不等式單元復(fù)習(xí)（解析版）-2021年初升高數(shù)學(xué)無憂銜接（滬教版2020）

專題21不等式單元復(fù)習(xí)

一、不等式的性質(zhì)

1.不等式的性質(zhì)

(1)對稱性：a>bo；

(2)傳遞性：a>h,fc>c=；

(3)加法性質(zhì)：a>bo；推論：a>b,c>d=；

(4)乘法性質(zhì)：a>b,c>0=；推論：a>b>0,c>d>0=>；

(5)乘方性質(zhì)：a>b>0=>；

(6)開方性質(zhì)：a>b>Q=>；

(7)倒數(shù)性質(zhì)：a>b,ab>0=>.

【答案】(\)b<a(2)a>c(3)a~\-c>b+ca+c>b+d(4)ac>bcac>bd

(5)且〃22)(6)名>前(〃CN且心2)(7)曷

2.兩個實(shí)數(shù)大小的比較

⑴作差法：設(shè)a,6GR，貝I一%>0,”6。4一6<0,這是比較兩個實(shí)數(shù)大小和運(yùn)用比較法的依據(jù).

(2)作商法：依據(jù)：設(shè)o>0,b>0,則叢琮>1,a<b=*<l.

(3)函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性作出判斷.

(4)特殊值法：若是選擇題可以用特殊值法比較大小，若是填空題或解答題，也可以用特殊值法探路.

3.不等式的一些常用性質(zhì)

(1)倒數(shù)的性質(zhì)

?a>b,加>0='<4.②4<0<力='<4.

a-ba-b

??>/?>0,0<c<J=>^>^.@0<a<x<b或

(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

b+mbb-ma+maa-m

右a>b>0,m>0,貝U①一~》(人一7T-；7^(b-m>0).

aa-rmaa-mbb+m。b-m

二、不等式的證明

(一)利用比較法證明不等式

1.定義：對于任意兩個實(shí)數(shù)。/，a>b^>a-b>0',a=b^>a-b=0;a<b=>

a-b<0?因此要證明a<b,只要證明a—b>0；同樣，要證明a<b,只要證明

a-b<Q,這種證明不等式的方法叫做比較法。

2.比較法證明不等式又分為以下兩種方法：

（1）做差比較

（2）作商比較

3.用比較法證明不等式的步驟：

先對要證明的不等式的兩邊做差（或商），然后通過因式分解或配方法對差（或商）進(jìn)行變形，從而確

定差是正還是負(fù)，從而證明不等式成立。

（-）用分析法證明不等式

從要求證的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，分析出使這個結(jié)論成立的條件，把證明結(jié)論轉(zhuǎn)化為判定這些

條件是否成立的問題。如果能夠判定這些條件都成立，那么就可以判定原結(jié)論成立，這種證明方法叫分析

法，一般來說，分析法的證明過程就是尋找欲證不等式成立的充分條件的過程，所以要特別注意表述的邏

輯性。

（三）用綜合法證明不等式

把某些證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要求證的不等式，這種方法通常叫做

綜合法。

用綜合法證明不等式，就是用因果關(guān)系書寫“從已知出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步

的邏輯推理，最后達(dá)到待證不等式得證”的全過程，其特點(diǎn)可描述為'‘由因?qū)Ч?，即從''已知"看''可知”，

逐步推向“未知”。綜合法屬于邏輯方法的范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在步步注明推理依據(jù)。

（四）用反證法、放縮法、變量代換法、構(gòu)造法證明不等式（拓展內(nèi)容）

1.放縮法

若證是uA>Bn,我們先證明“A2C”，然后在證明“C23”，則“若25”。

2.反證法

反證法是通過否定結(jié)論導(dǎo)致矛盾，從而肯定原結(jié)論的一種方法。

3.變量代換法

變量代換是數(shù)學(xué)中的一種常用的解題方法，對于一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變化較多而關(guān)系不太清楚的不等

式，可適當(dāng)?shù)囊M(jìn)一些新的的變量進(jìn)行代換，以簡化其結(jié)構(gòu)，其代換技巧有局部代換、整體代換、三角代

換、增量代換等。

4.構(gòu)造法

不等式證明中的構(gòu)造方法，主要是指通過引進(jìn)合適的恒等式、數(shù)列、函數(shù)、圖形及變量等輔助手段，

促使命題轉(zhuǎn)化，從而使不等式得證，此法技巧要求較高，高考題中很少見。

三、不等式的解法

I.一元二次不等式的解法

(1)對不等式變形，使不等號一端二次項系數(shù)大于o,另一端為0,即化為或,后+法

+c'<0(a>0)的形式；

(2)計算相應(yīng)的判別式；

(3)當(dāng)J>0時，求出相應(yīng)的一元二次方程的根；

(4)根據(jù)對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集.

2.分式不等式的解法

解分式不等式的關(guān)鍵是先將給定不等式移項，通分，整理成一邊為商式，另一邊為0的形式，再通過

等價轉(zhuǎn)化化成整式不等式(組)的形式進(jìn)行求解.即：

(1)^^->0(<0)fx>g(x)>0(<0);

于(工)J/(x)-g(x)>0(<0),

⑵->0(<0)%(%)次0.

g(X)

四、基本不等式

(1)利用平均值定理求某些函數(shù)或?qū)ο蟮淖畲蠡蜃钚≈祮栴}.

①強(qiáng)化變換的目的性

②突出步驟的合理性的認(rèn)識

(2)突出函數(shù)，方程與不等式之間的關(guān)系，并利用三者的聯(lián)系解決某些變量取值范圍的問題.

①變量與常量的處理問題即恒成立問題

②突出函數(shù)思想的理解與應(yīng)用，以不等式為工具，充分展示對函數(shù)的理解,對函數(shù)相關(guān)知識的綜合應(yīng)用

典例劇新

a>b=>ac>bc\力

【例1】下面的推理過程=四>"=吟a>2其中錯誤之處的個數(shù)是()

c>d=>bc>bd\dc

A.0B.1C.2D.3

【難度】★★

【答案】D

【解析】由泌c,加都是對不等式兩邊同乘一實(shí)數(shù)，只有當(dāng)該實(shí)數(shù)為正數(shù)時，不等號才不

改變方向，故這兩步都錯誤；由于不等式具有傳遞性，所以得出改乂M是正確的，由">相若?是對不等

式兩邊同除W,由于不知W的正、負(fù)，故這一步也是錯誤的.

[例2]若a>O>b>-a,c<d<0,則下列結(jié)論：①ad>bc；②^+g<0；③a—c>b—d；@a(d-c)>b(d—c)41f&

立的個數(shù)是()

A.1B.2

C.3D.4

【難度】★★

【答案】C

【解析】方法一?：a>O>b,c<d(O,；.ad<0,bc>0,:?ad〈bc,故①錯誤.

*/a>O>b>—a,b>Of'**c<d〈O,-c>—d>0,，。c)>(—/?)(—t/),Aac+bd<0,

.a.hac+bd八

??分+%=—萬一<。，故②正確.

Vc<d,/.—c>—d,Va>b,，〃+(—c)>》+(—J),a—c>h—d,故③正確.

Va>h,d—c>Qy/.a(d—c)>h(d—c),故④正確，故選C.

方法二取特殊值.

【例3】已知一14+尸4且2<x—y<3,則z=2九一3y的取值范圍是(答案用區(qū)間表示).

【難度】★★

【答案】(3,8)

fm+n=2,f,77-2'

【解析】方法一(配湊法)：設(shè)2x—3y=m(x+y)+〃a—y),工，解得，

[tn—n=—3.5

ln-2,

/?2x~3y=—^(x+y)+1(x-y)?*.*—1<x+y<4,2<x—y<3,[.*.—2v—ga+yg,5<|(x-y)<V,

A3<-1(x+y)+|(A—>-)<8，即3侖一3產(chǎn)8,所以2=2￥—3)，的取值范圍為(3,8).

方法：(運(yùn)用線性規(guī)劃解決)：如圖，圖中的交點(diǎn)分別為A(3,1),8(1,-2).

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x—3y經(jīng)過點(diǎn)A時，z=3,經(jīng)過點(diǎn)8時，z=8,故z￡(3,8).

【例4】若0<々<。，且〃+2=1,則將mb,g,2ab,/+〃從小到大排列為.

【難度】★

【答案】a<2ab<^<a1+b2Vb

【解析】：0V4Vb且。+6=1,：.a<^<b<\,：.2b>]>2a<\f

/.a<2ba=2a(\~a)=—2a2+2a=~2(a—^)2a<2ab<^,

222222222

又a+b=(a+b)—2ab=1—2〃。>1—；=(，即a+b>^,a+h—h=(\-h)+b—h=(2h—\)(h—\)f

又2/?—l>0,l<0,/.6Z2+/?2—Z?<0,.,?。2+/>2<力，綜上，a<2ab<^2<a2+b2<b.

【例5】已知且。￡R,試比較一一與1+。的大小.

1—a

【難度】★★

1〃2〃21

【解析】???丁」一(1+〃)=4一，①當(dāng)〃=0時，—=0,???丁」=1+”

1—a\~al—a1~a

〃21〃21

②當(dāng)a<\,且4ro時，；--->0,--->1+〃.③當(dāng)a>\時，----<0,---<\+a.

1—a1—a1—a1—a

【例6】設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，滿足3?孫^8,4?斗?9,則M的最大值是________.

y7

【難度】★★

【答案】27

狀ill

【解析】由4氣學(xué)，得16宇^8」.又3sxy"8,與，

，20產(chǎn)27.又工=3,y=l滿足條件，這時不=27.，千的最大值是27.

【例7】求證：X（X4-2）<（X+1）2.

【難度】★★

【解析】證明：（1）因為工（工+2）—（工+1）2=丁+2%一九2-2元一1=一1<0,

所以，x(x+2)<(x+l)~.

（a~2、］(b2￥L1

【例8】已知a>0/>0,求證:+—>a2+h2。

yhJ

【難度】★★

11

(a2]Ao\_?\_2

【答案】（分析法）要證明+一>+b2,由于a>0,/?>0所以。>0

a)

只需要證明4+-Ta2b2>a2+/?2jt72/72

6a2>

33/|

即證/+官2/+。2/廬

\7

即證1+戶4一/廬+。>^M

I八7\/

11（12V

即證4一〃3。"+〃2。585,即證>0

\7

!1\2

〃2+〃之0顯然成立，所以原不等式成立。

7

【例9】已知。>0力>0,求證：匕乏2］竺2

212

【難度】★★

【答案】由（。一。）？之。,得。2+。/,2。人，

兩邊同乘以正數(shù)a+0,得。3+032ab（a+b）=a%+ab?=>3^a3^b^>3a2b-}-3ab2

兩邊同時加上/+匕3,

得4（/+^）2。3+。3+3。2/;+34〃=（0+8）3

【例10】求證百+S<2石

【難度】★

【解析】證明：因為JJ+J7和2后都是正數(shù)，所以要證明J5+/<2石

只需要證明（J5+J7）2<（2石）2即10+2近1<20

即萬<5則21<25,則顯然成立

因為21<25成立，所以（6+5）2<（2后）2成立，即6+J7<20也成立。

【例11】求證：對于任何實(shí)數(shù)。出,三個數(shù)|a+A|,|a—刃,|1一中至少有一個不小于;。

【難度】★★★

【解析】解法一：用反證法。

1,1

——<a+b<—.①

22

171

若+貝1卜——<a-b<—,②

22222

1?1

——<1-6T<—,③

[22

3

由①+②得：—由③得：—<cz<3,矛盾！

2222

解法二：由絕對值不等式性質(zhì)，得|々+〃|+|〃一〃|+|1—〃|+|1—々以々+/?+〃一〃+1—4+1—々|=2,

故|。+勿,|。一回,|1一。|中至少有一個不小于;。

【例12】設(shè)a、bsR,求證：|同—網(wǎng)<|a+q<同+|小并指出等號成立的條件.

【難度】★★★

【解析】證：先證+例”.

注意到,+w20,時+網(wǎng)20,則對于任意a、bwR,要證,+.4時+可成立，

即證|a+b/《刎+網(wǎng)）2成.立,

即證a2+2ab+b2<a2+2\ab\+b2成立，

即證ab<\ab\成立，

由絕對值定義知，任意a、beR,都有外可閡，且以上步步可逆，因而|。+母4同+網(wǎng)，且等號成

立oah>0.

再證；“M-網(wǎng)引a+耳”.

由M_網(wǎng)20,|a+[NO,則對于任意a、heR,要證同一回歸心+4成立，

即證|同一|/?『+成立，

即證(回-]加2W(a+b)2成立,

即證，一2同-M|+時4/+2油+6成立,

即證|聞>-ab成立,

由絕對值定義知，任意a、beR,都有912—ab,且以上步步可逆，因而料―區(qū)忖a+4，IL等

號成立oah<0；

綜上可得，任意a、bwR,不等式料一|同引a+〃設(shè)同+可成立.

【例13]實(shí)數(shù)x,y,z滿足型+yz+zx=-l,求證：x2+5y2+8z2>4.

【難度】★★

【解析】證明：因為X?+5/+8z?-4=x2+5y2+8z2+4(xy+yz+zx)

=(x2+4xy+4xz+8yz+4y2+4z2)+(y2-4yz+4z2)

22

=(x+2y+2z)+(y-2z)>0f

0fWx2+5y2+8z2>4.

1125

【例14]設(shè)尤,y是正數(shù)，且x+y=l,求證：(x+—)(y+—)2丁。

xy4

【難度】★★★

【解析】證明：要證(X+-)(>+-)2三成立，只要證：Ay+-+^+—>—,

x歹4yxxy4

因為x,y是正數(shù)，所以只要證4，）？+x2+/2+］）225孫，

又因為x+y=l,所以

只要證4（x2y2+l-2xy+\）>25xy?x2/--AY+2>0O（J9/--）2+2-^->0

488~

又因為孫4.了）一=；,

331133121125

所以（孫一3）2+2-蕓-2（上一吆）2+2-3=0。這顯然成立則（x+-）（>+一）》,

88-488xy4

2222

【例15】已知%>0,i=l,2,…,〃，用綜合法證明：步■+上■1---F+->xI+x2-i----\-xn.

X2W4X,

【難度】★★★

2222

【解析】工+土+…+^L±+±+（*+々+…+X”）

X2毛X”X,

2222

±

=（9+%2）+（玉*+X3）+…+（±+怎）+（土+%）22區(qū)+x2+---+xn）

4退x?x,

所以，—+—+■?■++—>X］+x2+?■?+X,,

々》3X”X,

【例16］如果不等式5-x>7|x+1|和不等式加+或一2>0有相同的解集，貝！］（）

A.a=-8,/>=—10B.a=~\,b=9

C.u——4,b——9D.ci~~—1,b—2.

【難度】★

【答案】C

【解析】由不等式5—*>7仇+1］,可知5—1>0,兩邊平方得（5—X）2>49（X+1）2,整理得4爐+9、+2<0,

即一敘2—9、-2>0.又因為兩不等式的解集相同，所以可得“=—4,b=-9,故選C.

【例17］已知關(guān)于元的不等式殍上?<（）的解集為M,若且5/M,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

x-a

【難度】★★

【解析】V5gM.則5不滿足不等式三一<0,

x-a

5a-5

若5eM,則------<0,解得a<lora>25,因此lWaW25時，5^M,

25—ci

又?.?3￡M,同上解得。Q〉9.

...綜上可知實(shí)數(shù)。的取值范圍是1,u(9,25].

【例18]不等式|2%—1|一,一2|<0的解集為.

【難度】★

【答案】{x[—l<x<l}.

【解析】：原不等式等價于不等式組①JX-2或②J2<X<2

2x—1—(x—2)<0ci八

[2x-l+(x-2)<0

或③|X~2不等式組①無解，由②得』<x<l,由③得一1<%〈工，綜上得—所

l-(2x-l)+(x-2)<022

以原不等式的解集為{x|-l<x<l}.

【例19]求/")=|%—1|+|2*-1|+...+|2011%—1|的最小值。

【難度】★★★

【解析】首先設(shè)q<a2<---<an,/(尤|+|x-/1+…+|x-6,I。則由絕對值的幾何意義知,

〃為奇數(shù)時，當(dāng)x=%+|時，/(x)有最小值；〃為偶數(shù)時，當(dāng)尤ean,an任何值時，/(x)有最小值。

——+1

回到原題,

f（X）=|X—1|+|X|+|X--|+|X|+|X|+|X---1+…+1X-----I+…+I%------I,共有:

2233320112011

、一丫-?

2011個

1+2+?.-2011=-()12x2011=2023066個點(diǎn)。

2

,111

枚4=1,。2=4=5,&=“5=°6=§，,.?“2023066

..2023066

r因a為--------=1011533。

2

現(xiàn)在求4()11533和4()11534的值。設(shè)。1011533=一，則1+24---+121011533,

l+2+...+/-l<1011533o

可得，=1422。且6。“533=4?！?34=看，故》=擊時/(?的值最小。

/(^―)=1-----+1-2X----+---+1-1422X----+1423X-----1+-..+2011X——一1=832

142214221422142214231422

【例20］解關(guān)于x的不等式：x2—(tz+1)x+a<0.

【難度】★★

【解析】由/—(〃+l)x+a=0得(x-a)(x—1)=0,Axi=a,X2=1,

①當(dāng)〃>1時，(a+|)x+a<0的解集為

②當(dāng)〃=1時，/-3+1次+〃<0的解集為0,

③當(dāng)時，爐一(〃+l)x+a<0的解集為｝.

【例21】將原不等式改為"2—3+l)x+lv0,求不等式的解集.

【難度】★★★

【解析】若〃=0,原不等式等價于一、+1<0,解得Q1.

若4<0,原不等式等價于(X—：)(X—1)>0,

解得x]或X>1.

若〃>0,原不等式等價于(4一：)(x—1)<0.

①當(dāng)〃=1時，(=1,(x—1)<0無解；

②當(dāng)〃>1時，^<1,解(x—：)(工-1)<0W~<x<l；

③當(dāng)0<〃v1時，->1,解(x—[)(x—1)<0得1vx<(.

綜上所述：當(dāng)a<0時，解集為“僅<；或x>\｝；

當(dāng)a=0時，解集為｛加01｝;

當(dāng)0<々<1時，解集為｛刈々<4｝；

當(dāng)。=1時，解集為0;當(dāng)”>1時，解集為{.1匕4<1}.

【例22】不等式k+3]—|x—1|<"一3。對任意實(shí)數(shù)無恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-oo,-l]U[4,+oo)B.(-00,-2]u[5,+00)

C.[1,2]D.(F,1]U[2,+8)

【難度】★★

【答案】A

【解析】因為-4Wx+3—x—1W4對x+3—%—3a對任意x恒成立，

所以一3?工4艮一3]，()，解得a二4或aV-l

【例23](1)關(guān)于x的不等式丁苫7=<2對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

xr—21十3

(2)若不等式f+pQdx+p-3對一切0<pW4均成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

【難度】★★

【答案】A

【解析】(1)'.?-2X+3=(X-1)2+2>0,

4x+加

不等式F_._1_々<2同解于4x+nz<2x2—4x+6,即2x2—8x+6—/??>0.

片一十3

要使原不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，只要改一8x+6一/心0對任意實(shí)數(shù)x恒成立.

AJ<0,即64—8(6一m)vO,整理并解得小<一2.，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(一8,-2).

(2)VX2+px>4x+p—3,(x—1)/?+x2—4x+3>0.

fg(0)>0

令g(P)=(x—l)p+9—4X+3,則要使它對0<pW4均有g(shù)(p)>0,只要有

[g(4)>0

??.第>3或工〈一1.???實(shí)數(shù)%的取值范圍為(一8,-1)U(3,+8).

3

【例24]⑴若一元二次不等式2履2+日一京0對一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為()

A.(—3,0]B.[—3,0)

C.[TQJD.(-3,0)

(2)設(shè)。為常數(shù)，任意x￡R,ax2+ax+1>0,則。的取值范圍是()

A.(0,4)B.[0,4)

C.(0,+8)D.(一8,4)

【難度】★★

【答案】⑴D(2)B

【解析】(1)2日2+"一1<0對一切實(shí)數(shù)x都成立，

O

2R0,

則必有/=產(chǎn)一4X2kX(一九0解之得一34<。?

[a>0,

(2)任意xGR,a)3--\-ax-\-1>0,則必有彳、或“=0,；.0Wa<4.

[/="2—4”<0

【例25】對任意的代[一工,勾，函數(shù)y=/+伙-4)x+4—2%的值恒大于零，則x的取值范圍是

【難度】★★

【答案】{中<1或x>3}

【解析】爐+供一4次+4—2Q0恒成立，即g伏)=(x-2)k+a2—4x+4)>0,在ke[—1,1]時恒成立.

fx2-5x+6>0,

只需g(—1)>0且g⑴乂)，即，，，?解之得x<l或x>3.

[A3x+2>0,

【例26]⑴已知x<?,求函數(shù)y=4x—2+」一的最大值。

44x-5

【難度】★★

【解析】因4x-5<0,所以首先要“調(diào)整”符號，又(4x-2)」一不是常數(shù)，所以對4%-2要進(jìn)行拆、

4x-5

湊項。x<—,/.5-4x>0，y=4x-2+---=-|5-4x+---]+3W-2+3=1

44x-515-4xJ

當(dāng)且僅當(dāng)5—4x=」一，即x=l時，上式等號成立，故當(dāng)尤=1時，v=1,

5-4x11ax

A評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。

x?+7尤+]()

(2)求y=-~~-一-(x>-1)的值域。

x+\

【難度】★★

【解析】解析一：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有(x+l)的項，再將其分離。

x2+7x+10(x+1)2+5(x+1)+4.4.

-Q—=(x+1)+77T+5

當(dāng)龍>一1,即x+l>0時,yN2j(x+l)x/一+5=9(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取"=”號)。

Vx+1

解析二：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，可先換元，令f+i,化簡原式在分離求最值。

(r-l)2+7(r-1)+10r+5r+44=

y=------------------=---------=/+-+5

ttt

當(dāng)￡>一1,即，=x+l>0時,y?2，^+5=9(當(dāng)r=2即x=l時取"=”號)。

評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最

A

值。即化為y=，〃g(x)+——+例4>0,8>0),g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來求最值。

g(x)

【例27】已知。、b、ce/T,且a+/?+c=L求證：^--1

【難度】★★

【解析】分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“2”連乘，又

==可由此變形入手。

aaaa

,9+…小、1.Itl-?b+c^2\/bc閂詢1i、2Vac1,、14ab

向軍：*.*Q\b、c￡R,a+/?+c—1o..—1=----=-----N-----oiRj工J：—12------,—IN--------------------0

aaaabbec

上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得

辿E偵E3匣=8。當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=，時取等號。

\a)\b)\c)abc3

19

【例28］己知x>(),y>()且一+乙=1,求使不等式x+yNm恒成立的實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍。

工y

【難度】★★

19.x+y9x+9y.10y9x_

【解析】令x+y=攵，元>0,y>0,—+—=1,..------1---------i...----1----1---—i

xykxkykkxky

3

me(-oo,16]

1—>2--,:.k>169

k

【例29】已知正數(shù)。力,滿足4+方=10—+?=1,x+y的最小值為18,求。力的值.

%y

【難度】★★★

【解析】X+尸a+y)(q+2)=〃+幺+々+〃=10+處+坦.

%yy尤y%

?.?%,y>0,4,0>0,

x+y>10+2y[ab=18,B|Jyfab=4.

又〃+。=10,

Q=2,t4=8,

?,〈或，

[b=S[b=2.

對點(diǎn)器依

1.若〃泌>0,則下列不等式中一定成立的是()

,1,1bb+\

A.a+r>b+~B.->—nr

baaa+1

【難度】★

【答案】A

【解析】取。=2,。=1,排除B與D：另外，函數(shù)｛r)=x—：是(0,+8)上的增函數(shù)，但函數(shù)g(x)=x+(在

(0,1］上遞減，在［1,+oo)上遞增，所以，當(dāng)o>6>0時，兒z)?S)必定成立,但g(a)>gS)未必成立，這樣，a

1,1,1,,1

~~>b-7<=&+T>/7+~.

abba

222222

2.設(shè)a>b>c>0,x=y/a+(b+c),y=yjb+(c+a)fz=ylc+(a+b)f則x,y,z的大小關(guān)系是.

【難度】★★

【答案】z>y>x

【解析】方法一y2x2=2c(a—b)>0,同理，z>y,z>y>x,

方法二令〃=3,力=2,c=\,MOx=V18,y=V20,z=y/26,故z>y>x.

3.已知a,b,cCR,那么下列命題中正確的是()

A.若a>b,則a:2>8c2B.若臺￡，則

C.若蘇>〃且a*0,則D.若屏〉〃且ab>0,貝

【難度】★★

【答案】C

【解析】當(dāng)c=0時，可知A不正確；

當(dāng)c<0時，可知B不正確；

對于C,由"且"b<o知“>o且8<0,所以}\成立，C正確；

當(dāng)。<0且*0時，可知D不正確.

4.已知a,h,c,d均為實(shí)數(shù)，有下列命題

①若aZ?>0,bc-ad>0,則(一￡>。；②若ab>0,^>0,則匕c—arf>0；

,..Qd

③若bc~ad>0,^>0,則ah>0.

其中正確的命題是.

【難度】★★

【答案】①②③

/7be—ad

【解析】Vab>0,be-ad>0,-7一>0,，①正確；

Vah>0f又亍-￡>°，即嗎>0,??hc—ad>09?,?②正確；

cdhe—ad

?：bc-ad>3又吃一,0，B[J—>0,???">0,???③正確,故①②③都正確.

5.(1)設(shè)1勺<0,試比較(如+爐)(工一y)與(%2—產(chǎn))?。+》)的大?。?/p>

]]xv

(2)已知a,b,x,y￡(0，+8)月*>土x>y,求證：不二〉遂了

【難度】★★

[解析]方法一(x2+},2)(x-y)-U2->t2)(x+y)=(x—H-y2—(x+y)2]=_2xy(x-y),

Vx<><0,Axy>0,x—)<0,/.—2A><X—y)>0,

，(1+產(chǎn))。一>，)>(r一y2)(x+y).

方法二:hvycO,/.x—y<0,x2>y2,x+y<0./.(x2+>2)(x—y)<0,(x2一尸乂工+了卜。,

二2x),<1>.?.(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+>')-

xybx-ay

(2)證明

x-\~ay+bx+ay+b'

;另"bG(O,+co)->0,又.?,x>y>0,.MQgO,

6.某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往.甲車隊說：“如果領(lǐng)隊買一張全票，其余人可享受7.5折

優(yōu)惠.”乙車隊說：“你們屬團(tuán)體票，按原價的8折優(yōu)惠.”這兩個車隊的原價、車型都是一樣的,

試根據(jù)單位去的人數(shù)比較兩車隊的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠.

【難度】★★

【答案】詳見解析

【解析】設(shè)該單位職工有〃人(〃eN*),全票價為x元/人，坐甲車需花9元，坐乙車需花以元,

則>'i=jc+1x-(n-l)=1.r+yix,”=恭.所以yi-y2=^x+^n.r—^ix=^x-^nx=^x(1—

當(dāng)〃=5時，yi—y2；當(dāng)〃>5時，%勺2；當(dāng)“<5時，yi>%.

因此當(dāng)單位去的人數(shù)為5人時，兩乍隊收費(fèi)同等優(yōu)惠；

當(dāng)單位去的人數(shù)多于5人時，甲車隊收費(fèi)更優(yōu)惠;

當(dāng)單位去的人數(shù)少于5人時，乙車隊收費(fèi)更優(yōu)惠.

7.解關(guān)于x的不等式=<O(aGR).

【難度】★★

【答案】詳見解析

x—CI

【解析】(_〃2<00工—〃)(/一次)<0,

①當(dāng)〃=0或。=1時，原不等式的解集為0；

②當(dāng)a<0或時，a<a2,此時a<x<a2；

③當(dāng)0<?<1時，a>cr,jttB'J"a2<x<a.

綜上，當(dāng)。<0或01時，原不等式的解集為｛.也<x<〃2)；

當(dāng)0<4<1時，原不等式的解集為｛Mdav”｝；

當(dāng)4=0或4=1時，原不等式解集為。.

8.若不等式l2一球+52層-34對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[-1,4]B.(—8,—2]U[5,+°0)

00

C.(―00,—1]U[4,+)D.[―2同

【難度】★★

【答案】A

【解析】2x+5=(x—1產(chǎn)+4的最小值為4,所以爐―2x+5242—3〃對任意實(shí)數(shù)x恒成立,

只需〃2—3aW4,解得一1W〃W4.

9.已知函數(shù)應(yīng)￥)=/+3一1,若對于任意入￡[加，加+2],都有7U)<0成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

【難度】★★

【答案】(一乎，0)

【解析】作出二次函數(shù)於)的草圖，對于任意XG[〃Z,,”+1],都有.心)<0,

fm2+w2—1<0,、歷

則有,即,,,解得一(<m<0.

10.在關(guān)于x的不等式x2-(〃+l)x+aV0的解集中恰有兩個整數(shù)，則〃的取值范圍是()

A.(3,4)B.(-2,-1)U(3,4)

C.(3,4]D.[-2,T)U(3,4]

【難度】★★

【答案】D

【解析】由題意得，原不等式化為(x—l)(x—a)V0.當(dāng)。>1時，解得此時解集中的整數(shù)為2,3,

則3〈把4；當(dāng)時，解得此時解集中的整數(shù)為0,-1,則一2%<—1,故“口-2,-1)U(3,

4].

X-3

11.已知a￡R,不等式$21的解集為p,且一2￡p,則。的取值范圍為()

A.(—3,+co)B.(—3,2)

C.(—00,2)U(3,+oo)D.(—00,—3)U[2,+oo)

【難度】★

【答案】D

—2—3

【解析】:一2Cp,V1或-2+〃=0,解得e2或。V一3.

-一2；十Ja

12.若關(guān)于x的不等式/一以一2一〃>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(—oo,—2)B.(—2,+co)

C.(16,+oo)D.(-oo,-6)

【難度】★

【答案】A

【解析】不等式爐一4冗一2—a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價于aV。2—4x—2)max，令且。)=/一4x—2,x￡(l,

4),.,?g(x)Vg(4)=_2,

kf—xak

13.不等式彳:<0對任意實(shí)數(shù)x都成立,則左的取值范圍是.

【難度】★★

[答案]]-00,—

【提示】分母大于0恒成立，故分子小于0恒成立

14.某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10000輛.本

年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<l),

則出廠價相應(yīng)地提高比例為0.75x,同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x,已知年利潤=(出廠價一投入成

本)X年銷售量.

(1)寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；

(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

【難度】★★

【解析】(1)y=[(1+oX工2—(工+吊XX(1+0.6A)X10000=-6OOO.v+2OOOx+20000,

即y=-6000^+2OOOx+20000(0<x<1).

(2)上年利潤為(12—10)X10000=20()00.Ay-20000>0,即一6000x2+2000A>0,

即x的范圍為(0,1).

15.已知不等式。+田(2+q)29對任意正實(shí)數(shù)％、y恒成立，則正實(shí)數(shù)。的最小值為()

A.2B.4C.6D.8

【難度】★★

【答案】B

【解析】不等式(x+y)(L+g)29對任意正實(shí)數(shù)x、y恒成立，則1+。+上+巴2。+2&+129,

xyxy

&22或JZ4-4舍去)，所以正實(shí)數(shù)。的最小值為4,選B.

CT021

16.設(shè)a,b,c都是正數(shù)，證明不等式‘一+'」+「-2上(a+8+c)當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?=c時取等號。

b+ca+ca+b2

【難度】★★★

【答案】詳見解析

【解析】根據(jù)對稱性，可從左邊一項入手，根據(jù)基本不等式適當(dāng)配湊。

b+cyb+c4J44

b2b1a+c、a+c、，a+c

------=(---z---+------)--------->h--------

a+ca+c444

c2/c2a+。、a+ba+b

------=(------+------)--------->c---------

a+ba+h444

2I22i

三式相加可得—+/一+」-N^S+8+c)

b+ca+ca+b2

crb+cb2Q+CC2Q+,,,

當(dāng)且僅當(dāng)＜=勺=，-^=—,」一二竺^同時成立，a即r"〃=c,上式取等號

b+c4a+c4a+b4

攻思總轄

1.解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化、化歸，一般都轉(zhuǎn)化為最簡單的一元一次不等式(組)或一元二次不等式

(組)來求解。

2.解含參數(shù)不等式時，要特別注意數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，分類討論思想的錄活運(yùn)用。

3.不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎(chǔ)上，選用

一些特殊技巧。如運(yùn)用放縮法證明不等式時要注意調(diào)整放縮的度。

4.根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，執(zhí)果索因，往往是有效的思維方法。

錦后棟燈

一、單選題

L（202。上海高一專題練習(xí)）已知a,b,cSR,且o>b>c,則有（）

A.|a|>|b|>|c|B.|ab|>|bc|

C.|a+b|>|b+c|D.\a-c\>|a-b|

【答案】D

【分析】舉特殊值，利用不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】當(dāng)a,b,c均為負(fù)數(shù)時，則A,B,C均不成立，

如。=—1,b=—2,c=-3時，有故A錯；

\ab\=2,而|bc|=6,此時|ab|V|bc|,故B錯;

|a+b|=3,|b+c|=5,與C中|a+b|>|b+c|矛盾