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專題02整式的加減知識點(diǎn)1代數(shù)式1.定義:用運(yùn)算符號(加、減、乘、除、乘方、開方等)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.單獨(dú)的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式.2.代數(shù)式的書寫格式:①代數(shù)式中出現(xiàn)乘號,通常省略不寫,如vt;②數(shù)字與字母相乘時(shí),數(shù)字應(yīng)寫在字母前面,如4a;③帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí),應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù),如應(yīng)寫作;④數(shù)字與數(shù)字相乘,一般仍用“×”號,即“×”號不省略;⑤在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí),一般寫成分?jǐn)?shù)的形式,如4÷(a4)應(yīng)寫作;注意:分?jǐn)?shù)線具有除號和括號的雙重作用;⑥在表示和(或)差的代數(shù)式后有單位名稱的,則必須把代數(shù)式括起來,再將單位名稱寫在式子的后面,如平方米.知識點(diǎn)2:單項(xiàng)式1.單項(xiàng)式定義由數(shù)或字母的積組成的式子叫做單項(xiàng)式(單獨(dú)的一個數(shù)或者單獨(dú)的一個字母也是單項(xiàng)式).2.單項(xiàng)式的系數(shù):單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫這個單項(xiàng)式的系數(shù).3.單項(xiàng)式的次數(shù):一個單項(xiàng)式中,所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項(xiàng)式的次數(shù).說明:(1)計(jì)算單項(xiàng)式的次數(shù)時(shí),應(yīng)注意是所有字母的指數(shù)和,不要漏掉字母指數(shù)是1的情況.如單項(xiàng)式的次數(shù)是字母z,y,x的指數(shù)和,即4+3+1=8,而不是7次,應(yīng)注意字母的指數(shù)是1而不是0;(2)單項(xiàng)式的指數(shù)只和字母的指數(shù)有關(guān),與系數(shù)的指數(shù)無關(guān).如單項(xiàng)式的次數(shù)是2+3+4=9而不是13次;(3)單項(xiàng)式是一個單獨(dú)字母時(shí),它的指數(shù)是1,如單項(xiàng)式m的指數(shù)是1,單項(xiàng)式是單獨(dú)的一個常數(shù)時(shí),一般不討論它的次數(shù);(4)在含有字母的式子中如果出現(xiàn)乘號,通常將乘號寫作“·”或者省略不寫。例如:可以寫成或.(5)在書寫單項(xiàng)式時(shí),數(shù)字因數(shù)寫在字母因數(shù)的前面,數(shù)字因數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)轉(zhuǎn)化成假分?jǐn)?shù).知識點(diǎn)3:多項(xiàng)式(1)定義:幾個單項(xiàng)式的和叫多項(xiàng)式.(2)多項(xiàng)式的項(xiàng):多項(xiàng)式中的每個單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng).(3)多項(xiàng)式的次數(shù):多項(xiàng)式里,次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù).(4)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù):多項(xiàng)式中所含單項(xiàng)式的個數(shù)就是多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù).(5)常數(shù)項(xiàng):多項(xiàng)式里,不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).知識點(diǎn)4:整式(1)單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.(2)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式都是整式.(3)整式不一定是單項(xiàng)式.(4)整式不一定是多項(xiàng)式.(5)分母中含有字母的代數(shù)式不是整式;而是今后將要學(xué)習(xí)的分式.知識點(diǎn)5:同類項(xiàng)1.定義:所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).2.合并同類項(xiàng):(1)合并同類項(xiàng)的概念:把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng).(2)合并同類項(xiàng)的法則:同類項(xiàng)的系數(shù)相加,所得結(jié)果作為系數(shù),字母和字母的指數(shù)不變.(3)合并同類項(xiàng)步驟:a.準(zhǔn)確的找出同類項(xiàng).b.逆用分配律,把同類項(xiàng)的系數(shù)加在一起(用小括號),字母和字母的指數(shù)不變.c.寫出合并后的結(jié)果.(4)在掌握合并同類項(xiàng)時(shí)注意:a.如果兩個同類項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù),合并同類項(xiàng)后,結(jié)果為0.b.不要漏掉不能合并的項(xiàng).c.只要不再有同類項(xiàng),就是結(jié)果(可能是單項(xiàng)式,也可能是多項(xiàng)式).說明:合并同類項(xiàng)的關(guān)鍵是正確判斷同類項(xiàng).知識點(diǎn)6:去括號(1)如果括號外的因數(shù)是正數(shù),去括號后原括號內(nèi)各項(xiàng)的符號與原來的符號相同;(2)如果括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù),去括號后原括號內(nèi)各項(xiàng)的符號與原來的符號相反.知識點(diǎn)7:整式的加減幾個整式相加減的一般步驟:(1)列出代數(shù)式:用括號把每個整式括起來,再用加減號連接;(2)按去括號法則去括號;(3)合并同類項(xiàng).考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一:代數(shù)式及列代數(shù)式【典例1】下列各式中,符合代數(shù)式書寫規(guī)則的是(
)A. B. C. D.【變式11】下列各式中,符合代數(shù)式書寫要求的是(
)A. B. C. D.【典例2】蘋果原價(jià)是每千克a元,現(xiàn)在按八折出售,假如現(xiàn)在要買1千克,那么需要付費(fèi)(
)A.元 B.元 C.元 D.元【變式21】一個兩位數(shù),它的十位數(shù)字是,個位數(shù)字是,那么這個兩位數(shù)是(
)A. B. C. D.考點(diǎn)二:單項(xiàng)式及多項(xiàng)式的概念【典例3】下列說法中,正確的是(
)A.單項(xiàng)式的系數(shù)是,次數(shù)是3B.關(guān)于的多項(xiàng)式是三次二項(xiàng)式C.都是單項(xiàng)式,也都是整式D.是多項(xiàng)式的項(xiàng)【變式31】單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)分別是(
)A.3,3 B. C.3,4 D.【變式32】對于多項(xiàng)式的描述正確的是(
)A.此多項(xiàng)式的次數(shù)為2 B.是該多項(xiàng)式的一項(xiàng)C.它是三次三項(xiàng)式 D.它是三次四項(xiàng)式【變式33】多項(xiàng)式中不含的項(xiàng),則k的值為(
)A.3 B.4 C.5 D.6【變式34】若多項(xiàng)式是關(guān)于a的二次二項(xiàng)式,則的值是(
)A. B.8 C. D.9考點(diǎn)三:同類項(xiàng)及合并同類項(xiàng)【典例4】計(jì)算:(1);(2).【變式41】下列運(yùn)算結(jié)果正確的是(
)A. B.C. D.【變式42】下列各式中,與是同類項(xiàng)的是(
)A. B. C. D.考點(diǎn)四:整式的加減化簡(求值)【典例5】先化簡再求值:(1),其中;(2),其中,.【變式51】先化簡,再求值:,其中.【變式52】先合并同類項(xiàng),再求值:(1),其中;(2),其中,;考點(diǎn)五:代數(shù)式求值整體法【典例6】若,則的值是()A.4 B.5 C.6 D.7【變式61】已知的值為,則代數(shù)式的值為(
)A.0 B. C. D.3【變式62】代數(shù)式的值是1,則的值.考點(diǎn)六:代數(shù)式求值面積問題【典例7】【知識學(xué)習(xí)】學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí),遇到這樣一類題:“代數(shù)式的值與的取值無關(guān),求的值”.通常的解題方法是:把,看作字母,看作系數(shù)合并同類項(xiàng),因?yàn)榇鷶?shù)式的值與的取值無關(guān),所以含項(xiàng)的系數(shù)為0,即原式,所以,則.(1)【理解應(yīng)用】若關(guān)于的多項(xiàng)式的值與的取值無關(guān),求的值;(2)已知,,且的值與的取值無關(guān),求的值.(3)【能力提升】有7張如圖1的小長方形,長為,寬為,按照如圖2的方式不重疊地放在大長方形內(nèi),大長方形中未被覆蓋的兩個部分(圖中陰影部分),設(shè)右上角的面積為,左下角的面積為,設(shè),當(dāng)?shù)拈L變化時(shí),的值始終保持不變,求與的數(shù)量關(guān)系.
【變式71】小明家的房屋平面結(jié)構(gòu)如圖,這家房子的主人打算把臥室以外的部分全部都鋪上地磚.(1)用含x,y的代數(shù)式表示房屋地面的總面積;(2)如果米,米,并且每平方米地磚的造價(jià)至少需要200元,你能幫小明算算至少要準(zhǔn)備多少錢嗎?【變式72】為培養(yǎng)良好衛(wèi)生習(xí)慣,營造良好寢室文化環(huán)境,展現(xiàn)宿舍團(tuán)結(jié)精神,這個學(xué)期學(xué)校開展“最美寢室”評比活動,小林寢室窗戶的窗簾如圖1所示,它是由兩個半徑相同的四分之一圓組成的.(1)用代數(shù)式表示窗戶能射進(jìn)陽光的面積(即空白面積).(結(jié)果保留)(2)出于美觀考慮,小林寢室的同學(xué)們重新將房間的窗簾設(shè)計(jì)成如圖2所示(由兩個半徑相同的四分之一圓和一個半圓組成),請用代數(shù)式表示該種設(shè)計(jì)下窗戶能射進(jìn)陽光的面積.(結(jié)果保留)(3)當(dāng)時(shí),比較哪種設(shè)計(jì)射進(jìn)陽光的面積更大,大多少.(取3)考點(diǎn)七:代數(shù)式求值方案設(shè)計(jì)問題【典例8】某商場銷售一種西裝和領(lǐng)帶,西裝每套定價(jià)元,領(lǐng)帶每條定價(jià)元.國慶節(jié)期間商場決定開展促銷活動.方案一:買一套西裝送一條領(lǐng)帶;方案二:西裝和領(lǐng)帶都按定價(jià)的付款.現(xiàn)某客戶要到該商場購買西裝套,領(lǐng)帶條.(1)若該客戶按方式一購買,需付款_____元(用含的式子表示);若該客戶按方式二購買,需付款_____元.(用含的式子表示)(2)若,通過計(jì)算說明此時(shí)按哪種方案購買較為合算?(3)當(dāng)時(shí),你能給出一種更為省錢的購買方案嗎?請寫出你的購買方案,并計(jì)算出所需費(fèi)用.【變式81】為發(fā)展校園籃球運(yùn)動,某城區(qū)四個校區(qū)決定聯(lián)合購買一批籃球運(yùn)動裝備,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),甲、乙兩商場以同樣的價(jià)格出售同種品牌的籃球服和籃球,已知每套籃球服元,每個籃球元,經(jīng)洽談,甲商場的優(yōu)惠方案是:每購買套籃球服,送一個籃球;乙商場的優(yōu)惠方案是:若購買籃球服超過套,則購買籃球打八折.(1)若該城區(qū)四校聯(lián)合購買套籃球服和個籃球,則到甲商場購買所花的費(fèi)用為元,到乙商場購買所花的費(fèi)用為元;(2)若該城區(qū)四校聯(lián)合購買套籃球服和個籃球,請用含的代數(shù)式分別表示出到甲商場和乙商場購買所花的費(fèi)用;(3)在(2)的條件下,當(dāng)時(shí),在哪家商場購買籃球服和籃球更優(yōu)惠?考點(diǎn)八:代數(shù)式求值分段計(jì)費(fèi)問題【典例9】某超市在春節(jié)期間對顧客實(shí)行優(yōu)惠,規(guī)定如下:一次性購物優(yōu)惠辦法少于200元不予優(yōu)惠低于500元但不低于200元八折優(yōu)惠500元或超過500元其中500元部分給予八折優(yōu)惠,超過500元部分給予七折優(yōu)惠(1)周老師一次性購物400元,他實(shí)際付款_______元;(2)若周老師在該超市一次性購物x元,當(dāng)x小于500但不小于200時(shí),他實(shí)際付款_______元;當(dāng)大于或等于500時(shí),他實(shí)際付款_______元(用含的式子表示);(3)如果周老師兩次購物貨款合計(jì)880元,其中第一次購物的貨款為a元,請用含的式子表示兩次購物周老師實(shí)際一共付款多少元.【變式91】杭州市2023年自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表:月用水量不超過216米的部分超過216米不超過300米的部分超過300米的部分收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)(元/米)2.93.836.7備注:①每月居民用水繳費(fèi)包括實(shí)際用水的水費(fèi)和污水處理費(fèi)兩部分;②以上表中的價(jià)格均已包括1元/米的污水處理費(fèi),(1)某用戶9月份用水220米,則該用戶需繳水費(fèi)多少元?(2)某用戶月用水量為米,請用含的代數(shù)式表示該用戶月所繳的水費(fèi).過關(guān)檢測一、選擇題1.下列各式中,符合代數(shù)式書寫格式的是()A. B. C. D.2.下列去括號正確的是(
)A. B.C. D.3.下列各組式子中,是同類項(xiàng)的是(
)A.2023與2024 B.與 C.與 D.與4.已知單項(xiàng)式與的和為單項(xiàng)式,則等于(
)A. B. C. D.5.在一次數(shù)學(xué)考試中,七年級()班名男生平均得分,名女生平均得分,則這個班全體同學(xué)的平均分是(
)A. B. C. D.6.下列說法正確的是()A.單項(xiàng)式的系數(shù)是3B.的次數(shù)是5C.與是同類項(xiàng)D.是五次三項(xiàng)式7.若,則的值為(
)A.1 B.4 C.9 D.258.周長為的長方形教具,其中一邊長為,則另一邊長為()A. B. C. D.9.若關(guān)于x的多項(xiàng)式與的和不含二次項(xiàng),則(
)A.2 B. C.4 D.10.單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)分別是(
)A. B. C. D.11.如圖,觀察圖中的圖形,則第n個圖形中三角形的個數(shù)y與n之間的關(guān)系式是()
A. B. C. D.二、填空題12.某種桔子的售價(jià)是每千克x元,用面值為100元的人民幣購買了6千克,應(yīng)找回元.13.單項(xiàng)式的系數(shù)是,次數(shù)是.14.已知是關(guān)于的三次二項(xiàng)式,則,.15.若多項(xiàng)式中不含項(xiàng),則k的值為.16.若,則代數(shù)式.三、解答題17.計(jì)算:(1);(2).18.化簡或求值:(1)化簡:;(2)先化簡,再求值:,其中,.19.先化簡,再求值:,其中,.20.已知,.(1)當(dāng),時(shí),求的值;(2)試判斷M、N的大小關(guān)系并說明理由.21.已知多項(xiàng)式,.(1)若與的和為單項(xiàng)式,試求的值;(2)若式子的值與無關(guān),求的值.22.我國“華為”公司是世界通訊領(lǐng)域的龍頭企業(yè),某款后置攝像頭模組如圖所示.其中大圓的半徑為,中間小圓的半徑為,4個半徑為的高清圓形鏡頭分布在兩圓之間.
(1)請用含的式子表示圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留);(2)當(dāng)時(shí),求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留).23.某品牌飲水機(jī)廠生產(chǎn)一種飲水機(jī)和飲水機(jī)桶,飲水機(jī)每
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