潔隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進行.誤將頻率分布直方圖的縱坐標當(dāng)作頻率中小學(xué)生的視力狀況受到社會的關(guān)注.某市有關(guān)部門從全市6萬名高一學(xué)生中隨機抽取400名學(xué)生,對他們的視力狀況進行一次調(diào)查統(tǒng)計,將所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖,如圖所示,從左至右五個小組的頻率之比為5∶7∶12∶10∶6,則該市6萬名高一學(xué)生中視力在[3.95,4.25)范圍內(nèi)的學(xué)生約有多少人?【錯解】由圖可知,第五小組的頻率為0.5,所以第一小組的頻率為0.5×.所以該市6萬名高一學(xué)生中視力在[3.95,4.25)范圍內(nèi)的學(xué)生約有60000×=25000(人).【錯因分析】表面上看本題的回答好像正確無誤,其實答案是錯誤的,其錯因在于沒有看懂所供應(yīng)的頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)的含義,誤將該頻率分布直方圖中的縱坐標(頻率與組距的比)看成了頻率,從而導(dǎo)致問題的解答出錯.【試題解析】由圖可知,第五小組的頻率為0.5×0.3=0.15,所以第一小組的頻率為0.15×=0.125.所以該市6萬名高一學(xué)生中視力在[3.95,4.25)范圍內(nèi)的學(xué)生約有60000×0.125=7500(人).【參考答案】7500.在數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中,縱坐標表示的是頻率與組距的比,每個小長方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率，將頻率與組距的比錯認成頻率是初學(xué)者常常犯的錯誤之一,解題過程中要引起足夠的重視.1．畫頻率分布直方圖的步驟（1）求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；（2）確定組距與組數(shù)；（3）將數(shù)據(jù)分組；（4）列頻率分布表；（5）畫頻率分布直方圖(以橫軸表示樣本分組，縱軸表示頻率與組距的比值).2．頻率分布直方圖的性質(zhì)（1）落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示，且各小長方形的面積的和等于1.（2）頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系①最高的小長方形中的某個（些）點的橫坐標即是眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．繪制頻率分布直方圖的留意事項：(1)計算極差，須要找出這組數(shù)的最大值和最小值，當(dāng)數(shù)據(jù)許多時，可選一個數(shù)當(dāng)參照．(2)將一批數(shù)據(jù)分組，目的是要描述數(shù)據(jù)分布規(guī)律，要依據(jù)數(shù)據(jù)多少來確定分組數(shù)目，一般來說，數(shù)據(jù)越多，分組越多．(3)將數(shù)據(jù)分組，確定分點時，一般使分點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第一組的起點略微減小一點．(4)列頻率分布表時，可通過逐一推斷各個數(shù)據(jù)落在哪個小組內(nèi)，以“正”字確定各個小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù)．(5)畫頻率分布直方圖時，縱坐標表示頻率與組距的比值，確定不能標成頻率．6．某校200名學(xué)生的數(shù)學(xué)期中考試成果頻率分布直方圖如圖所示，其中成果分組區(qū)間是.（1）求圖中m的值；（2）依據(jù)頻率分布直方圖，估計這200名學(xué)生的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表）和中位數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；（3）若這200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果中，某些分數(shù)段的人數(shù)x與英語成果相應(yīng)分數(shù)段的人數(shù)y之比如下表所示，求英語成果在的人數(shù).分數(shù)段[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）x：y1:22:16:51:21:1【答案】（1）；（2）平均分為，中位數(shù)為；（3）140人.【解析】（1）由，解得.（2）頻率分布直方圖中每一個小矩形的面積乘以底邊中點的橫坐標之和即為平均數(shù)，即估計平均數(shù)為.設(shè)中位數(shù)為,則，解得.（3）由頻率分布直方圖可求出這200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果在，，的分別有60人，40人，10人，依據(jù)表中給的比例，則英語成果在，，的分別有50人，80人，10人，所以英語成果在的有140人.【名師點睛】本題主要考查頻率分布直方圖的性質(zhì)，考查頻率分布直方圖中平均數(shù)和中位數(shù)的計算，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.頻率分布直方圖是用樣本估計總體的一種重要方法，是高考命題的一個熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為簡潔題或中檔題，且主要有以下幾個命題角度：(1)已知頻率分布直方圖中的部分數(shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù)．可依據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與總體的關(guān)系，利用頻率和等于1就可求出其他數(shù)據(jù)．(2)已知頻率分布直方圖，求某種范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)．可利用圖形及某范圍結(jié)合求解．(3)與概率有關(guān)的綜合問題，可先求出頻率，再利用古典概型等學(xué)問求解.對莖葉圖的畫法規(guī)則相識不夠某市對上下班狀況作了抽樣調(diào)查,上下班時間各抽測了12輛機動車的車速如下(單位:km/h):上班時間:30,33,18,27,32,40,26,28,21,28,35,20;下班時間:27,19,32,29,36,29,30,22,25,16,17,30.用莖葉圖表示以上數(shù)據(jù).【錯解】機動車行駛速度的莖葉圖如圖所示.【錯因分析】莖葉圖對于重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄.【試題解析】機動車行駛速度的莖葉圖如圖.【方法點睛】畫莖葉圖須要留意,將每個數(shù)據(jù)分為莖和葉兩部分,將表示莖的數(shù)字依據(jù)大小依次由上到下排列,在寫每行葉子的時候,重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字應(yīng)當(dāng)按原次數(shù)寫入葉子部位,不能只按一次寫入.【參考答案】見試題解析.1．莖葉圖將全部兩位數(shù)的十位數(shù)字作為莖，個位數(shù)字作為葉，莖相同者共用一個莖，莖按從小到大的依次從上向下列出，共莖的葉可以按從大到小(或從小到大)的依次同行列出(也可以沒有大小依次)．2．繪制莖葉圖的關(guān)鍵是分清莖和葉．一般地說，當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位數(shù)時，十位上的數(shù)字為“莖”，個位上的數(shù)字為“葉”；假如是小數(shù)，通常把整數(shù)部分作為“莖”，小數(shù)部分作為“葉”．解題時要依據(jù)數(shù)據(jù)的特點合理地選擇莖和葉．3．應(yīng)用莖葉圖對兩組數(shù)據(jù)進行比較時，要從數(shù)據(jù)分布的對稱性、中位數(shù)、穩(wěn)定性等幾方面來比較．4．莖葉圖只適用于樣本數(shù)據(jù)較少的狀況．在樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好．它不但可以保留全部信息，而且可以隨時記錄，這對數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來便利．但是當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時，莖葉圖就顯得不太便利，因為每一個數(shù)據(jù)都要在圖中占據(jù)一個空間，假如數(shù)據(jù)許多，枝葉就會很長．7．某中學(xué)要從高一年級甲、乙兩個班級中選擇一個班參與市電視臺組織的“環(huán)保學(xué)問競賽”.該校對甲、乙兩班的參賽選手（每班7人）進行了一次環(huán)境學(xué)問測試，他們?nèi)〉玫某晒M分100分）的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生的平均分是85分，乙班學(xué)生成果的中位數(shù)是85.（1）求的值；（2）依據(jù)莖葉圖，求甲、乙兩班同學(xué)成果的方差的大小，并從統(tǒng)計學(xué)角度分析，該校應(yīng)選擇甲班還是乙班參賽.【答案】（1）；；（2）應(yīng)當(dāng)選擇乙班參賽.【解析】（1）因為甲班學(xué)生的平均分是85，所以，解得.因為乙班學(xué)生成果的中位數(shù)是85，所以.（2）由（1）可知，，所以.由莖葉圖可得，，所以，所以.故該校應(yīng)當(dāng)選擇乙班參賽.【名師點睛】本題考查了依據(jù)莖葉圖求平均數(shù)，依據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)求原始數(shù)據(jù)，考查了計算方差，并利用方差做出統(tǒng)計推斷的問題.忽視方差的統(tǒng)計意義甲、乙兩種冬小麥試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位:t/km2):品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8若某村要從中引進一種冬小麥大量種植,給出你的建議.【錯解】由題意得x-甲=15×(9.8+9.9x-乙=15×(9.4+10.3甲、乙兩種冬小麥的平均產(chǎn)量都等于10,所以引進兩種冬小麥的隨意一種都可以.【錯因分析】上述錯誤在于只對兩種冬小麥的平均產(chǎn)量做了比較,而忽視了對冬小麥產(chǎn)量穩(wěn)定性的探討.【試題解析】由題意得x-甲=15×(9.8+9.9x-乙=15×(9.4+10.3s甲2=15×[(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+s乙2=15×[(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+甲、乙兩種冬小麥的平均產(chǎn)量都等于10,且s甲所以產(chǎn)量比較穩(wěn)定的為甲種冬小麥,舉薦引進甲種冬小麥大量種植.【方法點睛】平均數(shù)反映的是樣本個體的平均水平,方差和標準差則反映了樣本的波動、離散程度.對于形如“誰發(fā)揮更好、誰更穩(wěn)定、誰更優(yōu)秀”之類的題目,除比較數(shù)據(jù)的平均值外,還應(yīng)當(dāng)比較方差或標準差的大小,以作出更為公正、合理的推斷.【參考答案】舉薦引進甲種冬小麥大量種植.用樣本估計總體時,樣本的平均數(shù)、標準差只是總體的平均數(shù)、標準差的近似.實際應(yīng)用中，當(dāng)所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不相等時，需先分析平均水平，再計算標準差(方差)分析穩(wěn)定狀況.1．平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述.2．眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量.平均數(shù)反映的是樣本個體的平均水平，眾數(shù)和中位數(shù)則反映樣本中個體的“重心”.3．?dāng)?shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標準差來描述，極差反映了一組數(shù)據(jù)變更的最大幅度，它對一組數(shù)據(jù)中的極端值極為敏感.一般狀況下,極差大,則數(shù)據(jù)波動性大;極差小,則數(shù)據(jù)波動性小.極差只需考慮兩個極端值,便于計算,但沒有考慮中間的數(shù)據(jù),牢靠性較差.方差和標準差反映了數(shù)據(jù)波動程度的大?。畼藴什?、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．8．甲、乙兩種水稻試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/hm2)，試依據(jù)這組數(shù)據(jù)估計哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定.品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8【答案】甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定【解析】甲品種的樣本平均數(shù)為10，樣本方差為[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02.乙品種的樣本平均數(shù)也為10，樣本方差為[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2)＋(9.8－10)2]÷5＝0.244.因為0.244＞0.02，所以，由這組數(shù)據(jù)可以認為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定．運用數(shù)字特征作評價時考慮不周一次數(shù)學(xué)學(xué)問競賽中,兩組學(xué)生成果如下:分數(shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212經(jīng)計算,已知兩個組的平均分都是80分,請依據(jù)所學(xué)過的統(tǒng)計學(xué)問,進一步推斷這次競賽中哪個組更優(yōu)秀,并說明理由.【錯解】由于乙組90分以上的人數(shù)比甲組90分以上的人數(shù)多,所以乙組更優(yōu)秀.【錯因分析】對一組數(shù)據(jù)進行分析的時候,應(yīng)從平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、極差等多個角度進行推斷.【試題解析】(1)甲組成果的眾數(shù)為90分,乙組成果的眾數(shù)為70分,從成果的眾數(shù)這一角度看,甲組成果好些.(2)s甲2=12+5+10+13+14+6×[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+同理s乙因為s甲2<s乙(3)甲、乙兩組成果的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分,其中甲組成果在80分以上(含80分)的有33人,乙組成果在80分以上(含80分)的有26人,從這一角度看,甲組成果總體較好.(4)從成果統(tǒng)計表看,甲組成果大于或等于90分的有20人,乙組成果大于或等于90分的有24人,所以乙組成果在高分段的人數(shù)多.同時,乙組滿分比甲組多6人,從這一角度看,乙組成果較好.【參考答案】見解析.1．平均數(shù)受個別極端數(shù)據(jù)(比其他數(shù)據(jù)大許多或小許多的數(shù)據(jù))的影響較大,因此若在數(shù)據(jù)中存在少量極端數(shù)據(jù)時,平均數(shù)對總體估計的牢靠性較差,往往用眾數(shù)或中位數(shù)去估計總體.有時也采納剔除最大值與最小值后所得的平均數(shù)去估計總體.2．運用數(shù)字特征進行評價時,要全面考慮各數(shù)字特征的優(yōu)缺點,從不同層面或兩兩綜合進行評價,才能得到較為牢靠的估計.9．全國高校朝氣器人大賽是由共青團中心，全國學(xué)聯(lián)，深圳市人民政府聯(lián)合主辦的賽事，是中國最具影響力的機器人項目，是全球獨創(chuàng)的機器人競技平臺.全國高校朝氣器人大賽比拼的是參賽選手們的實力，堅持和看法，呈現(xiàn)的是個人實力以及整個團隊的力氣.2015賽季共吸引全國240余支機器人戰(zhàn)隊踴躍報名，這些參賽戰(zhàn)隊來自全國六大賽區(qū)，150余所高等院校，其中不乏北京高校，清華高校，上海交大，中國科大，西安交大等眾多國內(nèi)頂尖高校，經(jīng)過嚴格篩選，最終由111支機器人戰(zhàn)隊參與到2015年全國高校朝氣器人大賽的激烈角逐之中，某高校共有“機器人”愛好團隊1000個，大一、大二、大三、大四分別有100，200，300，400個，為選擇優(yōu)秀團隊，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從以上團隊中抽取20個團隊.（1）應(yīng)從大三抽取多少個團隊？（2）將20個團隊分為甲、乙兩組，每組10個團隊，進行理論和實踐操作考試（共150分），甲、乙兩組的分數(shù)如下：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140從甲、乙兩組中選一組強化訓(xùn)練，備戰(zhàn)機器人大賽.從統(tǒng)計學(xué)數(shù)據(jù)看，若選擇甲組，理由是什么？若選擇乙組，理由是什么？【答案】(1)6個團隊;(2)見解析.【解析】（1）由題知，大三團隊個數(shù)占總團隊數(shù)的3001000則用分層抽樣的方法，應(yīng)從大三中抽取20×3（2）甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)x甲=130，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)甲組數(shù)據(jù)的方差s甲2=104.2選甲隊理由：甲、乙兩隊平均數(shù)相差不大，且s甲2<選乙隊理由：，且乙隊中不低于140分的團隊多，在競技競賽中，高分團隊獲勝的概率大.本題考查分層抽樣的方法，平均數(shù)、方差的計算方法以及應(yīng)用，考查用樣本的數(shù)據(jù)特征估計總體的數(shù)據(jù)特征的方法，考查運算求解實力和數(shù)據(jù)處理實力，考查運用基本學(xué)問分析解決實際問題的實力.平均數(shù)：能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體平均水平，但易受少數(shù)極端值的影響；方差：反映數(shù)據(jù)的波動程度，方差值越大，數(shù)據(jù)的波動越大.弄錯回來方程中，的位置某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成果如下表：（1）畫出散點圖.（2）求物理成果y對數(shù)學(xué)成果x的線性回來方程.【錯解】（1）散點圖如圖所示：（2）計算得，，，，所以，.所以y對x的線性回來方程是.【錯因分析】錯解中回來方程記憶錯誤，應(yīng)為.【試題解析】（1）散點圖如圖所示：（2）計算得，，，，所以，.所以y對x的線性回來方程是.【參考答案】.由回來直線方程得到的預(yù)報值不是預(yù)報變量的精確值，事實上，它是預(yù)報變量的可能取值的平均值.1．求回來直線方程的一般步驟：（1）作出散點圖，依據(jù)問題所給的數(shù)據(jù)在平面直角坐標系中描點，視察點的分布是否呈條狀分布，即是否在一條直線旁邊，從而推斷兩變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系．（2）當(dāng)兩變量具有線性相關(guān)關(guān)系時，求回來系數(shù)，寫出回來直線方程．（3）依據(jù)方程進行估計.2．不要受前面學(xué)習(xí)的直線方程的影響，而將回來方程寫為，事實上，回來方程應(yīng)為.10．在一段時間內(nèi)，分5次測得某種商品的價格（單位：萬元）和需求量之間的一組數(shù)據(jù)為：12345價格1.41.61.822.2需求量1210753已知，，，，（1）求出對的回來方程；（2）如價格定為1.9萬元，預(yù)料需求量大約是多少？（精確到）.【答案】(1)；（2）需求量大約是.【解析】（1）因為，，，，所以，，故對的回來方程為.（2）當(dāng)時，.故當(dāng)價格定為1.9萬元時，需求量大約是.回來系數(shù)的含義是：（1）代表x每增加一個單位,y的平均增加單位數(shù),而不是增加單位數(shù).（2）當(dāng)>0時,兩個變量呈正相關(guān)關(guān)系,含義為：x每增加一個單位,y平均增加個單位數(shù)；當(dāng)<0時,兩個變量呈負相關(guān)關(guān)系,含義為：x每增加一個單位,y平均削減個單位數(shù).忽視求回來方程的前提——線性相關(guān)假設(shè)某設(shè)備的運用年限和所支出的修理費用如下表中統(tǒng)計資料所示:運用年限x(年)123456修理費用y(萬元)5.00.80.56.57.01.2能否用線性回來模型描述兩個變量間的關(guān)系？【錯解】求出相關(guān)的數(shù)據(jù)干脆代入公式求得=0.16,=2.94,則線性回來方程為=0.16x+2.94.故可以用線性回來模型描述兩個變量之間的關(guān)系.【錯因分析】沒有先推斷兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系.【試題解析】畫出散點圖,如圖所示,從散點圖上看,這些點的分布幾乎沒有什么規(guī)則,故不能用線性回來模型描述兩個變量之間的關(guān)系.【參考答案】不能用線性回來模型描述兩個變量之間的關(guān)系.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點：共同點：二者都是指兩個變量間的關(guān)系．不同點：函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，體現(xiàn)的是因果關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，體現(xiàn)的不確定是因果關(guān)系，可能是伴隨關(guān)系．1．兩個變量x與y相關(guān)關(guān)系的推斷方法：(1)散點圖法：通過散點圖，視察它們的分布是否存在確定規(guī)律，直觀地推斷；假如發(fā)覺點的分布從整體上看大致在一條直線旁邊，那么這兩個變量就是線性相關(guān)的，留意不要受個別點的位置的影響．(2)表格、關(guān)系式法：結(jié)合表格或關(guān)系式進行推斷；(3)閱歷法：借助積累的閱歷進行分析推斷．2．求線性回來方程時，先利用散點圖推斷兩個變量是否存在線性相關(guān)關(guān)系，只有在兩個變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系時，求出的線性回來方程才有意義.否則，假如兩個變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，即使由樣本數(shù)據(jù)求出回來方程，用其估計和預(yù)料的結(jié)果也是不行信的.11．在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521試建立y與x之間的回來方程．【答案】.【解析】由數(shù)值表可作散點圖如圖所示：依據(jù)散點圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)y＝eq\f(k,x)，令t＝eq\f(1,x)，則y＝kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)椋簍4210.50.25y1612521由置換后的數(shù)值表作散點如圖所示：由散點圖可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系．列表如下：itiyitiyi141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.06251∑7.753694.2521.3125430所以＝1.55，＝7.2，所以，，所以.所以y與x的回來方程是.若兩變量間的關(guān)系不是線性相關(guān)關(guān)系，應(yīng)視察分析其散點圖，找出擬合函數(shù)，通過變量代換再作線性回來．假如本題干脆如下求解：∵eq\x\to(x)＝eq\f(0.25＋0.5＋1＋2＋4,5)＝1.55，eq\x\to(y)＝eq\f(16＋12＋5＋2＋1,5)＝7.2，＝0.25×16＋0.5×12＋1×5＋2×2＋4×1＝23，＝0.252＋0.52＋12＋22＋42＝21.3125，＝162＋122＋52＋22＋12＝430.∴.，∴＝12.67－3.53x.這種解法是錯誤的，緣由是這兩個變量之間不是線性相關(guān)關(guān)系．此類問題的解決，應(yīng)先對兩個變量間的相關(guān)關(guān)系進行相關(guān)性檢驗，然后結(jié)合作出的散點圖，選擇相宜的回來方程．沒有精確駕馭公式中參數(shù)的含義有甲、乙兩個班級進行一門考試，依據(jù)學(xué)生考試成果優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計后，得到如下的列聯(lián)表：班級與成果列聯(lián)表：優(yōu)秀不優(yōu)秀總計甲班103545乙班73845總計177390試問能有多大把握認為“成果與班級有關(guān)系”？參考公式及數(shù)據(jù)：,其中．0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【錯解】計算得的觀測值為，因為56.86＞6.635，所以有99%的把握認為“成果與班級有關(guān)系”．【錯因分析】由于對2×2列聯(lián)表中a、b、c、d的位置不清晰，在代入公式時代錯了數(shù)值導(dǎo)致計算結(jié)果的錯誤．【試題解析】計算得的觀測值為，因為0.653＜3.841，所以沒有充分證據(jù)認為“成果與班級有關(guān)系”．【參考答案】沒有充分證據(jù)認為“成果與班級有關(guān)系”．獨立性檢驗中，參數(shù)K2的公式困難，計算量大，要弄清公式的特點，熟記公式，當(dāng)心計算，避開馬虎致誤．解決一般的獨立性檢驗問題，首先由題目所給的2×2列聯(lián)表確定a,b,c,d,n的值，然后代入隨機變量的計算公式求出觀測值k，將k與臨界值k0進行對比,確定有多大的把握認為“兩個分類變量有關(guān)系”.列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是樣本數(shù)據(jù),它只是總體的代表,具有隨機性,因此,須要用獨立性檢驗的方法確認所得結(jié)論在多大程度上適用于總體.即獨立性檢驗得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全確定一個結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時確定要留意這點，不行對某個問題下確定性結(jié)論，否則就可能對統(tǒng)計計算的結(jié)果作出錯誤的說明.12．某醫(yī)院治療白血病有甲、乙兩套方案，現(xiàn)就70名患者治療后復(fù)發(fā)的狀況進行了統(tǒng)計，得到其等高條形圖如圖所示（其中采納甲、乙兩種治療方案的患者人數(shù)之比為．（1）補充完整列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，并推斷是否有把握認為甲乙兩套治療方案對患者白血病復(fù)發(fā)有影響；復(fù)發(fā)未復(fù)發(fā)總計甲方案乙方案2總計70（2）為改進“甲方案”，按分層抽樣組成了由5名患者構(gòu)成的樣本，求隨機抽取2名患者恰好是復(fù)發(fā)患者和未復(fù)發(fā)患者各1名的概率．附：0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828，．【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）依據(jù)題意知，70名患者中采納甲種治療方案的患者人數(shù)為50人，采納乙種治療方案的患者人數(shù)為20人，補充完整列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，如圖所示；復(fù)發(fā)未復(fù)發(fā)總計甲方案203050乙方案21820總計224870計算觀測值得，，所以沒有的把握認為甲、乙兩套治療方案對患者白血病復(fù)發(fā)有影響；（2）在甲種治療方案中按分層抽樣抽取5名患者，復(fù)發(fā)的抽取2人，即為、；未復(fù)發(fā)的抽取3人，記為、、，從這5人中隨機抽取2人，基本領(lǐng)件為：、、、、、、、、、共10種，其中2人恰好是復(fù)發(fā)患者和未復(fù)發(fā)患者各1名的基本領(lǐng)件為：、、、、、共6種，則所求的概率為．一、三種抽樣方法1．三種抽樣方法的比較類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡潔隨機抽樣是不放回抽樣，抽樣過程中，每個個體被抽到的機會(概率)相等從總體中逐個抽取—總體中的個數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則，在各部分抽取在起始部分抽樣時，采納簡潔隨機抽樣總體中的個數(shù)比較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時，采納簡潔隨機抽樣或者系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成2．抽樣方法的選取方法(1)若總體由差異明顯的幾個層次組成，則選用分層抽樣．(2)若總體沒有差異明顯的層次，則考慮采納簡潔隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣．當(dāng)總體容量較小時宜用抽簽法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量較小時宜用隨機數(shù)表法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量也較大時宜用系統(tǒng)抽樣．利用系統(tǒng)抽樣的兩個關(guān)鍵步驟：(1)分組，當(dāng)總體個數(shù)N能被樣本容量n整除時，分為n個組，分段間隔k＝eq\f(N,n)；(2)獲得樣本用簡潔隨機抽樣在第一組抽取起始數(shù)s，通常把起始數(shù)s加上間隔k得到第2個個體編號(s＋k)，再加上k得第3個個體編號(s＋2k)，依次進行下去，直到獲得樣本．二、用樣本估計總體1．?dāng)?shù)字特征（1）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征定義與頻率分布直方圖的關(guān)系眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)最高的小長方形中的某個（些）點的橫坐標中位數(shù)將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和（2）極差、方差和標準差極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差．方差：.標準差：.（3）性質(zhì)①若的平均數(shù)為，那么的平均數(shù)為.②數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變．③若的方差為s2，那么的方差為.2．統(tǒng)計表（1）頻率分布的估計：頻率分布是指各個小組數(shù)據(jù)在樣本中所占比例的大小，可以用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布，頻率分布表是反映樣本的頻率分布的表格．通過頻率分布直方圖和頻率分布表可以看到樣本的頻率分布．（2）盡管有些總體密度曲線是客觀存在的，但是在實際應(yīng)用中我們并不知道它的詳細表達形式，須要用樣原來估計．由于樣本是隨機的，不同的樣本得到的頻率分布折線圖不同；即使對于同一個樣本，不同的分組狀況得到的頻率分布折線圖也不同．頻率分布折線圖是隨樣本容量和分組狀況的變更而變更的，因此不能用樣本的頻率分布折線圖得到精確的總體密度曲線．（3）估計總體分布的步驟是：①選擇適當(dāng)?shù)某闃臃椒◤目傮w中抽取樣本，即收集數(shù)據(jù)．②利用樣本數(shù)據(jù)畫出統(tǒng)計圖或計算數(shù)字特征．③結(jié)合統(tǒng)計圖分析樣本取值的分布規(guī)律．④用樣本取值的分布規(guī)律估計總體分布，由于是用科學(xué)抽樣抽取的樣本，那么樣本與總體取值的分布規(guī)律近似，有時也可看成相同.⑤利用總體分布解決有關(guān)問題．（4）各種統(tǒng)計表的優(yōu)點與不足優(yōu)點不足頻率分布表表示數(shù)據(jù)較準確分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢不便利頻率分布直方圖表示數(shù)據(jù)分布狀況特別直觀原有的詳細數(shù)據(jù)信息被抹掉了頻率分布折線圖能反映數(shù)據(jù)的變更趨勢不能顯示原有數(shù)據(jù)莖葉圖一是全部的信息都可以從這個莖葉圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，能夠展示數(shù)據(jù)的分布狀況樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時，不便利表示數(shù)據(jù)頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線都是描述樣本數(shù)據(jù)分布狀況，估計總體頻率分布規(guī)律的，其聯(lián)系如下：三、變量間的相關(guān)關(guān)系1．相關(guān)關(guān)系當(dāng)自變量取值確定時，因變量的取值帶有確定的隨機性，則這兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系．即相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．當(dāng)一個變量的值由小變大時，另一個變量的值也由小變大，則這兩個變量正相關(guān)；當(dāng)一個變量的值由小變大時，而另一個變量的值由大變小，則這兩個變量負相關(guān).2．散點圖將樣本中的n個數(shù)據(jù)點描在平面直角坐標系中，所得圖形叫做散點圖．從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關(guān)關(guān)系為負相關(guān)．具有正相關(guān)關(guān)系的兩個變量的散點圖如圖1，具有負相關(guān)關(guān)系的兩個變量的散點圖如圖2.3．回來分析假如散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線旁邊，則這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回來直線．回來直線對應(yīng)的方程叫做回來直線方程(簡稱回來方程)．4．回來方程的求解（1）求回來方程的方法是最小二乘法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回來直線的距離的平方和最?。糇兞縳與y具有線性相關(guān)關(guān)系，有n個樣本數(shù)據(jù)，則回來方程中，.其中，稱為樣本點的中心．（2）線性回來模型，其中稱為隨機誤差，自變量稱為說明變量，因變量稱為預(yù)報變量．①回來直線必過樣本點的中心，這個結(jié)論既是檢驗所求回來直線方程是否精確的依據(jù)，也是求參數(shù)的一個依據(jù)．②利用回來直線方程不但可以預(yù)料在x取某一個值時，y的估計值，同時也能知道x每增加1個單位，的變更量．③在回來直線方程中，既表示直線的斜率，又表示自變量x的取值每增加一個單位時，函數(shù)y的變更量．5．相關(guān)系數(shù)（1）樣本相關(guān)系數(shù)r的計算公式我們可以利用相關(guān)系數(shù)來定量地衡量兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，計算公式為.（2）樣本相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)①；②當(dāng)r>0時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時，表明兩個變量負相關(guān)；③|r|越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強；④|r|越接近于0，表明兩個變量的線性相關(guān)性越弱.6．非線性回來分析對某些特別的非線性關(guān)系，可以通過變量轉(zhuǎn)換，把非線性回來問題轉(zhuǎn)化成線性回來問題，然后用線性回來的方法進行探討．在大量的實際問題中，所探討的兩個變量不確定都呈線性相關(guān)關(guān)系，當(dāng)兩變量y與x不具有線性相關(guān)關(guān)系時，要借助散點圖，與已學(xué)過的函數(shù)(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)的圖象相比較，找到合適的函數(shù)模型，利用變量代換轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)關(guān)系，從而使問題得以解決．求非線性回來方程的步驟：①確定變量，作出散點圖．②依據(jù)散點圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)．③變量置換，通過變量置換把非線性回來問題轉(zhuǎn)化為線性回來問題，并求出線性回來方程．④分析擬合效果：通過計算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來推斷擬合效果．⑤依據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回來方程．7．刻畫回來效果的方式方式方法計算公式刻畫效果越接近于1，表示回來的效果越好殘差圖稱為相應(yīng)于點的殘差，殘差點比較勻稱地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高.殘差平方和殘差平方和越小，模型的擬合效果越好四、獨立性檢驗1．獨立性檢驗利用隨機變量(也可表示為)(其中為樣本容量)來推斷“兩個變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗．2．獨立性檢驗的一般步驟(1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表；(2)計算隨機變量的觀測值k，查下表確定臨界值k0：(3)假如，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”．(1)通常認為時，樣本數(shù)據(jù)就沒有充分的證據(jù)顯示“X與Y有關(guān)系”．(2)獨立性檢驗得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全確定一個結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時確定要留意這點，不行對某個問題下確定性結(jié)論，否則就可能對統(tǒng)計計算的結(jié)果作出錯誤的說明．(3)獨立性檢驗是對兩個變量有關(guān)系的可信程度的推斷，而不是對其是否有關(guān)系的推斷．1．【2024年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】某學(xué)校為了解1000名新生的身體素養(yǎng)，將這些學(xué)生編號為1，2，…，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進行體質(zhì)測驗．若46號學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是A．8號學(xué)生 B．200號學(xué)生C．616號學(xué)生 D．815號學(xué)生【答案】C【解析】由已知將1000名學(xué)生分成100個組，每組10名學(xué)生，用系統(tǒng)抽樣，46號學(xué)生被抽到，所以第一組抽到6號，且每組抽到的學(xué)生號構(gòu)成等差數(shù)列，公差，所以，若，解得，不合題意；若，解得，不合題意；若，則，符合題意；若，則，不合題意．故選C．2．【2024年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)珍寶，并稱為中國古典小說四大名著．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的狀況，隨機調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8【答案】C【解析】由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C．【名師點睛】本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．實行去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．3．目前，國內(nèi)許多評價機構(gòu)經(jīng)過反復(fù)調(diào)研論證，研制出“增值評價”方式.下面實例是某市對“增值評價”的簡潔應(yīng)用，該市教化評價部門對本市所中學(xué)依據(jù)分層抽樣的方式抽出所(其中，“重點中學(xué)”所分別記為,“一般中學(xué)”所分別記為),進行跟蹤統(tǒng)計分析，將所中學(xué)新生進行了統(tǒng)一的入學(xué)測試.高考后，該市教化評價部門將入學(xué)測試成果與高考成果的各校平均總分繪制成了雷達圖.點表示學(xué)校入學(xué)測試平均總分大約分，點表示學(xué)校高考平均總分大約分，則下列敘述不正確的是A．各校入學(xué)統(tǒng)一測試的成果都在分以上B．高考平均總分超過分的學(xué)校有所C．學(xué)校成果出現(xiàn)負增幅現(xiàn)象D．“一般中學(xué)”學(xué)生成果上升比較明顯【答案】B【解析】A.各校人學(xué)統(tǒng)一測試的成果都在分以上，依據(jù)圖象知，正確.B.高考平均總分超過分的學(xué)校有所，依據(jù)圖象知，只有ABC三所，錯誤.C.學(xué)校成果出現(xiàn)負增幅現(xiàn)象，依據(jù)圖象，高考成果低于入學(xué)測試，正確.D.“一般中學(xué)”學(xué)生成果上升比較明顯，依據(jù)圖象，“一般中學(xué)”高考成果都大于入學(xué)測試，正確.故選B.【名師點睛】本題考查了雷達圖的學(xué)問，意在考查學(xué)生的應(yīng)用實力和解決問題的實力.4．某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150，120，180，150個銷售點．公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售狀況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本．記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)有20個大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)等狀況，記這項調(diào)查為②，則完成①，②這兩項調(diào)查宜采納的抽樣方法依次是A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡潔隨機抽樣法C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡潔隨機抽樣法，分層抽樣法【答案】B【解析】依據(jù)題意，第①項調(diào)查中，總體中的個體差異較大，應(yīng)采納分層抽樣法；第②項調(diào)查總體中個體較少，應(yīng)采納簡潔隨機抽樣法．

故選：B．5．某單位為了落實“綠水青山就是金山銀山”理念,制定節(jié)能減排的目標,先調(diào)查了用電量(單位:千瓦·時)與氣溫(單位:)之間的關(guān)系,隨機選取了4天的用電量與當(dāng)天氣溫,并制作了以下比照表：（單位：）171410（單位：千瓦·時）24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回來方程:,則由此估計:當(dāng)某天氣溫為12時,當(dāng)天用電量約為A．56千瓦·時 B．36千瓦·時 C．34千瓦·時 D．38千瓦·時【答案】B【解析】由題意可得，，由于回來直線過樣本的中心點，則，得，回來直線方程為，當(dāng)時，（千瓦·時），故選B.【名師點睛】本題考查回來直線方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于利用回來直線過樣本中心點這一結(jié)論，考查計算實力，屬于中等題.6．總體由編號為00，01，02，…，48，49的50個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取6個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)字起先從左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出的第3個個體的編號為附：第6行至第9行的隨機數(shù)表2635

7900

3370

9160

1620

3882

7757

49503211

4919

7306

4916

7677

8733

9974

67322748

6198

7164

4148

7086

2888

8519

16207477

0111

1630

2404

2979

7991

9683

5125A．3 B．16 C．38 D．20【答案】D【解析】按隨機數(shù)表法，從隨機數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)字起先從左到右依次選取兩個數(shù)字，則編號依次為33，16，20，38，49，32，則選出的第3個個體的編號為20，故選：D．7．針對時下的“抖音熱”，某校團委對“學(xué)生性別和喜愛抖音是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜愛抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜愛抖音的人數(shù)占女生人數(shù)，若有的把握認為是否喜愛抖音和性別有關(guān)，則男生至少有參考公式：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．12人 B．18人 C．24人 D．30人【答案】B【解析】設(shè)男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，喜愛抖音不喜愛抖音總計男生女生總計男女人數(shù)為整數(shù)，故選B.8．某市疾病限制中心對某校高二學(xué)生進行了某項健康調(diào)查,調(diào)查的方法是實行分層抽樣的方法抽取樣本.我校高二學(xué)生共有2000人,抽取了一個200人的樣本,其中男生103人,請問該校共有女生A．970人 B．1030人C．997人 D．206人【答案】A【解析】因為樣本容量為200,其中女生人數(shù)為200-103=97,且分層抽樣的抽取比例為2002000=19．如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場競賽得分的莖葉圖,則甲、乙兩人這幾場競賽得分的中位數(shù)之和是A．51 B．58C．61 D．62【答案】D【解析】由莖葉圖可知,甲的這幾場競賽得分的中位數(shù)為27,乙的這幾場競賽得分的中位數(shù)為35,所以甲、乙兩人這幾場競賽得分的中位數(shù)之和是27+35=62.10．已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為70，方差為75．現(xiàn)發(fā)覺在收集這些數(shù)據(jù)時，其中的兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90．在對錯誤的數(shù)據(jù)進行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，可得，設(shè)收集的48個精確數(shù)據(jù)分別記為，則，，所以．故選A．【名師點睛】本題主要考查了數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計算公式的應(yīng)用，其中解答中熟記數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的公式，合理精確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算實力，是基礎(chǔ)題．11．采納系統(tǒng)抽樣方法從1000人中抽取50人做問卷調(diào)查,為此將他們隨機編號為1,2,…,1000,適當(dāng)分組后在第一組采納簡潔隨機抽樣的方法抽到的號碼為8.抽到的50人中,編號落入?yún)^(qū)間[1,400]的人做問卷A,編號落入?yún)^(qū)間[401,750]的人做問卷B,其余的人做問卷C,則抽到的人中,做問卷C的人數(shù)為A．12 B．13C．14 D．15【答案】A【解析】1000÷50=20,故由題意可得抽到的號碼構(gòu)成以8為首項,20為公差的等差數(shù)列,且此等差數(shù)列的通項公式為an=8+(n-1)×20=20n-12.由751≤20n-12≤1000,解得38.15≤n≤50.6.由n為正整數(shù)可得39≤n≤50,且n∈N*,故做問卷C的人數(shù)為12.12．在某次中學(xué)學(xué)科競賽中，4000名考生的參賽成果統(tǒng)計如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表，則下列說法中有誤的是A．成果在分的考生人數(shù)最多 B．不及格的考生人數(shù)為1000人C．考生競賽成果的平均分約70.5分 D．考生競賽成果的中位數(shù)為75分【答案】D【解析】由頻率分布直方圖可得，成果在的頻率最高，因此考生人數(shù)最多，故A正確；由頻率分布直方圖可得，成果在的頻率為，因此，不及格的人數(shù)為，故B正確；由頻率分布直方圖可得：平均分等于，故C正確；因為成果在的頻率為，由的頻率為，所以中位數(shù)為，故D錯誤．故選D．13．某廠家為了解銷售轎車臺數(shù)與廣告宣揚費之間的關(guān)系,得到如表所示的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表:依據(jù)數(shù)據(jù)表可得回來直線方程y=bx+a廣告費用x(23456銷售轎車y(3461012A．17 B．18C．19 D．20【答案】C【解析】x=由回來直線過樣本的中心點4,7,可得∴回歸直線方程為y據(jù)此模型預(yù)料廣告費用為9萬元時,銷售轎車臺數(shù)為y=2.414．【2024年高考江蘇卷】已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是______________．【答案】【解析】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以該組數(shù)據(jù)的方差是．15．某公司有大量客戶，且不同齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差異．為了解客戶的評價，該公司打算進行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡潔隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是________．【答案】分層抽樣.【解析】由于從不同齡段客戶中抽取，故采納分層抽樣.故答案為：分層抽樣.16．采納系統(tǒng)抽樣的方法從800名學(xué)生中抽取50名學(xué)生進行視力檢査.為此,將他們隨機編號為1,2,3,…,800,若在1~16號中隨機抽到的號碼數(shù)為7,則從33~48這16個號碼數(shù)中應(yīng)抽取的號碼為________.【答案】39【解析】33?48應(yīng)在第3組中，故應(yīng)抽取的號碼為2×16+7=39.17．已知x1,x2,…,x6的標準差為10,則10x1-1,10x2-1,…,10x6-1的標準差是________.

【答案】100【解析】依據(jù)標準差的定義可得10x1-1,10x2-1,…,10x6-1的標準差是100.18．《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題:“今有甲持錢五百六十,乙持錢三百五十,丙持錢一百八十,凡三人俱出關(guān),關(guān)稅百錢,欲以錢數(shù)多少衰出之,問各幾何?”其意為:“僅有甲帶了560錢,乙?guī)Я?50錢,丙帶了180錢,三人一起出關(guān),共須要交關(guān)稅100錢,依照錢的多少按比例出錢”,則丙應(yīng)出________錢(所得結(jié)果四舍五入,保留整數(shù)).【答案】17【解析】設(shè)丙應(yīng)出x錢,由題意可得100560+350+180=x19．心理學(xué)家分析發(fā)覺視覺和空間想象實力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)愛好小組為了驗證這個結(jié)論，從所在學(xué)校中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30，女20)，給全部同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進行解答．選題狀況如下表：(單位：人)幾何題代數(shù)題總計男同學(xué)22830女同學(xué)81220總計302050依據(jù)以上數(shù)據(jù)，推斷視覺和空間想象實力與性別有關(guān)系，則這種推斷犯錯誤的概率不超過________．附表：【答案】【解析】由公式,∴在犯錯的概率不超過0.025的前提下認為視覺和空間想象實力與性別有關(guān)，故答案為：．【名師點睛】本題考查獨立性檢驗的應(yīng)用，考查2×2列聯(lián)表，考查學(xué)生處理數(shù)據(jù)和運算求解的實力，屬于基礎(chǔ)題．20．【2024年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿足或不滿足的評價，得到下面列聯(lián)表：滿足不滿足男顧客4010女顧客3020（1）分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿足的概率；（2）能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異？附：．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）男、女顧客對該商場服務(wù)滿足的概率的估計值分別為，；（2）有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異．【解析】（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對該商場服務(wù)滿足的比率為，因此男顧客對該商場服務(wù)滿足的概率的估計值為．女顧客中對該商場服務(wù)滿足的比率為，因此女顧客對該商場服務(wù)滿足的概率的估計值為．（2）由題可得．由于，故有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異．21．某校從參與高二年級期末考試的學(xué)生中隨機抽取了名學(xué)生，已知這名學(xué)生的物理成果均不低于60分（滿分為100分）．現(xiàn)將這名學(xué)生的物理成果分為四組：，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示，其中物理成果在內(nèi)的有28名學(xué)生，將物理成果在內(nèi)定義為“優(yōu)秀”，在內(nèi)定義為“良好”．男生女生合計優(yōu)秀良好20合計60（1）求實數(shù)的值及樣本容量；（2）依據(jù)物理成果是否優(yōu)秀，利用分層抽樣的方法從這名學(xué)生中抽取10名，再從這10名學(xué)生中隨機抽取3名，求這3名學(xué)生的物理成果至少有2名是優(yōu)秀的概率；（3）請將列聯(lián)表補充完整，并推斷是否有的把握認為物理成果是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？參考公式及數(shù)據(jù)：（其中）.0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）100；（2）；（3）見解析【解析】（1）由題可得，解得，又物理成果在內(nèi)的出名學(xué)生，所以，解得．（2）由題可得，這名學(xué)生中物理成果良好的出名，所以抽取的名學(xué)生中物理成果良好的出名，物理成果優(yōu)秀的出名，故從這10名學(xué)生中隨機抽取3名，這3名學(xué)生的物理成果至少有2名是優(yōu)秀的概率為．（3）補充完整的列聯(lián)表如下表所示：男生女生合計優(yōu)秀204060良好202040合計4060100則的觀測值，所以沒有的把握認為物理成果是否優(yōu)秀與性別有關(guān).【名師點睛】本題考查了頻率分布直方圖、分層抽樣及獨立性檢驗的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算實力，屬于中檔題.22．為了調(diào)查學(xué)生星期天晚上學(xué)習(xí)時間的利用問題，某校從高二年級1000名學(xué)生(其中走讀生450名，住宿生550名)中，采納分層抽樣的方法抽取n名學(xué)生進行問卷調(diào)查．依據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)星期天晚上學(xué)習(xí)時間(單位：分鐘)的數(shù)據(jù)，依據(jù)以下區(qū)間分為八組：①[0，30)，②[30，60)，③[60，90)，④[90，120)，⑤[120，150)，⑥[150，180)，⑦[180，210)，⑧[210，240)，得到頻率分布直方圖如圖．已知抽取的學(xué)生中星期天晚上學(xué)習(xí)時間少于60分鐘的人數(shù)為5人．（1）求n的值并補全頻率分布直方圖；（2）假如把“學(xué)生晚上學(xué)習(xí)時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標準，對抽取的n名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表：利用時間充分利用時間不充分總計走讀生住宿生10總計據(jù)此資料，是否認為學(xué)生“利用時間是否充分”與走讀、住宿有關(guān)？（3）若在第①組、第②組共抽出2人調(diào)查影響有效利用時間的緣由，求抽出的2人中第①組、第②組各有1人的概率．參考數(shù)據(jù)：P()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246