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文檔簡介

2021-2022學年下學期杭州初中數(shù)學八年級期中典型試卷1

一.選擇題(共10小題)

1.(2020秋?新化縣期末)下列方程中,是一元二次方程的是()

A.ax2+bx+c=0B.^+—=1C.x2-1=0D.2x+3y-5=0

x

2.(2021?岳陽二模)下列醫(yī)護圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()

B.??

3.(2021春?蕭山區(qū)期中)下列圖形中,是中心對稱圖形的是(

A.等腰三角形B.平行四邊形C.等邊三角形

4.(2021春?蕭山區(qū)期中)解方程x2-&x=0,較簡便的解法是()

A.直接開平方法B.配方法

C.公式法D.因式分解法

5.(2020春?溫州期末)用反證法證明"在同一平面內(nèi),若aLc,h_Lc,則a//bn時,應

假設()

A.a//cB.b//cC.a//c,b//cD.“與b相交

6.(2019春?蕭山區(qū)期中)為了應對期末考試,老師布置了15道選擇題作業(yè),批閱后得到

如下統(tǒng)計表,根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知,由45名學生答對題數(shù)組成的樣本的中位數(shù)是()

答對題數(shù)(道)12131415

人數(shù)41816

A.13B.14C.13.5D.13或14

7.(2021秋?建安區(qū)期中)某配件廠一月份生產(chǎn)配件60萬個,已知第一季度共生產(chǎn)配件218

萬個,若設該廠平均每月生產(chǎn)配件的增長率為x,可以列出方程為()

A.60(1+x)2=218B.60(l+3x)=218

C.60[1+(1+x)+(1+x)2]=218D.218(1-%)2=60

8.(2020秋?紅谷灘區(qū)校級期末)若一元二次方程x(日+1)-/+3=0無實數(shù)根,則人的最

小整數(shù)值是()

A.2B.1C.0D.-1

9.(2021春?拱塞區(qū)期中)如圖,在△ABC中,ZBAC=90°,AB=3,AC=4,P為邊BC

上一動點,于E,P/UAC于凡則E尸的最小值為()

A.1.2B.1.25C.2.4D.2.5

10.(2021春?拱墅區(qū)期中)如圖,在平行四邊形A8CO中,E、尸為邊AO上兩點,且A8

=BE=AE,CB=CF,若嶇=2,空=q,則()

BC3AB

FED

A.2q2+4q-1=0B.q2+4q-2=0C.2d+4g+l=0D.q2+4q+2=0

填空題(共6小題)

11.(2021春?富平縣期末)若多邊形的每一個外角都等于60°,則該多邊形的邊數(shù)

是.

12.(2021春?拱墅區(qū)校級期中)設制,初是一元二次方程--7x-5=0的兩個實數(shù)根,則

X\+X2的值為.

13.(2021秋?達川區(qū)期末)如圖,有一塊長21〃?,寬10機的矩形空地,計劃在這塊空地上

修建兩塊相同的矩形綠地,兩塊綠地之間及周邊留有寬度相同的人行通道,兩塊綠地的

面積和為90,#.設人行通道的寬度為xm,根據(jù)題意可列方程:.

14.(2021春?蕭山區(qū)期中)小方的數(shù)學平時成績?yōu)?4分,期中成績?yōu)?0分,學校按平時、

期中、期末成績之比為3:3:4的比例計算學期的總評成績,他計劃總評成績要達到85

分,則期末考試他至少要得到分.

15.(2017秋?雁塔區(qū)期末)如圖,已知點E,尸分別是。43CD的邊8C,AO上的中點,且

/BAC=90°,若/8=30°,BC=10,則四邊形AECF的面積為.

16.(2021?永嘉縣校級模擬)如圖,在二488中,AD=4>/2-E,尸分別為CD,AB上的

動點,DE=BF,分別以AE,C尸為對稱軸翻折△AOE,△BC凡點。,B的對稱點分別

為G,H.若E、G、H、產(chǎn)恰好在同一直線上,NGA尸=45°,且G,=5.5,則AB的長

三.解答題(共7小題)

17.(2021春?余杭區(qū)期中)計算:

(1)2720-遙+3遙;

(2)(遙-?)2+(遍+遍)(旄-?).

18.(2018秋?武進區(qū)校級期末)解方程:

(1)x2-4x=12

(2)?-3x+l=0

19.(2021秋?呼和浩特期末)解方程:

(1)W+2x-2=0;

(2)(x-2)2=(2x-l)(x-2).

20.(2021春?拱墅區(qū)期中)如圖,在aABC中,過點C作C£)〃A8,E是4c的中點,連

接。E并延長,交邊A8于點凡連接AQ,CF.

(1)求證:四邊形AFC7)是平行四邊形;

(2)若4尸=2BF,四邊形AFC£>的面積為Si,四邊形FBCE的面積為S2,求Si:52.

21.(2020?杭州模擬)如圖,在△ABC中,過點C作CD〃A8,E是AC的中點,連接OE

并延長,交AB于點F,連接AO,CF.

(1)求證:四邊形AFCZ)是平行四邊形;

(2)若AB=6,ZBAC=60°,/Z)C8=135°,求4c的長.

B

22.(2021春?拱墅區(qū)校級期中)已知方程7+云+.=0①,和方程0?+公+1=0②(aWO).

(1)若方程①的根為內(nèi)=2,X2=3,求方程②的根;

(2)當方程①有一根為x=r時,求證x=上是方程②的根;

r

(3)若。2〃+b=0,方程①的根是根與小方程②的根是s和3求三巨的值.

nt

23.(2021春?蕭山區(qū)期中)如圖,在四邊形ABCO中,AD//BC,/B=9O°,AD^\6cm,

AB^Ucm,BC=2\cm,動點P從點8出發(fā),沿射線8C的方向以每秒2cm的速度運動

到C點返回,動點。從點4出發(fā),在線段A。上以每秒1cm的速度向點。運動,點P,

Q分別從點8,A同時出發(fā),當點。運動到點。時,點P隨之停止運動,設運動的時間

為t(秒).

(1)當f為何值時,四邊形PQOC是平行四邊形;

(2)當,為何值時,以C,D,Q,P為頂點的四邊形面積等于60CT7??

(3)當0<,<10.5時,是否存在點P,使△PQ。是等腰三角形?若存在,請直接寫出所

有滿足要求的f的值;若不存在,請說明理由.

D

BCE

2021-2022學年下學期杭州初中數(shù)學八年級期中典型試卷1

參考答案與試題解析

選擇題(共10小題)

1.(2020秋?新化縣期末)下列方程中,是一元二次方程的是()

A.ax2+bx+c=0B./+L=1C.x2-1=0D.2x+3y-5=0

x

【考點】一元二次方程的定義.

【專題】一元二次方程及應用;符號意識.

【分析】利用一元二次方程定義進行解答即可.

【解答】解:A、當。=0時,該方程不是一元二次方程,故此選項不符合題意;

8、它是分式方程,故此選項不符合題意:

C、該方程符合一元二次方程的定義,故此選項符合題意;

。、含有兩個未知數(shù),不是一元二次方程,故此選項不符合題意.

故選:C.

【點評】此題主要考查了一元二次方程定義,關鍵是掌握判斷一個方程是否是一元二次

方程應注意抓住5個方面:“化簡后”;“一個未知數(shù)”;“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”;“二次

項的系數(shù)不等于0":“整式方程”.

2.(2021?岳陽二模)下列醫(yī)護圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()

【考點】中心對稱圖形;軸對稱圖形.

【專題】平移、旋轉與對稱;幾何直觀.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解:A、既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,故此選項符合題意;

3、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故此選項不合題意:

C、不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形,故此選項不合題意;

。、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故此選項不合題意.

故選:A.

【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念:軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱

軸,圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合;中心對稱圖形是要尋找對稱中心,旋轉180度

后與原圖重合.

3.(2021春?蕭山區(qū)期中)下列圖形中,是中心對稱圖形的是()

A.等腰三角形B.平行四邊形C.等邊三角形D.直角三角形

【考點】中心對稱圖形.

【專題】平移、旋轉與對稱;幾何直觀.

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【解答】解:A、不是中心對稱圖形,故本選項不合題意;

8、是中心對稱圖形,故本選項符合題意;

C、不是中心對稱圖形,故本選項不合題意;

。、不是中心對稱圖形,故本選項不合題意;

故選:B.

【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念,中心對稱圖形是要尋找對稱中心,旋轉180

度后與原圖重合.

4.(2021春?蕭山區(qū)期中)解方程x2_&x=0,較簡便的解法是()

A.直接開平方法B.配方法

C.公式法D.因式分解法

【考點】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】根據(jù)方程的特點得出即可.

【解答】解:解方程乂2_&*=豚簡便的解法是因式分解法,

故選:D.

【點評】本題考查了解一元二次方程的應用,能選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯?/p>

題的關鍵.

5.(2020春?溫州期末)用反證法證明“在同一平面內(nèi),若aLc,h_Lc,則a//b"時,應

假設()

A.a//cB.b//cC.a//c,b//cD.a與6相交

【考點】反證法;平行公理及推論;平行線的判定與性質(zhì).

【專題】反證法;線段、角、相交線與平行線;推理能力.

【分析】反證法的步驟中,第一步是假設結論不成立,反面成立,可據(jù)此進行判斷.

【解答】解:反證法證明“在同一平面內(nèi),若a,c,b±c,則時,應假設。與匕

不平行,即“與6相交,

故選:D.

【點評】本題考查的是反證法、兩直線的位置關系,解此題關鍵要懂得反證法的意義及

步驟,在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況,如果只有一種,那

么否定一種就可以了,如果有多種情況,則必須一一否定.

6.(2019春?蕭山區(qū)期中)為了應對期末考試,老師布置了15道選擇題作業(yè),批閱后得到

如下統(tǒng)計表,根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知,由45名學生答對題數(shù)組成的樣本的中位數(shù)是()

答對題數(shù)(道)12131415

人數(shù)41816

A.13B.14C.13.5D.13或14

【考點】中位數(shù).

【專題】統(tǒng)計與概率;數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】根據(jù)題意可知,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第23名同學的成績,再根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),

即可得到這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

【解答】解:???45名學生答題,

.?.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第23名同學的成績,

,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是14,

故選:B.

【點評】本題考查中位數(shù),解答本題的關鍵是明確中位數(shù)的含義,求出題目中數(shù)據(jù)的中

位數(shù).

7.(2021秋?建安區(qū)期中)某配件廠一月份生產(chǎn)配件60萬個,已知第一季度共生產(chǎn)配件218

萬個,若設該廠平均每月生產(chǎn)配件的增長率為x,可以列出方程為()

A.60(1+x)2=218B.60(l+3x)=218

C.60[1+(1+x)+(1+x)2]=218D.218(1-%)2=60

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【專題】一元二次方程及應用;應用意識.

【分析】等量關系為:一月份生產(chǎn)的零件個數(shù)+二月份生產(chǎn)的零件個數(shù)+三月份生產(chǎn)的零

件個數(shù)=218萬個.

【解答】解:易得二月份生產(chǎn)的零件個數(shù)是在一月份的基礎上增加的,所以為60(l+x),

同理可得三月份生產(chǎn)的零件個數(shù)為60(1+x)(1+x),

那么60+60X(1+x)+60(1+x)2=218.

即:6011+(1+x)+(1+x)2]=218,

故選:C.

【點評】考查了由實際問題抽象出一元二次方程的知識,找到合適的等量關系是解決問

題的關鍵,注意3月份生產(chǎn)的零件個數(shù)是在2月份的基礎上增加的.

8.(2020秋?紅谷灘區(qū)校級期末)若一元二次方程x(日+1)-/+3=0無實數(shù)根,則%的最

小整數(shù)值是()

A.2B.1C.0D.-1

【考點】根的判別式;一元二次方程的定義.

【專題】判別式法;運算能力.

【分析】由根的判別式與方程根的情況,可得A<0,從而求出上的取值范圍,再確定大

的最小整數(shù).要保證二次項系數(shù)不為0.

【解答】解:一元二次方程x(Ax+1)-/+3=0,即(k-I)/+x+3=0無實數(shù)根,

A=/>2-4ac=1-4X(jt-1)X3<0且及-1力0,

解得%>工!.

12

k展小整數(shù)=2?

故選:A.

【點評】本題考查了由根的判別式確定根的情況:A>0,有兩個不等實根;△=(),有

兩個相等實根;AV0,無實根.

9.(2021春?拱墅區(qū)期中)如圖,在△4BC中,/BAC=90°,AB=3,AC=4,P為邊BC

上一動點,PELAB于E,PFLAC于凡則EF的最小值為()

A.1.2B.1.25C.2.4D.2.5

【考點】矩形的判定與性質(zhì);軸對稱的性質(zhì);垂線段最短.

【專題】等腰三角形與直角三角形;矩形菱形正方形;推理能力.

【分析】先證四邊形AEP尸是矩形,得EF=AP,要使EF最小,只要AP最小即可,再

根據(jù)垂線段最短和三角形面積求出AP即可.

【解答】解:連接AP,如圖:

":PELAB,PFLAC,

:.ZAEP=ZAFP=90Q,

':ZBAC=90°,

四邊形AFPE是矩形,

:.EF=AP,

要使EF最小,只要AP最小即可,

當APLBC時,AP最短,

;/BAC=90°,AB=3,AC=4,

BC=VAB2+AC2=V32+42=5,

/XABC的面積=^X4X3=JLX5><AP,

22

;.AP=2.4,

即E尸=2.4,

故選:C.

【點評】本題利用了矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識,

熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解此題的關鍵.

10.(2021春?拱墅區(qū)期中)如圖,在平行四邊形ABC。中,E、F為邊AO上兩點,且A8

=BE=AE,CB=CF,若地=2,空=q,貝ij()

BC3AB

A.2『+44-1=0B.-2=0C.2q2+4q+l=0D.q2+4q+2=0

【考點】平行四邊形的性質(zhì);等邊三角形的判定與性質(zhì).

【專題】三角形;運算能力.

【分析】設A8=2a,WJBE=AE=2a,CF=BC=3a,DE=a,EF=2aq,且△ABE是等

邊三角形,NA=60°,過點C作CG_LA£>交AO的延長線于點G,DG=a,CG=J§a,

最后在Rt^CFG中,利用勾股定理建立等式,可得結論.

【解答】解:如圖,過點C作CGL4O交4。的延長線于點G,

BC3

設AB=2a,則BC=3a,

:.AB=BE=AE=2a,CF=BC=3a,

.?.△ABE是等邊三角形,

;./4=60°,

:四邊形ABCD是平行四邊形,

:.AB//CD,AB=CD=2a,AD=BC=3a,

:.ZCDG=60Q,DE=a,

..EFj

AB

:.EF=2aq,

在RtZ\CDG中,ZG=90°,

**?DG=ciiCG=^^a,

**?FG—2aq+a+a—2a(g+1),

在RtZ\CTG中,由勾股定理可得,

CF2=FG2+CG2,即(3。)2=(?。?+[2。(q+1)]2,

整理可得,2才+4q-1=0.

故選:A.

【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)與判定,勾股定理等內(nèi)容,

根據(jù)特殊角作出正確輔助線是解題關鍵.

二.填空題(共6小題)

11.(2021春?富平縣期末)若多邊形的每一個外角都等于60°,則該多邊形的邊數(shù)是6

【考點】多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】多邊形與平行四邊形;運算能力.

【分析】由一個多邊形的每一個外角都等于60。,且多邊形的外角和等于360°,即可

求得這個多邊形的邊數(shù).

【解答】解:???一個多邊形的每一個外角都等于60。,且多邊形的外角和等于360°,

...這個多邊形的邊數(shù)是:360+60=6,

故答案是:6.

【點評】此題考查了多邊形的外角和定理.此題比較簡單,注意掌握多邊形的外角和等

于360°是關鍵.

12.(2021春?拱墅區(qū)校級期中)設xi,刈是一元二次方程7-7x-5=0的兩個實數(shù)根,則

x\+x2的值為7.

【考點】根與系數(shù)的關系.

【專題】一元二次方程及應用;運算能力.

【分析】由根與系數(shù)的關系可求出制+我的值.

【解答】解::xi,X2是一元二次方程7-7x-5=0的兩個實數(shù)根,

**.Xl+X2=7,

故答案為:7.

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系:若xi,*2是一元二次方程62+云+C=0QW0)的

兩根時,X]+X2--—?X\X2—--

aa

13.(2021秋?達川區(qū)期末)如圖,有一塊長21m,寬10根的矩形空地,計劃在這塊空地上

修建兩塊相同的矩形綠地,兩塊綠地之間及周邊留有寬度相同的人行通道,兩塊綠地的

面積和為90〃?2.設人行通道的寬度為m7,根據(jù)題意可列方程:(21-3x)(10-2x)

=90.

oo

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【專題】一元二次方程及應用;應用意識.

【分析】設人行通道的寬度為xm,則兩塊綠地可合成長(21-3x)m,寬(10-2x)m

的矩形,根據(jù)兩塊綠地的面積和為90層,即可得出關于x的一元二次方程,此題得解.

【解答】解:設人行通道的寬度為9,則兩塊綠地可合成長(21-3x)m,寬(10-2x)

m的矩形,

依題意得:(21-3x)(10-2x)=90.

故答案為:(21-3x)(10-2x)=90.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程,找準等量關系,正確列出一元二

次方程是解題的關鍵.

14.(2021春?蕭山區(qū)期中)小方的數(shù)學平時成績?yōu)?4分,期中成績?yōu)?0分,學校按平時、

期中、期末成績之比為3:3:4的比例計算學期的總評成績,他計劃總評成績要達到85

分,則期末考試他至少要得到89.5分.

【考點】一元一次不等式的應用.

【專題】一元一次不等式(組)及應用;運算能力.

【分析】可設期末考試他要得到x分,根據(jù)計劃總評成績要達到85分,列出不等式求解

即可..

【解答】解:設期末考試他要得到x分,依題意有

84X£+80X工85,

101010

解得x289.5.

故期末考試他至少要得到89.5分.

故答案為:89.5.

【點評】考查了一元一次不等式的應用,加權平均數(shù)的求法,解決問題的關鍵是讀懂題

意,找到關鍵描述語,找到所求的量的不等關系.

15.(2017秋?雁塔區(qū)期末)如圖,已知點E,F分別是nABCD的邊BC,AO上的中點,且

NBAC=90°,若/B=30°,8c=10,則四邊形AECF的面積為—絲返一

【考點】平行四邊形的性質(zhì).

【專題】常規(guī)題型;矩形菱形正方形.

【分析】由條件可先證得四邊形AEC尸為菱形,連接E尸交4C于點0,解直角三角形求

出AC、AB,由三角形中位線定理求出0E,得出EF,菱形AEC尸的面積=工。^/7,即

2

可得出結果.

【解答】解:

?;四邊形ABCD是平行四邊形,

:.AD=BC,

在RtzXABC中,ZBAC=90°,點E是BC邊的中點,

:.AE=^LBC=CE,

2

同理,AF=1AD=CF,

2

:.AE=CE=AF^CF,

二四邊形AEC尸是菱形,

連接E尸交AC于點0,如圖所示:

在RtZXABC中,ZBAC=90°,ZB=30°,BC=10,

,AC=」8c=5,A8=V§4C=5?,

2

?.?四邊形AECF是菱形,

J.ACLEF,0A=0C,

...0E是△ABC的中位線,

:.OE=1AB=^^,

22

:.EF=543,

/.S差形AECF=UC?EF=LX5X

222

故答案為:空叵.

2

【點評】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì),證得四邊形AEC尸為菱形是解題的關鍵.

16.(2021?永嘉縣校級模擬)如圖,在DABCZ)中,4。=幼,E,尸分別為CD,43上的

動點,DE=BF,分別以4E,CF為對稱軸翻折△AOE,△2CF,點。,8的對稱點分別

為G,H.若E、G、H、尸恰好在同一直線上,ZGAF=45°,且G〃=5.5,則AB的長

是14.5.

【考點】翻折變換(折疊問題);全等三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì);軸對稱

的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形;多邊形與平行四邊形;平移、旋轉與對稱;運算能

力;推理能力.

【分析】過G點作于點設。由勾股定理求得AM與GM,再證

明用x表示AF,FG,FM,由勾股定理列出x的方程,求得x的值,便可求

得AB.

【解答】解:過G點作GMLAF于點M,

由折疊知AG=AD=442,

':ZGAF=45°,

:.ZAGM=45°,

,AM=GM=喙AG=4,

?:DE=BF,

???設。則由折疊性質(zhì)知,EG=DE=BF=FH=x,

???G”=5.5,

AEF=2x+5.5,

???四邊形A3。是平行四邊形,

J.DC//AB,

:./AED=NBAE,

*.?ZAED=ZAEG,

:.ZFAE=ZFEAf

:.AF=EF=2x+5.5,

???AB=Ab+B/=3x+5.5,MF=AF-AM=2x^.5,

由勾股定理得,F(xiàn)G1-FM2=MG2,

即(x+5.5)2-(2x+1.5)2=42,

解得,x=3,或(舍),

3

.?.AB=3x+5.5=14.5,

故答案為:14.5.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),勾股定理,折疊

的性質(zhì),關鍵在于構造直角三角形,運用勾股定理列出方程,運用方程的思想解決幾何

問題.

三.解答題(共7小題)

17.(2021春?余杭區(qū)期中)計算:

(1)2720-旄+3遙;

⑵(加-后2+(旄+遍)(遙-?).

【考點】二次根式的混合運算;平方差公式.

【專題】二次根式;運算能力.

【分析】(1)先把二次根式化為最簡二次根式,然后合并即可;

(2)利用完全平方公式和平方差公式計算.

【解答】解:⑴原式=4泥-旄+3旄

=6加;

(2)原式=5-2715+3+5-3

=10-2^/75.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算:先把二次根式化為最簡二次根式,然后合并

同類二次根式即可.在二次根式的混合運算中,如能結合題目特點,靈活運用二次根式

的性質(zhì),選擇恰當?shù)慕忸}途徑,往往能事半功倍.

18.(2018秋?武進區(qū)校級期末)解方程:

(1)x2-4x=12

(2)7-3x+l=0

【考點】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-公式法.

【專題】一元二次方程及應用;運算能力.

【分析】(1)利用因式分解法求解可得;

(2)利用公式法求解即可得.

【解答】解:(1)/-4x=12

7-4x-12=0

分解因式得:G-6)(x+2)=0,

可得x-6=0或x+2=0,

解得:xi=6,X2—-2.

(2)3x+l=0,

"."a=1,b=-3,c=1,A=Z>2-4ac=9-4=5>0,

.3±V5

.?人y=,

2_

.1=3jV5n=3/

??,A-2-,?

22

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力,根據(jù)不同的方程選擇合適的方法是解題

的關鍵.

19.(2021秋?呼和浩特期末)解方程:

(1)/+2x-2=0;

(2)(JC-2)2=⑵-1)(%-2).

【考點】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.

【專題】計算題;一元二次方程及應用;運算能力.

【分析】(1)利用配方法求解即可;

(2)利用因式分解法求解即可.

【解答】解:(1)':x^+2x-2=0,

,/+2%=2,

則f+Zr+BZ+l,即(x+1)2=3,

?""xi=-1+,\/3-X2=-1-5/3:

(2)(x-2)2=(2x-1)(x-2),

(x-2)2-(2x-1)(x-2)=0,

(x-2)(-x-1)=0,

則x-2=0或-x-1=0,

解得xi=2,X2=-1.

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力,熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法:直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法,結合方程的特點選擇合適、簡便的

方法是解題的關鍵.

20.(2021春?拱墅區(qū)期中)如圖,在△ABC中,過點C作C£)〃AB,E是AC的中點,連

接并延長,交邊AB于點F,連接AD,CF.

(1)求證:四邊形AFCD是平行四邊形;

(2)若AF=2BF,四邊形AFC£>的面積為Si,四邊形尸8CE的面積為S2,求Si:S2.

【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形;運算能力.

【分析】(1)由題意可證明△4£:/絲△CEQ(ASA),可得AF=CZ),進而可得四邊形AFCC

是平行四邊形;

(2)設則AF=2a,過點C作CGLA8于點G,設CG=〃,可得SI=2S^CF=

2ah,S2=S/\DCF+SABCE=—ah,進而可求出Si:S2的值.

2

【解答】(1)證明:如圖,

':CD//AB,

:.ZFAC=ZDCA,

?.?點E是AC的中點

:.AE=CE,

又;NAEF=NCED,

:./XAEF^^CED(ASA),

:.AF=CD,

又,:CD,

四邊形AF8是平行四邊形;

(2)解:設貝ijAF=2BF=2a,

如圖,過點C作CG_LA8于點G,

設CG=h,

:.S^ACF^—'AF'CG^^2a-h=ah,

22

SABCF——,BF*CG——,a,h=Lh,

222

??Si=2sAACF=2ah,

SA£CF=-^SI=Loh,

42

S2=SAECF+SABCF=ah,

**?S1:S2=2,cih:ah=2.

【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定,三角形的面積等問題,出現(xiàn)有關面積

的問題,需要作出高是常見解題方法.

21.(2020?杭州模擬)如圖,在AA8c中,過點C作CD〃A8,E是AC的中點,連接。E

并延長,交AB于點F,連接A。,CF.

(1)求證:四邊形AFCO是平行四邊形;

(2)若AB=6,ZBAC=60°,ZDCB=135°,求AC的長.

【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì);勾股定理.

【專題】圖形的全等;等腰三角形與直角三角形:多邊形與平行四邊形;推理能力.

【分析】(1)先證AAE尸絲△(;£:£>(44S),得AF=CD,再由C£)〃A8,即A尸〃CC,即

可得出結論;

(2)過C作CM_LAB于M,先證ABCM是等腰直角三角形,得BM=CM,再由含30°

角的直角三角形的性質(zhì)得4c=2AM,BM=CM=4?AM,由AM+BM=AB求出AM=3?

-3,即可求解.

【解答】(1)證明:???E是AC的中點,

:.AE=CE,

,JCD//AB,

:.NAFE=ZCDE,

在和△(7/£)中,

,ZAFE=ZCDE

-NAEF=/CED,

AE=CE

/XAEF^^CED(A4S),

:.AF=CD,

又‘:CD"AB,BPAF//CD,

:.四邊形AFCD是平行四邊形;

(2)解:過C作CM_LA8于M,如圖所示:

則/CMB=/CM4=90°,

':CD//AB,

:.ZB+ZDCB=\S00,

/.ZB=180°-135°=45°,

...△8CM是等腰直角三角形,

\"ZBAC=60°,

:.ZACM=30°,

:.AC=2AM,BM=CM=y/'^\M,

':AM+BM=AB,

:.AM+y/3AM=6,

解得:4M=3相-3,

:.AC=2AM=6-/3-6.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的

判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識;熟練掌握平行四邊形的判定和全等

三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

22.(2021春?拱墅區(qū)校級期中)已知方程/+云+.=0①,和方程以2+法+1=0②(a#0).

(1)若方程①的根為加=2,刈=3,求方程②的根;

(2)當方程①有一根為x=r時,求證x=上是方程②的根;

r

(3)若“2〃+b=0,方程①的根是根與〃,方程②的根是s和3求吧的值.

nt

【考點】根與系數(shù)的關系;方程的定義.

【專題】一元二次方程及應用;運算能力.

【分析】(1)根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求得小b的值,即可得到方程②,然后利用因式

分解法解方程②即可;

(2)根據(jù)方程根的定義得到,+bU=0,兩邊同除/得?!霭?1=0,即可證得》=工是

方程②的根;

(3)根據(jù)題意b=0,根據(jù)根與系數(shù)的關系得到加+〃=0,s+f=0,從而得到"?=-小s

=-/,即可得到例$=/“,進而求得當<=1.

nt

【解答】解:(1)?.?方程x2+1x+a=0的根為用=2,12=3,

**?-力=2+3=5,〃=2X3=6,

???方程②為6/-5x+l=0,

(3x-l)(2x-1)=0,

...方程②的根為X|=2,A2=l;

32

(2)?.?方程①有一根為x=r,

.??,+5什〃=0,

兩邊同除J得工_+上+1=0,

2

rr1

.?.工是方程以2+法+1=0的根,

r

.?.X=J1是方程②的根;

r

(3)?:Gb+b=3

:.h=Of

,/方程①的根是根與〃,方程②的根是s和,,

???機+〃=0,mn=a,s+/=0,st=—,

a

/.a=-^-=mn9m=-n,s=-l,

st

:.ms=nt,

??*ms一—"'ii?

nt

【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系,XI,X2是一元二次方程以2+云+c=0

(aWO)的兩根時,X]+X2—~—>XIX2—-.

aa

23.(2021春?蕭山區(qū)期中)如圖,在四邊形A8CZ)中,AD//BC,NB=90°,AD=16cm,

AB^\2cm,BC^2lcm,動點P從點B出發(fā),沿射線BC的方向以每秒2c〃?的速度運動

到C點返回,動點。從點A出發(fā),在線段AO上以每秒lew的速度向點。運動,點P,

。分別從點B,A同時出發(fā),當點。運動到點。時,點P隨之停止運動,設運動的時間

為f(秒).

(1)當,為何值時,四邊形PQCC是平行四邊形;

(2)當1為何值時,以C,D,Q,P為頂點的四邊形面積等于60a7?

(3)當0</<10.5時?,是否存在點P,使△P。。是等腰三角形?若存在,請直接寫出所

有滿足要求的r的值;若不存在,請說明理由.

【考點】四邊形綜合題.

【專題】幾何綜合題;多邊形與平行四邊形;推理能力.

【分析】(1)由題意已知,AD//BC,要使四邊形PQOC是平行四邊形,則只需要讓

=PC即可,利用時間=路程+速度,即可求出時間;

(2)要使以C、D、Q、P為頂點的梯形面積等于60a"2,可以分為兩種情況,點P、Q

分別沿A。、8c運動或點P返回時,再利用梯形面積公式,即(QO+PC)X4B+2=60,

因為。、P點的速度已知,AD.AB、8C的長度已知,用f可分別表示?!?gt;、BC的長,

即可求得時間h

(3)當0<r<10.5時,點P向點C運動,使△PQO是等腰三角形,可分三種情況,即

PQ=PD、PQ=QD,QD=PD;可利用等腰三角形及直角梯形的性質(zhì),分別用f表達等

腰三角形的兩腰長,再利用兩腰相等即可求得時間/.

【解答】解:(1)?.?四邊形PQOC是平行四邊形,

:.DQ=CP,

當戶從8運動到C時,

":DQ=AD-t,

CP=2]-It,

:.16-Z=21-2t,

解得:f=5,

當P從C運動到B時,

":DQ=AD-AQ=]6-t,

CP=2t-2l,

A16-t=2f-21,

解得:r=37,

3

/.當t=5或好秒時,四邊形PQDC是平行四邊形;

3

(2)若點尸、。分別沿40、8c運動時,

-1CDQ+CP)*AB=f)0,

2

即工(16-r+21-2r)X12=60,

2

解得:f=9(秒),

若點P返回時,CP=2t-2,

則[(I6-f+2f-21))X12=60,

2

解得:1=15(秒).

故當/=9或15秒時,以C,/),Q,尸為頂點的梯形面積等6052;

(3)當PQ=P。時,作于H,貝I」“Q=HO,

(2)

':QH=HD=1QD=1.(16-r),

22

":AH=BP,

.,⑵="1(16-/)+t,

2

秒;

3

當PQ=Q。時,?!?月AQ=2f-f=f,QD=\6-t,

V2D2=PC2=?+122,

(167)2=122+尸,

解得r=Z(秒);

2

當QO=PO時,DH=AD-AH=AD-BP^16-2t,

":QD1=PD2=PH2+HD2=\^+(16-2r)2,

(16-f)2=122+(16-2/)2,

即3尸-32f+144=0,

△<0,

二方程無實根,

綜上可知,當秒或工秒時,△PQ。是等腰三角形.

32

【點評】本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、梯形的面積、等腰三角

形的性質(zhì),特別應該注意要全面考慮各種情況,不要遺漏.

考點卡片

1.平方差公式

(1)平方差公式:兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘,等于這兩個數(shù)的平方差.

Ca+b)(?-b)=a2-b2,

(2)應用平方差公式計算時,應注意以下幾個問題:

①左邊是兩個二項式相乘,并且這兩個二項式中有一項完全相同,另一項互為相反數(shù);

②右邊是相同項的平方減去相反項的平方;

③公式中的a和方可以是具體數(shù),也可以是單項式或多項式;

④對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式,都可以運用這個公式計算,且會比用多項式乘以多

項式法則簡便.

2.二次根式的混合運算

(1)二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用.學習二次

根式的混合運算應注意以下幾點:

①與有理數(shù)的混合運算一致,運算順序先乘方再乘除,最后加減,有括號的先算括號里面的.

②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式”,多個不同類的二次根式的和可以看作“多

項式“?

(2)二次根式的運算結果要化為最簡二次根式.

(3)在二次根式的混合運算中,如能結合題目特點,靈活運用二次根式的性質(zhì),選擇恰當

的解題途徑,往往能事半功倍.

3.方程的定義

(1)方程的定義:含有未知數(shù)的等式叫方程.

方程是含有未知數(shù)的等式,在這一概念中要抓住方程定義的兩個要點①等式;②含有未知數(shù).

(2)列方程的步驟:

①設出字母所表示的未知數(shù);

②找出問題中的相等關系;

③列出含有未知數(shù)的等式------方程.

4.一元二次方程的定義

(1)一元二次方程的定義:

只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

(2)概念解析:

一元二次方程必須同時滿足三個條件:

①整式方程,即等號兩邊都是整式;方程中如果有分母,那么分母中無未知數(shù);

②只含有一個未知數(shù);

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

(3)判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面:“化簡后”;“一個未知數(shù)”;

“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”;“二次項的系數(shù)不等于0";“整式方程”.

5.解一元二次方程-配方法

(1)將一元二次方程配成(x+m)2=〃的形式,再利用直接開平方法求解,這種解一元二

次方程的方法叫配方法.

(2)用配方法解一元二次方程的步驟:

①把原方程化為4/+法+。=0(“W0)的形式;

②方程兩邊同除以二次項系數(shù),使二次項系數(shù)為1,并把常數(shù)項移到方程右邊;

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方;

④把左邊配成一個完全平方式,右邊化為一個常數(shù);

⑤如果右邊是非負數(shù),就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解,如果右邊是一個負數(shù),

則判定此方程無實數(shù)解.

6.解一元二次方程-公式法

(1)把x=.b±1b-4ac,(*_而?!?。)叫做一元二次方程蘇+少計'=。(a#0)的求根

2a

公式.

(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

(3)用公式法解一元二次方程的一般步驟為:

①把方程化成一般形式,進而確定小6,c的值(注意符號);

②求出信-4"的值(若層-4ac<0,方程無實數(shù)根);

③在廿-4ac)0的前提下,把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根.

注意:用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個:①a二0;②廿-4“c20.

7.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,這種方法簡便易用,是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形

式,那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解,這樣也就把

原方程進行了降次,把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學轉化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟:

①移項,使方程的右邊化為零;②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積;③令每個因式

分別為零,得到兩個一元一次方程;④解這兩個一元一次方程,它們的解就都是原方程的解.

8.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△=廬-4")判斷方程的根的情況.

—元二次方程a/+〃x+c=0(aWO)的根與△=&?-4"c有如下關系:

①當時,方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根;

②當△=()時,方程有兩個相等的兩個實數(shù)根;

③當△<()時,方程無實數(shù)根.

上面的結論反過來也成立.

9.根與系數(shù)的關系

<1)若二次項系數(shù)為1,常用以下關系:XI,X2是方程/+px+q=O的兩根時,Xl+X2=-p>

x\X2=q,反過來可得p=-(X]+X2),q=x\X2,前者是已知系數(shù)確定根的相關問題,后者是

已知兩根確定方程中未知系數(shù).

(2)若二次項系數(shù)不為1,則常用以下關系:打,也是一元二次方程〃/+及+0=0(.#0)

的兩根時,Xl+X2=力,X1X2=—,反過來也成立,即也?=-(X1+X2),—=XiX2.

aaaa

(3)常用根與系數(shù)的關系解決以下問題:

①不解方程,判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根.②已知方程及方程的一個根,求另

一個根及未知數(shù).③不解方程求關于根的式子的值,如求,XI2+%22等等.④判斷兩根的符

號.⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件,確定字母的取值.這類問題比較綜合,解

題時除了利用根與系數(shù)的關系,同時還要考慮aWO,△》()這兩個前提條件.

10.由實際問題抽象出一元二次方程

在解決實際問題時,要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知,以及它們之間的數(shù)量關系,找

出并全面表示問題的相等關系,設出未知數(shù),用方程表示出已知量與未知量之間的等量關系,

即列出一元二次方程.

11.一元一次不等式的應用

(1)由實際問題中的不等關系列出不等式,建立解決問題的數(shù)學模型,通過解不等式可以

得到實際問題的答案.

(2)列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中

的不等關系.因此,建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵.

(3)列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟:

①弄清題中數(shù)量關系,用字母表示未知數(shù).

②根據(jù)題中的不等關系列出不等式.

③解不等式,求出解集.

④寫出符合題意的解.

12.垂線段最短

(1)垂線段:從直線外一點引一條直線的垂線,這點和垂足之間的線段叫做垂線段.

(2)垂線段的性質(zhì):垂線段最短.

正確理解此性質(zhì),垂線段最短,指的是從直線外一點到這條直線

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