2024八年級數(shù)學(xué)上冊第13章全等三角形13.5逆命題與逆定理3角平分線上課課件新版華東師大版

13.5逆命題與逆定理第3課時

角平分線第13章

全等三角形1、會敘述角平分線的性質(zhì)及判定;2、能利用三角形全等，證明角平分線的性質(zhì)定理，理解和掌握角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理．能應(yīng)用這兩個性質(zhì)解決一些簡單的實(shí)際問題;3、經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力．

溫故知新如圖，你能畫出∠AOB的對稱軸嗎？射線OC就是的∠AOB的對稱軸，也是角平分線.AOBC

在一個三角形居住區(qū)內(nèi)修有一個學(xué)校P，P到AB、BC、CA三邊的距離都相等,請?jiān)谌切尉幼^(qū)內(nèi)標(biāo)出學(xué)校P的位置,P在何處？ABC問題情境知識點(diǎn)一

角平分線的性質(zhì)定理

如圖，點(diǎn)P是∠AOB的角平分線OC上的任意一點(diǎn)，且PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，將∠AOB沿OC對折，你發(fā)現(xiàn)了什么？如何表達(dá)，并簡述你的證明過程.對折后PD、PE能夠完全重合，PD=PE.角是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？DPACBEO下面我們來證明剛才得到的結(jié)論.DPACBEO已知:OC平分∠AOB,P是OC上任意一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB.求證:PD=PE.證明:∵OC平分∠AOB,P是OC上一點(diǎn)，∴∠DOP=∠BOP.∵PD⊥OA,PE⊥OB

，∴∠ODP=∠OEP=90°.在△OPD和△OPE

中，∠DOP=∠EOP,∠ODP=∠OEP,OP=OP,∴△OPD≌△OPE(A.A.S.).∴PD＝PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.由上面證明，我們得到角平分線的性質(zhì)定理:角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．幾何語言描述：∵

OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴

PD=PE.應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.典例精析【例1】已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線且BD=CD∠B=∠C,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.試說明：EB=FC.ABCDEF分析：先利用角平分線的性質(zhì)定理得到DE=DF，再利用全等證明Rt△BDE

≌Rt△CDF.ABCDEF解：

∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，∴△BDE

≌△CDF.∴EB=FC.BD=CD，∠B=∠C，∠DEB=∠DFC，練一練（1）∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，().

角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC1、判斷下列的寫法是否正確？理由：沒有垂直，不能確定BD、CD是點(diǎn)D到角兩邊的距離.(2)∵如圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()角內(nèi)任意一條線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC理由：無法確定點(diǎn)D在∠BAC的平分線上.

在角平分線上和垂直這兩個條件缺一不可．知識點(diǎn)二

角平分線的判定定理

這一定理描述了角平分線的性質(zhì)，那么反過來會有什么結(jié)果呢？寫出性質(zhì)定理及其逆命題的條件和結(jié)論，你有什么發(fā)現(xiàn)？t條件結(jié)論性質(zhì)定理逆命題一個點(diǎn)在角的平分線上這個點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等一個點(diǎn)到角兩邊的距離相等這個點(diǎn)在這個角的平分線上想想看，這個逆命題是否是一個真命題？你能證明嗎？

逆命題如果一個點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個點(diǎn)在這個角的平分線上.

分析：為了證明點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，可以先作射線OP，然后證明Rt△PDO≌Rt△PEO，從而得到∠AOP=∠BOP.已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上.BADOPE證明：作射線OP，在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（H.L.）.∴∠AOP=∠BOPBADOPE∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊距離相等.定理的作用：判斷點(diǎn)在角平分線上.應(yīng)用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.DPACBEO角平分線的判定定理與性質(zhì)定理互為逆定理.

利用尺規(guī)作三角形的三條角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)．

做一做怎樣證明這個結(jié)論呢?A

B

C

P

N

M

點(diǎn)撥：要證明三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，只要證明其中兩條角平分線的交點(diǎn)一定在第三條角平分線上即可.思路可表示如下：試試看，你會寫出證明過程嗎？AP是∠BAC的平分線BP是∠ABC的平分線PI=PHPG=PIPH=PG點(diǎn)P在∠BCA的平分線上A

B

C

P

F

H

DEIG典例精析【例2】如圖，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E，BD與CE相交于點(diǎn)F，BF=CF.求證：點(diǎn)F在∠BAC的平分線上.

證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠CDF=∠BEF=90°.在△CDF和△BEF中，∵∠CDF=∠BEF=90°，∠CFD=∠BFE，BF=CF，∴△CDF≌△BEF(A.A.S.)，∴DF=EF，∴點(diǎn)F在∠BAC的平分線上.ABCDFE練一練1.如圖，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F.求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.ABCDEF證明：作FG⊥AC，F(xiàn)H⊥BC，F(xiàn)M⊥AB﹐垂足分別為G、H、M.GHM∵

CF平分∠ECB，BF平分∠CBD∴

FG＝FH＝FM

∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.2、如圖所示，在△ABC中，BD=CD，∠ABD=∠ACD.求證：AD平分∠BAC.ABCDMN

1.如圖，P是∠AOB的平分線OC上一點(diǎn)，PD⊥OB，垂足為D，若PD=2，則點(diǎn)P到邊OA的距離是(

)A.2B.3C.1D.4DEOBA●DPC2.如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B.下列結(jié)論中不一定成立的是(

)A．PA＝PB

B．PO平分∠APBC．OA＝OB

D．AB垂直平分OPDO●BPA3.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，則△DBE的周長是_____6cmACDBE4.如圖，AD為△ABC的角平分線，DF⊥AC于點(diǎn)F，∠B=90°，DE=DC.求證：BE=FC.BADCEF

5、已知：如圖，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，F(xiàn)、G分別是OA、OB上的點(diǎn)，且PF=PG，DF=EG.求證：OC是∠AOB的平分線.OBAECDPFG

6.已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上,BD=DF.求證：CF=EB.證明：∵AD平分∠CAB,

DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,∴CD＝DE(角平分線的性