杭州初中數(shù)學八年級下冊期中典型試卷1

2021-2022學年下學期杭州初中數(shù)學八年級期中典型試卷1

一.選擇題（共10小題）

1.（2020秋?新化縣期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=0B.^+—=1C.x2-1=0D.2x+3y-5=0

x

2.（2021?岳陽二模）下列醫(yī)護圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

B.??

3.（2021春?蕭山區(qū)期中）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（

A.等腰三角形B.平行四邊形C.等邊三角形

4.（2021春?蕭山區(qū)期中）解方程x2-&x=0,較簡便的解法是（）

A.直接開平方法B.配方法

C.公式法D.因式分解法

5.（2020春?溫州期末）用反證法證明"在同一平面內(nèi)，若aLc,h_Lc,則a//bn時，應

假設（）

A.a//cB.b//cC.a//c,b//cD.“與b相交

6.（2019春?蕭山區(qū)期中）為了應對期末考試，老師布置了15道選擇題作業(yè)，批閱后得到

如下統(tǒng)計表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，由45名學生答對題數(shù)組成的樣本的中位數(shù)是（）

答對題數(shù)（道）12131415

人數(shù)41816

A.13B.14C.13.5D.13或14

7.（2021秋?建安區(qū)期中）某配件廠一月份生產(chǎn)配件60萬個，已知第一季度共生產(chǎn)配件218

萬個，若設該廠平均每月生產(chǎn)配件的增長率為x,可以列出方程為（）

A.60（1+x）2=218B.60（l+3x）=218

C.60[1+（1+x）+（1+x）2]=218D.218（1-%）2=60

8.（2020秋?紅谷灘區(qū)校級期末）若一元二次方程x（日+1）-/+3=0無實數(shù)根，則人的最

小整數(shù)值是（）

A.2B.1C.0D.-1

9.（2021春?拱塞區(qū)期中）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,P為邊BC

上一動點，于E,P/UAC于凡則E尸的最小值為（）

A.1.2B.1.25C.2.4D.2.5

10.（2021春?拱墅區(qū)期中）如圖，在平行四邊形A8CO中，E、尸為邊AO上兩點，且A8

=BE=AE,CB=CF,若嶇=2,空=q,則（）

BC3AB

FED

A.2q2+4q-1=0B.q2+4q-2=0C.2d+4g+l=0D.q2+4q+2=0

填空題（共6小題）

11.（2021春?富平縣期末）若多邊形的每一個外角都等于60°,則該多邊形的邊數(shù)

是.

12.（2021春?拱墅區(qū)校級期中）設制，初是一元二次方程--7x-5=0的兩個實數(shù)根，則

X\+X2的值為.

13.（2021秋?達川區(qū)期末）如圖，有一塊長21〃?，寬10機的矩形空地，計劃在這塊空地上

修建兩塊相同的矩形綠地，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相同的人行通道，兩塊綠地的

面積和為90,#.設人行通道的寬度為xm,根據(jù)題意可列方程：.

14.（2021春?蕭山區(qū)期中）小方的數(shù)學平時成績?yōu)?4分，期中成績?yōu)?0分，學校按平時、

期中、期末成績之比為3：3：4的比例計算學期的總評成績，他計劃總評成績要達到85

分，則期末考試他至少要得到分.

15.（2017秋?雁塔區(qū)期末）如圖，已知點E,尸分別是。43CD的邊8C,AO上的中點，且

/BAC=90°,若/8=30°,BC=10,則四邊形AECF的面積為.

16.（2021?永嘉縣校級模擬）如圖，在二488中，AD=4>/2-E,尸分別為CD,AB上的

動點，DE=BF,分別以AE,C尸為對稱軸翻折△AOE,△BC凡點。，B的對稱點分別

為G,H.若E、G、H、產(chǎn)恰好在同一直線上，NGA尸=45°,且G，=5.5,則AB的長

三.解答題（共7小題）

17.（2021春?余杭區(qū)期中）計算：

（1）2720-遙+3遙；

（2）（遙-?）2+（遍+遍）（旄-?）.

18.（2018秋?武進區(qū)校級期末）解方程：

（1）x2-4x=12

（2）?-3x+l=0

19.（2021秋?呼和浩特期末）解方程:

（1）W+2x-2=0；

（2）（x-2）2=（2x-l）（x-2）.

20.（2021春?拱墅區(qū)期中）如圖，在aABC中，過點C作C￡）〃A8,E是4c的中點，連

接。E并延長，交邊A8于點凡連接AQ,CF.

（1）求證：四邊形AFC7）是平行四邊形；

（2）若4尸=2BF,四邊形AFC￡>的面積為Si，四邊形FBCE的面積為S2，求Si：52.

21.（2020?杭州模擬）如圖，在△ABC中，過點C作CD〃A8,E是AC的中點，連接OE

并延長，交AB于點F,連接AO,CF.

（1）求證：四邊形AFCZ）是平行四邊形；

（2）若AB=6,ZBAC=60°,/Z）C8=135°,求4c的長.

B

22.（2021春?拱墅區(qū)校級期中）已知方程7+云+.=0①，和方程0?+公+1=0②（aWO）.

（1）若方程①的根為內(nèi)=2,X2=3,求方程②的根；

（2）當方程①有一根為x=r時，求證x=上是方程②的根；

r

（3）若。2〃+b=0,方程①的根是根與小方程②的根是s和3求三巨的值.

nt

23.（2021春?蕭山區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCO中，AD//BC,/B=9O°,AD^\6cm,

AB^Ucm,BC=2\cm,動點P從點8出發(fā)，沿射線8C的方向以每秒2cm的速度運動

到C點返回，動點。從點4出發(fā)，在線段A。上以每秒1cm的速度向點。運動，點P,

Q分別從點8,A同時出發(fā)，當點。運動到點。時，點P隨之停止運動，設運動的時間

為t（秒）.

（1）當f為何值時，四邊形PQOC是平行四邊形；

（2）當，為何值時，以C,D,Q,P為頂點的四邊形面積等于60CT7??

（3）當0＜，＜10.5時，是否存在點P,使△PQ。是等腰三角形？若存在，請直接寫出所

有滿足要求的f的值；若不存在，請說明理由.

D

BCE

2021-2022學年下學期杭州初中數(shù)學八年級期中典型試卷1

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題）

1.（2020秋?新化縣期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=0B./+L=1C.x2-1=0D.2x+3y-5=0

x

【考點】一元二次方程的定義.

【專題】一元二次方程及應用；符號意識.

【分析】利用一元二次方程定義進行解答即可.

【解答】解：A、當。=0時，該方程不是一元二次方程，故此選項不符合題意；

8、它是分式方程，故此選項不符合題意：

C、該方程符合一元二次方程的定義，故此選項符合題意；

。、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項不符合題意.

故選：C.

【點評】此題主要考查了一元二次方程定義，關鍵是掌握判斷一個方程是否是一元二次

方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次

項的系數(shù)不等于0"：“整式方程”.

2.（2021?岳陽二模）下列醫(yī)護圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形.

【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

3、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意：

C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

。、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意.

故選：A.

【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱

軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度

后與原圖重合.

3.（2021春?蕭山區(qū)期中）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）

A.等腰三角形B.平行四邊形C.等邊三角形D.直角三角形

【考點】中心對稱圖形.

【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀.

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

8、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

C、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

。、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

故選:B.

【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180

度后與原圖重合.

4.（2021春?蕭山區(qū)期中）解方程x2_&x=0,較簡便的解法是（）

A.直接開平方法B.配方法

C.公式法D.因式分解法

【考點】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】根據(jù)方程的特點得出即可.

【解答】解：解方程乂2_&*=豚簡便的解法是因式分解法，

故選：D.

【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，能選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯?/p>

題的關鍵.

5.（2020春?溫州期末）用反證法證明“在同一平面內(nèi)，若aLc,h_Lc,則a//b"時，應

假設（）

A.a//cB.b//cC.a//c,b//cD.a與6相交

【考點】反證法；平行公理及推論；平行線的判定與性質(zhì).

【專題】反證法；線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立，可據(jù)此進行判斷.

【解答】解：反證法證明“在同一平面內(nèi)，若a，c,b±c,則時，應假設。與匕

不平行，即“與6相交，

故選：D.

【點評】本題考查的是反證法、兩直線的位置關系，解此題關鍵要懂得反證法的意義及

步驟，在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那

么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定.

6.(2019春?蕭山區(qū)期中)為了應對期末考試，老師布置了15道選擇題作業(yè)，批閱后得到

如下統(tǒng)計表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，由45名學生答對題數(shù)組成的樣本的中位數(shù)是()

答對題數(shù)(道)12131415

人數(shù)41816

A.13B.14C.13.5D.13或14

【考點】中位數(shù).

【專題】統(tǒng)計與概率；數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】根據(jù)題意可知，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第23名同學的成績，再根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，

即可得到這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

【解答】解：???45名學生答題,

.?.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第23名同學的成績，

,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是14,

故選：B.

【點評】本題考查中位數(shù)，解答本題的關鍵是明確中位數(shù)的含義，求出題目中數(shù)據(jù)的中

位數(shù).

7.(2021秋?建安區(qū)期中)某配件廠一月份生產(chǎn)配件60萬個，已知第一季度共生產(chǎn)配件218

萬個，若設該廠平均每月生產(chǎn)配件的增長率為x,可以列出方程為()

A.60(1+x)2=218B.60(l+3x)=218

C.60[1+(1+x)+(1+x)2]=218D.218(1-%)2=60

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【專題】一元二次方程及應用；應用意識.

【分析】等量關系為：一月份生產(chǎn)的零件個數(shù)+二月份生產(chǎn)的零件個數(shù)+三月份生產(chǎn)的零

件個數(shù)=218萬個.

【解答】解：易得二月份生產(chǎn)的零件個數(shù)是在一月份的基礎上增加的，所以為60(l+x),

同理可得三月份生產(chǎn)的零件個數(shù)為60(1+x)(1+x),

那么60+60X(1+x)+60(1+x)2=218.

即：6011+(1+x)+(1+x)2]=218,

故選：C.

【點評】考查了由實際問題抽象出一元二次方程的知識，找到合適的等量關系是解決問

題的關鍵，注意3月份生產(chǎn)的零件個數(shù)是在2月份的基礎上增加的.

8.(2020秋?紅谷灘區(qū)校級期末)若一元二次方程x(日+1)-/+3=0無實數(shù)根，則%的最

小整數(shù)值是()

A.2B.1C.0D.-1

【考點】根的判別式；一元二次方程的定義.

【專題】判別式法；運算能力.

【分析】由根的判別式與方程根的情況，可得A<0,從而求出上的取值范圍，再確定大

的最小整數(shù).要保證二次項系數(shù)不為0.

【解答】解：一元二次方程x(Ax+1)-/+3=0,即(k-I)/+x+3=0無實數(shù)根，

A=/>2-4ac=1-4X(jt-1)X3<0且及-1力0,

解得%>工！.

12

k展小整數(shù)=2?

故選：A.

【點評】本題考查了由根的判別式確定根的情況：A>0,有兩個不等實根；△=(),有

兩個相等實根；AV0,無實根.

9.(2021春?拱墅區(qū)期中)如圖，在△4BC中，/BAC=90°,AB=3,AC=4,P為邊BC

上一動點，PELAB于E,PFLAC于凡則EF的最小值為()

A.1.2B.1.25C.2.4D.2.5

【考點】矩形的判定與性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì)；垂線段最短.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】先證四邊形AEP尸是矩形，得EF=AP,要使EF最小，只要AP最小即可，再

根據(jù)垂線段最短和三角形面積求出AP即可.

【解答】解：連接AP,如圖：

"：PELAB,PFLAC,

：.ZAEP=ZAFP=90Q,

'：ZBAC=90°,

四邊形AFPE是矩形，

：.EF=AP,

要使EF最小，只要AP最小即可，

當APLBC時，AP最短，

；/BAC=90°,AB=3,AC=4,

BC=VAB2+AC2=V32+42=5,

/XABC的面積=^X4X3=JLX5><AP,

22

；.AP=2.4,

即E尸=2.4,

故選：C.

【點評】本題利用了矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識,

熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解此題的關鍵.

10.（2021春?拱墅區(qū)期中）如圖，在平行四邊形ABC。中，E、F為邊AO上兩點，且A8

=BE=AE,CB=CF,若地=2,空=q,貝ij()

BC3AB

A.2『+44-1=0B.-2=0C.2q2+4q+l=0D.q2+4q+2=0

【考點】平行四邊形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì).

【專題】三角形；運算能力.

【分析】設A8=2a,WJBE=AE=2a,CF=BC=3a,DE=a,EF=2aq,且△ABE是等

邊三角形，NA=60°,過點C作CG_LA￡＞交AO的延長線于點G,DG=a,CG=J§a,

最后在Rt^CFG中，利用勾股定理建立等式，可得結論.

【解答】解：如圖，過點C作CGL4O交4。的延長線于點G,

BC3

設AB=2a,則BC=3a,

：.AB=BE=AE=2a,CF=BC=3a,

.?.△ABE是等邊三角形，

；./4=60°,

：四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD=2a,AD=BC=3a,

：.ZCDG=60Q,DE=a,

..EFj

AB

:.EF=2aq,

在RtZ\CDG中，ZG=90°,

**?DG=ciiCG=^^a,

**?FG—2aq+a+a—2a（g+1）,

在RtZ\CTG中，由勾股定理可得，

CF2=FG2+CG2,即（3。）2=（?。?+[2。（q+1）]2,

整理可得,2才+4q-1=0.

故選：A.

【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等內(nèi)容,

根據(jù)特殊角作出正確輔助線是解題關鍵.

二.填空題（共6小題）

11.（2021春?富平縣期末）若多邊形的每一個外角都等于60°,則該多邊形的邊數(shù)是6

【考點】多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】多邊形與平行四邊形；運算能力.

【分析】由一個多邊形的每一個外角都等于60。，且多邊形的外角和等于360°,即可

求得這個多邊形的邊數(shù).

【解答】解：???一個多邊形的每一個外角都等于60。，且多邊形的外角和等于360°,

...這個多邊形的邊數(shù)是：360+60=6,

故答案是：6.

【點評】此題考查了多邊形的外角和定理.此題比較簡單，注意掌握多邊形的外角和等

于360°是關鍵.

12.（2021春?拱墅區(qū)校級期中）設xi，刈是一元二次方程7-7x-5=0的兩個實數(shù)根，則

x\+x2的值為7.

【考點】根與系數(shù)的關系.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【分析】由根與系數(shù)的關系可求出制+我的值.

【解答】解：：xi，X2是一元二次方程7-7x-5=0的兩個實數(shù)根，

**.Xl+X2=7,

故答案為：7.

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若xi，*2是一元二次方程62+云+C=0QW0）的

兩根時，X]+X2--—?X\X2—--

aa

13.（2021秋?達川區(qū)期末）如圖，有一塊長21m，寬10根的矩形空地，計劃在這塊空地上

修建兩塊相同的矩形綠地，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相同的人行通道，兩塊綠地的

面積和為90〃?2.設人行通道的寬度為m7,根據(jù)題意可列方程：（21-3x）（10-2x）

=90.

oo

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【專題】一元二次方程及應用；應用意識.

【分析】設人行通道的寬度為xm,則兩塊綠地可合成長（21-3x）m,寬（10-2x）m

的矩形，根據(jù)兩塊綠地的面積和為90層，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：設人行通道的寬度為9，則兩塊綠地可合成長（21-3x）m,寬（10-2x）

m的矩形，

依題意得：（21-3x）（10-2x）=90.

故答案為：（21-3x）（10-2x）=90.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二

次方程是解題的關鍵.

14.（2021春?蕭山區(qū)期中）小方的數(shù)學平時成績?yōu)?4分，期中成績?yōu)?0分，學校按平時、

期中、期末成績之比為3：3：4的比例計算學期的總評成績，他計劃總評成績要達到85

分，則期末考試他至少要得到89.5分.

【考點】一元一次不等式的應用.

【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力.

【分析】可設期末考試他要得到x分，根據(jù)計劃總評成績要達到85分，列出不等式求解

即可..

【解答】解：設期末考試他要得到x分，依題意有

84X￡+80X工85,

101010

解得x289.5.

故期末考試他至少要得到89.5分.

故答案為：89.5.

【點評】考查了一元一次不等式的應用，加權平均數(shù)的求法，解決問題的關鍵是讀懂題

意，找到關鍵描述語，找到所求的量的不等關系.

15.（2017秋?雁塔區(qū)期末）如圖，已知點E,F分別是nABCD的邊BC,AO上的中點，且

NBAC=90°,若/B=30°,8c=10,則四邊形AECF的面積為—絲返一

【考點】平行四邊形的性質(zhì).

【專題】常規(guī)題型；矩形菱形正方形.

【分析】由條件可先證得四邊形AEC尸為菱形，連接E尸交4C于點0,解直角三角形求

出AC、AB,由三角形中位線定理求出0E,得出EF,菱形AEC尸的面積=工。^/7,即

2

可得出結果.

【解答】解：

?；四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC,

在RtzXABC中，ZBAC=90°，點E是BC邊的中點，

:.AE=^LBC=CE,

2

同理，AF=1AD=CF,

2

：.AE=CE=AF^CF,

二四邊形AEC尸是菱形，

連接E尸交AC于點0,如圖所示：

在RtZXABC中，ZBAC=90°,ZB=30°,BC=10,

，AC=」8c=5,A8=V§4C=5?,

2

?.?四邊形AECF是菱形，

J.ACLEF,0A=0C,

...0E是△ABC的中位線，

:.OE=1AB=^^,

22

：.EF=543,

/.S差形AECF=UC?EF=LX5X

222

故答案為：空叵.

2

【點評】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，證得四邊形AEC尸為菱形是解題的關鍵.

16.（2021?永嘉縣校級模擬）如圖，在DABCZ）中，4。=幼，E,尸分別為CD,43上的

動點，DE=BF,分別以4E,CF為對稱軸翻折△AOE,△2CF,點。，8的對稱點分別

為G,H.若E、G、H、尸恰好在同一直線上，ZGAF=45°,且G〃=5.5,則AB的長

是14.5.

【考點】翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；軸對稱

的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；平移、旋轉與對稱；運算能

力；推理能力.

【分析】過G點作于點設。由勾股定理求得AM與GM,再證

明用x表示AF,FG,FM,由勾股定理列出x的方程，求得x的值，便可求

得AB.

【解答】解：過G點作GMLAF于點M,

由折疊知AG=AD=442,

'：ZGAF=45°,

：.ZAGM=45°,

，AM=GM=喙AG=4，

?:DE=BF,

???設。則由折疊性質(zhì)知，EG=DE=BF=FH=x,

???G”=5.5,

AEF=2x+5.5,

???四邊形A3。是平行四邊形，

J.DC//AB,

：./AED=NBAE,

*.?ZAED=ZAEG,

：.ZFAE=ZFEAf

：.AF=EF=2x+5.5,

???AB=Ab+B/=3x+5.5,MF=AF-AM=2x^.5,

由勾股定理得，F(xiàn)G1-FM2=MG2,

即(x+5.5)2-(2x+1.5)2=42,

解得，x=3,或(舍)，

3

.?.AB=3x+5.5=14.5,

故答案為：14.5.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，折疊

的性質(zhì)，關鍵在于構造直角三角形，運用勾股定理列出方程，運用方程的思想解決幾何

問題.

三.解答題（共7小題）

17.（2021春?余杭區(qū)期中）計算：

（1）2720-旄+3遙；

⑵（加-后2+（旄+遍）（遙-?）.

【考點】二次根式的混合運算；平方差公式.

【專題】二次根式；運算能力.

【分析】（1）先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；

（2）利用完全平方公式和平方差公式計算.

【解答】解：⑴原式=4泥-旄+3旄

=6加；

（2）原式=5-2715+3+5-3

=10-2^/75.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并

同類二次根式即可.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式

的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

18.（2018秋?武進區(qū)校級期末）解方程：

(1)x2-4x=12

(2)7-3x+l=0

【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【分析】(1)利用因式分解法求解可得；

(2)利用公式法求解即可得.

【解答】解：(1)/-4x=12

7-4x-12=0

分解因式得：G-6)(x+2)=0,

可得x-6=0或x+2=0,

解得：xi=6,X2—-2.

(2)3x+l=0,

"."a=1,b=-3,c=1,A=Z>2-4ac=9-4=5>0,

.3±V5

.?人y=,

2_

.1=3jV5n=3/

??,A-2-，?

22

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，根據(jù)不同的方程選擇合適的方法是解題

的關鍵.

19.(2021秋?呼和浩特期末)解方程：

(1)/+2x-2=0；

(2)(JC-2)2=⑵-1)(%-2).

【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法.

【專題】計算題；一元二次方程及應用；運算能力.

【分析】(1)利用配方法求解即可；

(2)利用因式分解法求解即可.

【解答】解：(1)'：x^+2x-2=0,

，/+2%=2,

則f+Zr+BZ+l,即(x+1)2=3,

?""xi=-1+,\/3-X2=-1-5/3：

(2)(x-2)2=(2x-1)(x-2),

(x-2)2-(2x-1)(x-2)=0,

(x-2)(-x-1)=0,

則x-2=0或-x-1=0,

解得xi=2,X2=-1.

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的

方法是解題的關鍵.

20.(2021春?拱墅區(qū)期中)如圖，在△ABC中，過點C作C￡)〃AB,E是AC的中點，連

接并延長，交邊AB于點F,連接AD,CF.

(1)求證：四邊形AFCD是平行四邊形；

(2)若AF=2BF,四邊形AFC￡＞的面積為Si，四邊形尸8CE的面積為S2，求Si：S2.

【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；運算能力.

【分析】(1)由題意可證明△4￡：/絲△CEQ(ASA),可得AF=CZ),進而可得四邊形AFCC

是平行四邊形；

(2)設則AF=2a,過點C作CGLA8于點G,設CG=〃，可得SI=2S^CF=

2ah,S2=S/\DCF+SABCE=—ah,進而可求出Si：S2的值.

2

【解答】(1)證明：如圖，

'：CD//AB,

：.ZFAC=ZDCA,

?.?點E是AC的中點

：.AE=CE,

又；NAEF=NCED,

：./XAEF^^CED(ASA),

：.AF=CD,

又,：CD,

四邊形AF8是平行四邊形；

(2)解：設貝ijAF=2BF=2a,

如圖，過點C作CG_LA8于點G,

設CG=h,

：.S^ACF^—'AF'CG^^2a-h=ah,

22

SABCF——,BF*CG——,a,h=Lh,

222

??Si=2sAACF=2ah,

SA￡CF=-^SI=Loh,

42

S2=SAECF+SABCF=ah,

**?S1：S2=2,cih：ah=2.

【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形的面積等問題，出現(xiàn)有關面積

的問題，需要作出高是常見解題方法.

21.(2020?杭州模擬)如圖，在AA8c中，過點C作CD〃A8,E是AC的中點，連接。E

并延長，交AB于點F,連接A。，CF.

(1)求證：四邊形AFCO是平行四邊形；

(2)若AB=6,ZBAC=60°,ZDCB=135°,求AC的長.

【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形：多邊形與平行四邊形；推理能力.

【分析】(1)先證AAE尸絲△(；￡：￡>(44S),得AF=CD,再由C￡)〃A8,即A尸〃CC,即

可得出結論；

(2)過C作CM_LAB于M,先證ABCM是等腰直角三角形，得BM=CM,再由含30°

角的直角三角形的性質(zhì)得4c=2AM,BM=CM=4?AM,由AM+BM=AB求出AM=3?

-3,即可求解.

【解答】(1)證明：???E是AC的中點，

：.AE=CE,

,JCD//AB,

：.NAFE=ZCDE,

在和△(7/￡)中，

，ZAFE=ZCDE

-NAEF=/CED，

AE=CE

/XAEF^^CED(A4S),

：.AF=CD,

又‘：CD"AB,BPAF//CD,

：.四邊形AFCD是平行四邊形；

(2)解：過C作CM_LA8于M,如圖所示：

則/CMB=/CM4=90°,

'：CD//AB,

：.ZB+ZDCB=\S00,

/.ZB=180°-135°=45°,

...△8CM是等腰直角三角形，

\"ZBAC=60°,

：.ZACM=30°,

：.AC=2AM,BM=CM=y/'^\M,

'：AM+BM=AB,

：.AM+y/3AM=6,

解得：4M=3相-3,

：.AC=2AM=6-/3-6.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的

判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的判定和全等

三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

22.(2021春?拱墅區(qū)校級期中)已知方程/+云+.=0①，和方程以2+法+1=0②(a#0).

(1)若方程①的根為加=2,刈=3,求方程②的根；

(2)當方程①有一根為x=r時，求證x=上是方程②的根；

r

(3)若“2〃+b=0,方程①的根是根與〃，方程②的根是s和3求吧的值.

nt

【考點】根與系數(shù)的關系；方程的定義.

【專題】一元二次方程及應用；運算能力.

【分析】(1)根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求得小b的值，即可得到方程②，然后利用因式

分解法解方程②即可；

(2)根據(jù)方程根的定義得到，+bU=0,兩邊同除/得?！霭?1=0,即可證得》=工是

方程②的根；

(3)根據(jù)題意b=0,根據(jù)根與系數(shù)的關系得到加+〃=0,s+f=0,從而得到"?=-小s

=-/,即可得到例$=/“，進而求得當＜=1.

nt

【解答】解：(1)?.?方程x2+1x+a=0的根為用=2,12=3,

**?-力=2+3=5,〃=2X3=6,

???方程②為6/-5x+l=0,

(3x-l)(2x-1)=0,

...方程②的根為X|=2，A2=l;

32

(2)?.?方程①有一根為x=r,

.??，+5什〃=0,

兩邊同除J得工_+上+1=0,

2

rr1

.?.工是方程以2+法+1=0的根，

r

.?.X=J1是方程②的根；

r

（3）?:Gb+b=3

：.h=Of

,/方程①的根是根與〃，方程②的根是s和，，

???機+〃=0,mn=a,s+/=0,st=—,

a

/.a=-^-=mn9m=-n,s=-l,

st

:.ms=nt,

??*ms一—"'ii?

nt

【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，XI,X2是一元二次方程以2+云+c=0

（aWO）的兩根時，X]+X2—~—>XIX2—-.

aa

23.（2021春?蕭山區(qū)期中）如圖，在四邊形A8CZ）中，AD//BC,NB=90°,AD=16cm,

AB^\2cm,BC^2lcm,動點P從點B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2c〃?的速度運動

到C點返回，動點。從點A出發(fā)，在線段AO上以每秒lew的速度向點。運動，點P,

。分別從點B,A同時出發(fā)，當點。運動到點。時，點P隨之停止運動，設運動的時間

為f（秒）.

（1）當，為何值時，四邊形PQCC是平行四邊形；

（2）當1為何值時，以C,D,Q,P為頂點的四邊形面積等于60a7?

（3）當0</<10.5時?，是否存在點P,使△P。。是等腰三角形？若存在，請直接寫出所

有滿足要求的r的值；若不存在，請說明理由.

【考點】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題；多邊形與平行四邊形；推理能力.

【分析】（1）由題意已知，AD//BC,要使四邊形PQOC是平行四邊形，則只需要讓

=PC即可，利用時間=路程+速度，即可求出時間；

(2)要使以C、D、Q、P為頂點的梯形面積等于60a"2,可以分為兩種情況，點P、Q

分別沿A。、8c運動或點P返回時，再利用梯形面積公式，即(QO+PC)X4B+2=60,

因為。、P點的速度已知，AD.AB、8C的長度已知，用f可分別表示?！?gt;、BC的長，

即可求得時間h

(3)當0<r<10.5時，點P向點C運動，使△PQO是等腰三角形，可分三種情況，即

PQ=PD、PQ=QD,QD=PD；可利用等腰三角形及直角梯形的性質(zhì)，分別用f表達等

腰三角形的兩腰長，再利用兩腰相等即可求得時間/.

【解答】解：(1)?.?四邊形PQOC是平行四邊形，

：.DQ=CP,

當戶從8運動到C時，

"：DQ=AD-t,

CP=2]-It,

：.16-Z=21-2t,

解得：f=5,

當P從C運動到B時，

"：DQ=AD-AQ=]6-t,

CP=2t-2l,

A16-t=2f-21,

解得：r=37,

3

/.當t=5或好秒時，四邊形PQDC是平行四邊形；

3

(2)若點尸、。分別沿40、8c運動時,

-1CDQ+CP)*AB=f)0,

2

即工(16-r+21-2r)X12=60,

2

解得：f=9(秒)，

若點P返回時，CP=2t-2,

則［(I6-f+2f-21))X12=60,

2

解得：1=15(秒).

故當/=9或15秒時，以C,/),Q,尸為頂點的梯形面積等6052；

(3)當PQ=P。時，作于H,貝I」“Q=HO,

(2)

'：QH=HD=1QD=1.(16-r),

22

"：AH=BP,

.,⑵="1(16-/)+t,

2

秒；

3

當PQ=Q。時，?！?月AQ=2f-f=f,QD=\6-t,

V2D2=PC2=?+122,

(167)2=122+尸，

解得r=Z(秒)；

2

當QO=PO時，DH=AD-AH=AD-BP^16-2t,

"：QD1=PD2=PH2+HD2=\^+(16-2r)2,

(16-f)2=122+(16-2/)2,

即3尸-32f+144=0,

△<0,

二方程無實根，

綜上可知，當秒或工秒時，△PQ。是等腰三角形.

32

【點評】本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、梯形的面積、等腰三角

形的性質(zhì)，特別應該注意要全面考慮各種情況，不要遺漏.

考點卡片

1.平方差公式

(1)平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差.

Ca+b)(?-b)=a2-b2,

(2)應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：

①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；

②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；

③公式中的a和方可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式；

④對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多

項式法則簡便.

2.二次根式的混合運算

(1)二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用.學習二次

根式的混合運算應注意以下幾點：

①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的.

②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式”，多個不同類的二次根式的和可以看作“多

項式“?

(2)二次根式的運算結果要化為最簡二次根式.

(3)在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當

的解題途徑，往往能事半功倍.

3.方程的定義

(1)方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫方程.

方程是含有未知數(shù)的等式，在這一概念中要抓住方程定義的兩個要點①等式;②含有未知數(shù).

(2)列方程的步驟：

①設出字母所表示的未知數(shù)；

②找出問題中的相等關系；

③列出含有未知數(shù)的等式------方程.

4.一元二次方程的定義

(1)一元二次方程的定義：

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

（2）概念解析：

一元二次方程必須同時滿足三個條件：

①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”;

“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0"；“整式方程”.

5.解一元二次方程-配方法

（1）將一元二次方程配成（x+m）2=〃的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二

次方程的方法叫配方法.

（2）用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為4/+法+。=0（“W0）的形式；

②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1,并把常數(shù)項移到方程右邊；

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù),

則判定此方程無實數(shù)解.

6.解一元二次方程-公式法

（1）把x=.b±1b-4ac,（*_而?！?。）叫做一元二次方程蘇+少計'=。（a#0）的求根

2a

公式.

（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式，進而確定小6,c的值（注意符號）；

②求出信-4"的值（若層-4ac<0,方程無實數(shù)根）；

③在廿-4ac）0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a二0;②廿-4“c20.

7.解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形

式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學轉化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式

分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

8.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△=廬-4")判斷方程的根的情況.

—元二次方程a/+〃x+c=0(aWO)的根與△=&?-4"c有如下關系：

①當時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當△<()時，方程無實數(shù)根.

上面的結論反過來也成立.

9.根與系數(shù)的關系

<1)若二次項系數(shù)為1，常用以下關系：XI，X2是方程/+px+q=O的兩根時，Xl+X2=-p>

x\X2=q,反過來可得p=-(X]+X2),q=x\X2,前者是已知系數(shù)確定根的相關問題，后者是

已知兩根確定方程中未知系數(shù).

(2)若二次項系數(shù)不為1,則常用以下關系：打，也是一元二次方程〃/+及+0=0(.#0)

的兩根時，Xl+X2=力，X1X2=—,反過來也成立，即也?=-(X1+X2)，—=XiX2.

aaaa

(3)常用根與系數(shù)的關系解決以下問題：

①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根.②已知方程及方程的一個根，求另

一個根及未知數(shù).③不解方程求關于根的式子的值，如求，XI2+%22等等.④判斷兩根的符

號.⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類問題比較綜合，解

題時除了利用根與系數(shù)的關系，同時還要考慮aWO,△》()這兩個前提條件.

10.由實際問題抽象出一元二次方程

在解決實際問題時，要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關系，找

出并全面表示問題的相等關系，設出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關系，

即列出一元二次方程.

11.一元一次不等式的應用

（1）由實際問題中的不等關系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學模型，通過解不等式可以

得到實際問題的答案.

（2）列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中

的不等關系.因此，建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵.

（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：

①弄清題中數(shù)量關系，用字母表示未知數(shù).

②根據(jù)題中的不等關系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④寫出符合題意的解.

12.垂線段最短

（1）垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段.

（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短.

正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線