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內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市二中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線的斜率是方程的兩根,則與的位置關(guān)系是()A.平行 B.重合C.相交但不垂直 D.垂直2.設(shè)雙曲線與冪函數(shù)的圖象相交于,且過雙曲線的左焦點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切于,則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.3.在正方體中,為棱的中點(diǎn),為棱的中點(diǎn),則直線與平面所成角的正弦值為()A. B.C. D.4.過點(diǎn)且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為()A B.C. D.5.已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=,則復(fù)數(shù)z的虛部為()A.i B.-iC.1 D.-16.設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo),的圖像如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.7.已知為等差數(shù)列,為公差,若成等比數(shù)列,且,則數(shù)列的前項(xiàng)和為()A. B.C. D.8.設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.一動圓與圓外切,而與圓內(nèi)切,那么動圓的圓心的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.雙曲線的一支10.如圖,直四棱柱的底面是菱形,,,M是的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為()A. B.C. D.11.在等差數(shù)列中,,,則的值是()A.130 B.260C.156 D.16812.是首項(xiàng)和公差均為3的等差數(shù)列,如果,則n等于()A.671 B.672C.673 D.674二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知點(diǎn),圓:.若過點(diǎn)的圓的切線只有一條,求這條切線方程____________.14.已知焦點(diǎn)為F的拋物線的方程為,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,點(diǎn)P在拋物線上,則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與到點(diǎn)Q的距離的和的最小值為______.15.已知拋物線的焦點(diǎn)為F,A為拋物線C上一點(diǎn).以F為圓心,F(xiàn)A為半徑的圓交拋物線C的準(zhǔn)線于B,D兩點(diǎn),A,F(xiàn),B三點(diǎn)共線,且,則______16.已知雙曲線C的方程為,,,雙曲線C上存在一點(diǎn)P,使得,則實(shí)數(shù)a的最大值為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)數(shù)列中,,且.(1)證明;數(shù)列是等比數(shù)列.(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.(12分)已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)存在兩個(gè)極值點(diǎn),且,若,求證:.19.(12分)撫州市為了了解學(xué)生的體能情況,從全市所有高一學(xué)生中按80:1的比例隨機(jī)抽取200人進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試,將所得數(shù)據(jù)整理后,分為組畫出頻率分布直方圖如圖所示,現(xiàn)一,二兩組數(shù)據(jù)丟失,但知道第二組的頻率是第一組的3倍(1)若次數(shù)在以上含次為優(yōu)秀,試估計(jì)全市高一學(xué)生的優(yōu)秀率是多少?全市優(yōu)秀學(xué)生的人數(shù)約為多少?(2)求第一組、第二小組的頻率是多少?并補(bǔ)齊頻率分布直方圖;(3)估計(jì)該全市高一學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)?20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為正方形,,直線垂直于平面分別為的中點(diǎn),直線與相交于點(diǎn).(1)證明:與不垂直;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,O為原點(diǎn),已知點(diǎn),,,設(shè)向量,.(1)求與夾角的余弦值;(2)若與互相垂直,求實(shí)數(shù)k的值.22.(10分)如圖,四棱錐中,,且,(1)求證:平面平面;(2)若是等邊三角形,底面是邊長為3的正方形,是中點(diǎn),求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由韋達(dá)定理可得方程的兩根之積為,從而可知直線、的斜率之積為,進(jìn)而可判斷兩直線的位置關(guān)系【詳解】設(shè)方程的兩根為、,則直線、的斜率,故與相交但不垂直故選:C2、B【解析】設(shè)直線方程為,聯(lián)立,利用判別式可得,進(jìn)而可求,再結(jié)合雙曲線的定義可求,即得.【詳解】可設(shè)直線方程為,聯(lián)立,得,由題意得,∴,,∴,即,由雙曲線定義得,.故選:B.3、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算平面的法向量,利用線面角的向量公式即得解【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長為2,連接,以為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,由于平面,平面,故又正方形,故平面故平面,所以為平面的一個(gè)法向量,故直線與平面所成角正弦值為.故選:D4、C【解析】設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為,代入點(diǎn)的坐標(biāo),求出的值,即可的解.【詳解】設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為,代入點(diǎn),得,解得,所以所求雙曲線方程為,即故選:C.5、C【解析】先通過復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z,進(jìn)而求出虛部.【詳解】由題意,,則z的虛部為1.故選:C.6、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到導(dǎo)數(shù)的正負(fù),從而得到函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的圖象可知,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,則,所以A選項(xiàng)和C選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),先增,再減,然后再增,則先正,再負(fù),然后再正,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.一般地,函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo),,則在這個(gè)區(qū)間是增函數(shù);函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo),,則在這個(gè)區(qū)間是減函數(shù).7、C【解析】先利用已知條件得到,解出公差,得到通項(xiàng)公式,再代入數(shù)列,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,,故,即,故,解得或(舍去),故,即,故的前項(xiàng)和為:.故選:C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:數(shù)列求和的方法:(1)倒序相加法:如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù),那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用倒序相加法(2)錯(cuò)位相減法:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用錯(cuò)位相減法來求;(3)裂項(xiàng)相消法:把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí),中間的一些像可相互抵消,從而求得其和;(4)分組轉(zhuǎn)化法:一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列:或可求和的數(shù)列組成,則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減;(5)并項(xiàng)求和法:一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和可以兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項(xiàng)求和,形如類型,可采用兩項(xiàng)合并求解.8、B【解析】求出不等式的等價(jià)形式,結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由得或,由得,因?yàn)榛蛲撇怀觯芡瞥龌虺闪?,所以“”是“”的必要不充分條件,故選:B9、A【解析】依據(jù)定義法去求動圓的圓心的軌跡即可解決.【詳解】設(shè)動圓的半徑為r,又圓半徑為1,圓半徑為8,則,,可得,又則動圓的圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)長軸長為9的橢圓.故選:A10、D【解析】用向量分別表示,利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】由題意可得,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查用向量的夾角公式求異面直線所成的角,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算得到,進(jìn)而利用求和公式,變形求出答案.【詳解】由題意得:,故故選:A12、D【解析】根據(jù)題意,求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,代入數(shù)據(jù),即可得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列,所以,令,解得.故選:D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、或【解析】由題設(shè)知A在圓上,代入圓的方程求出參數(shù)a,結(jié)合切線的性質(zhì)及點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】因?yàn)檫^的圓的切線只有一條,則在圓上,所以,則,且切線斜率,即,所以切線方程或,整理得或.故答案為:或.14、##【解析】利用定義將所求距離之和的最小值問題,轉(zhuǎn)化為的最小值問題.【詳解】焦點(diǎn)F坐標(biāo)為,拋物線準(zhǔn)線為,如圖,作垂直于準(zhǔn)線于A,交y軸于B,.故答案為:15、2【解析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程,由,,三點(diǎn)共線,推得,由三角形的中位線性質(zhì)可得到準(zhǔn)線的距離,可得的值【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為,,準(zhǔn)線方程為,因?yàn)?,,三點(diǎn)共線,可得為圓的直徑,如圖示:設(shè)準(zhǔn)線交x軸于E,所以,則,由拋物線的定義可得,又是的中點(diǎn),所以到準(zhǔn)線的距離為,故答案為:216、2【解析】設(shè)出,根據(jù)條件推出在圓上運(yùn)動,根據(jù)題意要使雙曲線和圓有交點(diǎn),則得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn),由得:,所以,化簡得:,即滿足條件的點(diǎn)在圓上運(yùn)動,又點(diǎn)存在于上,故雙曲線與圓有交點(diǎn),則,即實(shí)數(shù)a的最大值為2,故答案為:2三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】(1)根據(jù)遞推公式,結(jié)合等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可;(2)運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】∵,∴,又∵,∴,∴數(shù)列是首項(xiàng)為0,公差為1的等差數(shù)列,∴,∴,從而,∴數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列;【小問2詳解】由(1)知,則,∴,∴.18、(1)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(2)證明見解析【解析】(1)首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),再令、,分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)先求出,構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)的最小值,從而證明結(jié)論【小問1詳解】解:當(dāng)時(shí),,所以,令,解得或,令,解得,所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;【小問2詳解】解:,,,因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn),,所以存在兩個(gè)互異的正實(shí)數(shù)根,,所以,,則,所以,所以,令,則,,,在上單調(diào)遞減,,而,即,19、(1)8640;(2)第一組頻率為,第二組頻率為.頻率分布直方圖見解析;(3)中位數(shù)為,均值為121.9【解析】(1)求出優(yōu)秀的頻率,計(jì)算出抽取的人員中優(yōu)秀學(xué)生數(shù)后可得全體優(yōu)秀學(xué)生數(shù);(2)由頻率和為1求得第一組、第二組頻率,然后可補(bǔ)齊頻率分布直方圖;(3)在頻率分布直方圖中計(jì)算出頻率對應(yīng)的值即為中位數(shù),用各組數(shù)據(jù)中點(diǎn)值乘以頻率后相加得均值【詳解】(1)由頻率分布直方圖,分?jǐn)?shù)在120分以上的頻率為,因此優(yōu)秀學(xué)生有(人);(2)設(shè)第一組頻率為,則第二組頻率為,所以,,第一組頻率為,第二組頻率為頻率分布直方圖如下:(3)前3組數(shù)據(jù)的頻率和為,中位數(shù)在第四組,設(shè)中位數(shù)為,則,均值為20、(1)證明見解析;(2).【解析】(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出點(diǎn)的坐標(biāo),計(jì)算得出,即可證得結(jié)論成立;或利用反證法;(2)利用空間向量法即求.【小問1詳解】方法一:如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、、、設(shè),因?yàn)?,,因?yàn)?,所以,得,即點(diǎn),因?yàn)?,,所以,故與不垂直方法二:假設(shè)與垂直,又直線平面平面,所以.而與相交,所以平面又平面,從而又已知是正方形,所以與不垂直,這產(chǎn)生矛盾,所以假設(shè)不成立,即與不垂直得證.【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為,又,因?yàn)椋?,令,?設(shè)平面的法向量為,因?yàn)?,所以,令,?因?yàn)?顯然二面角為鈍二面角,所以二面角的余弦值是.21、(1)(2)【解析】(1)由向量的坐標(biāo)先求出,,,由向量的夾角公式可得答案.(2)由題意可得,從而求出參數(shù)的值【小問1詳解】由題,,,故,,,所以故與夾角余弦值為.【小問2詳解】由與的互
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