2024年高考數(shù)學(xué)學(xué)霸糾錯筆記三角函數(shù)含解析

不能正確理解三角函數(shù)的定義角α的終邊落在直線y＝2x上，則sinα的值為A．－eq\f(\r(5),5) B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5) D．±eq\f(2\r(5),5)【錯解】選C.在角的終邊上取點P(1,2)，∴r＝|OP|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，故選C．【錯因分析】當(dāng)角的終邊在一條直線上時，應(yīng)留意到角的終邊為兩條射線，所以應(yīng)分兩種狀況處理，而錯解中沒有對兩種狀況進(jìn)行探討導(dǎo)致錯誤．【試題解析】當(dāng)角的終邊在第一象限時，在角的終邊上取點P(1,2)，由r＝|OP|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，得sinα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).當(dāng)角的終邊在第三象限時，在角的終邊上取點Q(－1，－2)，∴，∴sinα＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5).故選D．【參考答案】D1．定義設(shè)是一個隨意角，它的頂點與原點重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，點是角的終邊上隨意一點，到原點的距離，那么角的正弦、余弦、正切分別是．留意：正切函數(shù)的定義域是，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是.2．三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．在平面直角坐標(biāo)系中，角以軸非負(fù)半軸為始邊，終邊在射線上，則的值是A．2 B．?2 C． D．【答案】A【解析】由題意，在平面直角坐標(biāo)系中，角以軸非負(fù)半軸為始邊，終邊在射線上，設(shè)終邊上的點，依據(jù)三角函數(shù)的定義可得，故選A．【名師點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，其中解答中熟記三角函數(shù)的定義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算實力，屬于基礎(chǔ)題．利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式時忽視參數(shù)取值已知cosθ＝t，求sinθ、tanθ的值．【錯解】①當(dāng)0<t<1時，θ為第一或第四象限角.θ為第一象限角時，sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\r(1－t2)，tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(\r(1－t2),t)；θ為第四象限角時，sinθ＝－eq\r(1－cos2θ)＝－eq\r(1－t2)，tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(\r(1－t2),t).②當(dāng)－1<t<0時，θ為其次或第三象限角.θ為其次象限角時，sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\r(1－t2)，tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(\r(1－t2),t)；θ為第三象限角時，sinθ＝－eq\r(1－cos2θ)＝－eq\r(1－t2)，tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(\r(1－t2),t).綜上，，.【錯因分析】上述解法留意到了θ的余弦值含有參數(shù)t，依據(jù)余弦函數(shù)的取值范圍對t進(jìn)行分類探討，但上述探討不全面，漏掉了許多狀況，如t＝－1，t＝0，t＝1.【試題解析】①當(dāng)t＝－1時，sinθ＝0，tanθ＝0；②當(dāng)－1<t<0時，θ為其次或第三象限角.若θ為其次象限角，則sinθ＝eq\r(1－t2)，tanθ＝eq\f(\r(1－t2),t)；若θ為第三象限角，則sinθ＝－eq\r(1－t2)，tanθ＝eq\f(－\r(1－t2),t).③當(dāng)t＝0時，sinθ＝1，tanθ不存在或sinθ＝－1，tanθ不存在．④當(dāng)0<t<1時，θ為第一或第四象限角.若θ為第一象限角，則sinθ＝eq\r(1－t2)，tanθ＝eq\f(\r(1－t2),t)；若θ為第四象限角，則sinθ＝－eq\r(1－t2)，tanθ＝－eq\f(\r(1－t2),t).⑤當(dāng)t＝1時，sinθ＝0，tanθ＝0.綜上得：【參考答案】見試題解析.1．①利用可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化；②利用可以實現(xiàn)角的弦切互化．2．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形（1）平方關(guān)系的變形：；（2）商的關(guān)系的變形：；（3）．3．在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特殊留意推斷符號．2．已知，，則A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，，，又，，故選A.【名師點睛】本題考查三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，易錯點是忽視角所處的范圍，造成符號錯誤．不能精確運用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值若sinθ＝eq\f(\r(3),3)，求的值．A． B．C． D．【錯解】選A.原式＝＋eq\f(cosθ,cosθsinθ＋cosθ)＝－eq\f(cosθ,cosθsinθ＋cosθ)＋eq\f(cosθ,cosθsinθ＋cosθ)＝0.【錯因分析】錯解中混淆了誘導(dǎo)公式sin(eq\f(3π,2)－θ)＝－cosθ，sin(eq\f(3π,2)＋θ)＝－cosθ，cos(π－θ)＝－cosθ，cos(π＋θ)＝－cosθ.【試題解析】原式＝＋eq\f(cosθ,－cosθcosθ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(2,sin2θ)，因為sinθ＝eq\f(\r(3),3)，所以所求三角函數(shù)式的值為.【參考答案】C1．應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點是“函數(shù)名稱”與“正負(fù)號”的正確推斷．求隨意角的三角函數(shù)值的問題，都可以通過誘導(dǎo)公式化為銳角三角函數(shù)的求值問題，詳細(xì)步驟為“負(fù)角化正角”→“正角化銳角”→求值．2．運用誘導(dǎo)公式時肯定要留意三角函數(shù)值在各象限的符號，特殊是在詳細(xì)題目中出現(xiàn)類似的形式時，須要對k的取值進(jìn)行分類探討，從而確定出三角函數(shù)值的正負(fù)．3．利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式的思路：（1）分析結(jié)構(gòu)特點，選擇恰當(dāng)公式；（2）利用公式化成單角三角函數(shù)；（3）整理得最簡形式．利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式的要求：（1）化簡過程是恒等變形；（2）結(jié)果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡潔，能求值的要求出值．4．巧用相關(guān)角的關(guān)系能簡化解題的過程．常見的互余關(guān)系有與，與，與等；常見的互補關(guān)系有與，與等.3．若角的終邊經(jīng)過點，則A． B． C． D．【答案】C【解析】由誘導(dǎo)公式可得，又角的終邊經(jīng)過點，所以，所以．故選C．要作出正確選擇，需細(xì)致選擇誘導(dǎo)公式，不能錯用公式．對于nπ＋α，若n是偶數(shù)，則角nπ＋α的三角函數(shù)值等于角α的同名三角函數(shù)值；若n為奇數(shù)，則角nπ＋α的三角函數(shù)值等于角π＋α的同名三角函數(shù)值．不能正確理解三角函數(shù)圖象變換規(guī)律為得到函數(shù)y＝cos(2x＋eq\f(π,3))的圖象，只需將函數(shù)y＝sin2x的圖象A．向左平移eq\f(5π,12)個長度單位 B．向右平移eq\f(5π,12)個長度單位C．向左平移eq\f(5π,6)個長度單位 D．向右平移eq\f(5π,6)個長度單位【錯解】選B.y＝cos(2x＋eq\f(π,3))＝sin(2x＋eq\f(π,3)＋eq\f(π,2))＝sin2(x＋eq\f(5π,12))，因此向右平移eq\f(5π,12)個長度單位，故選B．【錯因分析】沒有留意到變換方向?qū)е铝隋e解，目標(biāo)是y＝cos(2x＋eq\f(π,3))的圖象．【試題解析】y＝cos(2x＋eq\f(π,3))＝sin(2x＋eq\f(π,3)＋eq\f(π,2))＝sin(2x＋eq\f(5π,6))＝sin2(x＋eq\f(5π,12))，因此將函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移eq\f(5π,12)個長度單位即可．故選A．【參考答案】A函數(shù)圖象的平移變換解題策略（1）對函數(shù)y=sinx，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的圖象，無論是先平移再伸縮，還是先伸縮再平移，只要平移|φ|個單位，都是相應(yīng)的解析式中的x變?yōu)閤±|φ|，而不是ωx變?yōu)棣豿±|φ|.（2）留意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一樣，若不一樣，應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)再平移.4．函數(shù)（其中，）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，則下列說法正確的是A．函數(shù)為奇函數(shù)B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)的圖象的對稱軸為直線D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】D【解析】由函數(shù)（其中，）的部分圖象.可知，由，得，所以，代入點得，解得，取，得可得，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得的圖象，由函數(shù)解析式可以驗證只有的單調(diào)遞增區(qū)間為正確.故選D.【名師點睛】依據(jù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的圖象求其解析式的問題，主要從以下四個方面來考慮：①A的確定：依據(jù)圖象的最高點和最低點，即A=最大值-最小值②k的確定：依據(jù)圖象的最高點和最低點，即k=最大值+最小值③ω的確定：結(jié)合圖象，先求出周期T，然后由T=2πω(ω④φ的確定：由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k最起先與x軸的交點(最靠近原點)的橫坐標(biāo)為-φω(即令ωx＋φ＝0，x＝-φ留意符號對三角函數(shù)性質(zhì)的影響已知函數(shù).（1）求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若x∈[－π，π]，求f(x)的最大值和最小值．【錯解】（1）由－π≤eq\f(π,3)－eq\f(x,2)≤0得，eq\f(2π,3)≤x≤eq\f(8π,3)，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(8π,3))).（2）∵－1≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(x,2)))≤1，∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－2.【錯因分析】（1）忽視了函數(shù)f(x)的周期性；（2）忽視了x∈[－π，π]對函數(shù)f(x)的最值的影響．【試題解析】（1）∵f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(x,2)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3))).由2kπ－π≤eq\f(x,2)－eq\f(π,3)≤2kπ得，4kπ－eq\f(4π,3)≤x≤4kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)．故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[4kπ－eq\f(4π,3)，4kπ＋eq\f(2π,3)](k∈Z)．（2）由－π≤x≤π?－eq\f(5π,6)≤eq\f(x,2)－eq\f(π,3)≤eq\f(π,6).當(dāng)eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝0，即x＝eq\f(2π,3)時，f(x)max＝2，當(dāng)eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝－eq\f(5π,6)，即x＝－π時，f(x)min＝－eq\r(3).【參考答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ－eq\f(4π,3)，4kπ＋eq\f(2π,3)](k∈Z)；（2）f(x)max＝2，f(x)min＝－eq\r(3).1．三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)的定義域事實上是解簡潔的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解.2．求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型的題目及求解方法（1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；（2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t=sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)．3．三角函數(shù)單調(diào)性問題的常見類型及解題策略（1）已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間：①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡潔化原則，將解析式先化簡，并留意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但假如ω<0，那么肯定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．（2）已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)：先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解．（3）利用三角函數(shù)的單調(diào)性求值域（或最值）：形如y=Asin（ωx＋φ）＋b或可化為y=Asin（ωx＋φ）＋b的三角函數(shù)的值域（或最值）問題常利用三角函數(shù)的單調(diào)性解決.4．三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性的處理方法（1）求三角函數(shù)的最小正周期，一般先通過恒等變形化為y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再分別應(yīng)用公式T=，T=，T=求解．（2）對于函數(shù)y=Asin（ωx＋φ），其對稱軸肯定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標(biāo)肯定是函數(shù)的零點，因此在推斷直線x=x0或點（x0，0）是否為函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心時，可通過檢驗f（x0）的值進(jìn)行推斷．（3）若f（x）=Asin（ωx＋φ）為偶函數(shù)，則φ=kπ＋（kZ），同時當(dāng)x=0時，f（x）取得最大或最小值．若f（x）=Asin（ωx＋φ）為奇函數(shù)，則φ=kπ（k∈Z），同時當(dāng)x=0時，f（x）=0.5．對函數(shù)的表述錯誤的是A．最小正周期為 B．函數(shù)向左平移個單位可得到C．在區(qū)間上遞增 D．點是的一個對稱中心【答案】D【解析】因為,所以最小正周期為，向左平移個單位可得到,因為,所以，即單調(diào)遞增，因為時，，所以點不是的對稱中心，綜上，選D.【名師點睛】本題考查二倍角公式、協(xié)助角公式以及正弦函數(shù)性質(zhì)，考查基本分析求解實力，屬基礎(chǔ)題.三角恒等變換中忽視角的范圍致誤已知α、β為三角形的兩個內(nèi)角，cosα＝，sin（α＋β）＝，則β＝A． B．C． D．【錯解】選C.∵0<α<π，cosα＝，∴sinα＝.又∵sin（α＋β）＝，∴cos（α＋β）＝－∴sinβ＝sin[（α+β）－α]＝sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα＝.又∵0<β<π，∴β＝.【錯因分析】（1）不能依據(jù)題設(shè)條件縮小α、β及α＋β的取值范圍，在由同角基本關(guān)系式求sin（α＋β）時不能正確推斷符號，產(chǎn)生兩角．（2）結(jié)論處應(yīng)由cosβ的值確定β的取值，由sinβ確定結(jié)論時易出現(xiàn)兩解而造成失誤．【試題解析】因為0<α<π，cosα＝，所以sinα＝，故，又因為0<α＋β<π，sin（α＋β）＝，所以0<α＋β<或<α＋β<π.由<α<知<α＋β<π，所以cos（α＋β）＝－＝－，所以cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝.又0<β<π，所以β＝.【參考答案】A利用三角函數(shù)值求角時，要充分結(jié)合條件，確定角的取值范圍，再選取合適的三角函數(shù)進(jìn)行求值，最終確定角的詳細(xì)取值．1．給角求值給角求值中一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但細(xì)致視察會發(fā)覺非特殊角與特殊角之間總有肯定的關(guān)系．解題時，要利用視察得到的關(guān)系，結(jié)合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)，從而得解.2．給值求值已知三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)式的值的一般思路：（1）先化簡所求式子．（2）視察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手)．（3）將已知條件代入所求式子，化簡求值．3．給值求角通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，有以下原則：（1）已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)．（2）已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是，則選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，則選余弦較好；若角的范圍為，則選正弦較好.4．常見的角的變換（1）已知角表示未知角例如：，，，，，.（2）互余與互補關(guān)系例如：，.（3）非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角例如：15°=45°?30°，75°=45°＋30°.6．（1）在ΔABC中，sinA?sinB<A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形（2）若α∈0,π，且3A．-32 B．-35 C．32【答案】（1）B；（2）C.（1）【解析】∵在ΔABC中，sin∴cos∴A+B∈0,∴三角形是鈍角三角形，故選B.【點睛】本題考查三角形的形態(tài)，兩角和的余弦函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.推斷三角形態(tài)的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行推斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行推斷；（3）確定一個內(nèi)角為鈍角進(jìn)而知其為鈍角三角形.（2）【解析】3sinα+2cosα=2?31-8cosα+7cos∵cos則sin則tanα故選C.求函數(shù)的性質(zhì)時出錯函數(shù)y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)的最大值為.【錯解】eq\r(41)函數(shù)的最大值為eq\r(52＋42)＝eq\r(41).【錯因分析】形如y＝asinx＋bcosx的函數(shù)的最大值為eq\r(a2＋b2)，而函數(shù)y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)不符合上述形式．【試題解析】y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)＝5sin(x＋20°)＋4cos[(x＋20°)＋30°]＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋20°)cos30°－4sin(x＋20°)sin30°＝5sin(x＋20°)＋2eq\r(3)cos(x＋20°)－2sin(x＋20°)＝3sin(x＋20°)＋2eq\r(3)cos(x＋20°)，∴.【參考答案】eq\r(21)1．三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)相結(jié)合的綜合問題（1）利用三角恒等變換及協(xié)助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化成y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的形式．（2）利用公式求周期．（3）依據(jù)自變量的范圍確定ωx＋φ的范圍，依據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時，依據(jù)所給關(guān)系式的特點，也可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值．（4）依據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的單調(diào)區(qū)間．2．探討y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的性質(zhì)時，肯定要先利用誘導(dǎo)公式把化為正數(shù)后求解.7．已知．（1）求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程；（2）若，求的值域．【答案】（1）對稱軸為，最小正周期；（2）.【解析】（1），令，則的對稱軸為，最小正周期；（2）當(dāng)時，，因為在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在取最大值，在取最小值，所以，所以．【名師點睛】本題考查正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)，考查周期性，對稱性，函數(shù)值域的求法，考查二倍角公式以及協(xié)助角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.求三角函數(shù)的性質(zhì)時，一般先通過恒等變形化為y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再結(jié)合正弦函數(shù)y=sinx，y=cosx，y=tanx的性質(zhì)探討其相關(guān)性質(zhì)．解三角形時忽視角的取值范圍致誤在中，若，則的取值范圍為A． B．C． D．【錯解】選A.由正弦定理，可得【錯因分析】錯解中沒有考慮角的取值范圍，誤認(rèn)為角的取值范圍為.【試題解析】由正弦定理可得【參考答案】B1．利用正、余弦定理求邊和角的方法：（1）依據(jù)題目給出的條件(即邊和角)作出相應(yīng)的圖形，并在圖形中標(biāo)出相關(guān)的位置．（2）選擇正弦定理或余弦定理或二者結(jié)合求出待解問題．一般地，假如式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；假如遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.（3）在運算求解過程中留意三角恒等變換與三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．2．常見結(jié)論：（1）三角形的內(nèi)角和定理：在中，，其變式有：，等．（2）三角形中的三角函數(shù)關(guān)系：；；；.8．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則角A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】由正弦定理得，得，得sinB，又b＜c，∴B＜C，∴B＝45°，故選：A．【名師點睛】本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，常常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.一、三角函數(shù)的基本概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式1．角的有關(guān)概念（1）定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線圍著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．（2）分類.（3）終邊相同的角：全部與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合．終邊與軸重合的角的集合為；終邊與軸重合的角的集合為；終邊與坐標(biāo)軸重合的角的集合為．2．弧度制（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.（2）公式角α的弧度數(shù)公式（弧長用l表示）角度與弧度的換算弧長公式弧長扇形面積公式3．隨意角的三角函數(shù)（1）定義：設(shè)是一個隨意角，它的頂點與原點重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，點是角的終邊上隨意一點，到原點的距離，那么角的正弦、余弦、正切分別是．（2）三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：（3）各象限內(nèi)的三角函數(shù)線如下：角所在的象限第一象限其次象限第三象限第四象限圖形（4）特殊角的三角函數(shù)值：00100100101不存在0不存在04．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：．（2）商的關(guān)系：．5．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ+α（k∈Z）π+α?απ?α?α+α正弦sinα?sinα?sinαsinαcosαcosα余弦cosα?cosαcosα?cosαsinα?sinα正切tanαtanα?tanα?tanα口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名變更，符號看象限二、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)圖象定義域值域最值當(dāng)時，；當(dāng)時，．當(dāng)時，；當(dāng)時，．既無最大值，也無最小值周期性最小正周期為最小正周期為最小正周期為奇偶性,奇函數(shù)，偶函數(shù)，奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)．對稱性對稱中心；對稱軸，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.對稱中心；對稱軸，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.對稱中心；無對稱軸，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形.2．函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）圖象變換：由函數(shù)的圖象通過變換得到（A>0,ω>0）的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.如下圖.五點作圖法：找五個關(guān)鍵點，分別為使y取得最小值、最大值的點和曲線與x軸的交點.其步驟為：①先確定最小正周期T=,在一個周期內(nèi)作出圖象；②令,令X分別取0，,,,求出對應(yīng)的x值，列表如下：由此可得五個關(guān)鍵點；③描點畫圖，再利用函數(shù)的周期性把所得簡圖向左右分別擴(kuò)展，從而得到的簡圖.（2）函數(shù)（A>0,ω>0）的性質(zhì)：①奇偶性：時，函數(shù)為奇函數(shù)；時，函數(shù)為偶函數(shù).②周期性：存在周期性，其最小正周期為T=.③單調(diào)性：依據(jù)y=sint和t=的單調(diào)性來探討，由得單調(diào)增區(qū)間；由得單調(diào)減區(qū)間.④對稱性：利用y=sinx的對稱中心為求解，令，求得x.利用y=sinx的對稱軸為求解，令，得其對稱軸.三、三角恒等變換1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：2．二倍角公式（1）：（2）：（3）：公式的常用變形：（1）；（2）降冪公式：；；（3）升冪公式：；；；（4）協(xié)助角公式：，其中，3．半角公式（1）（2）（3）此公式不用死記硬背，可由二倍角公式推導(dǎo)而來，如下圖：四、正、余弦定理及解三角形1．正弦定理（1）內(nèi)容：在中，若角A，B，C對應(yīng)的三邊分別是a，b，c，則各邊和它所對角的正弦的比相等，即.正弦定理對隨意三角形都成立．（2）常見變形：①②③④正弦定理的推廣：，其中為的外接圓的半徑.1．正弦定理解決的問題（1）已知兩角和隨意一邊，求其他的邊和角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角．2．在中，已知，和時，三角形解的狀況2．余弦定理（1）內(nèi)容：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍，即（2）從余弦定理，可以得到它的推論：.1．余弦定理解決的問題（1）已知三邊，求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角．2．利用余弦定理解三角形的步驟3．三角形的面積公式設(shè)的三邊為a，b，c，對應(yīng)的三個角分別為A，B，C，其面積為S.（1）(h為BC邊上的高)；（2）；（3）(為三角形的內(nèi)切圓半徑)．1．tan255°=A．?2? B．?2+C．2? D．2+【答案】D【解析】=故選D.【名師點睛】本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、運算求解實力．首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，將問題轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)的計算，進(jìn)一步應(yīng)用兩角和的正切公式計算求解．題目較易，留意了基礎(chǔ)學(xué)問、基本計算實力的考查．2．已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，又，，又，，故選B．【名師點睛】本題是對三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，推斷正余弦的正負(fù)，運算精確性是關(guān)鍵，題目不難，需細(xì)心，解決三角函數(shù)問題，探討角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負(fù)很關(guān)鍵，切記不能憑感覺．解答本題時，先利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，再利用角范圍及正余弦平方和為1關(guān)系得出答案．3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA?bsinB=4csinC，cosA=?，則=A．6 B．5C．4 D．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A．【名師點睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用．先利用余弦定理推論得出a，b，c關(guān)系，再結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.4．的內(nèi)角的對邊分別為，，，若的面積為，則A． B．C． D．【答案】C【解析】由題可知，所以，由余弦定理，得，因為，所以，故選C.【名師點睛】本題主要考查余弦定理與三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查考生的運算求解實力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算.5．函數(shù)f(x)=在的圖像大致為A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，解除A．又，解除B，C，故選D．【名師點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，實行性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．解答本題時，先推斷函數(shù)的奇偶性，得是奇函數(shù)，解除A，再留意到選項的區(qū)分，利用特殊值得正確答案．6．函數(shù)在[0，2π]的零點個數(shù)為A．2 B．3C．4 D．5【答案】B【解析】由，得或，，．在的零點個數(shù)是3，故選B．【名師點睛】本題考查在肯定范圍內(nèi)的函數(shù)的零點個數(shù)，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．令，得或，再依據(jù)x的取值范圍可求得零點.7．在中，角A，B，C的對邊分別為，，．若為銳角三角形，且滿意，則下列等式成立的是A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知，所以，選A.【名師點睛】本題較為簡潔，關(guān)鍵是要利用兩角和與差的三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形.首先用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有A，B，C的式子，再用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，得到.解答三角形中的問題時，三角形內(nèi)角和定理是常常用到的一個隱含條件，不容忽視.8．已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點，則A． B．C． D．【答案】B【解析】因為角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點，所以，因此.故選B.【名師點睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，以及二倍角公式，熟記三角函數(shù)的定義與二倍角公式即可，屬于常考題型.解答本題時，先由角的終邊過點，求出，再由二倍角公式，即可得出結(jié)果.9．設(shè)為銳角，若cos（）＝，則sin的值為A． B．C． D．【答案】B【解析】因為為銳角，且＝，所以，所以，故選B.10．已知函數(shù)的相鄰對稱軸之間的距離為，將函數(shù)圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，則A． B．C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)的相鄰對稱軸之間的距離為，得，即，所以，解得，將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到的圖象，故選C．【名師點睛】本題考查的學(xué)問要點：三角函數(shù)關(guān)系式的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用，正弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算實力和轉(zhuǎn)換實力，屬于基礎(chǔ)題型．解答本題時，首先利用函數(shù)的圖象求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用圖象的平移變換的應(yīng)用求出結(jié)果．11．已知函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則使成立的的最小正值為A． B．C． D．【答案】B【解析】由圖象易知，，，即，且，即，由圖可知，所以，即，又由圖可知，周期，且，所以由五點作圖法可知，所以函數(shù)，因為，所以函數(shù)關(guān)于對稱，即有，所以可得，所以的最小正值為.故選B.【名師點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，嫻熟運用三角函數(shù)的圖象和周期對稱性是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.解答本題時，先由圖象，求出，可得函數(shù)的解析式，再由易知的圖象關(guān)于對稱，即可求得a的值.12．在中，角的對邊分別為，若，則A． B．C． D．【答案】D【解析】由正弦定理角化邊可得：，且，結(jié)合余弦定理有：，則，利用兩角和的余弦公式可得：.本題選擇D選項.13．已知sinα+cosβ=1，cos【答案】-【解析】因為sinα+cosβ=1所以，因此sin【名師點睛】三角函數(shù)求值的三種類型(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.(3)給值求角：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角.14．已知，且，則__________．【答案】【解析】由題意有，得，由，，有，得，則.【名師點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值問題，其中熟記三角函數(shù)的基本關(guān)系式，合理化簡，求得，代入求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算實力，屬于基礎(chǔ)題.由題意，依據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化簡得，進(jìn)而可得，代入即可求解.15．已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，將的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為_________.【答案】【解析】由函數(shù)的圖象可得，∴，∴，又依據(jù)“五點法”可得，∴，∴，由函數(shù)圖象的平移可得．∵，∴，當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．故答案為．【名師點睛】先依據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，然后再依據(jù)圖象的平移得到函數(shù)的解析式，最終依據(jù)所給區(qū)間得到所求．（1）已知函數(shù)的圖象求解析式時，其中可由圖象干脆得到，由圖象得到函數(shù)的周期后可得的值，的求法有兩種，一是依據(jù)代點法求解，二是依據(jù)“五點法”求解．（2）探討函數(shù)的性質(zhì)時，常把看作一個整體后結(jié)合正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解，解題時留意的符號對結(jié)果的影響．16．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知bsinA+acosB=0，則B=___________.【答案】【解析】由正弦定理，得．，∴，即，【名師點睛】本題考查利用正弦定理轉(zhuǎn)化三角恒等式，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．實行定理法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．本題簡潔忽視三角形內(nèi)角的范圍致誤，三角形內(nèi)角均在范圍內(nèi)，化邊為角，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變更求角．17．的內(nèi)角A、B、C的