2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章概率3.2.1古典概型3.2.2整數(shù)值隨機(jī)數(shù)randomnumbers的產(chǎn)生學(xué)案含解析新人教A版必修3

PAGE3.2古典概型3.3.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．了解基本領(lǐng)件的特點(diǎn)，理解古典概型的定義．(重點(diǎn))2．會(huì)推斷古典概型，會(huì)用古典概型的概率公式解決問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．理解用模擬方法估計(jì)概率的實(shí)質(zhì)，會(huì)用模擬方法估計(jì)概率．(重點(diǎn))1．通過(guò)古典概型的概率計(jì)算，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．借助隨機(jī)模擬估計(jì)概率，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).1.基本領(lǐng)件(1)定義：在一次試驗(yàn)中，全部可能出現(xiàn)的基本結(jié)果中不能再分的最簡(jiǎn)潔的隨機(jī)事務(wù)稱為該次試驗(yàn)的基本領(lǐng)件．(2)特點(diǎn)：①任何兩個(gè)基本領(lǐng)件是互斥的；②任何事務(wù)(除不行能事務(wù))都可以表示成基本領(lǐng)件的和．2．古典概型(1)定義：假如某類概率模型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：①試驗(yàn)中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件只有有限個(gè)；②每個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等．我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．(2)古典概型的概率公式：對(duì)于任何事務(wù)A，P(A)＝eq\f(A事務(wù)包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù),基本領(lǐng)件的總數(shù)).3．隨機(jī)數(shù)與偽隨機(jī)數(shù)(1)隨機(jī)數(shù)要產(chǎn)生1～n(n∈N*)之間的隨機(jī)整數(shù)，把n個(gè)大小形態(tài)相同的小球分別標(biāo)上1,2,3，…，n，放入一個(gè)袋中，把它們充分?jǐn)嚢瑁缓髲闹忻鲆粋€(gè)，這個(gè)球上的數(shù)就稱為隨機(jī)數(shù)．(2)偽隨機(jī)數(shù)計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是依照確定算法產(chǎn)生的數(shù)，具有周期性(周期很長(zhǎng))，它們具有類似隨機(jī)數(shù)的性質(zhì)．因此，計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生的并不是真正的隨機(jī)數(shù)，我們稱它們?yōu)閭坞S機(jī)數(shù)．4．整數(shù)值隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生及應(yīng)用(1)產(chǎn)生整數(shù)值隨機(jī)數(shù)的方法用計(jì)算器的隨機(jī)函數(shù)RANDI(a，b)或計(jì)算機(jī)的隨機(jī)函數(shù)RANDBET_WEEN(a，b)可以產(chǎn)生從整數(shù)a到整數(shù)b的取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)；也可用計(jì)算機(jī)中的Excel軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)．用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法稱為隨機(jī)模擬方法．(2)整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)來(lái)做模擬試驗(yàn)，通過(guò)模擬試驗(yàn)得到的頻率來(lái)估計(jì)概率，這種用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)的方法稱為隨機(jī)模擬方法或蒙特卡羅方法．思索：“在區(qū)間[0,10]上任取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)恰為2的概率是多少？”這個(gè)概率模型屬于古典概型嗎？[提示]不是，因?yàn)樵趨^(qū)間[0,10]上任取一個(gè)數(shù)，其試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)限個(gè)，故其基本領(lǐng)件有無(wú)限個(gè)，所以不是古典概型．1．下列試驗(yàn)中，屬于古典概型的是()A．種下一粒種子，視察它是否發(fā)芽B．從規(guī)格直徑為250mm±0.6mm的一批合格產(chǎn)品中隨意抽一根，測(cè)量其直徑dC．拋擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣，視察其出現(xiàn)正面或反面D．某人射擊中靶或不中靶C[依據(jù)古典概型的特點(diǎn)，只有C項(xiàng)滿意有限性與等可能性．]2．某校高一年級(jí)要組建數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)、航空模型三個(gè)愛好小組，某學(xué)生只選報(bào)其中的2個(gè)，則基本領(lǐng)件共有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)C[基本領(lǐng)件有(數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī))，(數(shù)學(xué)、航空模型)，(計(jì)算機(jī)、航空模型)共3個(gè)．]3．甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，乙站中間的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)C[全部基本領(lǐng)件有：(甲乙丙)，(甲丙乙)，(乙甲丙)(乙丙甲)，(丙甲乙)，(丙乙甲)共6個(gè)，乙站中間包含(甲乙丙)，(丙乙甲)共2個(gè)，所以P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]4．已知拋擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣，正面朝上的概率為0.5.現(xiàn)采納隨機(jī)模擬試驗(yàn)的方法估計(jì)拋擲這枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，代表這三次投擲的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬試驗(yàn)產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：101111010101010100100011111110000011010001111011100000101101據(jù)此估計(jì)，拋擲這枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率為________．0.35[拋擲這枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的有010,010,100,100,010,001,100共7組，則拋擲這枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率可以為eq\f(7,20)＝0.35.]基本領(lǐng)件及其計(jì)數(shù)問題【例1】連續(xù)擲3枚硬幣，視察落地后3枚硬幣是正面對(duì)上還是反面對(duì)上．(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的全部基本領(lǐng)件；(2)“恰有兩枚正面對(duì)上”這一事務(wù)包含哪幾個(gè)基本領(lǐng)件？[解](1)由樹形圖表示如下：試驗(yàn)的全部基本領(lǐng)件為(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)“恰有兩枚正面朝上”包含以下3個(gè)基本領(lǐng)件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．基本領(lǐng)件的三種列舉方法(1)干脆列舉法：把試驗(yàn)的全部結(jié)果一一列舉出來(lái)．此方法適合于較為簡(jiǎn)潔的試驗(yàn)問題．(2)列表法：將基本領(lǐng)件用表格的方式表示出來(lái)，通過(guò)表格可以弄清基本領(lǐng)件的總數(shù)，以及要求的事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件數(shù)．列表法適用于較簡(jiǎn)潔的試驗(yàn)的題目，基本領(lǐng)件較多的試驗(yàn)不適合用列表法．(3)樹狀圖法：樹狀圖法是運(yùn)用樹狀的圖形把基本領(lǐng)件列舉出來(lái)的一種方法，樹狀圖法便于分析基本領(lǐng)件間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，對(duì)于較困難的問題，可以作為一種分析問題的主要手段，樹狀圖法適用于較困難的試驗(yàn)的題目．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．拋擲一枚骰子，下列不是基本領(lǐng)件的是()A．向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù) B．向上的點(diǎn)數(shù)是3C．向上的點(diǎn)數(shù)是4 D．向上的點(diǎn)數(shù)是6A[向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)包含三個(gè)基本領(lǐng)件：向上的點(diǎn)數(shù)是1，向上的點(diǎn)數(shù)是3，向上的點(diǎn)數(shù)是5，則A項(xiàng)不是基本領(lǐng)件，B，C，D項(xiàng)均是基本領(lǐng)件．]古典概型的推斷與計(jì)算[探究問題]1．任何兩個(gè)基本領(lǐng)件具有什么特征？[提示]互斥．2．若一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)是有限個(gè)，則該試驗(yàn)是古典概型嗎？[提示]不是，若是古典概型，還必需滿意每個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等．3．運(yùn)用古典概型概率公式應(yīng)留意哪些問題？[提示](1)確定是否為古典概型．(2)所求事務(wù)是什么，它包含哪些基本領(lǐng)件．【例2】袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號(hào)分別為1,2；現(xiàn)從袋中任取兩張卡片．(1)若把所取卡片的全部不同狀況作為基本領(lǐng)件，則共有多少個(gè)基本領(lǐng)件？是古典概型嗎？(2)若把所取出卡片的標(biāo)號(hào)之和作為基本領(lǐng)件，則共有多少個(gè)基本領(lǐng)件？是古典概型嗎？(3)求所取卡片標(biāo)號(hào)之和小于4的概率．思路點(diǎn)撥：先列舉出基本領(lǐng)件，緊扣古典概型的特點(diǎn)加以推斷，再用古典概型概率公式求相應(yīng)概率．[解](1)基本領(lǐng)件為(紅1，紅2)，(紅1，紅3)，(紅1，藍(lán)1)，(紅1，藍(lán)2)，(紅2，紅3)，(紅2，藍(lán)1)，(紅2，藍(lán)2)，(紅3，藍(lán)1)，(紅3，藍(lán)2)，(藍(lán)1，藍(lán)2)共10種，由于基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)有限，且每個(gè)基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性相同，所以是古典概型．(2)由(1)知，基本領(lǐng)件為2,3,4,5共4種，且他們出現(xiàn)的頻數(shù)依次為1,4,3,2；故每個(gè)基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性不同，不是古典概型．(3)設(shè)A＝{所取兩張卡片標(biāo)號(hào)之和小于4}，由(1)知，A事務(wù)包含(紅1，紅2)，(紅1，藍(lán)1)，(紅1，藍(lán)2)，(紅2，藍(lán)1)，(藍(lán)1，藍(lán)2)共5種，由古典概型概率公式得：P(A)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).1．(變結(jié)論)本題條件不變，求所取兩張卡片標(biāo)號(hào)之和不大于4且顏色相同的概率．[解]全部基本領(lǐng)件為(紅1，紅2)，(紅1，紅3)，(紅1，藍(lán)1)，(紅1，藍(lán)2)，(紅2，紅3)，(紅2，藍(lán)1)，(紅2，藍(lán)2)，(紅3，藍(lán)1)，(紅3，藍(lán)2)，(藍(lán)1，藍(lán)2)共10種．設(shè)A＝{所取兩張卡片標(biāo)號(hào)之和不大于4且顏色相同}，則A事務(wù)包含(紅1，紅2)，(紅1，紅3)，(藍(lán)1，藍(lán)2)共3種，由古典概型概率公式得：P(A)＝eq\f(3,10).2．(變條件)在本題原條件不變的狀況之下，現(xiàn)往袋中再放一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率．[解]加入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片后，從六張卡片中任取兩張，全部可能狀況如下表所示：綠藍(lán)紅012123綠012123藍(lán)132342345紅134253由表格可知，從六張卡片中任取兩張的全部可能狀況有15種．其中兩張卡片的顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的有{綠0，藍(lán)1}，{綠0，藍(lán)2}，{綠0，紅1}，{綠0，紅2}，{綠0，紅3}，{藍(lán)1，紅1}，{藍(lán)1，紅2}，{藍(lán)2，紅1}，共8種狀況．由古典概型的概率計(jì)算公式可得，所求事務(wù)的概率P＝eq\f(8,15).求解古典概型的概率“四步”法整數(shù)隨機(jī)模擬及應(yīng)用【例3】盒中有大小、形態(tài)相同的5個(gè)白球和2個(gè)黑球，用隨機(jī)模擬方法求下列事務(wù)的概率：(1)任取一球，得到白球；(2)任取三球，恰有兩個(gè)白球；(3)任取三球(分三次，每次放回再取)，恰有3個(gè)白球．[解]用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到7之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球.(1)統(tǒng)計(jì)隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N及小于6的個(gè)數(shù)N1，則eq\f(N1,N)即為任取一球，得到白球的概率的近似值．(2)三個(gè)數(shù)一組(每組內(nèi)不重復(fù))，統(tǒng)計(jì)總組數(shù)M及恰好有兩個(gè)數(shù)小于6的組數(shù)M1，則eq\f(M1,M)即為任取三個(gè)球，恰有兩個(gè)白球的概率的近似值.(3)三個(gè)數(shù)一組(每組內(nèi)可重復(fù))，統(tǒng)計(jì)總組數(shù)K及三個(gè)數(shù)都小于6的組數(shù)K1，則eq\f(K1,K)即為任取三球(分三次，每次放回再取)，恰有3個(gè)白球的概率的近似值．利用隨機(jī)模擬估計(jì)概率應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)用整數(shù)隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)估計(jì)概率時(shí)，首先要確定隨機(jī)數(shù)的范圍和用哪些數(shù)代表不同的試驗(yàn)結(jié)果.我們可以從以下三方面考慮：1當(dāng)試驗(yàn)的基本領(lǐng)件等可能時(shí)，基本領(lǐng)件總數(shù)即為產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的范圍，每個(gè)隨機(jī)數(shù)代表一個(gè)基本領(lǐng)件；2探討等可能事務(wù)的概率時(shí)，用按比例安排的方法確定表示各個(gè)結(jié)果的數(shù)字個(gè)數(shù)及總個(gè)數(shù)；3當(dāng)每次試驗(yàn)結(jié)果須要n個(gè)隨機(jī)數(shù)表示時(shí)，要把n個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組來(lái)處理，此時(shí)肯定要留意每組中的隨機(jī)數(shù)字能否重復(fù).eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．種植某種樹苗，成活率是0.9.若種植該種樹苗5棵，用隨機(jī)模擬方法估計(jì)恰好4棵成活的概率．[解]利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，我們用0代表不成活，1至9的數(shù)字代表成活，這樣可以體現(xiàn)成活率是0.9.因?yàn)榉N植5棵，所以每5個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，可產(chǎn)生30組隨機(jī)數(shù)，如下所示：698016609777124229617423531516297472494557558652587413023224374454434433315271202178258555610174524144134922017036283005949765617334783166243034401117這就相當(dāng)于做了30次試驗(yàn)，在這些數(shù)組中，假如恰有一個(gè)0，則表示恰有4棵成活，共有9組這樣的數(shù)，于是我們得到種植5棵這樣的樹苗恰有4棵成活的概率近似為eq\f(9,30)＝0.3.古典概型的綜合問題【例4】如圖所示莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的成果(單位：分)．甲組記錄中有一個(gè)數(shù)字模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以x表示．(1)假如甲組同學(xué)與乙組同學(xué)的平均成果一樣，求x；(2)假如x＝7，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名，求這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果均不低于90分的概率．思路點(diǎn)撥：(1)先求乙組同學(xué)成果的平均值，再求x.(2)列出從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選一名的全部結(jié)果，由古典概型求解．[解](1)eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,4)×(87＋90＋90＋93)＝90，eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,4)×(80＋x＋86＋91＋94)＝90，解得x＝9.(2)當(dāng)x＝7時(shí)，甲組的成果為86分，87分，91分，94分，乙組的成果為87分，90分，90分，93分，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名的可能結(jié)果有(86,87)，(86,90)，(86,90)，(86,93)，(87,87)，(87,90)，(87,90)，(87,93)，(91,87)，(91,90)，(91,90)，(91,93)，(94,87)，(94,90)，(94,90)，(94,93)，共有16種，其中這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果均不低于90分有(91,90)，(91,90)，(91,93)，(94,90)，(94,90)，(94,93)，共6種，故這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果均不低于90分的概率P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).古典概型常與統(tǒng)計(jì)問題相結(jié)合，解題時(shí)要對(duì)所給圖表仔細(xì)分析，把圖表信息及古典概型公式有機(jī)地結(jié)合起來(lái).eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：輕型汽車的氮氧化物排放量不得超過(guò)80mg/kg.依據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，檢測(cè)單位從某出租車公司運(yùn)營(yíng)的A，B兩種型號(hào)的出租車中分別抽取5輛，對(duì)其氮氧化物的排放量(單位：mg/kg)進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果記錄如表：A8580856090B70x95y75由于表格被污損，導(dǎo)致數(shù)據(jù)x，y看不清，統(tǒng)計(jì)員只記得A，B兩種出租車的氮氧化物排放量的平均值相等，方差也相等．(1)求表格中x與y的值；(2)從被檢測(cè)的5輛B種型號(hào)的出租車中任取2輛，記“氮氧化物排放量超過(guò)80mg/kg”的車輛數(shù)為X，求X＝1時(shí)的概率．[解](1)由條件知eq\x\to(x)A＝eq\x\to(x)B，seq\o\al(2,A)＝seq\o\al(2,B)，又eq\x\to(x)A＝eq\f(1,5)×(85＋80＋85＋60＋90)＝80，eq\x\to(x)B＝eq\f(1,5)×(70＋x＋95＋y＋75)，seq\o\al(2,A)＝eq\f(1,5)×(25＋0＋25＋400＋100)＝110，seq\o\al(2,B)＝eq\f(1,5)×[100＋(x－80)2＋225＋(y－80)2＋25]，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝160，,x－802＋y－802＝200，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝70，,y＝90))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝90，,y＝70.))(2)被檢測(cè)的5輛B種型號(hào)的出租車中，氮氧化物排放量不超過(guò)80mg/kg的有三輛，記為A1，A2，A3，氮氧化物排放量超過(guò)80mg/kg的有兩輛，記為B1，B2，從被檢測(cè)的5輛B種型號(hào)的出租車中任取2輛的狀況有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10種．其中符合條件的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，共6種．故所求概率P(X＝1)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).1．古典概型是一種最基本的概型，也是學(xué)習(xí)其他概型的基礎(chǔ)，這也是我們?cè)趯W(xué)習(xí)、生活中常常遇到的題型．解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特征，即有限性和等可能性．在應(yīng)用公式P(A)＝eq\f(m,n)時(shí)，關(guān)鍵是正確理解基本領(lǐng)件與事務(wù)A的關(guān)系，從而求出m，n.2．求某個(gè)隨機(jī)事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本領(lǐng)件的總數(shù)常用的方法是列舉法(畫樹狀圖和列表)，留意做到不重不漏．3．對(duì)于用干脆方法難以解決的問題，可以先求其對(duì)立事務(wù)的概率，進(jìn)而求得其概率，以降低難度．1．推斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)為有限個(gè)，則該試驗(yàn)符合古典概型. ()(2)“拋擲兩枚硬幣，至少一枚正面對(duì)上”是基本領(lǐng)件． ()(3)從裝有三個(gè)大球、一個(gè)小球的袋中，取出一球的試驗(yàn)是古典概型． ()(4)隨機(jī)數(shù)的抽取就是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．若連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)為m、n，則點(diǎn)P(m，n)在直線x＋y＝4上的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\