2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.6.1垂直關(guān)系的判定學(xué)案含解析北師大版必修2

PAGE6垂直關(guān)系6．1垂直關(guān)系的判定考綱定位重難突破1.了解線面垂直、面面垂直的定義．2.理解線面垂直、面面垂直的判定定理，以及空間角中有關(guān)二面角的定義．3.能運用判定定理證明線面、面面垂直.重點：線面垂直、面面垂直的判定．難點：找(作)二面角的平面角．方法：分類探討思想在垂直關(guān)系中的應(yīng)用.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第18頁[自主梳理]一、直線與平面垂直1．定義：假如一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直．2．判定定理文字語言圖形表示符號語言假如一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα,bα,a∩b＝A,l⊥a,l⊥b))?l⊥α二、二面角及其平面角二面角定義從一條直線動身的這兩個半平面所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，兩個半平面叫作二面角的面如圖，記作：α-AB-β或α-l-β范圍0°≤θ≤180°畫法如圖：二面角α-l-β若有①O∈l；②OAα，OBβ；③OA⊥l，OB⊥l，則∠AOB就叫作二面角α-l-β的平面角三、平面與平面垂直1．定義：兩個平面相交，假如所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面相互垂直．2．判定定理文字語言圖形表示符號語言假如一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面相互垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥β,aα))?α⊥β[雙基自測]1．下列條件中，能判定直線l⊥平面α的是()A．l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直B．l與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線垂直C．l與平面α內(nèi)的某一條直線垂直D．l與平面α內(nèi)的隨意一條直線垂直解析：依據(jù)線面垂直的定義，可知當(dāng)l垂直于α內(nèi)全部直線時，l⊥α.答案：D2．已知直線l⊥平面β，l平面α，則()A．α⊥β B．α∥βC．α∥β或α⊥β D．α與β相交但不肯定垂直解析：依據(jù)面面垂直的判定定理知α⊥β.答案：A3．二面角的平面角是指()A．兩個平面相交的圖形B．一個平面繞這個平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)而成的圖形C．從一條直線動身的兩個半平面所組成的圖形D．以兩個相交平面交線上隨意一點為端點，在兩個平面內(nèi)分別引垂直于交線的射線，這兩條射線所成的角解析：由定義知，二面角的平面角是指以兩個相交平面交線上的隨意一點為端點，在兩個平面內(nèi)分別引垂直于交線的射線，這兩條射線所成的角．答案：D4．從空間一點P向二面角α-l-β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角的平面角的大小是()A．60° B．120°C．60°或120° D．不確定解析：若點P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120°，若點P在二面角外，則二面角的平面角為60°.答案：C5．一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的大小關(guān)系為()A．相等 B．互補C．相等或互補 D．不確定解析：反例：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是CD，C1D1的中點，二面角D-AA1-E與二面角B1-AB-D的兩個半平面就是分別對應(yīng)垂直的，但是這兩個二面角既不相等，也不互補，故選D.答案：D授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第19頁探究一直線與平面垂直的判定[典例1]如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點．(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點M在棱BC上，且MC＝2MB，求點C到平面POM的距離．[解析](1)證明：因為AP＝CP＝AC＝4，O為AC的中點，所以O(shè)P⊥AC，且OP＝2eq\r(3).如圖，連接OB，因為AB＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝eq\f(1,2)AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC.(2)如圖，作CH⊥OM，垂足為H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的長為點C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC＝eq\f(1,2)AC＝2，CM＝eq\f(2,3)BC＝eq\f(4\r(2),3)，∠ACB＝45°.所以O(shè)M＝eq\f(2\r(5),3)，CH＝eq\f(OC·MC·sin∠ACB,OM)＝eq\f(4\r(5),5).所以點C到平面POM的距離為eq\f(4\r(5),5).1．利用直線與平面垂直的判定定理證明直線與平面垂直的“三個步驟”：(1)找尋：在這個平面內(nèi)找兩條直線，使它們和這條直線垂直．(2)確定：確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線．(3)判定：依據(jù)判定定理得出結(jié)論．2．線面垂直的三種判定方法：(1)用定義：證明l和平面α內(nèi)隨意一條直線都垂直．(2)用定理：證明l與平面α內(nèi)“兩條相交”的直線都垂直，即線線垂直?線面垂直．(3)用推論：若m⊥α，證明l∥m，即可知l⊥α.1.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，S是△ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.證明：(1)因為SA＝SC，D是AC的中點，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC平面ABC，BD平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)AB＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，因為SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.探究二平面與平面垂直的判定[典例2]如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，點E在側(cè)棱PB上．求證：平面AEC⊥平面PBD.[解析]∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥AC.又ABCD為正方形，AC⊥BD，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面PBD.1．證明平面與平面垂直，常用兩種方法：(1)證明一個平面過另一個平面的一條垂線．(2)證明二面角的平面角是直角．2．用平面與平面垂直的判定定理證明兩平面垂直，關(guān)鍵是在一個平面內(nèi)找尋垂直于另一個平面的直線．在處理詳細問題時，應(yīng)先從已知入手，分析已有的垂直關(guān)系，再從結(jié)論入手，分析要證明的垂直關(guān)系，從而架起已知與未知之間的“橋梁”．2.如圖，在空間四邊形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F(xiàn)，G分別為CD，DA和對角線AC的中點．求證：平面BEF⊥平面BGD.證明：∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中點，∴BG⊥AC，DG⊥AC，又EF∥AC，∴EF⊥BG，EF⊥DG.∴EF⊥平面BGD.∵EF平面BEF，∴平面BGD⊥平面BEF.探究三線面垂直判定的綜合應(yīng)用[典例3]三棱錐P-ABC中，PO⊥平面ABC，PA⊥BC，PB⊥AC.求證：(1)O是△ABC的垂心；(2)PC⊥AB.[解析](1)連接OA，OB.∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥BC.又PA⊥BC，PO∩PA＝P，∴BC⊥平面PAO.又AO平面PAO，∴BC⊥AO，即O在△ABC的BC邊的高線上．同理，由PB⊥AC可得O在AC邊的高線上．∴O是△ABC的垂心．(2)連接OC，由(1)可知OC⊥AB.又由PO⊥平面ABC得PO⊥AB，又OC∩PO＝O，∴AB⊥平面PCO.又PC平面PCO，∴AB⊥PC.依據(jù)直線和平面垂直的定義，可由線面垂直證明線線垂直；依據(jù)直線和平面垂直的判定定理可由線線垂直證明線面垂直．本題的證明過程體現(xiàn)了線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化．3.如圖，在四面體P-ABC中，△ABC與△PBC是邊長為2的正三角形，PA＝3，D為PA的中點，求二面角D-BC-A的大小．解析：取BC的中點E，連接EA，ED，EP(圖略)．∵△ABC與△PBC是邊長為2的正三角形，∴BC⊥AE，BC⊥PE，又AE∩PE＝E，AE，PE平面PAE，∴BC⊥平面PAE.而DE平面PAE，所以BC⊥DE，∴∠AED即為二面角D-BC-A的平面角．又由條件，知AE＝PE＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\r(3)，AD＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(3,2)，∴DE⊥PA，∴sin∠AED＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(\r(3),2)，明顯∠AED為銳角，∴∠AED＝60°，即二面角D-BC-A的大小為60°.對定理理解不透徹致誤[典例]設(shè)α，β為不重合的兩個平面，給出下列說法：①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于平面β，則α平行于β；②若α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l和α平行；③設(shè)α和β相交于直線l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α和β垂直；④直線l與平面α垂直的條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直．上面說法中正確的序號是________(寫出全部的正確的序號)．[解析]①平面α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于平面β，則兩條相交直線確定的平面α平行于平面β，正確．②平面α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l平行于α，正確．③如圖所示，α∩β＝l，aα，a⊥l，但不肯定有α⊥β，錯誤．④直線l與α垂直的條件是l與α內(nèi)的兩條相交直線垂直，而該命題缺少“相交”兩字，故錯誤．綜上所述，正確說法的序號為①②.[答案]①②[錯因與防范]本題易錯選③④，錯選③是由a⊥l，aα錯誤得出a垂直于平面β；錯選④是忽視了“相交直線”這一前提條件．一些常見的定理要細致領(lǐng)悟，抓住關(guān)鍵字或詞，一些推斷項中往往不是干脆考查的定理而是對定理的拓展，故要細致分析、推導(dǎo)，以防出錯．[隨堂訓(xùn)練]對應(yīng)學(xué)生用書第20頁1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與BC1A．平面DD1C1C B．平面A1C．平面A1B1C1D1 D．平面A1解析：由于易證BC1⊥B1C，又CD⊥平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.因為B1C∩CD＝C，所以BC1⊥平面A1B1CD.答案：B2．給出以下說法：①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補；③二面角的平面角是從棱上一點動身，分別在兩個面內(nèi)作射線所成角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系．其中正確的是()A．①③ B．②④C．③④ D．①②解析：由二面角的定義，可知①③錯誤，④正確．由a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，知a，b都垂直于該二面角的棱，過棱上一點可分別作a，b的平行線，分析知②正確，故選B.答案：B3．給出下列說法：①假如直線l與平面α不垂直，那么在α內(nèi)不存在與l垂直的直線；②過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直；③與一個平面的垂線垂直的直線和這個平面平行；④過平面外一點和這個平面垂直的直線有且只有一條．其中正確說法的序號是________．解析：①錯誤，因為在α內(nèi)至少可以找到一條直線與l垂直；②正確；③錯誤，因為平面內(nèi)的隨意一條直線都和該平面的垂線垂直，所以直線也可能在平面內(nèi)；④正確．故正確說法的序號是②④.答案：②④4.如圖，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中：(1)與PC垂直的直線有________；(2)與AP垂直的直線有________．解析：(1)因為PC⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以與PC垂直的直線