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第一章有理數(shù)壓軸訓(xùn)練壓軸題型一利用數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值例1.(23-24六年級(jí)下·黑龍江綏化·期中)有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡(jiǎn).【答案】【分析】本題考查了根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)判斷式子的正負(fù)、化簡(jiǎn)絕對(duì)值,由數(shù)軸得出,,從而得到,,,再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.【詳解】解:由數(shù)軸可得:,,,,,.鞏固訓(xùn)練1.(22-23七年級(jí)上·云南保山·期中)有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示,
化簡(jiǎn):.【答案】【分析】本題考查了數(shù)軸與有理數(shù),絕對(duì)值化簡(jiǎn),根據(jù)數(shù)軸可得,進(jìn)而得到,,,,根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)即可化簡(jiǎn)求解,由數(shù)軸判斷出、、與的符號(hào)是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:由數(shù)軸可得,,∴,,,,∴原式,,.2.(23-24七年級(jí)上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí))已知有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示:(1)1,b2,______________2(填“”或“”)(2)化簡(jiǎn):.【答案】(1),,(2)【分析】本題主要考查了根據(jù)數(shù)軸比較大小,化簡(jiǎn)絕對(duì)值,合并同類項(xiàng),解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的意義;(1)根據(jù)數(shù)軸上確定各個(gè)有理數(shù)的大小關(guān)系,然后比較即可;(2)確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)代數(shù)式的正負(fù)情況再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】(1)由數(shù)軸可知:,,且,,,故答案為:,,;(2)由(1),得.又,所以,所以.3.(23-24六年級(jí)下·北京海淀·期中)有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示.(1)用“>”“<”或“=”填空:______0,______0,______0.(2)化簡(jiǎn):.【答案】(1),,(2)【分析】本題主要考查了利用數(shù)軸確定代數(shù)式的正負(fù)、絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等知識(shí)點(diǎn),掌握利用數(shù)軸確定代數(shù)式的正負(fù)成為解題的關(guān)鍵.(1)先根據(jù)數(shù)軸取得a、b、c的大小關(guān)系,然后再確定所求代數(shù)式的正負(fù)即可;(2)根據(jù)(1)所的代數(shù)式的正負(fù)取絕對(duì)值,然后再合并同類項(xiàng)即可.【詳解】(1)解:由數(shù)軸可得:,則.故答案為:,,.(2)解:∵,∴.壓軸題型二新定義型有理數(shù)混合運(yùn)算例2.計(jì)算規(guī)定,試計(jì)算:的值.【答案】5【分析】原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值.【詳解】解:∵,∴.【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.鞏固訓(xùn)練1.洪洪同學(xué)在電腦中設(shè)置了一個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算程序:輸入數(shù)“”加“★”鍵,再輸入“”,就可以得到運(yùn)算.按此程序.【答案】8.5【分析】根據(jù)題意列出算式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解:根據(jù)題意得:.故答案為:8.5.【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值,有理數(shù)的混合運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式,準(zhǔn)確計(jì)算.2.(2023·河北滄州·校考二模)若,是有理數(shù),定義一種運(yùn)算“▲”:,(1)計(jì)算的值;(2)計(jì)算的值;(3)定義的新運(yùn)算“▲”對(duì)交換律是否成立?請(qǐng)寫出你的探究過程.【答案】(1)8(2)8(3)不成立,見解析【分析】(1)根據(jù)題目所給新定義運(yùn)算順序和運(yùn)算法則,進(jìn)行計(jì)算即可;(2)根據(jù)題目所給新定義運(yùn)算順序和運(yùn)算法則,進(jìn)行計(jì)算即可;(3)根據(jù)題目所給新定義運(yùn)算順序和運(yùn)算法則,分別計(jì)算和,再進(jìn)行比較即可.【詳解】(1)解:由題意得:,(2)解:由題意得,∴;(3)解:不成立,理由如下:∵,,∴,即定義的新運(yùn)算“▲”對(duì)交換律不成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的有理數(shù)四則混合運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是正確理解題意,明確題目所給新定義的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則.3.若我們定義,其中符號(hào)“*”是我們規(guī)定的一種運(yùn)算符號(hào).例如:.依據(jù)以上內(nèi)容,求下列式子的值.(1);(2).【答案】(1)38(2)【分析】(1)將、代入,根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算順序和法則計(jì)算可得;(2)將、代入,根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算順序和法則計(jì)算可得.【詳解】(1)解:;(2).【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算,熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算的順序和法則是解題的關(guān)鍵.壓軸題型三與有理數(shù)乘方有關(guān)的新定義型問題例3.(2023春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)統(tǒng)考期末)現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算“”:,如,則.【答案】【分析】根據(jù)題中所給的運(yùn)算方法列出乘方的式子,再根據(jù)乘方的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解:,如,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算,熟知數(shù)的乘方法則是解答此題的關(guān)鍵.鞏固訓(xùn)練1.(22-23七年級(jí)上·重慶開州·期中)用“”,“”定義新運(yùn)算,對(duì)于任意有理數(shù)、,都有,,求的值.【答案】【分析】根據(jù)新定義,先計(jì)算再計(jì)算,即可求解.【詳解】解:依題意,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算,有理數(shù)的乘方運(yùn)算,理解新定義是解題的關(guān)鍵.2.(2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè))規(guī)定:.(1)求的值;(2)若,求x的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)原式將、代入即可求解;(2)將,代入等式,即可求解x的值.【詳解】(1)原式;(2),,,.【點(diǎn)睛】本題考查新型定義下的數(shù)學(xué)運(yùn)算,熟練掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.3.(2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè))如果,那么我們記為:.例如,則.(1)根據(jù)上述規(guī)定,填空:______,______;(2)若,則______;(3)若,,求的值.【答案】(1)3,2(2)(3)4【分析】(1)理解題意,根據(jù)有理數(shù)乘方計(jì)算求解;(2)根據(jù)題意得到,求得x的值即可;(3)根據(jù)題意,由有理數(shù)的乘方計(jì)算求得a與b的值,然后求解.【詳解】(1)解:∵,∴,∵,∴,故答案為:3,2.(2)∵,∴,∵,,∴;故答案為:(3)解:∵,∴∵,,∴∴又∵∴的值為4.【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算,正確將原式變形是解題關(guān)鍵.壓軸題型四數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題例4.(23-24七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期中)如圖,點(diǎn)均在數(shù)軸上,點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是,點(diǎn)在點(diǎn)的右邊,且距點(diǎn)個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)是數(shù)軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求出點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù);(2)當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和是個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí),求出此時(shí)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù);(3)若點(diǎn)分別從點(diǎn)出發(fā),均沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng),點(diǎn)每秒運(yùn)動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)每秒運(yùn)動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度.若點(diǎn)先出發(fā)秒后點(diǎn)出發(fā),當(dāng)兩點(diǎn)相距個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí),直接寫出此時(shí)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的數(shù).【答案】(1);(2)或;(3)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是,點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是或點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是,點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是.【分析】()根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解;()分兩種情況:點(diǎn)在點(diǎn)的左邊,;點(diǎn)在點(diǎn)的右邊,進(jìn)行討論即可求解;(3)分兩種情況:點(diǎn)在點(diǎn)的左邊,點(diǎn)在點(diǎn)的右邊,進(jìn)行討論即可求解;本題考查了兩點(diǎn)間的距離和數(shù)軸,解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸及“分類討論”的數(shù)學(xué)思想.【詳解】(1),故點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是;(2),點(diǎn)在點(diǎn)的左邊,,點(diǎn)在點(diǎn)的右邊,,故點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是或;(3)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊,(秒),點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是,點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是;點(diǎn)在點(diǎn)的右邊,(秒),點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是,點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是,綜上可知:點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是,點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是或點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是,點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是.鞏固訓(xùn)練1.(23-24七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí))如圖,已知:、分別是數(shù)軸上兩點(diǎn)、所表示的有理數(shù),滿足.
(1)求、兩點(diǎn)相距多少個(gè)單位長(zhǎng)度?(2)若點(diǎn)在數(shù)軸上,點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到點(diǎn)距離的,求點(diǎn)表示的數(shù);(3)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),先向左移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度,再向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度,再向左移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度,再向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度,如此下去,依次操作次后,求點(diǎn)表示的數(shù).【答案】(1)個(gè)單位長(zhǎng)度;(2)或;(3).【分析】()先由絕對(duì)值和平方數(shù)的非負(fù)性求出和,再根據(jù)數(shù)軸上表示的數(shù)之間的距離的公式即可求解;()根據(jù)點(diǎn)的位置分情況討論即可求解;()點(diǎn)向左移個(gè)單位,再向右移動(dòng)個(gè)單位,依次規(guī)律,列出算式即可求解.【詳解】(1)因?yàn)椋?,,所以,,所以,,,答:、兩點(diǎn)相距12個(gè)單位長(zhǎng)度;(2)若點(diǎn)在B點(diǎn)的右側(cè),則.所以.所以點(diǎn)表示的數(shù)為.若點(diǎn)在A,B點(diǎn)之間,則.所以.所以點(diǎn)表示的數(shù)為.綜上,點(diǎn)表示的數(shù)為或.(3),答:點(diǎn)表示的數(shù)為.【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸,解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸兩點(diǎn)間的距離及數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題.2.(23-24七年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí))如圖,已知數(shù)軸上A,B,C三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)分別是a,b,c,且,若點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)點(diǎn)B,且點(diǎn)A,B表示的數(shù)互為相反數(shù).
(1)a的值為,的值為;(2)動(dòng)點(diǎn)P,Q分別同時(shí)從點(diǎn)A,C出發(fā),點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C移動(dòng),點(diǎn)Q以每秒m個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A移動(dòng),點(diǎn)P表示的數(shù)為x.①若點(diǎn)P,Q在點(diǎn)B處相遇,求m的值;②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)P的2倍,當(dāng)點(diǎn)P,Q之間的距離為2時(shí),求此時(shí)x的值.【答案】(1)(2)①
②或【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離為且兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)即可求;再根據(jù)絕對(duì)值為非負(fù)數(shù)求出,從而得出結(jié)論;①根據(jù)相遇時(shí)走的路程是,根據(jù)速度時(shí)間路程列方程求出的值;②根據(jù)點(diǎn)的路程之差的絕對(duì)值等于列出方程,解方程即可.【詳解】(1)∵,∴,∵,互為相反數(shù),∴,∴,故答案為:;(2)①∵點(diǎn)的速度是每秒個(gè)單位長(zhǎng)度,點(diǎn)在點(diǎn)處相遇,,∴點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所用時(shí)間為秒,∵,∴,解得②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,根據(jù)題意:,解得或或∴或【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用,路程、速度與時(shí)間關(guān)系的應(yīng)用,兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用,進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.3.(23-24七年級(jí)上·廣東惠州·階段練習(xí))閱讀下面的材料:如圖①,若線段在數(shù)軸上,A,B點(diǎn)示的數(shù)分別為a,b(),則線段的長(zhǎng)(點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離)可表示為請(qǐng)用上面材料中的知識(shí)解答下面的問題:如圖②,一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始,先向左移動(dòng)到達(dá)A點(diǎn),再向左移動(dòng)到達(dá)B點(diǎn),然后向右移動(dòng)到達(dá)C點(diǎn),用1個(gè)單位長(zhǎng)度表示
(1)請(qǐng)你在圖②的數(shù)軸上表示出A,B,C三點(diǎn)的位置,并直接寫出線段的長(zhǎng)度.(2)若數(shù)軸上有一點(diǎn)D,且,則點(diǎn)D表示的數(shù)是什么?(3)若將點(diǎn)A向右移動(dòng),請(qǐng)用代數(shù)式表示移動(dòng)后的點(diǎn)表示的數(shù)?【答案】(1),見解析;(2)點(diǎn)D表示的數(shù)是或3;(3)移動(dòng)后的點(diǎn)表示的數(shù)為;【分析】(1)根據(jù)題意容易畫出圖形;由題意容易得出的長(zhǎng)度;(2)設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)是a,由絕對(duì)值的意義容易得出結(jié)果;(3)將點(diǎn)A向右移動(dòng),則移動(dòng)后的點(diǎn)表示的數(shù)為.【詳解】(1)解:由題意可得:A,B,C三點(diǎn)的位置如下所示,
∴;(2)解:設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)是a,∵,,解得:或3,∴點(diǎn)D表示的數(shù)是或3;(3)解:將點(diǎn)A向右移動(dòng),則移動(dòng)后的點(diǎn)表示的數(shù)為;【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離求解是解決問題的關(guān)鍵.4.(23-24七年級(jí)上·福建三明·階段練習(xí))數(shù)軸上有A,B,C三點(diǎn),給出如下定義:若其中一個(gè)點(diǎn)與其它兩個(gè)點(diǎn)的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系,則稱該點(diǎn)是其它兩個(gè)點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.例:如圖1所示,數(shù)軸上點(diǎn)A,B,C所表示的數(shù)分別為1,3,4,因?yàn)?,所以稱點(diǎn)B是點(diǎn)A,C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.
圖1(1)如圖2所示,點(diǎn)A表示數(shù),點(diǎn)B表示數(shù)1,下列各數(shù)2,4,6所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是C1,C2,C3其中是點(diǎn)A,B
的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的是;
圖2(2)如圖3所示,點(diǎn)A表示數(shù),點(diǎn)B表示數(shù)15,P為數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn):①若點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè),且P是點(diǎn)A,B
的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”,求此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù);②若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè),點(diǎn)P,A,B
中,有一個(gè)點(diǎn)恰好是其它兩個(gè)點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù).
圖3【答案】(1)C2(2)①點(diǎn)P表示的數(shù)為,;②點(diǎn)P表示的數(shù)為【分析】(1)分別求出點(diǎn)C1,C2,C3到兩點(diǎn)間的距離,再進(jìn)行驗(yàn)證即可;(2)①分類討論點(diǎn)在之間和點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)的情況即可;②分類討論點(diǎn)為點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”、點(diǎn)為點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”、點(diǎn)為點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”即可求解.【詳解】(1)解:∵∴點(diǎn)C1不
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