重慶市萬(wàn)州二中教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

萬(wàn)州二中教育集團(tuán)高2023級(jí)高一下期期中考試數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）命題人：何毅審題人：張應(yīng)紅一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部是（）A. B.1 C. D.i【答案】B【解析】【分析】先由等式，反解出，再利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，求出復(fù)數(shù)z即可.【詳解】由已知，得，所以z的虛部為1.故選：B.2.若，，則等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)直接求解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選:D.3.已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2，其側(cè)面積為，則該圓錐的高為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】由側(cè)面積求出圓錐的底面圓半徑，再根據(jù)勾股定理可求得其高.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，母線為，則，所以其側(cè)面積為，解得，所以圓錐的高為.故選：C.4.在中，，則（）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)大邊對(duì)大角可得A>B，結(jié)合正弦定理和三角形內(nèi)角的范圍即可得出結(jié)果.【詳解】在中，根據(jù)大邊對(duì)大角可得A>B，由正弦定理，得，所以，故或.故選：D5.若，，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】借助向量模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系以及夾角公式計(jì)算即可得.【詳解】由，，，則，而，即得，所以，又，所以.故選：A.6.如圖，在中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量對(duì)應(yīng)線段的位置關(guān)系，結(jié)合向量加法、數(shù)乘的幾何意義，用表示即可.【詳解】由題圖，.故選：A7.在中，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理的邊角變換得到，再利用正弦定理的邊角變換與三角函數(shù)的和差公式即可得解.【詳解】因，所以，因?yàn)?，兩式相減，得，由正弦定理，得，即，因?yàn)椋?故選：A.8.已知向量滿足：為單位向量，且與相互垂直，又對(duì)任意不等式恒成立，若，則的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知由向量垂直可得的模，再由不等式恒成立，結(jié)合圖象可得，直接對(duì)進(jìn)行平方化簡(jiǎn)，由二次函數(shù)最值可解.【詳解】和相互垂直，則，則，設(shè)，則，因?yàn)楹愠闪?，則，即，則，對(duì)稱軸時(shí)：，即.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)不等式得到，則解出，再對(duì)向量式數(shù)量化即同平方，再化簡(jiǎn)成二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求出最小值.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法不正確的為（）A. B.C. D.在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限【答案】ACD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)的模公式，結(jié)合復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】，所以，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.10.在中，已知，下列結(jié)論中正確的是（）A.這個(gè)三角形被唯一確定 B.一定是鈍角三角形C. D.若，則的面積是【答案】BC【解析】【分析】設(shè)，然后結(jié)合正弦定理，余弦定理分別對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】依題意可設(shè)，則對(duì)于A，當(dāng)取不同的值時(shí)，三角形顯然不同，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，則三角形為鈍角三角形，故B正確；對(duì)于C，由正弦定理可知，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，即，即，又因?yàn)?，所以則，故D錯(cuò)誤.故選:BC.11.在中，角所對(duì)的邊分別是，下列命題正確的是（）A.若，則為等腰三角形B.若，則此三角形有兩解C.若，則為等腰三角形D.若，且，則該三角形內(nèi)切圓面積的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，由可得，利用數(shù)量積的定義化為，從而得到，知為等腰三角形；對(duì)于B，由余弦定理可得到關(guān)于的方程，解得有兩解，從而此三角形有兩解；對(duì)于C，用正弦定理將條件化為，即，然后得到或，由此即可進(jìn)一步判斷；對(duì)于D，化簡(jiǎn)為，然后證明內(nèi)切圓半徑，從而得到.【詳解】對(duì)于A，若，則，從而，即，即，故，從而為等腰三角形，A正確；對(duì)于B，若，則，而，即，解得或，故此三角形有兩解，B正確；對(duì)于C，注意到等價(jià)于，而這又等價(jià)于，所以或，也就是為等腰三角形或直角三角形，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，已知條件為，且，而等價(jià)于，即，對(duì)該等式通分得到，即，即.這即為，由知該等式即為.從而條件等價(jià)于且，從而該三角形內(nèi)切圓半徑.又由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而，故該三角形的內(nèi)切圓面積.驗(yàn)證知當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以該三角形的內(nèi)切圓面積的最大值是，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)的關(guān)鍵是得出內(nèi)切圓的半徑，由此即可順利得解.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.三個(gè)平面最多可以將空間分為_(kāi)_____部分．【答案】【解析】【分析】依題意畫出圖形，即可判斷.【詳解】如圖所示，空間中三個(gè)平面最多可以將空間分為8部分.故答案為：.13.已知為平面向量，．若在方向上的投影向量為，則__________.【答案】【解析】【分析】先設(shè)的夾角為，由在方向上的投影向量為，求得，進(jìn)而求得的值，則可求得.【詳解】設(shè)的夾角為，因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄繛?，，所以，得．從?.故答案為：.14.一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正四面體盒子內(nèi)部放置了一個(gè)正方體，且該正方體在鐵盒內(nèi)能任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該正方體棱長(zhǎng)的最大值為_(kāi)______.【答案】##【解析】【分析】將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正方體的外接球，即為正四面體的內(nèi)切球，作出圖形，利用等體積法求得內(nèi)切球的半徑，利用正方體的體對(duì)角線等于正方體的外接球的直徑即可求解.【詳解】由題意可知，正方體在正四面體內(nèi)部任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)正方體的棱長(zhǎng)取得最大值時(shí)，正方體的外接球即為正四面體的內(nèi)切球，將正四面體放到正方體中，作出圖形如圖，因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為2，則圖中正方體的棱長(zhǎng)為，所以正四面體的體積為，側(cè)面積為，設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，則，解得，設(shè)放置進(jìn)去的正方體的棱長(zhǎng)最大值為，則，解得.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量.（1）若向量，且，求的坐標(biāo)；（2）若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）因?yàn)?，所以可以設(shè)求出坐標(biāo)，根據(jù)模長(zhǎng)，可以得到參數(shù)的方程.（2）由于已知條件可以計(jì)算出與坐標(biāo)（含有參數(shù)）而兩向量垂直，可以得到關(guān)于的方程，完成本題.【詳解】（1）法一:設(shè)，則，所以解得所以或法二:設(shè)，因?yàn)?，，所以，因，所以解得或，所以或?）因?yàn)橄蛄颗c互相垂直所以，即而，，所以，因此，解得【點(diǎn)睛】考查了向量的線性表示，引入?yún)?shù)，只要我們能建立起引入?yún)?shù)的方程，則就能計(jì)算出所求參數(shù)值，從而完成本題.16.在中，．（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，則，由已知可得，可得，因此，.【小問(wèn)2詳解】解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長(zhǎng)為.17.如圖，在正方體中，E是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先證，再用直線與平面平行的判定定理證明平面；（2）利用等體積法，求三棱錐的體積.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)樵谡襟w中，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)是1，E是的中點(diǎn)，所以，三角形ABC的面積，三棱錐的體積.18.在中，角所對(duì)的邊分別是，若是邊上的一點(diǎn)，且.（1）若時(shí)，求面積的最大值；（2）若①求角的大??；②當(dāng)取得最大值時(shí)，求的面積.【答案】（1）1（2）①；②.【解析】【分析】（1）根據(jù)線段的比值關(guān)系與余弦定理求出，再求出面積表達(dá)式，求出最大值即可.（2）根據(jù)數(shù)量積表達(dá)式和正弦定理化簡(jiǎn)，得到，再由余弦定理即可求解；根據(jù)兩次余弦定理得到，換元求最大值，從而求得，求得面積即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，，根據(jù)余弦定理得，所以，所以的面積為，當(dāng)，即時(shí)，面積最大，最大值1.【小問(wèn)2詳解】①由，，則，由正弦定理得，化簡(jiǎn)得，所以，又因?yàn)椋?②因?yàn)?，由，可得，整理得，又因?yàn)?，所以，令為銳角，則，其中為銳角，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.此時(shí)，，解得，的面積為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解三角形中的最值問(wèn)題.關(guān)鍵點(diǎn)是求得之后，利用換元表示出，從而進(jìn)行三角函數(shù)化簡(jiǎn)得到的最小值，并求得此時(shí)的值，代入面積公式即可求解.19.1712年英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒提出了著名的泰勒公式，該公式利用了多項(xiàng)式函數(shù)曲線來(lái)逼近任意一個(gè)原函數(shù)曲線，該公式在近似計(jì)算，函數(shù)擬合，計(jì)算機(jī)科學(xué)上有著舉足輕重的作用.如下列常見(jiàn)函數(shù)的階泰勒展開(kāi)式為：其中，讀作的階乘.1748年瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉在泰勒公式的靈感下創(chuàng)造了人類數(shù)學(xué)最美妙的公式，即歐拉公式，特別的歐拉恒等式被后世稱為“上帝公式”.歐拉公式建立了復(fù)數(shù)域中指數(shù)函數(shù)與圓函數(shù)（正余弦函數(shù)）的關(guān)系，利用歐拉公式還可以完成圓的等分，即棣莫弗定理的應(yīng)用.（1）請(qǐng)寫出復(fù)數(shù)的三角形式，并利用泰勒展開(kāi)式估算出的3階近似值（精確到0.001）；（2）請(qǐng)根據(jù)上述材料證明歐拉公式，并計(jì)算與；（3）記，由棣莫弗定理得，從而得，復(fù)數(shù)，我們稱其為1在復(fù)數(shù)域內(nèi)的三次方根.若為64在復(fù)數(shù)域內(nèi)的6次方根.求取值構(gòu)成的集合，其中.【答案】（1）；2.667（2）證明見(jiàn)解析；，.（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式和泰勒展開(kāi)式求解即可.（2）令代入泰勒展開(kāi)式中進(jìn)行化簡(jiǎn)即可證明歐拉公式，再利用歐拉公式求解與.（3）根據(jù)棣莫弗定理與1在復(fù)數(shù)域內(nèi)的三次方根的求解過(guò)程，即可求出64在復(fù)數(shù)域內(nèi)的6次方根，再代入計(jì)算模長(zhǎng)即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的三角形式為，，，所以復(fù)數(shù)的三角形式為.由泰勒公式令可得，的3階近似值為【小問(wèn)2詳解