專題02整式的加減（原卷版）

專題02整式的加減知識點(diǎn)1代數(shù)式1.定義：用運(yùn)算符號（加、減、乘、除、乘方、開方等）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.單獨(dú)的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式.2.代數(shù)式的書寫格式：①代數(shù)式中出現(xiàn)乘號，通常省略不寫，如vt；②數(shù)字與字母相乘時(shí)，數(shù)字應(yīng)寫在字母前面，如4a；③帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，如應(yīng)寫作；④數(shù)字與數(shù)字相乘，一般仍用“×”號，即“×”號不省略；⑤在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般寫成分?jǐn)?shù)的形式，如4÷（a4）應(yīng)寫作；注意：分?jǐn)?shù)線具有除號和括號的雙重作用；⑥在表示和（或）差的代數(shù)式后有單位名稱的，則必須把代數(shù)式括起來，再將單位名稱寫在式子的后面，如平方米.知識點(diǎn)2：單項(xiàng)式1.單項(xiàng)式定義由數(shù)或字母的積組成的式子叫做單項(xiàng)式（單獨(dú)的一個數(shù)或者單獨(dú)的一個字母也是單項(xiàng)式）.2.單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫這個單項(xiàng)式的系數(shù).3.單項(xiàng)式的次數(shù)：一個單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項(xiàng)式的次數(shù).說明：（1）計(jì)算單項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)，應(yīng)注意是所有字母的指數(shù)和，不要漏掉字母指數(shù)是1的情況.如單項(xiàng)式的次數(shù)是字母z，y，x的指數(shù)和，即4＋3＋1=8，而不是7次，應(yīng)注意字母的指數(shù)是1而不是0；（2）單項(xiàng)式的指數(shù)只和字母的指數(shù)有關(guān)，與系數(shù)的指數(shù)無關(guān).如單項(xiàng)式的次數(shù)是2＋3＋4=9而不是13次；（3）單項(xiàng)式是一個單獨(dú)字母時(shí)，它的指數(shù)是1，如單項(xiàng)式m的指數(shù)是1，單項(xiàng)式是單獨(dú)的一個常數(shù)時(shí)，一般不討論它的次數(shù)；（4）在含有字母的式子中如果出現(xiàn)乘號，通常將乘號寫作“·”或者省略不寫。例如：可以寫成或.（5）在書寫單項(xiàng)式時(shí)，數(shù)字因數(shù)寫在字母因數(shù)的前面，數(shù)字因數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)轉(zhuǎn)化成假分?jǐn)?shù).知識點(diǎn)3：多項(xiàng)式（1）定義：幾個單項(xiàng)式的和叫多項(xiàng)式.（2）多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中的每個單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng).（3）多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù).（4）多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：多項(xiàng)式中所含單項(xiàng)式的個數(shù)就是多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù).（5）常數(shù)項(xiàng)：多項(xiàng)式里，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).知識點(diǎn)4：整式（1）單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.（2）單項(xiàng)式或多項(xiàng)式都是整式.（3）整式不一定是單項(xiàng)式.（4）整式不一定是多項(xiàng)式.（5）分母中含有字母的代數(shù)式不是整式；而是今后將要學(xué)習(xí)的分式.知識點(diǎn)5：同類項(xiàng)1.定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).2.合并同類項(xiàng)：（1）合并同類項(xiàng)的概念：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng).（2）合并同類項(xiàng)的法則：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.（3）合并同類項(xiàng)步驟：a．準(zhǔn)確的找出同類項(xiàng).b．逆用分配律，把同類項(xiàng)的系數(shù)加在一起（用小括號），字母和字母的指數(shù)不變.c．寫出合并后的結(jié)果.（4）在掌握合并同類項(xiàng)時(shí)注意：a.如果兩個同類項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項(xiàng)后，結(jié)果為0.b.不要漏掉不能合并的項(xiàng).c.只要不再有同類項(xiàng)，就是結(jié)果（可能是單項(xiàng)式，也可能是多項(xiàng)式）.說明：合并同類項(xiàng)的關(guān)鍵是正確判斷同類項(xiàng).知識點(diǎn)6：去括號（1）如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項(xiàng)的符號與原來的符號相同；（2）如果括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項(xiàng)的符號與原來的符號相反.知識點(diǎn)7：整式的加減幾個整式相加減的一般步驟：（1）列出代數(shù)式：用括號把每個整式括起來，再用加減號連接；（2）按去括號法則去括號；（3）合并同類項(xiàng).考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：代數(shù)式及列代數(shù)式【典例1】下列各式中，符合代數(shù)式書寫規(guī)則的是（

）A． B． C． D．【變式11】下列各式中，符合代數(shù)式書寫要求的是（

）A． B． C． D．【典例2】蘋果原價(jià)是每千克a元，現(xiàn)在按八折出售，假如現(xiàn)在要買1千克，那么需要付費(fèi)（

）A．元 B．元 C．元 D．元【變式21】一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字是，個位數(shù)字是，那么這個兩位數(shù)是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二：單項(xiàng)式及多項(xiàng)式的概念【典例3】下列說法中，正確的是（

）A．單項(xiàng)式的系數(shù)是，次數(shù)是3B．關(guān)于的多項(xiàng)式是三次二項(xiàng)式C．都是單項(xiàng)式，也都是整式D．是多項(xiàng)式的項(xiàng)【變式31】單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)分別是（

）A．3，3 B． C．3，4 D．【變式32】對于多項(xiàng)式的描述正確的是（

）A．此多項(xiàng)式的次數(shù)為2 B．是該多項(xiàng)式的一項(xiàng)C．它是三次三項(xiàng)式 D．它是三次四項(xiàng)式【變式33】多項(xiàng)式中不含的項(xiàng)，則k的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式34】若多項(xiàng)式是關(guān)于a的二次二項(xiàng)式，則的值是（

）A． B．8 C． D．9考點(diǎn)三：同類項(xiàng)及合并同類項(xiàng)【典例4】計(jì)算：(1)；(2)．【變式41】下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【變式42】下列各式中，與是同類項(xiàng)的是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四：整式的加減化簡（求值）【典例5】先化簡再求值：(1)，其中；(2)，其中，．【變式51】先化簡，再求值：，其中．【變式52】先合并同類項(xiàng)，再求值：(1)，其中；(2)，其中，；考點(diǎn)五：代數(shù)式求值整體法【典例6】若，則的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式61】已知的值為，則代數(shù)式的值為（

）A．0 B． C． D．3【變式62】代數(shù)式的值是1，則的值．考點(diǎn)六：代數(shù)式求值面積問題【典例7】【知識學(xué)習(xí)】學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到這樣一類題：“代數(shù)式的值與的取值無關(guān)，求的值”．通常的解題方法是：把，看作字母，看作系數(shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與的取值無關(guān)，所以含項(xiàng)的系數(shù)為0，即原式，所以，則．(1)【理解應(yīng)用】若關(guān)于的多項(xiàng)式的值與的取值無關(guān)，求的值；(2)已知，，且的值與的取值無關(guān)，求的值．(3)【能力提升】有7張如圖1的小長方形，長為，寬為，按照如圖2的方式不重疊地放在大長方形內(nèi)，大長方形中未被覆蓋的兩個部分（圖中陰影部分），設(shè)右上角的面積為，左下角的面積為，設(shè)，當(dāng)?shù)拈L變化時(shí)，的值始終保持不變，求與的數(shù)量關(guān)系．

【變式71】小明家的房屋平面結(jié)構(gòu)如圖，這家房子的主人打算把臥室以外的部分全部都鋪上地磚．(1)用含x，y的代數(shù)式表示房屋地面的總面積；(2)如果米，米，并且每平方米地磚的造價(jià)至少需要200元，你能幫小明算算至少要準(zhǔn)備多少錢嗎？【變式72】為培養(yǎng)良好衛(wèi)生習(xí)慣，營造良好寢室文化環(huán)境，展現(xiàn)宿舍團(tuán)結(jié)精神，這個學(xué)期學(xué)校開展“最美寢室”評比活動，小林寢室窗戶的窗簾如圖1所示，它是由兩個半徑相同的四分之一圓組成的．(1)用代數(shù)式表示窗戶能射進(jìn)陽光的面積（即空白面積）．（結(jié)果保留）(2)出于美觀考慮，小林寢室的同學(xué)們重新將房間的窗簾設(shè)計(jì)成如圖2所示（由兩個半徑相同的四分之一圓和一個半圓組成），請用代數(shù)式表示該種設(shè)計(jì)下窗戶能射進(jìn)陽光的面積．（結(jié)果保留）(3)當(dāng)時(shí)，比較哪種設(shè)計(jì)射進(jìn)陽光的面積更大，大多少．（取3）考點(diǎn)七：代數(shù)式求值方案設(shè)計(jì)問題【典例8】某商場銷售一種西裝和領(lǐng)帶，西裝每套定價(jià)元，領(lǐng)帶每條定價(jià)元．國慶節(jié)期間商場決定開展促銷活動．方案一：買一套西裝送一條領(lǐng)帶；方案二：西裝和領(lǐng)帶都按定價(jià)的付款．現(xiàn)某客戶要到該商場購買西裝套，領(lǐng)帶條．(1)若該客戶按方式一購買，需付款_____元（用含的式子表示）；若該客戶按方式二購買，需付款_____元．（用含的式子表示）(2)若，通過計(jì)算說明此時(shí)按哪種方案購買較為合算？(3)當(dāng)時(shí)，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？請寫出你的購買方案，并計(jì)算出所需費(fèi)用．【變式81】為發(fā)展校園籃球運(yùn)動，某城區(qū)四個校區(qū)決定聯(lián)合購買一批籃球運(yùn)動裝備，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，甲、乙兩商場以同樣的價(jià)格出售同種品牌的籃球服和籃球，已知每套籃球服元，每個籃球元，經(jīng)洽談，甲商場的優(yōu)惠方案是：每購買套籃球服，送一個籃球；乙商場的優(yōu)惠方案是：若購買籃球服超過套，則購買籃球打八折．(1)若該城區(qū)四校聯(lián)合購買套籃球服和個籃球，則到甲商場購買所花的費(fèi)用為元，到乙商場購買所花的費(fèi)用為元；(2)若該城區(qū)四校聯(lián)合購買套籃球服和個籃球，請用含的代數(shù)式分別表示出到甲商場和乙商場購買所花的費(fèi)用；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，在哪家商場購買籃球服和籃球更優(yōu)惠？考點(diǎn)八：代數(shù)式求值分段計(jì)費(fèi)問題【典例9】某超市在春節(jié)期間對顧客實(shí)行優(yōu)惠，規(guī)定如下：一次性購物優(yōu)惠辦法少于200元不予優(yōu)惠低于500元但不低于200元八折優(yōu)惠500元或超過500元其中500元部分給予八折優(yōu)惠，超過500元部分給予七折優(yōu)惠(1)周老師一次性購物400元，他實(shí)際付款_______元；(2)若周老師在該超市一次性購物x元，當(dāng)x小于500但不小于200時(shí)，他實(shí)際付款_______元；當(dāng)大于或等于500時(shí)，他實(shí)際付款_______元（用含的式子表示）；(3)如果周老師兩次購物貨款合計(jì)880元，其中第一次購物的貨款為a元，請用含的式子表示兩次購物周老師實(shí)際一共付款多少元．【變式91】杭州市2023年自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表：月用水量不超過216米的部分超過216米不超過300米的部分超過300米的部分收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（元/米）2.93.836.7備注：①每月居民用水繳費(fèi)包括實(shí)際用水的水費(fèi)和污水處理費(fèi)兩部分；②以上表中的價(jià)格均已包括1元/米的污水處理費(fèi)，(1)某用戶9月份用水220米，則該用戶需繳水費(fèi)多少元？(2)某用戶月用水量為米，請用含的代數(shù)式表示該用戶月所繳的水費(fèi)．過關(guān)檢測一、選擇題1．下列各式中，符合代數(shù)式書寫格式的是（）A． B． C． D．2．下列去括號正確的是（

）A． B．C． D．3．下列各組式子中，是同類項(xiàng)的是（

）A．2023與2024 B．與 C．與 D．與4．已知單項(xiàng)式與的和為單項(xiàng)式，則等于（

）A． B． C． D．5．在一次數(shù)學(xué)考試中，七年級（）班名男生平均得分，名女生平均得分，則這個班全體同學(xué)的平均分是（

）A． B． C． D．6．下列說法正確的是（）A．單項(xiàng)式的系數(shù)是3B．的次數(shù)是5C．與是同類項(xiàng)D．是五次三項(xiàng)式7．若，則的值為（

）A．1 B．4 C．9 D．258．周長為的長方形教具，其中一邊長為，則另一邊長為（）A． B． C． D．9．若關(guān)于x的多項(xiàng)式與的和不含二次項(xiàng)，則（

）A．2 B． C．4 D．10．單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)分別是（

）A． B． C． D．11．如圖，觀察圖中的圖形，則第n個圖形中三角形的個數(shù)y與n之間的關(guān)系式是（）

A． B． C． D．二、填空題12．某種桔子的售價(jià)是每千克x元，用面值為100元的人民幣購買了6千克，應(yīng)找回元．13．單項(xiàng)式的系數(shù)是，次數(shù)是．14．已知是關(guān)于的三次二項(xiàng)式，則，．15．若多項(xiàng)式中不含項(xiàng)，則k的值為．16．若，則代數(shù)式．三、解答題17．計(jì)算：(1)；(2)．18．化簡或求值：(1)化簡：；(2)先化簡，再求值：，其中，．19．先化簡，再求值：，其中，．20．已知，．(1)當(dāng)，時(shí)，求的值；(2)試判斷M、N的大小關(guān)系并說明理由．21．已知多項(xiàng)式，．(1)若與的和為單項(xiàng)式，試求的值；(2)若式子的值與無關(guān)，求的值．22．我國“華為”公司是世界通訊領(lǐng)域的龍頭企業(yè)，某款后置攝像頭模組如圖所示．其中大圓的半徑為，中間小圓的半徑為，4個半徑為的高清圓形鏡頭分布在兩圓之間．

(1)請用含的式子表示圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）；(2)當(dāng)時(shí)，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．23．某品牌飲水機(jī)廠生產(chǎn)一種飲水機(jī)和飲水機(jī)桶，飲水機(jī)每