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河池市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末檢測試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合,,若集合中有且僅有2個(gè)元素,則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.2.已知正方體的棱長為2,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),則平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面面積為()A. B. C. D.3.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),則函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程可以為()A. B. C. D.4.雙曲線的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點(diǎn),與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為,若,且,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.5.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,每次正反面出現(xiàn)的概率相同,連續(xù)拋擲5次,至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.6.已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項(xiàng)公式()A. B. C. D.7.將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官,每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名,則不同的分配方案種數(shù)是()A.18種 B.36種 C.54種 D.72種8.中國的國旗和國徽上都有五角星,正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系,在如圖所示的正五角星中,以、、、、為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形,且,則()A. B. C. D.9.已知復(fù)數(shù)滿足,且,則()A.3 B. C. D.10.函數(shù)(,,)的部分圖象如圖所示,則的值分別為()A.2,0 B.2, C.2, D.2,11.已知復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.212.已知滿足,,,則在上的投影為()A. B. C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的兩條漸近線方程為,若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1,則雙曲線方程為.14.若四棱錐的側(cè)面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)Q,已知Q到底面的距離與Q到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k,且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是拋物線,則當(dāng)二面角平面角的大小為時(shí),k的值為______.15.設(shè),滿足條件,則的最大值為__________.16.在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)和點(diǎn),若點(diǎn)在的平分線上,且,則向量的坐標(biāo)為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,有一個(gè)微型智能機(jī)器人(大小不計(jì))只能沿著坐標(biāo)軸的正方向或負(fù)方向行進(jìn),且每一步只能行進(jìn)1個(gè)單位長度,例如:該機(jī)器人在點(diǎn)處時(shí),下一步可行進(jìn)到、、、這四個(gè)點(diǎn)中的任一位置.記該機(jī)器人從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)、行進(jìn)步后落在軸上的不同走法的種數(shù)為.(1)分別求、、的值;(2)求的表達(dá)式.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將曲線上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到曲線,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程;(2)曲線上是否存在不同的兩點(diǎn),(以上兩點(diǎn)坐標(biāo)均為極坐標(biāo),,),使點(diǎn)、到的距離都為3?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.19.(12分)一酒企為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模,決定新建一個(gè)底面為長方形的室內(nèi)發(fā)酵館,發(fā)酵館內(nèi)有一個(gè)無蓋長方體發(fā)酵池,其底面為長方形(如圖所示),其中.結(jié)合現(xiàn)有的生產(chǎn)規(guī)模,設(shè)定修建的發(fā)酵池容積為450米,深2米.若池底和池壁每平方米的造價(jià)分別為200元和150元,發(fā)酵池造價(jià)總費(fèi)用不超過65400元(1)求發(fā)酵池邊長的范圍;(2)在建發(fā)酵館時(shí),發(fā)酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和米的走道(為常數(shù)).問:發(fā)酵池的邊長如何設(shè)計(jì),可使得發(fā)酵館占地面積最小.20.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,并說明曲線的形狀;(2)若直線經(jīng)過點(diǎn),求直線被曲線截得的線段的長.21.(12分)等差數(shù)列中,,,分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù),且其中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)請選擇一個(gè)可能的組合,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記(1)中您選擇的的前項(xiàng)和為,判斷是否存在正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,若有,請求出的值;若沒有,請說明理由.22.(10分)2019年入冬時(shí)節(jié),長春市民為了迎接2022年北京冬奧會(huì),增強(qiáng)身體素質(zhì),積極開展冰上體育鍛煉.現(xiàn)從速滑項(xiàng)目中隨機(jī)選出100名參與者,并由專業(yè)的評估機(jī)構(gòu)對他們的鍛煉成果進(jìn)行評估打分(滿分為100分)并且認(rèn)為評分不低于80分的參與者擅長冰上運(yùn)動(dòng),得到如圖所示的頻率分布直方圖:(1)求的值;(2)將選取的100名參與者的性別與是否擅長冰上運(yùn)動(dòng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),請將下列列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率在不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)系?擅長不擅長合計(jì)男性30女性50合計(jì)1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(,其中)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由題意知且,結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知,,則,故,又,則,所以,所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的關(guān)系及運(yùn)算,以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問題,其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
根據(jù)球的特點(diǎn)可知截面是一個(gè)圓,根據(jù)等體積法計(jì)算出球心到平面的距離,由此求解出截面圓的半徑,從而截面面積可求.【詳解】如圖所示:設(shè)內(nèi)切球球心為,到平面的距離為,截面圓的半徑為,因?yàn)閮?nèi)切球的半徑等于正方體棱長的一半,所以球的半徑為,又因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,所以,所以,所以截面圓的半徑,所以截面圓的面積為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正方體的內(nèi)切球的特點(diǎn)以及球的截面面積的計(jì)算,難度一般.任何一個(gè)平面去截球,得到的截面一定是圓面,截面圓的半徑可通過球的半徑以及球心到截面的距離去計(jì)算.3、B【解析】
由點(diǎn)求得的值,化簡解析式,根據(jù)三角函數(shù)對稱軸的求法,求得的對稱軸,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題可知.所以令,得令,得故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)求參數(shù),考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)對稱軸的求法,屬于中檔題.4、D【解析】
根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點(diǎn),再利用,求出點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上,及,代入整理及得,又已知,即可求出離心率.【詳解】由題意可知,代入得:,代入雙曲線方程整理得:,又因?yàn)椋纯傻玫?,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算,離心率問題關(guān)鍵尋求關(guān)于,,的方程或不等式,由此計(jì)算雙曲線的離心率或范圍,屬于中檔題.5、A【解析】
首先求出樣本空間樣本點(diǎn)為個(gè),再利用分類計(jì)數(shù)原理求出三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),再求出重復(fù)數(shù)量,可得事件的樣本點(diǎn)數(shù),根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】樣本空間樣本點(diǎn)為個(gè),具體分析如下:記正面向上為1,反面向上為0,三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”,有以下3種位置1____,__1__,____1.剩下2個(gè)空位可是0或1,這三種排列的所有可能分別都是,但合并計(jì)算時(shí)會(huì)有重復(fù),重復(fù)數(shù)量為,事件的樣本點(diǎn)數(shù)為:個(gè).故不同的樣本點(diǎn)數(shù)為8個(gè),.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理,古典概型的概率計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】
利用數(shù)列的遞推關(guān)系式,通過累加法求解即可.【詳解】數(shù)列滿足:,,可得以上各式相加可得:,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,數(shù)列累加法以及通項(xiàng)公式的求法,考查計(jì)算能力.7、B【解析】
把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn),則不同的分配方案有種.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義,便可解決問題.【詳解】解:.故選:A【點(diǎn)睛】本題以正五角星為載體,考查平面向量的概念及運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
設(shè),則,利用和求得,即可.【詳解】設(shè),則,因?yàn)?則,所以,又,即,所以,所以,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法法則的應(yīng)用,考查共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用.10、D【解析】
由題意結(jié)合函數(shù)的圖象,求出周期,根據(jù)周期公式求出,求出,根據(jù)函數(shù)的圖象過點(diǎn),求出,即可求得答案【詳解】由函數(shù)圖象可知:,函數(shù)的圖象過點(diǎn),,則故選【點(diǎn)睛】本題主要考查的是的圖像的運(yùn)用,在解答此類題目時(shí)一定要挖掘圖像中的條件,計(jì)算三角函數(shù)的周期、最值,代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求出結(jié)果11、C【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)即可求解.【詳解】,,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì),屬于容易題.12、A【解析】
根據(jù)向量投影的定義,即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由已知,即,取雙曲線頂點(diǎn)及漸近線,則頂點(diǎn)到該漸近線的距離為,由題可知,所以,則所求雙曲線方程為.14、【解析】
二面角平面角為,點(diǎn)Q到底面的距離為,點(diǎn)Q到定直線得距離為d,則.再由點(diǎn)Q到底面的距離與到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k,可得,由此可得,則由可求k值.【詳解】解:如圖,設(shè)二面角平面角為,點(diǎn)Q到底面的距離為,點(diǎn)Q到定直線的距離為d,則,即.∵點(diǎn)Q到底面的距離與到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k,∴,則,∵動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是拋物線,∴,即則.∴二面角的平面角的余弦值為解得:().故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,由四棱錐的側(cè)面與底面的夾角求參數(shù)值,屬于中檔題.15、【解析】
作出可行域,由得,平移直線,數(shù)形結(jié)合可求的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示由得,則是直線在軸上的截距.平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí),最小,此時(shí)最大.解方程組,得,..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
點(diǎn)在的平分線可知與向量共線,利用線性運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在的平線上,所以存在使,而,可解得,所以,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算,利用向量的坐標(biāo)求向量的模,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),,,(2)【解析】
(1)根據(jù)機(jī)器人的進(jìn)行規(guī)律可確定、、的值;(2)首先根據(jù)機(jī)器人行進(jìn)規(guī)則知機(jī)器人沿軸行進(jìn)步,必須沿軸負(fù)方向行進(jìn)相同的步數(shù),而余下的每一步行進(jìn)方向都有兩個(gè)選擇(向上或向下),由此結(jié)合組合知識確定機(jī)器人的每一種走法關(guān)于的表達(dá)式,并得到的表達(dá)式,然后結(jié)合二項(xiàng)式定理及展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.【詳解】解:(1),,(2)設(shè)為沿軸正方向走的步數(shù)(每一步長度為1),則反方向也需要走步才能回到軸上,所以,1,2,……,,(其中為不超過的最大整數(shù))總共走步,首先任選步沿軸正方向走,再在剩下的步中選步沿軸負(fù)方向走,最后剩下的每一步都有兩種選擇(向上或向下),即等價(jià)于求中含項(xiàng)的系數(shù),為其中含項(xiàng)的系數(shù)為故.【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)、二項(xiàng)式定理,考查學(xué)生的邏輯推理能力,推理論證能力以及分類討論的思想.18、(1),(2)存在,【解析】
(1)先求得曲線的普通方程,利用伸縮變換的知識求得曲線的直角坐標(biāo)方程,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式,求得直線的直角坐標(biāo)方程.(2)求得曲線的圓心和半徑,計(jì)算出圓心到直線的距離,結(jié)合圖像判斷出存在符合題意,并求得的值.【詳解】(1)曲線的普通方程為,縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍,得到曲線的直角坐標(biāo)方程為,其極坐標(biāo)方程為,直線的直角坐標(biāo)方程為.(2)曲線是以為圓心,為半徑的圓,圓心到直線的距離.∴由圖像可知,存在這樣的點(diǎn),,則,且點(diǎn)到直線的距離,∴,∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查坐標(biāo)變換,考查直線和圓的位置關(guān)系,考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程相互轉(zhuǎn)化,考查參數(shù)方程化為普通方程,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.19、(1)(2)當(dāng)時(shí),,米時(shí),發(fā)酵館的占地面積最??;當(dāng)時(shí),時(shí),發(fā)酵館的占地面積最??;當(dāng)時(shí),米時(shí),發(fā)酵館的占地面積最小.【解析】
(1)設(shè)米,總費(fèi)用為,解即可得解;(2)結(jié)合(1)可得占地面積結(jié)合導(dǎo)函數(shù)分類討論即可求得最值.【詳解】(1)由題意知:矩形面積米,設(shè)米,則米,由題意知:,得,設(shè)總費(fèi)用為,則,解得:,又,故,所以發(fā)酵池邊長的范圍是不小于15米,且不超過25米;(2)設(shè)發(fā)酵館的占地面積為由(1)知:,①時(shí),,在上遞增,則,即米時(shí),發(fā)酵館的占地面積最??;②時(shí),,在上遞減,則,即米時(shí),發(fā)酵館的占地面積最??;③時(shí),時(shí),,遞減;時(shí),遞增,因此,即時(shí),發(fā)酵館的占地面積最??;綜上所述:當(dāng)時(shí),,米時(shí),發(fā)酵館的占地面積最??;當(dāng)時(shí),時(shí),發(fā)酵館的占地面積最?。划?dāng)時(shí),米時(shí),發(fā)酵館的占地面積最小.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)模型的應(yīng)用,關(guān)鍵在于根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)亟⒛P?,利用函?shù)性質(zhì)討論最值取得的情況.20、(1)曲線表示的是焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為的拋物線;(2)8.【解析】試題分析:(1)將曲線的極坐標(biāo)方程為兩邊同時(shí)乘以,利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出其直角坐標(biāo)方程;(2)由直線經(jīng)過點(diǎn),可得的值,再將直線的參數(shù)方程代入曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,由直線參數(shù)方程的幾何意義可得直線被曲線截得的線段的長.試題解析:(1)由可得,即,∴曲線表示的是焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為的拋物線.(2)將代入,得,∴,∵,∴,∴直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線的參數(shù)方程代入得,由直
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