壓軸訓(xùn)練：第一章 有理數(shù)（解析版）

第一章有理數(shù)壓軸訓(xùn)練壓軸題型一利用數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值例1.（23-24六年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)．【答案】【分析】本題考查了根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)判斷式子的正負(fù)、化簡(jiǎn)絕對(duì)值，由數(shù)軸得出，，從而得到，，，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：由數(shù)軸可得：，，，，，．鞏固訓(xùn)練1.（22-23七年級(jí)上·云南保山·期中）有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，

化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】本題考查了數(shù)軸與有理數(shù)，絕對(duì)值化簡(jiǎn)，根據(jù)數(shù)軸可得，進(jìn)而得到，，，，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)即可化簡(jiǎn)求解，由數(shù)軸判斷出、、與的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由數(shù)軸可得，，∴，，，，∴原式，，．2.（23-24七年級(jí)上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示：(1)1，b2，______________2（填“”或“”）(2)化簡(jiǎn)：．【答案】(1)，，(2)【分析】本題主要考查了根據(jù)數(shù)軸比較大小，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，合并同類項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的意義；（1）根據(jù)數(shù)軸上確定各個(gè)有理數(shù)的大小關(guān)系，然后比較即可；（2）確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)代數(shù)式的正負(fù)情況再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算即可求解．【詳解】（1）由數(shù)軸可知：，，且，，，故答案為：，，；（2）由（1），得．又，所以，所以．3.（23-24六年級(jí)下·北京海淀·期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：______0，______0，______0．(2)化簡(jiǎn)：．【答案】(1)，，(2)【分析】本題主要考查了利用數(shù)軸確定代數(shù)式的正負(fù)、絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等知識(shí)點(diǎn)，掌握利用數(shù)軸確定代數(shù)式的正負(fù)成為解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)數(shù)軸取得a、b、c的大小關(guān)系，然后再確定所求代數(shù)式的正負(fù)即可；（2）根據(jù)（1）所的代數(shù)式的正負(fù)取絕對(duì)值，然后再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）解：由數(shù)軸可得：，則．故答案為：，，．（2）解：∵，∴．壓軸題型二新定義型有理數(shù)混合運(yùn)算例2.計(jì)算規(guī)定，試計(jì)算：的值．【答案】5【分析】原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值．【詳解】解：∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1.洪洪同學(xué)在電腦中設(shè)置了一個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算程序：輸入數(shù)“”加“★”鍵，再輸入“”，就可以得到運(yùn)算．按此程序．【答案】8.5【分析】根據(jù)題意列出算式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故答案為：8.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式，準(zhǔn)確計(jì)算．2.（2023·河北滄州·校考二模）若，是有理數(shù)，定義一種運(yùn)算“▲”：，(1)計(jì)算的值；(2)計(jì)算的值；(3)定義的新運(yùn)算“▲”對(duì)交換律是否成立？請(qǐng)寫出你的探究過程．【答案】(1)8(2)8(3)不成立，見解析【分析】（1）根據(jù)題目所給新定義運(yùn)算順序和運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)題目所給新定義運(yùn)算順序和運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)題目所給新定義運(yùn)算順序和運(yùn)算法則，分別計(jì)算和，再進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：由題意得：，（2）解：由題意得，∴；（3）解：不成立，理由如下：∵，，∴，即定義的新運(yùn)算“▲”對(duì)交換律不成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的有理數(shù)四則混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，明確題目所給新定義的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．3.若我們定義，其中符號(hào)“*”是我們規(guī)定的一種運(yùn)算符號(hào)．例如：．依據(jù)以上內(nèi)容，求下列式子的值．(1)；(2)．【答案】(1)38(2)【分析】（1）將、代入，根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算順序和法則計(jì)算可得；（2）將、代入，根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算順序和法則計(jì)算可得．【詳解】（1）解：；（2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算的順序和法則是解題的關(guān)鍵．壓軸題型三與有理數(shù)乘方有關(guān)的新定義型問題例3.（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)統(tǒng)考期末）現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算“”：，如，則．【答案】【分析】根據(jù)題中所給的運(yùn)算方法列出乘方的式子，再根據(jù)乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，如，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟知數(shù)的乘方法則是解答此題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1.（22-23七年級(jí)上·重慶開州·期中）用“”，“”定義新運(yùn)算，對(duì)于任意有理數(shù)、，都有，，求的值．【答案】【分析】根據(jù)新定義，先計(jì)算再計(jì)算，即可求解．【詳解】解：依題意，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵．2.（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）規(guī)定:.(1)求的值；(2)若，求x的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)原式將、代入即可求解；（2）將，代入等式，即可求解x的值．【詳解】（1）原式；（2），，，．【點(diǎn)睛】本題考查新型定義下的數(shù)學(xué)運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．3.（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）如果，那么我們記為：．例如，則．(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：______，______；(2)若，則______；(3)若，，求的值．【答案】(1)3，2(2)(3)4【分析】（1）理解題意，根據(jù)有理數(shù)乘方計(jì)算求解；（2）根據(jù)題意得到，求得x的值即可；（3）根據(jù)題意，由有理數(shù)的乘方計(jì)算求得a與b的值，然后求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，故答案為：3，2．（2）∵，∴，∵，，∴；故答案為：（3）解：∵，∴∵，，∴∴又∵∴的值為4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．壓軸題型四數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題例4.（23-24七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期中）如圖，點(diǎn)均在數(shù)軸上，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，且距點(diǎn)個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)是數(shù)軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求出點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和是個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)；(3)若點(diǎn)分別從點(diǎn)出發(fā)，均沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)每秒運(yùn)動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)每秒運(yùn)動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度．若點(diǎn)先出發(fā)秒后點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)兩點(diǎn)相距個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的數(shù)．【答案】(1)；(2)或；(3)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是或點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是．【分析】（）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解；（）分兩種情況：點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，；點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，進(jìn)行討論即可求解；（3）分兩種情況：點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，進(jìn)行討論即可求解；本題考查了兩點(diǎn)間的距離和數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸及“分類討論”的數(shù)學(xué)思想．【詳解】（1），故點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是；（2），點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，，故點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是或；（3）點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，（秒），點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是；點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，（秒），點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，綜上可知：點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是或點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，已知：、分別是數(shù)軸上兩點(diǎn)、所表示的有理數(shù)，滿足．

(1)求、兩點(diǎn)相距多少個(gè)單位長(zhǎng)度？(2)若點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到點(diǎn)距離的，求點(diǎn)表示的數(shù)；(3)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，先向左移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，如此下去，依次操作次后，求點(diǎn)表示的數(shù)．【答案】(1)個(gè)單位長(zhǎng)度；(2)或；(3)．【分析】（）先由絕對(duì)值和平方數(shù)的非負(fù)性求出和，再根據(jù)數(shù)軸上表示的數(shù)之間的距離的公式即可求解；（）根據(jù)點(diǎn)的位置分情況討論即可求解；（）點(diǎn)向左移個(gè)單位，再向右移動(dòng)個(gè)單位，依次規(guī)律，列出算式即可求解．【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以，，所以，，，答：、兩點(diǎn)相距12個(gè)單位長(zhǎng)度；（2）若點(diǎn)在B點(diǎn)的右側(cè)，則．所以．所以點(diǎn)表示的數(shù)為．若點(diǎn)在A，B點(diǎn)之間，則．所以．所以點(diǎn)表示的數(shù)為．綜上，點(diǎn)表示的數(shù)為或．（3），答：點(diǎn)表示的數(shù)為．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸兩點(diǎn)間的距離及數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題．2．（23-24七年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，已知數(shù)軸上A，B，C三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)分別是a，b，c，且，若點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)點(diǎn)B，且點(diǎn)A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)．

(1)a的值為，的值為；(2)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別同時(shí)從點(diǎn)A，C出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒m個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A移動(dòng)，點(diǎn)P表示的數(shù)為x．①若點(diǎn)P，Q在點(diǎn)B處相遇，求m的值；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)P的2倍，當(dāng)點(diǎn)P，Q之間的距離為2時(shí)，求此時(shí)x的值．【答案】(1)(2)①

②或【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離為且兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)即可求；再根據(jù)絕對(duì)值為非負(fù)數(shù)求出，從而得出結(jié)論；①根據(jù)相遇時(shí)走的路程是，根據(jù)速度時(shí)間路程列方程求出的值；②根據(jù)點(diǎn)的路程之差的絕對(duì)值等于列出方程，解方程即可.【詳解】（1）∵,∴,∵,互為相反數(shù),∴,∴,故答案為:；（2）①∵點(diǎn)的速度是每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)在點(diǎn)處相遇,,∴點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所用時(shí)間為秒，∵,∴,解得②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，根據(jù)題意：,解得或或∴或【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，路程、速度與時(shí)間關(guān)系的應(yīng)用，兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.3．（23-24七年級(jí)上·廣東惠州·階段練習(xí)）閱讀下面的材料：如圖①，若線段在數(shù)軸上，A，B點(diǎn)示的數(shù)分別為a，b（），則線段的長(zhǎng)（點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離）可表示為請(qǐng)用上面材料中的知識(shí)解答下面的問題：如圖②，一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始，先向左移動(dòng)到達(dá)A點(diǎn)，再向左移動(dòng)到達(dá)B點(diǎn)，然后向右移動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)，用1個(gè)單位長(zhǎng)度表示

(1)請(qǐng)你在圖②的數(shù)軸上表示出A，B，C三點(diǎn)的位置，并直接寫出線段的長(zhǎng)度．(2)若數(shù)軸上有一點(diǎn)D，且，則點(diǎn)D表示的數(shù)是什么？(3)若將點(diǎn)A向右移動(dòng)，請(qǐng)用代數(shù)式表示移動(dòng)后的點(diǎn)表示的數(shù)？【答案】(1)，見解析；(2)點(diǎn)D表示的數(shù)是或3；(3)移動(dòng)后的點(diǎn)表示的數(shù)為；【分析】（1）根據(jù)題意容易畫出圖形；由題意容易得出的長(zhǎng)度；（2）設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)是a，由絕對(duì)值的意義容易得出結(jié)果；（3）將點(diǎn)A向右移動(dòng)，則移動(dòng)后的點(diǎn)表示的數(shù)為．【詳解】（1）解：由題意可得：A，B，C三點(diǎn)的位置如下所示，

∴；（2）解：設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)是a，∵，，解得：或3，∴點(diǎn)D表示的數(shù)是或3；（3）解：將點(diǎn)A向右移動(dòng)，則移動(dòng)后的點(diǎn)表示的數(shù)為；【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離求解是解決問題的關(guān)鍵．4．（23-24七年級(jí)上·福建三明·階段練習(xí)）數(shù)軸上有A，B，C三點(diǎn)，給出如下定義：若其中一個(gè)點(diǎn)與其它兩個(gè)點(diǎn)的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該點(diǎn)是其它兩個(gè)點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.例：如圖1所示，數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，因?yàn)?，所以稱點(diǎn)B是點(diǎn)A，C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．

圖1(1)如圖2所示，點(diǎn)A表示數(shù)，點(diǎn)B表示數(shù)1，下列各數(shù)2，4，6所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是C1，C2，C3其中是點(diǎn)A，B

的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的是;

圖2(2)如圖3所示，點(diǎn)A表示數(shù)，點(diǎn)B表示數(shù)15，P為數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)：①若點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，且P是點(diǎn)A，B

的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)；②若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)P，A，B

中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是其它兩個(gè)點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù).

圖3【答案】(1)C2(2)①點(diǎn)P表示的數(shù)為，；②點(diǎn)P表示的數(shù)為【分析】（1）分別求出點(diǎn)C1，C2，C3到兩點(diǎn)間的距離，再進(jìn)行驗(yàn)證即可；（2）①分類討論點(diǎn)在之間和點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)的情況即可；②分類討論點(diǎn)為點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”、點(diǎn)為點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”、點(diǎn)為點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”即可求解．【詳解】（1）解：∵∴點(diǎn)C1不