期末真題必刷壓軸60題（18個(gè)考點(diǎn)專練）

期末真題必刷壓軸60題（18個(gè)考點(diǎn)專練）一．冪的乘方與積的乘方（共1小題）1．（2022秋?梁子湖區(qū)期末）閱讀下列材料：一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘記為an．如2×2×2＝23＝8，此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為logab（即logab＝n）．如34＝81，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為log381（即log381＝4）．（1）計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：log24＝2，log216＝4，log264＝6．（2）觀察（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式，log24、log216、log264之間又滿足怎樣的關(guān)系式；（3）由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論嗎？logaM+logaN＝loga（MN）；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根據(jù)冪的運(yùn)算法則：an?am＝an+m以及對(duì)數(shù)的含義證明上述結(jié)論．【分析】首先認(rèn)真閱讀題目，準(zhǔn)確理解對(duì)數(shù)的定義，把握好對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系．（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義求解；（2）認(rèn)真觀察，不難找到規(guī)律：4×16＝64，log24+log216＝log264；（3）由特殊到一般，得出結(jié)論：logaM+logaN＝loga（MN）；（4）首先可設(shè)logaM＝b1，logaN＝b2，再根據(jù)冪的運(yùn)算法則：an?am＝an+m以及對(duì)數(shù)的含義證明結(jié)論．【解答】解：（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6；（2）4×16＝64，log24+log216＝log264；（3）logaM+logaN＝loga（MN）；（4）證明：設(shè)logaM＝b1，logaN＝b2，則＝M，＝N，∴MN＝，∴b1+b2＝loga（MN）即logaM+logaN＝loga（MN）．【點(diǎn)評(píng)】本題是開放性的題目，難度較大．借考查對(duì)數(shù)，實(shí)際考查學(xué)生對(duì)指數(shù)的理解、掌握的程度；要求學(xué)生不但能靈活、準(zhǔn)確的應(yīng)用其運(yùn)算法則，還要會(huì)類比、歸納，推測(cè)出對(duì)數(shù)應(yīng)有的性質(zhì)．二．多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式（共1小題）2．（2023春?安徽期末）甲、乙兩人共同計(jì)算一道整式乘法題：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一個(gè)多項(xiàng)式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的結(jié)果為6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中x的系數(shù)，得到的結(jié)果為2x2﹣9x+10．（1）求正確的a、b的值．（2）計(jì)算這道乘法題的正確結(jié)果．【分析】（1）按乙錯(cuò)誤的說法得出的系數(shù)的數(shù)值求出a，b的值；（2）把a(bǔ)，b的值代入原式求出整式乘法的正確結(jié)果．【解答】解：（1）（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+2bx﹣3ax﹣ab＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2+11x﹣10．（2x+a）（x+b）＝2x2+2bx+ax+ab＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10．∴，∴；（2）（2x﹣5）（3x﹣2）＝6x2﹣4x﹣15x+10＝6x2﹣19x+10．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；解題的關(guān)鍵是根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則分別進(jìn)行計(jì)算，是?？碱}型，解題時(shí)要細(xì)心．三．完全平方公式的幾何背景（共1小題）3．（2022秋?西崗區(qū)校級(jí)期末）【探究】若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；【應(yīng)用】請(qǐng)仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；【拓展】（2）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE＝1，CF＝3，長(zhǎng)方形EMFD的面積是8，分別以MF、DF為邊作正方形．①M(fèi)F＝x﹣1，DF＝x﹣3；（用含x的式子表示）②求陰影部分的面積．【分析】（1）仿照題中所給的解答方式進(jìn)行求解即可；（2）①分析圖形可知DF＝CD﹣CF，MF＝DE＝AD﹣AE，從而可得解；②根據(jù)矩形的面積公式以及正方形的面積公式以及完全平方公式求解即可．【解答】解：（1）設(shè)5﹣x＝a，x﹣2＝b，則（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝9﹣4＝5；（2）①∵四邊形EMFD是長(zhǎng)方形，AE＝1，四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC＝x，DE＝MF，∴MF＝DE＝AD﹣AE＝x﹣1，DF＝CD﹣CF＝x﹣3，故答案為：x﹣1，x﹣3；②∵長(zhǎng)方形EMFD的面積是8，∴MF?DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝8，陰影部分的面積＝MF2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．設(shè)x﹣1＝a，x﹣3＝b，則（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝8，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×8＝36，∴a+b＝±6，又∵a+b＞0，∴a+b＝6，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×2＝12．即陰影部分的面積12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式的幾何背景．應(yīng)從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義；主要圍繞圖形面積展開分析．四．整式的除法（共1小題）4．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且多項(xiàng)式x3+ax2+bx+c能被多項(xiàng)式x2+3x﹣4整除，（1）求4a+c的值；（2）求2a﹣2b﹣c的值；（3）若a，b，c為整數(shù)，且c≥a＞1，試確定a，b，c的值．【分析】（1）由于多項(xiàng)式x3+ax2+bx+c能被多項(xiàng)式x2+3x﹣4整除，則說明當(dāng)x2+3x﹣4＝0，求出的x也能使x3+ax2+bx+c＝0，從而得到關(guān)于a、b、c的兩個(gè)等式，對(duì)兩個(gè)等式變形，可得4a+c＝12③；（2）由③可得a＝3﹣④，把④代入①，可得b＝﹣4﹣c⑤，然后把④⑤同時(shí)代入2a﹣2b﹣c即可求值；（3）由于c≥a＞1，又a＝3﹣，可知1＜3﹣＜3，解即可求出c的范圍，但是a、c是大于1的正整數(shù)，且a＝3﹣，可求出c，從而求出a、b．【解答】解：（1）∵x2+3x﹣4是x3+ax2+bx+c的一個(gè)因式，∴x2+3x﹣4＝0，即x＝﹣4，x＝1是方程x3+ax2+bx+c＝0的解，∴，①×4+②得4a+c＝12③；（2）由③得a＝3﹣，④代入①得b＝﹣4﹣c⑤，∴2a﹣2b﹣c＝2（3﹣）﹣2（﹣4﹣c）﹣c＝14；（3）∵c≥a＞1，又a＝3﹣，∴a＝3﹣＜c，即1＜3﹣≤c，解得≤c＜8，又∵a、c是大于1的正整數(shù)，∴c＝3、4、5、6、7，但a＝3﹣，a也是正整數(shù)，∴c＝4，∴a＝2，∴b＝﹣4﹣c＝﹣7．補(bǔ)充方法：x3+ax2+bx+c＝（x2+3x﹣4）（x+p）＝x2+（p+3）x2+（3p﹣4）x﹣4p得a＝p+3，b＝3p﹣4，c＝﹣4p．然后代入第一、二小題得結(jié)果．第三小題解關(guān)于p的不等式組得p＝﹣1．故a＝2，b＝﹣7，c＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，注意理解整除的含義，比如A被B整除，另外一層意思也就是說，B是A的一個(gè)因式，使這個(gè)因式B等于0的值，必是A的一個(gè)解．五．因式分解十字相乘法等（共1小題）5．（2023春?渠縣校級(jí)期末）閱讀并解決問題．對(duì)于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成（x+a）2的形式．但對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax﹣3a2，就不能直接運(yùn)用公式了．此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式x2+2ax﹣3a2中先加上一項(xiàng)a2，使它與x2+2ax的和成為一個(gè)完全平方式，再減去a2，整個(gè)式子的值不變，于是有：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像這樣，先添﹣適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱為“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是實(shí)數(shù)，試比較x2﹣4x+5與﹣x2+4x﹣4的大小，說明理由．【分析】（1）加1再減1，可以組成完全平方式；（2）①加2ab再減2ab可以組成完全平方式；②在①得基礎(chǔ)上，加2a2b2再減2a2b2，可以組成完全平方式；（3）把所給的代數(shù)式進(jìn)行配方，然后比較即可．【解答】解：（1）a2﹣6a+8，＝a2﹣6a+9﹣1，＝（a﹣3）2﹣1，＝（a﹣3﹣1）（a﹣3+1），＝（a﹣2）（a﹣4）；（2）a2+b2，＝（a+b）2﹣2ab，＝52﹣2×6，＝13；a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝132﹣2×62＝169﹣2×36＝169﹣72＝97；（3）∵x2﹣4x+5，＝x2﹣4x+4+1，＝（x﹣2）2+1≥1＞0﹣x2+4x﹣4，＝﹣（x2﹣4x+4），＝﹣（x﹣2）2≤0∴x2﹣4x+5＞﹣x2+4x﹣4．（若用”作差法”相應(yīng)給分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查十字相乘法分解因式，三道題都是圍繞配方法作答，配方法是數(shù)學(xué)習(xí)題里經(jīng)常出現(xiàn)的方法，應(yīng)熟練掌握，（1）實(shí)質(zhì)上是十字相乘法分解因式．六．因式分解的應(yīng)用（共3小題）6．（2022秋?平城區(qū)校級(jí)期末）綜合與實(shí)踐如圖1所示，邊長(zhǎng)為a的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．（1）請(qǐng)直接用含a和b的代數(shù)式表示S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）；寫出利用圖形的面積關(guān)系所得到的公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（用式子表達(dá)）．（2）依據(jù)這個(gè)公式，康康展示了“計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）”的解題過程．解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要學(xué)會(huì)觀察，嘗試從不同角度分析問題，請(qǐng)仿照康康的解題過程計(jì)算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1．（3）對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)要會(huì)舉一反三，請(qǐng)用（1）中的公式證明任意兩個(gè)相鄰奇數(shù)的平方差必是8的倍數(shù)．【分析】（1）根據(jù)圖形可知，S2＝（a+b）（a﹣b），根據(jù)兩個(gè)面積相等即可求解；（2）根據(jù)康康的演示，可知將2＝3﹣1代入，即可求解；（3）根據(jù)（1）中結(jié)論，即可求解．【解答】解：（1）根據(jù)題意，，S2＝（a+b）（a﹣b），∵S1＝S2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（32﹣12）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1＝（316﹣1）（316+1）+1＝332﹣1+1＝332，故答案為：332．（3）設(shè)一個(gè)奇數(shù)為2n﹣1，則另一個(gè)相鄰的奇數(shù)為2n+1，∴（2n﹣1）2﹣（2n+1）2＝[（2n﹣1）+（2n+1）][（2n﹣1）﹣（2n+1）]＝4n×（﹣2）＝﹣8n，∴任意兩個(gè)相鄰奇數(shù)的平方差必是8的倍數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平方差公式的運(yùn)算，掌握有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?江北區(qū)校級(jí)期末）如果一個(gè)四位自然數(shù)的百位數(shù)字大于或等于十位數(shù)字，且千位數(shù)字等于百位數(shù)字與十位數(shù)字的和，個(gè)位數(shù)字等于百位與十位數(shù)字的差，則我們稱這個(gè)四位數(shù)為親密數(shù)，例如：自然數(shù)4312，其中3＞1，4＝3+1，2＝3﹣1，所以4312是親密數(shù)；（1）最小的親密數(shù)是1101，最大的親密數(shù)是9909；（2）若把一個(gè)親密數(shù)的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換，得到的新數(shù)叫做這個(gè)親密數(shù)的友誼數(shù)，請(qǐng)證明任意一個(gè)親密數(shù)和它的友誼數(shù)的差都能被原親密數(shù)的十位數(shù)字整除；（3）若一個(gè)親密數(shù)的后三位數(shù)字所表示的數(shù)與千位數(shù)字所表示的數(shù)的7倍之差能被13整除，請(qǐng)求出這個(gè)親密數(shù)．【分析】（1）設(shè)親密數(shù)為，求最小的親密數(shù)時(shí)，先確定a＝1，再根據(jù)a＝b+c，d＝b﹣c確定b、c、d的值，從而可得最小的親密數(shù)；求最大的親密數(shù)時(shí)，先確定a＝9，同理可得最大的親密數(shù)；（2）分別表示親密數(shù)和友誼數(shù)：親密數(shù)：＝1000a+100b+10c+d，友誼數(shù)：＝1000d+100b+10c+a，相減后可得結(jié)論；（3）根據(jù)題意表示﹣7a＝100b+10c+d﹣7a，化為關(guān)于b和c的代數(shù)式，根據(jù)b是1至9的自然數(shù)對(duì)：94b+2c進(jìn)行分析，＝7b+為整數(shù)，即3b+2c為13的倍數(shù)，分情況討論3b+2c的值可得結(jié)論．【解答】解：設(shè)親密數(shù)為，且b≥c，a＝b+c，d＝b﹣c，a、b、c、d都是自然數(shù)，（1）當(dāng)a為最小時(shí)，則a＝1，∴b+c＝a＝1，∵b≥c，∴b＝1，c＝0，∴d＝b﹣c＝1﹣0＝1，∴最小的親密數(shù)是1101，當(dāng)a最大時(shí)，即a＝9，∴b+c＝a＝9，∵b≥c，當(dāng)最大時(shí)，即b最大為9，∴c＝0，∴d＝b﹣c＝9﹣0＝9，∴最大的親密數(shù)是9909，故答案為：1101，9909；（2）證明：親密數(shù)：＝1000a+100b+10c+d①，友誼數(shù)：＝1000d+100b+10c+a②，∵a＝b+c，d＝b﹣c，∴a﹣d＝（b+c）﹣（b﹣c）＝2c＞0，∴a＞d，a＝2c+d，①﹣②得：999a﹣999d＝999（a﹣d）＝999（2c+d﹣d）＝1998c，∵原親密數(shù)的十位數(shù)字為c，∴任意一個(gè)親密數(shù)和它的友誼數(shù)的差都能被原親密數(shù)的十位數(shù)字整除；（3）＝100b+10c+d，∵a＝b+c，d＝b﹣c，∴﹣7a＝100b+10c+d﹣7a＝100b+10c+b﹣c﹣7（b+c）＝94b+2c，由題意得：＝7b+為整數(shù)，即3b+2c為13的倍數(shù)，∵0≤b≤9，0≤c≤9，b、c為整數(shù)，且1≤b+c≤9，∴2≤3b+2c≤27，∴3b+2c＝13或26，①當(dāng)3b+2c＝13時(shí)（b≥c），得，∴親密數(shù)為5321；②若3b+2c＝26（b≥c），則或（舍），∴親密數(shù)為9817，綜上所述，親密數(shù)為5321或9817．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了親密數(shù)的應(yīng)用，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解新定義，并將其轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）若一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是正整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“豐利數(shù)”．例如，2是“豐利數(shù)”，因?yàn)?＝12+12，再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x+y，y是正整數(shù)），所以M也是“豐利數(shù)”．（1）請(qǐng)你寫一個(gè)最小的三位“豐利數(shù)”是100，并判斷20是“豐利數(shù)”．（填是或不是）；（2）已知S＝x2+y2+2x﹣6y+k（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“豐利數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值（10≤k＜200），并說明理由．【分析】（1）根據(jù)定義寫出最小的“豐利數(shù)”，根據(jù)20＝42+22，所以判斷20也是“豐利數(shù)”；（2）將S配方，變形為S＝（x+1）2+（y﹣3）2+（k﹣10），可得k＝10；當(dāng)（x+1）2＝0時(shí)，所以k﹣10為平方數(shù)，則可得很多k的值，當(dāng)（y﹣3）2＝0，同理可得很多k的值．【解答】解：（1）∵62＝36，82＝64，∴最小的三位“豐利數(shù)”是：62+82＝100，∵20＝42+22，∴20是“豐利數(shù)”故答案為：100；是；（2）S＝x2+y2+2x﹣6y+k，＝（x2+2x+1）+（y2﹣6y+9）+（k﹣10），＝（x+1）2+（y﹣3）2+（k﹣10），當(dāng)（x+1）2、（y﹣3）2是正整數(shù)的平方時(shí)，k﹣10為零時(shí)，S是“豐利數(shù)”，故k的一個(gè)值可以是10．備注：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，k可以為14，當(dāng)y＝3時(shí)，k可以為26．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，正確的理解新概念“豐利數(shù)”是解題的關(guān)鍵．七．分式的加減法（共1小題）9．（2022秋?固始縣期末）分式中，在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式．例如，分式，是假分式．一個(gè)假分式可以化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和．例如，．（1）將假分式化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和；（2）若分式的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值．【分析】（1）根據(jù)題意，把分式化為整式與真分式的和的形式即可；（2）根據(jù)題中所給出的例子，把原式化為整式與真分式的和形式，再根據(jù)分式的值為整數(shù)即可得出x的值．【解答】解：（1）由題可得，＝＝2﹣；（2）＝＝＝x﹣1+，∵分式的值為整數(shù)，且x為整數(shù)，∴x+1＝±1，∴x＝﹣2或0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．八．分式的化簡(jiǎn)求值（共2小題）10．（2022秋?鐵嶺縣期末）先化簡(jiǎn)，再對(duì)a取一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，代入求值．﹣÷．【分析】原式第二項(xiàng)利用除法法則變形，約分后兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣?＝﹣＝，當(dāng)a＝1時(shí)，原式＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．11．（2022秋?平城區(qū)校級(jí)期末）定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個(gè)分式為“和諧分式”．如：＝＝+＝1+，＝＝+＝2+，則和都是“和諧分式”．（1）下列式子中，屬于“和諧分式”的是①③④（填序號(hào)）；①；②；③；④（2）將“和諧分式”化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式為：＝a﹣1+；（3）應(yīng)用：先化簡(jiǎn)﹣÷，并求x取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù)．【分析】（1）由“和諧分式”的定義對(duì)①③④變形即可得；（2）由原式＝＝＝a﹣1+可得；（3）將原式變形為＝2+，據(jù)此得出x+1＝±1或x+1＝±2，即x＝0或﹣2或1或﹣3，又x≠0、1、﹣1、﹣2，據(jù)此可得答案．【解答】解：（1）①＝1+，是和諧分式；③＝＝1+，是和諧分式；④＝1+，是和諧分式；故答案為：①③④；（2）＝＝＝a﹣1+，故答案為：a﹣1、；（3）原式＝﹣?＝﹣＝＝＝2+，∴當(dāng)x+1＝±1或x+1＝±2時(shí)，分式的值為整數(shù)，此時(shí)x＝0或﹣2或1或﹣3，又∵分式有意義時(shí)x≠0、1、﹣1、﹣2，∴x＝﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值及分式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的基本性質(zhì)及對(duì)和諧分式的定義的理解．九．分式方程的應(yīng)用（共11小題）12．（2022秋?東昌府區(qū)校級(jí)期末）某縣為了落實(shí)中央的“強(qiáng)基惠民工程”，計(jì)劃將某村的居民自來水管道進(jìn)行改造．該工程若由甲隊(duì)單獨(dú)施工恰好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成；若乙隊(duì)單獨(dú)施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的3倍．如果由甲、乙隊(duì)先合做15天，那么余下的工程由甲隊(duì)單獨(dú)完成還需10天．（1）這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是多少天？（2）已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為6500元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為3500元．為了縮短工期以減少對(duì)居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊(duì)合做來完成．則該工程施工費(fèi)用是多少？【分析】（1）設(shè)這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是x天，根據(jù)甲、乙隊(duì)先合做15天，余下的工程由甲隊(duì)單獨(dú)需要10天完成，可得出方程解答即可；（2）先計(jì)算甲、乙合作需要的時(shí)間，然后計(jì)算費(fèi)用即可．【解答】解：（1）設(shè)這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是x天，根據(jù)題意得：（+）×15+＝1．解得：x＝30．經(jīng)檢驗(yàn)x＝30是原分式方程的解．答：這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是30天．（2）該工程由甲、乙隊(duì)合做完成，所需時(shí)間為：1÷（+）＝22.5（天），則該工程施工費(fèi)用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．答：該工程的費(fèi)用為225000元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答此類工程問題，經(jīng)常設(shè)工作量為“單位1”，注意仔細(xì)審題，運(yùn)用方程思想解答．13．（2022秋?沙洋縣校級(jí)期末）甲、乙兩車站相距450km，一列貨車從甲車站開出3h后，因特殊情況在中途站多停了一會(huì)，耽誤了30min，后來把貨車的速度提高為原來的1.2倍，結(jié)果準(zhǔn)時(shí)到達(dá)乙站，求這列貨車原來的速度．【分析】設(shè)貨車原來的速度為xkm/h，根據(jù)等量關(guān)系：按原速度行駛所用時(shí)間﹣提速后時(shí)間＝，列出方程，求解即可．【解答】解：設(shè)貨車原來的速度為xkm/h，根據(jù)題意得：﹣＝，解得：x＝75．經(jīng)檢驗(yàn)：x＝75是原方程的解．答：貨車原來的速度是75km/h．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用．列分式方程解應(yīng)用題與所有列方程解應(yīng)用題一樣，重點(diǎn)在于準(zhǔn)確地找出相等關(guān)系．14．（2022秋?湖里區(qū)校級(jí)期末）甲、乙兩輛汽車同時(shí)分別從A、B兩城沿同一條高速公路駛向C城．已知A、C兩城的距離為450千米，B、C兩城的距離為400千米．（1）若甲車比乙車的速度快12千米/時(shí)，結(jié)果兩輛車同時(shí)到達(dá)C城．求兩車的速度．（2）設(shè)乙車的速度x千米/時(shí)，甲車的速度（x+a）千米/時(shí)，若x＝10a，則哪一輛車先到達(dá)C城，并說明理由．【分析】（1）設(shè)甲車的速度為x千米/時(shí)，則乙車的速度為（x﹣12）千米/時(shí)，再根據(jù)時(shí)間＝即可得出結(jié)論；（2）先求出甲乙兩車到達(dá)C城時(shí)間的表達(dá)式，再比較其大小即可．【解答】解：（1）設(shè)甲車的速度為x千米/時(shí)，則乙車的速度為（x﹣12）千米/時(shí)，∵A、C兩城的距離為450千米，B、C兩城的距離為400千米，兩輛車同時(shí)到達(dá)C城，∴＝，解得x＝108，x﹣12＝96．答：甲車的速度是108千米/時(shí)，乙車的速度是96千米/時(shí)；（2）∵乙車的速度x千米/時(shí)，甲車的速度（x+a）千米/時(shí)，x＝10a∴乙車到達(dá)C的時(shí)間＝＝，甲車到達(dá)C的時(shí)間＝＝＝，∵÷＝＜1，∴乙車先到達(dá)C城．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，熟知時(shí)間＝是解答此題的關(guān)鍵．15．（2022秋?新化縣期末）某工廠對(duì)零件進(jìn)行檢測(cè)，引進(jìn)了檢測(cè)機(jī)器．已知一臺(tái)檢測(cè)機(jī)的工作效率相當(dāng)于一名檢測(cè)員的20倍．若用這臺(tái)檢測(cè)機(jī)檢測(cè)900個(gè)零件要比15名檢測(cè)員檢測(cè)這些零件少3小時(shí)．（1）求一臺(tái)零件檢測(cè)機(jī)每小時(shí)檢測(cè)零件多少個(gè)？（2）現(xiàn)有一項(xiàng)零件檢測(cè)任務(wù)，要求不超過7小時(shí)檢測(cè)完成3450個(gè)零件．該廠調(diào)配了2臺(tái)檢測(cè)機(jī)和30名檢測(cè)員，工作3小時(shí)后又調(diào)配了一些檢測(cè)機(jī)進(jìn)行支援，則該廠至少再調(diào)配幾臺(tái)檢測(cè)機(jī)才能完成任務(wù)？【分析】（1）首先設(shè)一名檢測(cè)員每小時(shí)檢測(cè)零件x個(gè)，則一臺(tái)零件檢測(cè)機(jī)每小時(shí)檢測(cè)零件20x個(gè)，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：15名檢測(cè)員檢測(cè)900個(gè)零件所用的時(shí)間﹣檢測(cè)機(jī)檢測(cè)900個(gè)零件所用的時(shí)間＝3，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可；（2）設(shè)該廠再調(diào)配a臺(tái)檢測(cè)機(jī)才能完成任務(wù)，由題意得不等關(guān)系：2臺(tái)檢測(cè)機(jī)和30名檢測(cè)員工作7小時(shí)檢測(cè)的零件數(shù)+a臺(tái)檢測(cè)機(jī)工作4小時(shí)檢測(cè)的零件數(shù)≥3450個(gè)零件，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式，再解即可．【解答】解：（1）設(shè)一名檢測(cè)員每小時(shí)檢測(cè)零件x個(gè)，由題意得：﹣＝3，解得：x＝5，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝5是分式方程的解，20x＝20×5＝100，答：一臺(tái)零件檢測(cè)機(jī)每小時(shí)檢測(cè)零件100個(gè)；（2）設(shè)該廠再調(diào)配a臺(tái)檢測(cè)機(jī)才能完成任務(wù)，由題意得：（2×100+30×5）×7+100a×（7﹣3）≥3450，解得：a≥2.5，∵a為正整數(shù)，∴a的最小值為3，答：該廠至少再調(diào)配3臺(tái)檢測(cè)機(jī)才能完成任務(wù)．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式方程和一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系或不等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，列出方程和不等式．16．（2022秋?代縣期末）為緩解忻州至太原段的交通壓力，促進(jìn)兩市經(jīng)濟(jì)發(fā)展．山西省委決定修建“太忻大道”，現(xiàn)“太忻大道”正在建設(shè)中．甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)計(jì)劃參與一項(xiàng)工程建設(shè)，甲隊(duì)單獨(dú)施工30天完成該項(xiàng)工程的，這時(shí)乙隊(duì)加入，兩隊(duì)還需同時(shí)施工15天，才能完成該項(xiàng)工程．（1）若乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要多少天才能完成該項(xiàng)工程？（2）若甲隊(duì)參與該項(xiàng)工程施工的時(shí)間不超過36天，則乙隊(duì)至少施工多少天才能完成該項(xiàng)工程？【分析】（1）直接利用隊(duì)單獨(dú)施工30天完成該項(xiàng)工程的，這時(shí)乙隊(duì)加入，兩隊(duì)還需同時(shí)施工15天，進(jìn)而利用總工作量為1得出等式求出答案；（2）直接利用甲隊(duì)參與該項(xiàng)工程施工的時(shí)間不超過36天，得出不等式求出答案．【解答】解：（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要x天才能完成該項(xiàng)工程，∵甲隊(duì)單獨(dú)施工30天完成該項(xiàng)工程的，∴甲隊(duì)單獨(dú)施工90天完成該項(xiàng)工程，根據(jù)題意可得：+15（+）＝1，解得：x＝30，檢驗(yàn)得：x＝30是原方程的根，答：乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要30天才能完成該項(xiàng)工程；（2）設(shè)乙隊(duì)參與施工y天才能完成該項(xiàng)工程，根據(jù)題意可得：×36+y×≥1，解得：y≥18，答：乙隊(duì)至少施工18天才能完成該項(xiàng)工程．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．17．（2022秋?長(zhǎng)沙期末）某鎮(zhèn)道路改造工程，由甲、乙兩工程隊(duì)合作20天可完成，甲工程隊(duì)單獨(dú)施工完成的天數(shù)是乙工程隊(duì)單獨(dú)施工完天數(shù)的2倍．（1）求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要多少天？（2）甲工程隊(duì)獨(dú)做a天后，再由甲、乙兩工程隊(duì)合作（20﹣）天（用含a的代數(shù)式表示）可完成此項(xiàng)工程；（3）如果甲工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)1萬元，乙工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)2.5萬元，甲工程隊(duì)至少要單獨(dú)施工多少天后，再由甲、乙兩工程隊(duì)合作施工完成剩下的工程，才能使施工費(fèi)不超過64萬元？【分析】（1）關(guān)系式為：甲20天的工作量+乙20天的工作量＝1；（2）算出剩下的工作量除以甲乙的工作效率之和即可；（3）關(guān)系式為：甲需要的工程費(fèi)+乙需要的工程費(fèi)≤64，注意利用（2）得到的代數(shù)式求解．【解答】解：（1）設(shè)乙單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要x天，則甲單獨(dú)完成需要2x天，+＝1，解得：x＝30，經(jīng)檢驗(yàn)x＝30是原方程的解．∴x+30＝60，答：甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要60天，30天；（2）（1﹣）÷（+）＝（20﹣）天；故答案為：（20﹣）；（3）設(shè)甲單獨(dú)做了y天，y+（20﹣）×（1+2.5）≤64，解得：y≥36答：甲工程隊(duì)至少要單獨(dú)施工36天．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式方程的應(yīng)用：工程問題，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．注意應(yīng)用前面得到的結(jié)論求解．18．（2022秋?青云譜區(qū)期末）一項(xiàng)工程，甲、乙兩公司合做，12天可以完成，如果甲乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，乙公司所用時(shí)間是甲公司的1.5倍．（1）甲、乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需多少天？（2）若已知甲乙合做完成此項(xiàng)工程共需費(fèi)用102000元，并且乙公司每天費(fèi)用比甲公司每天費(fèi)用少1500元，分別計(jì)算甲、乙單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需多少費(fèi)用并選擇合理的施工方案．【分析】（1）設(shè)甲公司單獨(dú)完成此工程x天，則乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程1.5x天，根據(jù)甲做的工作量+乙做的工作量＝工作總量建立方程求出其解即可；（2）設(shè)甲公司每天的施工費(fèi)y元，則乙公司每天的施工費(fèi)（y﹣1500）元，根據(jù)兩個(gè)公司合做共需付施工費(fèi)102000元為等量關(guān)系建立方程求出其解即可，從施工費(fèi)用和施工時(shí)間兩方面考慮．【解答】解：（1）設(shè)甲公司單獨(dú)完成此工程x天，則乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程1.5x天，根據(jù)題意，得+＝，解得，x＝20，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是方程的解且符合題意，∴乙公司單獨(dú)完成需要的時(shí)間為1.5x＝30天．答：甲乙兩公司單獨(dú)完成此工程各需要20天，30天；（2）設(shè)甲公司每天的施工費(fèi)y元，則乙公司每天的施工費(fèi)（y﹣1500）元，根據(jù)題意，得12（y+y﹣1500）＝102000，解得，y＝5000，∴甲公司單獨(dú)完成此工程所需施工費(fèi)：20×5000＝100000（元），乙公司單獨(dú)完成此工程所需施工費(fèi)：30×（5000﹣1500）＝105000（元），從施工費(fèi)用考慮，選擇甲公司；從完工時(shí)間考慮，選擇甲乙合作．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列分式方程和一元一次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)甲的工作效率+乙的工作效率＝合作一天的工作效率為等量關(guān)系建立方程是解答本題的關(guān)鍵．19．（2023春?新吳區(qū)期末）某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價(jià)格也在不斷下降．今年5月份A款汽車的售價(jià)比去年同期每輛降價(jià)1萬元，如果賣出相同數(shù)量的A款汽車，去年銷售額為100萬元，今年銷售額只有90萬元．（1）今年5月份A款汽車每輛售價(jià)多少萬元？（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進(jìn)價(jià)為7.5萬元，B款汽車每輛進(jìn)價(jià)為6萬元，公司預(yù)計(jì)用不多于105萬元且不少于99萬元的資金購(gòu)進(jìn)這兩款汽車共15輛，有幾種進(jìn)貨方案？（3）如果B款汽車每輛售價(jià)為8萬元，為打開B款汽車的銷路，公司決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現(xiàn)金a萬元，要使（2）中所有的方案獲利相同，a值應(yīng)是多少？此時(shí)，哪種方案對(duì)公司更有利？【分析】（1）求單價(jià)，總價(jià)明顯，應(yīng)根據(jù)數(shù)量來列等量關(guān)系．等量關(guān)系為：今年的銷售數(shù)量＝去年的銷售數(shù)量．（2）關(guān)系式為：99≤A款汽車總價(jià)+B款汽車總價(jià)≤105．（3）方案獲利相同，說明與所設(shè)的未知數(shù)無關(guān)，讓未知數(shù)x的系數(shù)為0即可；多進(jìn)B款汽車對(duì)公司更有利，因?yàn)锳款汽車每輛進(jìn)價(jià)為7.5萬元，B款汽車每輛進(jìn)價(jià)為6萬元，所以要多進(jìn)B款．【解答】解：（1）設(shè)今年5月份A款汽車每輛售價(jià)m萬元．則：，解得：m＝9．經(jīng)檢驗(yàn)，m＝9是原方程的根且符合題意．答：今年5月份A款汽車每輛售價(jià)9萬元；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A款汽車x輛．則：99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．解得：6≤x≤10．∵x的正整數(shù)解為6，7，8，9，10，∴共有5種進(jìn)貨方案；（3）設(shè)總獲利為W萬元，購(gòu)進(jìn)A款汽車y輛，則：W＝（9﹣7.5）y+（8﹣6﹣a）（15﹣y）＝（a﹣0.5）y+30﹣15a．當(dāng)a＝0.5時(shí)，（2）中所有方案獲利相同．此時(shí)，購(gòu)買A款汽車6輛，B款汽車9輛時(shí)對(duì)公司更有利．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程和一元一次不等式組的綜合應(yīng)用，找到合適的等量關(guān)系及不等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．20．（2023春?開江縣校級(jí)期末）某開發(fā)公司生產(chǎn)的960件新產(chǎn)品需要精加工后才能投放市場(chǎng)．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠都想加工這批產(chǎn)品，已知甲廠單獨(dú)加工這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完這批產(chǎn)品多用20天，而甲工廠每天加工的數(shù)量是乙工廠每天加工數(shù)量的，公司需付甲工廠加工費(fèi)用每天80元，需付乙工廠加工費(fèi)用每天120元．（1）甲、乙兩個(gè)工廠每天各能加工多少個(gè)新產(chǎn)品？（2）公司制定產(chǎn)品加工方案如下：可以由每個(gè)廠家單獨(dú)完成，也可以由兩個(gè)廠家合作完成，在加工過程中，公司派一名工程師到廠進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)，并負(fù)擔(dān)每天10元的午餐補(bǔ)助費(fèi)，請(qǐng)你幫助公司選擇一種既省時(shí)又省錢的加工方案，并說明理由．【分析】（1）設(shè)乙每天加工新產(chǎn)品x件，則甲每天加工新產(chǎn)品x件，甲單獨(dú)加工完這批產(chǎn)品需天，乙單獨(dú)加工完這批產(chǎn)品需天，根據(jù)題意找出等量關(guān)系：甲廠單獨(dú)加工這批產(chǎn)品所需天數(shù)﹣乙工廠單獨(dú)加工完這批產(chǎn)品所需天數(shù)＝20，由等量關(guān)系列出方程求解．（2）分別計(jì)算出甲單獨(dú)加工完成、乙單獨(dú)加工完成、甲、乙合作完成需要的時(shí)間和費(fèi)用，比較大小，選擇既省時(shí)又省錢的加工方案即可．【解答】解：（1）設(shè)乙每天加工新產(chǎn)品x件，則甲每天加工新產(chǎn)品件．根據(jù)題意得﹣＝20，解得x＝24，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝24符合題意，則x＝24×＝16，所以甲、乙兩個(gè)工廠每天各能加工16個(gè)、24個(gè)新產(chǎn)品；（2）甲單獨(dú)加工完成需要960÷16＝60天，費(fèi)用為：60×（80+10）＝5400元，乙單獨(dú)加工完成需要960÷24＝40天，費(fèi)用為：40×（120+10）＝5200元；甲、乙合作完成需要960÷（16+24）＝24天，費(fèi)用為：24×（120+80+10）＝5040元．所以既省時(shí)又省錢的加工方案是甲、乙合作．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于理解清楚題意，找出等量關(guān)系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，應(yīng)注意檢驗(yàn)其結(jié)果是否符合題意；②選擇最優(yōu)方案時(shí)，需將求各個(gè)方案所需時(shí)間和所需費(fèi)用，經(jīng)過比較后選擇最優(yōu)的那個(gè)方案．21．（2022秋?扶溝縣校級(jí)期末）在我市某一城市美化工程招標(biāo)時(shí)，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)投標(biāo)，經(jīng)測(cè)算：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要60天，若由甲隊(duì)先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．（1）乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？（2）甲隊(duì)施工一天，需付工程款3.5萬元，乙隊(duì)施工一天需付工程款2萬元．若該工程計(jì)劃在70天內(nèi)完成，在不超過計(jì)劃天數(shù)的前提下，是由甲隊(duì)或乙隊(duì)單獨(dú)完成工程省錢？還是由甲乙兩隊(duì)全程合作完成該工程省錢？【分析】（1）求的是乙的工效，工作時(shí)間明顯．一定是根據(jù)工作總量來列等量關(guān)系．等量關(guān)系為：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作總量＝1．（2）把在工期內(nèi)的情況進(jìn)行比較．【解答】解：（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成需x天．根據(jù)題意，得：×20+（+）×24＝1．解這個(gè)方程得：x＝90．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝90是原方程的解．∴乙隊(duì)單獨(dú)完成需90天．答：乙隊(duì)單獨(dú)完成需90天．（2）設(shè)甲、乙合作完成需y天，則有（+）×y＝1．解得，y＝36，①甲單獨(dú)完成需付工程款為60×3.5＝210（萬元）．②乙單獨(dú)完成超過計(jì)劃天數(shù)不符題意，③甲、乙合作完成需付工程款為36×（3.5+2）＝198（萬元）．答：在不超過計(jì)劃天數(shù)的前提下，由甲、乙合作完成最省錢．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．22．（2022秋?安順期末）周末某班組織登山活動(dòng)，同學(xué)們分甲，乙兩組從山腳下沿著一條道路同時(shí)向山頂進(jìn)發(fā)，設(shè)甲，乙兩組行進(jìn)同一路段所用的時(shí)間之比2：3．（1）直接寫出甲、乙兩組行進(jìn)速度之比；（2）當(dāng)甲組到達(dá)山頂時(shí)，乙組行進(jìn)到山腰A處，且A處離山頂?shù)穆烦躺杏?.2千米，試問山腳離山頂?shù)穆烦逃卸噙h(yuǎn)？（3）在題（2）所述內(nèi)容（除最后的問句處）的基礎(chǔ)上，設(shè)乙組從A處繼續(xù)登山，甲組到達(dá)山頂后休息片刻，再?gòu)脑废律剑⑶以谏窖麭處與乙組相遇，請(qǐng)你先根據(jù)以上情景提出一個(gè)相應(yīng)的問題，再給予解答．（要求：①問題的提出不需再增添其它條件；②問題的解決必須利用上述情景提供的所有書面條件．）【分析】（1）當(dāng)路程相等時(shí)，速度與時(shí)間成反比，所以甲，乙兩組行進(jìn)同一路段所用的時(shí)間之比為2：3時(shí)，速度之比為3：2．（2）當(dāng)時(shí)間一定相同時(shí)，路程與速度成正比，所以甲所走路程即全程和全程﹣1.2（乙的路程）之間的比值等于速度之比3：2，所以據(jù)此可列方程．（3）沒有固定答案，但是不論怎樣提問都不能違背題中已知條件．【解答】解：（1）當(dāng)路程相等時(shí)，速度與時(shí)間成反比，所以甲、乙速度之比為3：2．（2）當(dāng)時(shí)間一定相同時(shí)，路程與速度成正比；所以設(shè)山腳離山頂?shù)穆烦虨閤千米．根據(jù)題意，得：＝．解得：x＝3.6．經(jīng)檢驗(yàn)：x＝3.6是原方程的解．答：山腳離山頂?shù)穆烦逃?.6千米．（3）所提問題為：“B處離山頂最遠(yuǎn)為多少千米？”設(shè)B處離山頂?shù)穆烦虨閟千米，則甲組所走的路程為s千米，乙組所走的路程為（1.2﹣s）千米．根據(jù)題意，得：＝．解得：s＝0.72．經(jīng)檢驗(yàn)：s＝0.72是原方程的解，且符合題意．【點(diǎn)評(píng)】此題考查內(nèi)容比較全面，既有分式方程的解法，難易程度適中．找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．一十．三角形內(nèi)角和定理（共11小題）23．（2022秋?棗陽市期末）如圖，在△ABC中∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度數(shù)．【分析】首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)CE平分∠ACB求得∠ACE的度數(shù)，則根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)就可求得∠CED＝∠A+∠ACE，再結(jié)合CD⊥AB，DF⊥CE就可求解．【解答】解：∵∠A＝40°，∠B＝72°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣72°＝68°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝34°，∴∠CED＝∠A+∠ACE＝74°，∴∠CDE＝90°，DF⊥CE，∴∠CDF+∠ECD＝∠ECD+∠CED＝90°，∴∠CDF＝74°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、以及角平分線定義和垂直定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．24．（2022秋?榆次區(qū)校級(jí)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，直接寫出∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系：∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，∠A＝42°，則∠ABX+∠ACX＝48°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝140°，則∠DCE＝90°；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G9，若∠BDC＝142°，∠BG1C＝70°，則∠A＝62°．【分析】（1）首先連接AD并延長(zhǎng)，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根據(jù)∠A＝42°，∠BXC＝90°，即可求出∠ABX+∠ACX的值；②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據(jù)∠DAE＝40°，∠DBE＝140°，求出∠ADB+∠AEB的值；然后根據(jù)，即可求出∠DCE的度數(shù)；③設(shè)∠ABG1＝x°，∠ACG1＝y(tǒng)°，結(jié)合已知可得∠ABD＝10x°，∠ACD＝10y°，再根據(jù)（1）可得∠A+x°+y°＝70°，∠A+10x°+10y°＝142°，即可判斷出∠A的度數(shù)．【解答】解：（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C，理由如下：如圖，連接AD并延長(zhǎng)．根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C，故答案為：∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝42°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣42°＝48°，故答案為：48；②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝140°﹣40°＝100°，∴，∴，故答案為：90；③設(shè)∠ABG1＝x°，∠ACG1＝y(tǒng)°，則∠ABD＝10x°，∠ACD＝10y°，則∠A+x°+y°＝70°，∠A+10x°+10y°＝142°，解得x+y＝8°所以∠A＝70°﹣8°＝62°即∠A的度數(shù)為62°，故答案為：62．【點(diǎn)評(píng)】此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．25．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖1，一張三角形ABC紙片，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊上兩點(diǎn)．研究（1）：如果沿直線DE折疊，使點(diǎn)A落在CE上的點(diǎn)A'處，則∠BDA'與∠A的數(shù)量關(guān)系是∠BDA′＝2∠A；研究（1）：如果折成圖2的形狀，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的數(shù)量關(guān)系是∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的數(shù)量關(guān)系是什么，并說明理由．【分析】研究（1）：翻折問題要在圖形是找著相等的量．圖1中DE為折痕，有∠A＝∠DA′A，再利用外角的性質(zhì)可得結(jié)論∠BDA′＝2∠A；研究（2）：圖2中∠A與∠DA′E是相等的，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和及互補(bǔ)角的性質(zhì)可得結(jié)論∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；研究（3）：圖3中由于折疊∠A與∠DA′E是相等的，再兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：（1）∠BDA′與∠A的數(shù)量關(guān)系是∠BDA′＝2∠A；故答案為：∠BDA′＝2∠A；（2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A，理由：在四邊形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA＝360°，∴∠A+∠DA′E＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA，∵∠BDA′+∠ADA′＝180°，∠CEA′+∠A′EA＝180°，∴∠BDA′+∠CEA′＝360°﹣∠ADA′﹣∠A′EA，∴∠BDA′+∠CEA′＝∠A+∠DA′E，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A＝∠DA′E，∴∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；故答案為：∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；（3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．理由：DA′交AC于點(diǎn)F，∵∠BDA′＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′＝∠A+∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′﹣∠CEA′＝∠A+∠A′，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A＝∠DA′E，∴∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，注意此類一題多變的題型，基本思路是相同的，主要運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及其推論進(jìn)行證明．26．（2022秋?和平區(qū)校級(jí)期末）【數(shù)學(xué)模型】如圖（1），AD，BC交于O點(diǎn)，根據(jù)“三角形內(nèi)角和是180°”，不難得出兩個(gè)三角形中的角存在以下關(guān)系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D+∠C＝∠A+∠B．【提出問題】分別作出∠BAD和∠BCD的平分線，兩條角平分線交于點(diǎn)E，如圖（2），∠E與∠D、∠B之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系呢？【解決問題】為了解決上面的問題，我們先從幾個(gè)特殊情況開始探究．已知∠BAD的平分線與∠BCD的平分線交于點(diǎn)E．（1）如圖（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，則∠E＝35°．（2）如圖（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，則∠E的度數(shù)是多少呢？易證∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，請(qǐng)你完成接下來的推理過程：∴∠D+∠1+∠B+∠4＝2∠E+∠3+∠2，∵CE、AE分別是∠BCD、∠BAD的平分線，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∴2∠E＝∠D+∠B，又∵∠D＝30°，∠B＝50°，∴∠E＝40度．（3）在總結(jié)前兩問的基礎(chǔ)上，借助圖（2），直接寫出∠E與∠D、∠B之間的數(shù)量關(guān)系是：∠E＝（∠D+∠B）．【類比應(yīng)用】如圖（5），∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點(diǎn)E．已知：∠D＝α、∠B＝β，（α＜β）則∠E＝（β﹣α）（用α、β表示）．【分析】【解決問題】（1）根據(jù)兩個(gè)三角形的有一對(duì)對(duì)頂角相等得：∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE，∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，兩式相加后，再根據(jù)角平分線的定義可得結(jié)論；（2）同理列兩式相加可得結(jié)論；（3）根據(jù)（1）和（2）可得結(jié)論；【類比應(yīng)用】首先延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)F，由三角形外角的性質(zhì)，可得∠BCD＝∠B+∠BAD+∠D，又由角平分線的性質(zhì)，即可求得答案．【解答】解：【解決問題】（1）如圖3，∵∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE，∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，∴∠D+∠DCE+∠B+∠EAB＝2∠E+∠DAE+∠ECB，∵EC平分∠ECB，AE平分∠BAD，∴∠DCE＝∠ECB，∠DAE＝∠BAE，∴2∠E＝∠B+∠D，∴∠E＝∴∠E＝（30°+40°）＝×70°＝35°；故答案為：35°；（2）如圖（4），∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，∴∠D+∠1+∠B+∠4＝2∠E+∠3+∠2，∵CE、AE分別是∠BCD、∠BAD的平分線，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∴2∠E＝∠D+∠B，∴∠E＝，又∵∠D＝30°，∠B＝50°，∴∠E＝40度．故答案為：2∠E+∠3+∠2，∠D+∠B，40°；（3）由（1）和（2）得：∠E＝，故答案為：∠E＝；【類比應(yīng)用】如圖（5），延長(zhǎng)BC交AD于F，∵∠BFD＝∠B+∠BAD，∴∠BCD＝∠BFD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D，∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD∴∠ECD＝∠ECB＝∠BCD，∠EAD＝∠EAB＝∠BAD，∵∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，∴∠E＝∠B+∠EAB﹣∠ECB＝∠B+∠BAE﹣∠BCD＝∠B+∠BAE﹣（∠B+∠BAD+∠D）＝（∠B﹣∠D），∵∠D＝α°、∠B＝β°，即∠E＝（β﹣α）°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，掌握角平分線的性質(zhì)和等量代換是解決問題的關(guān)鍵．27．（2022秋?大竹縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，P為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AD交直線BC于點(diǎn)E，若∠B＝35°，∠ACB＝85°．（1）求∠DAC的度數(shù)；（2）求∠E的度數(shù)．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）進(jìn)而得出∠ADC的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)得出即可．【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝BAC＝30°，（2）∵∠BAD＝BAC＝30°，∴∠ADC＝35°+30°＝65°，∵∠EPD＝90°，∴∠E的度數(shù)為：90°﹣65°＝25°．故答案為：25°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)已知得出∠BAD度數(shù)是解題關(guān)鍵．28．（2022秋?天山區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B＝75°，∠C＝45°，求∠DAE與∠AEC的度數(shù)．【分析】由∠B＝75°，∠C＝45°，利用三角形內(nèi)角和求出∠BAC．又AE平分∠BAC，求出∠BAE、∠CAE．再利用AD是BC上的高在△ABD中求出∠BAD，此時(shí)就可以求出∠DAE．最后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系可以求出∠AEC．【解答】解：方法1：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝75°，∠C＝45°，∴∠BAC＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝×60°＝30°，∵AD是BC上的高，∴∠B+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣75°＝15°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝30°﹣15°＝15°，在△AEC中，∠AEC＝180°﹣∠C﹣∠CAE＝180°﹣45°﹣30°＝105°；方法2：同方法1，得出∠BAC＝60°．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAC＝×60°＝30°．∵AD是BC上的高，∴∠C+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°．∵∠AEC+∠C+∠EAC＝180°，∴∠AEC+30°+45°＝180°，∴∠AEC＝105°．答：∠DAE＝15°，∠AEC＝105°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)角，外角以及和它們相關(guān)的一些結(jié)論，圖形比較復(fù)雜，對(duì)于學(xué)生的視圖能力要求比較高．29．（2022秋?平橋區(qū)校級(jí)期末）如圖，AD為△ABC的高，BE為△ABC的角平分線，若∠EBA＝32°，∠AEB＝70°．（1）求∠CAD的度數(shù)；（2）若點(diǎn)F為線段BC上任意一點(diǎn)，當(dāng)△EFC為直角三角形時(shí)，則∠BEF的度數(shù)為58°或20°．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可；（2）分∠EFC＝90°和∠FEC＝90°兩種情況解答即可．【解答】解：（1）∵BE為△ABC的角平分線，∴∠CBE＝∠EBA＝32°，∵∠AEB＝∠CBE+∠C，∴∠C＝70°﹣32°＝38°，∵AD為△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝52°；（2）當(dāng)∠EFC＝90°時(shí)，∠BEF＝90°﹣∠CBE＝58°，當(dāng)∠FEC＝90°時(shí)，∠BEF＝90°﹣70°＝20°，故答案為：58°或20°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．30．（2022秋?鹽湖區(qū)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝50°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）首先連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根據(jù)∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據(jù)∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根據(jù)∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度數(shù)是多少即可．③根據(jù)∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，設(shè)∠A為x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判斷出∠A的度數(shù)是多少．【解答】解：（1）如圖（1），連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，，根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，故答案為：50．②由（1），可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE＝45°+40°＝85°；③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝70°，∴設(shè)∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°∴（133﹣x）+x＝70，∴13.3﹣x+x＝70，解得x＝63，即∠A的度數(shù)為63°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，利用三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．31．（2022秋?高新區(qū)校級(jí)期末）敘述并證明“三角形的內(nèi)角和定理”．（要求根據(jù)下圖寫出已知、求證并證明）【分析】欲證明三角形的三個(gè)內(nèi)角的和為180°，可以把三角形三個(gè)角轉(zhuǎn)移到一個(gè)平角上，利用平角的性質(zhì)解答．【解答】已知：△ABC中，求證：∠A+∠B+∠C＝180°．證明：過點(diǎn)A作直線MN，使MN∥BC．∵M(jìn)N∥BC，∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠MAB+∠NAC+∠BAC＝180°（平角定義）∴∠B+∠C+∠BAC＝180°（等量代換）即∠A+∠B+∠C＝180°．【點(diǎn)評(píng)】過點(diǎn)A作平行于BC的直線MN，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，通過等量代換求證定理．32．（2022秋?開江縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E在BC上，EF⊥AB，垂足為F，∠1＝∠2．（1）試說明DG∥BC的理由；（2）如果∠B＝34°，且∠ACD＝47°，求∠3的度數(shù)．【分析】（1）先根據(jù)垂直定義得出∠CDF＝∠EFB＝90°，根據(jù)平行線判定可得出CD∥EF，故可得出∠2＝∠BCD，推出∠1＝∠BCD，根據(jù)平行線的判定即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)CD⊥AB得出∠BDC＝90°，由直角三角形的性質(zhì)得出∠BCD的度數(shù)，故可得出∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）DG∥BC．理由是：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠CDF＝∠EFB＝90°，∴CD∥EF．∴∠2＝∠BCD，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BCD，∴DG∥BC；（2）∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°．∵∠B＝34°，∴∠BCD＝90°﹣34°＝56°．∵∠ACD＝47°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝47°+56°＝103°．∵由（1）知DG∥BC，∴∠3＝∠ACB＝103°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理和平行線的判定與性質(zhì)，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．33．（2022秋?渠縣校級(jí)期末）圖（1）是我們常見的“箭頭圖”，其中隱藏著哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面請(qǐng)你解決以下問題：（1）觀察如圖（1）“箭頭圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間大小的關(guān)系，并說明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，回答下列兩個(gè)問題：①如圖（2），把一塊三角板XYZ放置在△ABC上，使其兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C．若∠A＝50°，則∠ABX+∠ACX＝40°；②如圖（3），∠ABD，∠ACD的五等分線分別相交于點(diǎn)G1、G2、G3、G4，若∠BDC＝135°，∠BG1C＝67°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）連接AD并延長(zhǎng)，根據(jù)三角形的外角和內(nèi)角關(guān)系解答；（2）①利用（1）的結(jié)論，直接計(jì)算出∠ABX+∠ACX的度數(shù)；②圖（3）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)∠BDC＝135°，∠BG1C＝67°，計(jì)算出相等的角：∠DBG4+∠DCG4的和，再次利用（1）的結(jié)論，求出∠A的度數(shù)．【解答】解：（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C．理由：連接AD并延長(zhǎng)到M．因?yàn)椤螧DM＝∠BAD+∠B，∠CDM＝∠CAD+∠C，所以∠BDM+∠CDM＝∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C．（2）①由（1）知：∠BXC＝∠A+∠ABX+∠ACX，由于∠BXC＝90°，∠A＝50°所以∠ABX+∠ACX＝∠BXC﹣∠A＝90°﹣50°＝40°．②在箭頭圖G1BDC中因?yàn)椤螧DC＝∠G1+∠G1BD+∠G1CD，又∵∠BDC＝135°，∠BG1C＝67°∵∠ABD，∠ACD的五等分線分別相交于點(diǎn)G1、G2、G3、G4∴4（∠DBG4+∠DCG4）＝135°﹣67°∴∠DBG4+∠DCG4＝17°．∴∠ABG1+∠ACG1＝17°∵在箭頭圖G1BAC中∵∠BG1C＝∠A+∠G1BA+∠G1CA，又∵∠BG1C＝67°，∴∠A＝50°．答：∠A的度數(shù)是50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了外角和內(nèi)角的關(guān)系以及角的計(jì)算．找出“箭頭圖”并利用“箭頭圖”間角的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵一十一．三角形的外角性質(zhì)（共3小題）34．（2022秋?萬全區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E在BD上，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，EF∥AD．（1）求∠BAF的度數(shù)．（2）求∠F的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠DAC＝BAC＝35°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠BAF＝∠B+∠C，∵∠B＝40°，∠C＝70°，∴∠BAF＝110°；（2）∵∠BAF＝110°，∴∠BAC＝70°，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠DAC＝BAC＝35°，∵EF∥AD，∴∠F＝∠DAC＝35°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．35．（2022秋?建平縣期末）如圖，已知：點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)．（1）求證：∠BPC＞∠A；（2）若PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∠A＝40°，求∠P的度數(shù)．【分析】（1）延長(zhǎng)BP交AC于D，根據(jù)△PDC外角的性質(zhì)知∠BPC＞∠1；根據(jù)△ABD外角的性質(zhì)知∠1＞∠A，所以易證∠BPC＞∠A．（2）由三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB＝140°，由角平分線和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：延長(zhǎng)BP交AC于D，如圖所示：∵∠BPC是△CDP的一個(gè)外角，∠1是△ABD的一個(gè)外角，∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A，∴∠BPC＞∠A；（2）在△ABC中，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，在△ABC中，∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×140°＝110°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的角平分線定義；熟練掌握三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．36．（2022秋?黃石港區(qū)期末）已知如圖∠B＝∠C，∠1＝∠2，∠BAD＝40°，求∠EDC度數(shù)．【分析】首先在△ABD中，由三角形的外角性質(zhì)得到∠EDC+∠1＝∠B+40°，同理可得到∠2＝∠EDC+∠C，聯(lián)立兩個(gè)式子，結(jié)合∠B＝∠C，∠1＝∠2的已知條件，即可求出∠EDC的度數(shù)．【解答】解：△ABD中，由三角形的外角性質(zhì)知：∠ADC＝∠B+∠BAD，即∠EDC+∠1＝∠B+40°；①同理，得：∠2＝∠EDC+∠C，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，∴∠1＝∠EDC+∠B，②②代入①得：2∠EDC+∠B＝∠B+40°，即∠EDC＝20°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是三角形的外角性質(zhì)，理清圖形中各角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．一十二．全等三角形的判定與性質(zhì)（共13小題）37．（2022秋?青秀區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，0），B（0，3），C（3，0），D（0，2）．（1）求證：AB＝CD且AB⊥CD；（2）以A為直角頂點(diǎn)在第二象限內(nèi)作等腰直角三角形ABE，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為直角邊作等腰直角三角形APQ，∠APQ＝90°，QR⊥x軸于點(diǎn)R，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP﹣QR的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，根據(jù)A（﹣2，0），B（0，3），C（3，0），D（0，2）可以求出OA＝OD＝2，OB＝OC＝3，證明△AOB≌△DOC就可以求出結(jié)論；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出△AEF≌△BAO，就有AF＝OB，從而求出F的坐標(biāo)；（3）作QF⊥OP于F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出△AOP≌△PFQ，就有PF＝OA，由矩形的性質(zhì)可以得出QR＝OF，就可以得出OP﹣QR＝PF＝OA不發(fā)生變化．【解答】解：（1）證明：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E．∵A（﹣2，0），B（0，3），C（3，0），D（0，2），∴OA＝OD＝2，OB＝OC＝3．∵∠AOB＝90°，∠DOC＝90°，∴∠AOB＝∠DOC．在△AOB和△DOC中．，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴∠ABO＝∠DCO．∠BAO＝∠CDO．AB＝CD．∵∠BDE＝∠CDO，∴∠BAO＝∠BDE．∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠BDE+∠ABO＝90°，∴∠BED＝90°，∴AB⊥CD；（2）∵三角形ABE是等腰直角三角形，∴AE＝AB，∠EAB＝90°，∴∠FAE+∠BAO＝90°．∵EF⊥x軸，∴∠EFA＝90°，∴∠AEF+∠FAE＝90°，∴∠AEF＝∠OAB．∵∠AOB＝90°，∴∠EFA＝∠AOB．在△AEF和△BAO中，，∴△AEF≌△BAO（AAS），∴AF＝BO＝3，∴OF＝2+3＝5，∴F（﹣5，0）．答：F的坐標(biāo)為（﹣5，0）；（3）OP﹣QR的值不變．理由：作QF⊥OP于F，∴∠PFQ＝∠QFO＝90°，∴∠FPQ+∠FQP＝90°．∵三角形APQ是等腰直角三角形，∴PA＝PQ，∠APQ＝90°，∴∠APO+∠OPQ＝90°．∴∠APO＝∠PQQF．∵∠AOP＝∠POR＝90°，∴∠AOP＝∠PFQ．在△AOP和△PFQ中，，∴△AOP≌△PFQ（AAS），∴AO＝PF．∵QR⊥x軸，∴∠QRA＝90°．∴∠QRA＝∠POR＝∠QFO＝90°，∴四邊形FORQ是長(zhǎng)方形，∴QR＝FO．∴OP﹣QR＝OP﹣OF＝PF，∴OP﹣QR＝OA．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．38．（2022秋?廣水市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（m，0）、B（0，n），且，點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AO勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求OA、OB的長(zhǎng)；（2）連接PB，若△POB的面積不大于3且不等于0，求t的范圍；（3）過P作直線AB的垂線，垂足為D，直線PD與y軸交于點(diǎn)E，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△EOP≌△AOB？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）根據(jù)已知得出關(guān)于mn的方程組，求出即可；（2）分為兩種情況：①當(dāng)P在線段OA上時(shí)，求出三角形BOP的面積，得出不等式組，求出其解集即可；②當(dāng)P在線段OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求出三角形BOP的面積，得出不等式組，求出其解集即可；（3）當(dāng)OP＝OB＝3時(shí)，分為兩種情況，畫出符合條件的兩種圖形，結(jié)合圖形和全等三角形的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：（1）∵|m﹣n﹣3|+＝0，∴m﹣n﹣3＝0，2n﹣6＝0，解得：n＝3，m＝6，∴OA＝6，OB＝3；（2）分為兩種情況：①當(dāng)P在線段OA上時(shí)，AP＝t，PO＝6﹣t，∴△BOP的面積S＝×（6﹣t）×3＝9﹣t，∵若△POB的面積不大于3且不等于0，∴0＜9﹣t≤3，解得：4≤t＜6；②當(dāng)P在線段OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，AP＝t，PO＝t﹣6，∴△BOP的面積S＝×（t﹣6）×3＝t﹣9，∵若△POB的面積不大于3且不等于0，∴0＜t﹣9≤3，解得：6＜t≤8；即t的范圍是4≤t≤8且t≠6；（3）當(dāng)OP＝OB＝3時(shí)，分為兩種情況（如圖）：第一個(gè)圖中t＝3，第二個(gè)圖中AP＝6+3＝9，即t＝9；即存在這樣的點(diǎn)P，使△EOP≌△AOB，t的值是3或9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值，二次根式的性質(zhì)，垂直定義，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目比較典型，但是有一定的難度，注意要進(jìn)行分類討論啊．39．（2022秋?蒼梧縣期末）如圖1，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，E在線段AC上，連接AD，BE的延長(zhǎng)線交AD于F．（1）猜想線段BE，AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系：BE＝AD，BE⊥AD（不必證明）；（2）當(dāng)點(diǎn)E為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)時(shí)，使點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在AC的兩側(cè)，其它條件不變．①請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形；②（1）中結(jié)論成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）判定△BCE≌△ACD，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)，即可得到線段BE，AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）①依據(jù)點(diǎn)E為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在AC的兩側(cè)，其它條件不變，即可補(bǔ)全圖形；②判定△BCE≌△ACD，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)，即可得到線段BE，AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．【解答】解：（1）BE＝AD，BE⊥AD；（2）①如圖所示：②（1）中結(jié)論仍然成立．證明：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴BC＝AC，EC＝DC，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠AFB＝∠ACB＝90°，∴BE⊥AD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．40．（2022秋?興隆縣期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是B．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是C．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問題解決】（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．【分析】（1）根據(jù)AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根據(jù)全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三邊關(guān)系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；（3）延長(zhǎng)AD到M，使AD＝DM，連接BM，根據(jù)SAS證△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根據(jù)AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故選B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故選C．（3）證明：延長(zhǎng)AD到M，使AD＝DM，連接BM，∵AD是△ABC中線，∴CD＝BD，∵在△ADC和△MDB中∴△ADC≌△MDB，∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD