版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
專題5.3導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(重難點(diǎn)題型精講)1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)復(fù)合函數(shù)的定義
一般地,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過(guò)變量u,y可以表示成x的函數(shù),那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù),記作y=f(g(x)).(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為=,即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.【題型1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法】【方法點(diǎn)撥】1.總原則:先化簡(jiǎn)解析式,再求導(dǎo).2.具體方法:(1)連乘積的形式:先展開化為多項(xiàng)式的形式,再求導(dǎo).(2)根式形式:先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,再求導(dǎo).(3)復(fù)雜分式:將分子湊成與分母相關(guān)的形式,化為簡(jiǎn)單分式的和、差,再求導(dǎo).【例1】(2022·陜西·高二階段練習(xí)(文))下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(
)A.lnx'=xC.cosx'=sinx【變式1-1】(2021·廣西·高二期中(文))下列各式正確的是(
).A.sin10°'=cosC.sinx'=【變式1-2】(2022·陜西·高二期末(理))已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿足f(x)=lnx+xA.323 B.?323 C.4【變式1-3】(2022·陜西·高二階段練習(xí)(理))已知函數(shù)f(x)=t2,g(x)=2A.f'x=0,C.f'x=0【題型2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法】【方法點(diǎn)撥】(1)分層:選擇中間變量,寫出構(gòu)成它的內(nèi)、外層函數(shù);(2)分別求導(dǎo):分別求各層函數(shù)對(duì)相應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù);(3)相乘:把上述求導(dǎo)的結(jié)果相乘;(4)變量回代:把中間變量回代.【例2】(2022·河北邢臺(tái)·高三階段練習(xí))下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A.sinπ5'C.tanx'=【變式2-1】(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(
)A.x+1x'C.x2ex【變式2-2】(2022·河南南陽(yáng)·高二期末(理))下列求導(dǎo)正確的為(
)A.2e?x'C.sinπ5'【變式2-3】(2022·廣東廣州·高二期末)下列求導(dǎo)運(yùn)算結(jié)果正確的是(
)A.x?1x'C.tanx'=【題型3求曲線的切線】【方法點(diǎn)撥】求切線方程時(shí),一定要檢驗(yàn)已知點(diǎn)是否在曲線上,還要注意對(duì)“在”和“過(guò)”的理解.(1)若“在”,則該點(diǎn)為切點(diǎn).(2)若“過(guò)”,則該點(diǎn)不一定是切點(diǎn);若“過(guò)”曲線外的一點(diǎn),則該點(diǎn)一定不是切點(diǎn).【例3】(2022·陜西·西安市高二期末(理))曲線y=sinx+ex在A.x?3y+3=0 B.x?2y+2=0 C.2x?y+1=0 D.3x?y+1=0【變式3-1】(2022·遼寧葫蘆島·高三階段練習(xí))函數(shù)fx=x2?4A.x+4y+12=0 B.4x+y+3=0 C.x?4y?12=0 D.4x?y?3=0【變式3-2】(2022·河南·高二期末(文))曲線f(x)=xlnx在x=e(其中eA.y=2x?e B.y=2x+e C.y=?x 【變式3-3】(2022·陜西·高二階段練習(xí)(文))已知函數(shù)fx=sinx1?2cos2A.0 B.?14 C.32【題型4已知切線方程求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】當(dāng)曲線的切線方程是已知條件時(shí),常合理選擇以下三個(gè)條件的表達(dá)式解題:(1)切點(diǎn)在切線上;(2)切點(diǎn)在曲線上;(3)切點(diǎn)在橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率.【例4】(2022·寧夏·高三階段練習(xí)(文))函數(shù)fx=ex+ax在x=0處的切線與直線2x?y?5=0A.?1 B.1 C.12 D.【變式4-1】(2022·貴州遵義·高三階段練習(xí)(理))若函數(shù)f(x)=ax?2lnx在(1,f(1))處切線方程為x+y+m=0,則實(shí)數(shù)m=(A.?1 B.?2 C.2 D.0【變式4-2】(2021·河南·高二期末(文))已知函數(shù)f(x)=a2x2+blnxA.2 B.1 C.0 D.﹣2【變式4-3】(2022·湖北·高三階段練習(xí))若直線x+y+m=0是曲線y=x3+nx?52與曲線y=x2A.?30 B.?25 C.26 D.28【題型5函數(shù)圖象的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合具體條件,根據(jù)函數(shù)圖象、導(dǎo)函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系,進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例5】(2022·江西·高三開學(xué)考試(理))已知fx=14x2+sinπA. B.C. D.【變式5-1】(2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí))已知二次函數(shù)fx=ax2+bx+c,設(shè)gx=A.a(chǎn)<b,b<c B.a(chǎn)>b,b>cC.ba>1,b=c D.b【變式5-2】(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)(理))已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示,則f的值為()A.2 B. C.- D.-【變式5-3】(2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí))函數(shù)fx=16xA. B.C. D.【題型6與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題,一般先理解所給定義與已有的函數(shù)、運(yùn)算的關(guān)聯(lián)性,再通過(guò)所給新定義轉(zhuǎn)化為所學(xué)過(guò)的知識(shí)與方法去轉(zhuǎn)化問(wèn)題,進(jìn)而解決問(wèn)題.【例6】(2022·河北·高二階段練習(xí))給出以下新定義:若函數(shù)fx在D上可導(dǎo),即f'x存在,且導(dǎo)函數(shù)f'x在D上也可導(dǎo),則稱fx在D上存在二階導(dǎo)函數(shù),記f''x=fA.fx=ex B.fx=2x【變式6-1】(2022·云南昭通·高二期末)定義滿足方程f'x+fx=1的實(shí)數(shù)解xA.fx=xC.fx=ln【變式6-2】(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))定義在區(qū)間?ξ∈[a,b]上的函數(shù)f(x),其圖象是連續(xù)不斷的,若?ξ∈[a,b],使得f(b)?f(a)=f'(ξ)(b?a),則稱ξ為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]以上的“中值點(diǎn)”.則下列函數(shù):①f(x)=x;②2f(x)=x2;③f(x)=ln(x+1);A.①④ B.①③ C.②④ D.②③【變式6-3】(2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí))定義方程fx=f'x的實(shí)數(shù)根x0叫做函數(shù)fx的“新駐點(diǎn)”,若函數(shù)gx=2x,?x=lnx,φx=A.a(chǎn)>b>c B.c>b>a C.a(chǎn)>c>b D.b>a>c專題5.3導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(重難點(diǎn)題型精講)1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)復(fù)合函數(shù)的定義
一般地,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過(guò)變量u,y可以表示成x的函數(shù),那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù),記作y=f(g(x)).(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為=,即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.【題型1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法】【方法點(diǎn)撥】1.總原則:先化簡(jiǎn)解析式,再求導(dǎo).2.具體方法:(1)連乘積的形式:先展開化為多項(xiàng)式的形式,再求導(dǎo).(2)根式形式:先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,再求導(dǎo).(3)復(fù)雜分式:將分子湊成與分母相關(guān)的形式,化為簡(jiǎn)單分式的和、差,再求導(dǎo).【例1】(2022·陜西·高二階段練習(xí)(文))下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(
)A.lnx'=xC.cosx'=sinx【解題思路】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式即可解得答案.【解答過(guò)程】lnx'=1xcosx'=?sinx故選:D.【變式1-1】(2021·廣西·高二期中(文))下列各式正確的是(
).A.sin10°'=cosC.sinx'=【解題思路】由基本函數(shù)求導(dǎo)公式,依次對(duì)四個(gè)選項(xiàng)求導(dǎo)驗(yàn)證,只有C正確,故答案為C.【解答過(guò)程】根據(jù)基本函數(shù)求導(dǎo)公式,sin10°cosxsinxx?5故選:C.【變式1-2】(2022·陜西·高二期末(理))已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿足f(x)=lnx+xA.323 B.?323 C.4【解題思路】將fx求導(dǎo),將1代入導(dǎo)數(shù)得f'1的值,再將?1【解答過(guò)程】因?yàn)閒x所以f'所以f'1=2+2f'x=故選:C.【變式1-3】(2022·陜西·高二階段練習(xí)(理))已知函數(shù)f(x)=t2,g(x)=2A.f'x=0,C.f'x=0【解題思路】根據(jù)基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式,可得答案.【解答過(guò)程】由題意,f'故選:A.【題型2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法】【方法點(diǎn)撥】(1)分層:選擇中間變量,寫出構(gòu)成它的內(nèi)、外層函數(shù);(2)分別求導(dǎo):分別求各層函數(shù)對(duì)相應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù);(3)相乘:把上述求導(dǎo)的結(jié)果相乘;(4)變量回代:把中間變量回代.【例2】(2022·河北邢臺(tái)·高三階段練習(xí))下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A.sinπ5'C.tanx'=【解題思路】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)四則運(yùn)算法則和簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算出結(jié)果.【解答過(guò)程】對(duì)于A,sinπ對(duì)于B,x2對(duì)于C,tanx對(duì)于D,ln2x?1故選:C.【變式2-1】(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(
)A.x+1x'C.x2ex【解題思路】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.【解答過(guò)程】解:x+1x'=1?1x2故選:B.【變式2-2】(2022·河南南陽(yáng)·高二期末(理))下列求導(dǎo)正確的為(
)A.2e?x'C.sinπ5'【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)基本公式對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【解答過(guò)程】對(duì)于A,2e對(duì)于B,ln2+對(duì)于C,sinπ對(duì)于D,ex故選:D.【變式2-3】(2022·廣東廣州·高二期末)下列求導(dǎo)運(yùn)算結(jié)果正確的是(
)A.x?1x'C.tanx'=【解題思路】由導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)依次判斷即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A,x?1x'對(duì)于C,tanx對(duì)于D,ln2x?1故選:C.【題型3求曲線的切線】【方法點(diǎn)撥】求切線方程時(shí),一定要檢驗(yàn)已知點(diǎn)是否在曲線上,還要注意對(duì)“在”和“過(guò)”的理解.(1)若“在”,則該點(diǎn)為切點(diǎn).(2)若“過(guò)”,則該點(diǎn)不一定是切點(diǎn);若“過(guò)”曲線外的一點(diǎn),則該點(diǎn)一定不是切點(diǎn).【例3】(2022·陜西·西安市高二期末(理))曲線y=sinx+ex在A.x?3y+3=0 B.x?2y+2=0 C.2x?y+1=0 D.3x?y+1=0【解題思路】求出函數(shù)y=sin【解答過(guò)程】y=sinx+ex的導(dǎo)數(shù)為y'即有在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y=2x+1,即2x?y+1=0.故選:C.【變式3-1】(2022·遼寧葫蘆島·高三階段練習(xí))函數(shù)fx=x2?4A.x+4y+12=0 B.4x+y+3=0 C.x?4y?12=0 D.4x?y?3=0【解題思路】先求導(dǎo),再求出f'0和【解答過(guò)程】因?yàn)閒x=x2?4ex+1,所以f'故選:B.【變式3-2】(2022·河南·高二期末(文))曲線f(x)=xlnx在x=e(其中eA.y=2x?e B.y=2x+e C.y=?x 【解題思路】求導(dǎo),切線斜率等于切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值,點(diǎn)斜式求解即可.【解答過(guò)程】由題知,f(x)=xln所以f'(x)=ln當(dāng)x=e時(shí),f(e)=所以切點(diǎn)為e,所以切線方程為y?e=2x?故選:A.【變式3-3】(2022·陜西·高二階段練習(xí)(文))已知函數(shù)fx=sinx1?2cos2A.0 B.?14 C.32【解題思路】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可【解答過(guò)程】由fx可知f'所以f'故選:D.【題型4已知切線方程求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】當(dāng)曲線的切線方程是已知條件時(shí),常合理選擇以下三個(gè)條件的表達(dá)式解題:(1)切點(diǎn)在切線上;(2)切點(diǎn)在曲線上;(3)切點(diǎn)在橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率.【例4】(2022·寧夏·高三階段練習(xí)(文))函數(shù)fx=ex+ax在x=0處的切線與直線2x?y?5=0A.?1 B.1 C.12 D.【解題思路】函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率,利用直線的平行得到斜率相等,即為關(guān)于a的方程,可求出a的值.【解答過(guò)程】函數(shù)fx=e函數(shù)在x=0處的切線的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率為f'且切線與直線2x?y?5=0平行,則有1+a=2,可得a=1.故選:B.【變式4-1】(2022·貴州遵義·高三階段練習(xí)(理))若函數(shù)f(x)=ax?2lnx在(1,f(1))處切線方程為x+y+m=0,則實(shí)數(shù)m=(A.?1 B.?2 C.2 D.0【解題思路】求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到f'(1)=a?2=?1,求出a=1,得到切點(diǎn)坐標(biāo),代入切線方程中,求出【解答過(guò)程】f'(x)=a?2x,則所以f(x)=x?2lnx,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為1,1,將其代入x+y+m=0中,故1+1+m=0,解得:m=?2.故選:B.【變式4-2】(2021·河南·高二期末(文))已知函數(shù)f(x)=a2x2+blnxA.2 B.1 C.0 D.﹣2【解題思路】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率,由切線的方程求得切線的斜率和切點(diǎn),解方程可得a,b,即可得到所求結(jié)論.【解答過(guò)程】解:函數(shù)f(x)=a2x可得在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為f'因?yàn)樵邳c(diǎn)(1,f(1))處的切線方程是2x?y?1=0,所以f'(1)=a+b=2,解得a=2,b=0,所以ab=0故選:C.【變式4-3】(2022·湖北·高三階段練習(xí))若直線x+y+m=0是曲線y=x3+nx?52與曲線y=x2A.?30 B.?25 C.26 D.28【解題思路】設(shè)直線x+y+m=0與曲線y=x3+nx?52切于點(diǎn)(a,?a?m),與曲線y=【解答過(guò)程】設(shè)直線x+y+m=0與曲線y=x3+nx?52與曲線y=x2?3對(duì)于函數(shù)y=x2?3解得b=1或?3所以1?3ln1=?1?m,即對(duì)于函數(shù)y=x則3a整理得a3=?27,a=?3,所以n=?3a故選:C.【題型5函數(shù)圖象的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合具體條件,根據(jù)函數(shù)圖象、導(dǎo)函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系,進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例5】(2022·江西·高三開學(xué)考試(理))已知fx=14x2+sinπA. B.C. D.【解題思路】對(duì)函數(shù)fx求導(dǎo),判斷導(dǎo)函數(shù)的奇偶性,排除部分答案,接著將x=【解答過(guò)程】解:∵fx∴f'∴f∴f∴f'將x=π6代入f'故選:A.【變式5-1】(2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí))已知二次函數(shù)fx=ax2+bx+c,設(shè)gx=A.a(chǎn)<b,b<c B.a(chǎn)>b,b>cC.ba>1,b=c D.b【解題思路】求出函數(shù)g'x,再根據(jù)給定圖象與【解答過(guò)程】依題意,gx=e?x(a觀察g'x的圖像得:g'0=c?b=0,即b=c,g所以有ba<1,故選:D.【變式5-2】(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)(理))已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示,則f的值為()A.2 B. C.- D.-【解題思路】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)的周期π,求出ω,利用振幅求出A,利用導(dǎo)函數(shù)經(jīng)過(guò)(3π8,-1),求出φ,得到函數(shù)的解析式,進(jìn)而求得f(π的值.【解答過(guò)程】依題意得f′(x)=Aωcos(ωx+φ),結(jié)合函數(shù)y=f′(x)的圖象,則T=2πω=4(3π8-π8∵f′(3π8)=cos(3π4+φ)=-1,且0<φ<π,∴3π4<3π4+φ<7π4,∴3π4+φ=π,即φ=π4,f(x)=12sin(2x+π4),所以f(π2)=故選D.【變式5-3】(2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí))函數(shù)fx=16xA. B.C. D.【解題思路】求導(dǎo)得到f'x=13x+【解答過(guò)程】fx=16x導(dǎo)函數(shù)f'x當(dāng)x∈0,π時(shí),f'當(dāng)x∈π,+∞時(shí),f'故x∈0,+∞時(shí),f'故選:A.【題型6與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題,一般先理解所給定義與已有的函數(shù)、運(yùn)算的關(guān)聯(lián)性,再通過(guò)所給新定義轉(zhuǎn)化為所學(xué)過(guò)的知識(shí)與方法去轉(zhuǎn)化問(wèn)題,進(jìn)而解決問(wèn)題.【例6】(2022·河北·高二階段練習(xí))給出以下新定義:若函數(shù)fx在D上可導(dǎo),即f'x存在,且導(dǎo)函數(shù)f'x在D上也可導(dǎo),則稱fx在D上存在二階導(dǎo)函數(shù),記f''x=fA.fx=ex B.fx=2x【解題思路】求出每一個(gè)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),判斷是否f'【解答過(guò)程】對(duì)于A選項(xiàng),fx=e對(duì)于B選項(xiàng),fx=2x,f對(duì)于C選項(xiàng),fx=x對(duì)于D選項(xiàng),fx=ln故選:D.【變式6-1】(2022·云南昭通·高二期末
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 手部消毒劑市場(chǎng)環(huán)境與對(duì)策分析
- 2024年溶劑油項(xiàng)目立項(xiàng)申請(qǐng)報(bào)告模范
- 2024年水溶性肥項(xiàng)目提案報(bào)告模范
- 2024年高頻電控氣閥項(xiàng)目立項(xiàng)申請(qǐng)報(bào)告模范
- 晾衣架相關(guān)項(xiàng)目實(shí)施方案
- 2024年食品烘焙設(shè)備項(xiàng)目規(guī)劃申請(qǐng)報(bào)告模范
- 2024年軟體家具項(xiàng)目規(guī)劃申請(qǐng)報(bào)告模范
- 2024年公路管理與養(yǎng)護(hù)服務(wù)項(xiàng)目提案報(bào)告模范
- 染發(fā)刷相關(guān)項(xiàng)目建議書
- 2024年水資源保護(hù)服務(wù)項(xiàng)目立項(xiàng)申請(qǐng)報(bào)告模范
- 架線弧垂計(jì)算表(應(yīng)力弧垂插值計(jì)算)
- 小學(xué)信息技術(shù)-《信息工具知多少》課堂實(shí)錄教學(xué)課件設(shè)計(jì)
- 九年級(jí)英語(yǔ)月考試卷分析
- 比奈-西蒙智力測(cè)量量表
- 消防池淤泥清理施工方案
- GB/T 11260-2023圓鋼渦流檢測(cè)方法
- 食材來(lái)源方案
- 貝伐珠單抗抗血管機(jī)制課件
- 網(wǎng)絡(luò)安全咨詢項(xiàng)目概述
- 6SE70變頻器使用手冊(cè)
- 工業(yè)熱泵發(fā)展白皮書2023-202308-中國(guó)節(jié)能協(xié)會(huì)熱泵專業(yè)委員會(huì)
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論