2023-2024學(xué)年山西省忻州市岢嵐中學(xué)高三下第三次大考數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
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2022-2023學(xué)年山西省忻州市岢嵐中學(xué)高三下第三次大考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為,,且成等比數(shù)列,則()A.56 B.72 C.88 D.402.某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示,下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是().A.收入最高值與收入最低值的比是B.結(jié)余最高的月份是月份C.與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D.前個(gè)月的平均收入為萬(wàn)元3.等差數(shù)列中,,,則數(shù)列前6項(xiàng)和為()A.18 B.24 C.36 D.724.已知i是虛數(shù)單位,則1+iiA.-12+32i5.若函數(shù)的圖象過點(diǎn),則它的一條對(duì)稱軸方程可能是()A. B. C. D.6.已知集合,,,則()A. B. C. D.7.在中,,,,則在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-38.已知,滿足,且的最大值是最小值的4倍,則的值是()A.4 B. C. D.9.若,則的值為()A. B. C. D.10.設(shè)是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.11.已知集合,則全集則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.12.函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知復(fù)數(shù)z1=1﹣2i,z2=a+2i(其中i是虛數(shù)單位,a∈R),若z1?z2是純虛數(shù),則a的值為_____.14.已知直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn),且,則實(shí)數(shù)的值為_________.15.若實(shí)數(shù)滿足約束條件,設(shè)的最大值與最小值分別為,則_____.16.在中,內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為,已知,且,則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(12分)選修4—5;不等式選講.已知函數(shù).(1)若的解集非空,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若正數(shù)滿足,為(1)中m可取到的最大值,求證:.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),設(shè)的最小值為,若恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.19.(12分)如圖1,在等腰中,,,分別為,的中點(diǎn),為的中點(diǎn),在線段上,且。將沿折起,使點(diǎn)到的位置(如圖2所示),且。(1)證明:平面;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值20.(12分)已知數(shù)列為公差為d的等差數(shù)列,,,且,,依次成等比數(shù)列,.(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和;(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.21.(12分)數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),為的前n項(xiàng)和,求證:.22.(10分)如圖,已知正方形所在平面與梯形所在平面垂直,BM∥AN,,,.(1)證明:平面;(2)求點(diǎn)N到平面CDM的距離.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

,將代入,求得公差d,再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】由已知,,,故,解得或(舍),故,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算,是一道容易題.2.D【解析】由圖可知,收入最高值為萬(wàn)元,收入最低值為萬(wàn)元,其比是,故項(xiàng)正確;結(jié)余最高為月份,為,故項(xiàng)正確;至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同,故項(xiàng)正確;前個(gè)月的平均收入為萬(wàn)元,故項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上,故選.3.C【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得結(jié)果.【詳解】∵等差數(shù)列中,,∴,即,∴,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4.D【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可化簡(jiǎn)得出結(jié)果【詳解】1+i故選D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題。5.B【解析】

把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入求出,然后驗(yàn)證各選項(xiàng).【詳解】由題意,,或,,不妨取或,若,則函數(shù)為,四個(gè)選項(xiàng)都不合題意,若,則函數(shù)為,只有時(shí),,即是對(duì)稱軸.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱軸,掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.6.D【解析】

根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.【詳解】解:,,,則故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7.D【解析】分析:根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得,再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解:如圖所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問題,也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題.8.D【解析】試題分析:先畫出可行域如圖:由,得,由,得,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值,最大值為3;當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值,最小值為3a;由條件得,所以,故選D.考點(diǎn):線性規(guī)劃.9.C【解析】

根據(jù),再根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?,所以二?xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為:,令,所以,因此有.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力10.A【解析】

結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長(zhǎng)公式求解即可【詳解】∵復(fù)數(shù),∴,,則,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、模長(zhǎng)、平方運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題11.D【解析】

化簡(jiǎn)集合,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),化簡(jiǎn)集合,按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義,逐項(xiàng)判斷,即可求出結(jié)論.【詳解】由,則,故,由知,,因此,,,,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系,求解不等式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性,再研究函數(shù)在上的符號(hào),即可判斷選擇.詳解:令,因?yàn)?,所以為奇函?shù),排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)闀r(shí),,所以排除選項(xiàng)C,選D.點(diǎn)睛:有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問題的常見題型及解題思路:(1)由函數(shù)的定義域,判斷圖象的左、右位置,由函數(shù)的值域,判斷圖象的上、下位置;(2)由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢(shì);(3)由函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱性;(4)由函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.-1【解析】

由題意,令即可得解.【詳解】∵z1=1﹣2i,z2=a+2i,∴,又z1?z2是純虛數(shù),∴,解得:a=﹣1.故答案為:﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.14.0或6【解析】

計(jì)算得到圓心,半徑,根據(jù)得到,利用圓心到直線的距離公式解得答案.【詳解】,即,圓心,半徑.,故圓心到直線的距離為,即,故或.故答案為:或.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力。15.【解析】

畫出可行域,平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置,由此求得最大值以及最小值,進(jìn)而求得的比值.【詳解】畫出可行域如下圖所示,由圖可知,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),取得最大值7;過點(diǎn)時(shí),取得最小值2,所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最值.這種類型題目的主要思路是:首先根據(jù)題目所給的約束條件,畫出可行域;其次是求得線性目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù);接著畫出基準(zhǔn)函數(shù)對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)直線;然后通過平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置;最后求出所求的最值.屬于基礎(chǔ)題.16.4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得:,即∵∴∵∴故答案為4三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)見解析.【解析】試題分析:(1)討論三種情況去絕對(duì)值符號(hào),可得所以,由此得,解得;(2)利用分析法,由(1)知,,所以,因?yàn)?,要證,只需證,即證,只需證即可得結(jié)果.試題解析:(1)去絕對(duì)值符號(hào),可得所以,所以,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)由(1)知,,所以.因?yàn)?,所以要證,只需證,即證,即證.因?yàn)椋灾恍枳C,因?yàn)?,∴成立,所以解法二:x2+y2=2,x、y∈R+,x+y≥2xy設(shè):證明:x+y-2xy==令,∴原式====當(dāng)時(shí),18.(1)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2).【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由于參數(shù)的范圍對(duì)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有影響,對(duì)參數(shù)分類,再研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)由(1)的結(jié)論,求出的表達(dá)式,由于恒成立,故求出的最大值,即得實(shí)數(shù)的取值范圍的左端點(diǎn).【詳解】解:(1)解:,當(dāng)時(shí),,解得的增區(qū)間為,解得的減區(qū)間為.(2)解:若,由得,由得,所以函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為;,因?yàn)?,所以,,令,則恒成立,由于,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上是減函數(shù),所以成立;當(dāng)時(shí),若則,故函數(shù)在上是增函數(shù),即對(duì)時(shí),,與題意不符;綜上,為所求.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用,求解本題關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性,由最值的定義得出函數(shù)的最值,本題中第一小題是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,第二小題是一個(gè)求函數(shù)的最值的問題,此類題運(yùn)算量較大,轉(zhuǎn)化靈活,解題時(shí)極易因?yàn)樽冃闻c運(yùn)算出錯(cuò),故做題時(shí)要認(rèn)真仔細(xì).19.(1)證明見解析(2)【解析】

(1)要證明線面平行,需證明線線平行,取的中點(diǎn),連接,根據(jù)條件證明,即;(2)以為原點(diǎn),所在直線為軸,過作平行于的直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求兩個(gè)平面的法向量,利用法向量求二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連接.∵,∴為的中點(diǎn).又為的中點(diǎn),∴.依題意可知,則四邊形為平行四邊形,∴,從而.又平面,平面,∴平面.(2),且,平面,平面,,,且,平面,以為原點(diǎn),所在直線為軸,過作平行于的直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則,,,,,,,,.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,得.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,得.從而,故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明和空間坐標(biāo)法解決二面角的問題,意在考查空間想象能力,推理證明和計(jì)算能力,屬于中檔題型,證明線面平行,或證明面面平行時(shí),關(guān)鍵是證明線線平行,所以做輔助線或證明時(shí),需考慮構(gòu)造中位線或平行四邊形,這些都是證明線線平行的常方法.20.(1)(2)【解析】

(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)求出公差,從而求出,再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.(2)由(1)求出,再利用裂項(xiàng)求和法即可求解.【詳解】(1),且,,依次成等比數(shù)列,,即:,,,,,;(2),.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)求和法,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.21.(1)(2)證明見解析【解析】

(1)利用與的關(guān)系即可求解.(2)利用裂項(xiàng)求和法即可求解.【詳解】解析:(1)當(dāng)時(shí),;當(dāng),,可得,又∵當(dāng)時(shí)也成立,;(2),【點(diǎn)睛】本題主要考查了與的關(guān)系、裂項(xiàng)求和法,屬于基礎(chǔ)題.22.(1)證明見解析(2)【解析】

(1)因?yàn)檎叫蜛BCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直,平面平面,,所以平面ABMN,因?yàn)槠矫鍭BMN,平面ABMN,所以,,

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