專題04二元一次方程組重難點（參數問題實際應用問題）

專題04二元一次方程組重難點（參數問題、實際應用問題）思維導圖核心考點聚焦1.忽略二元一次方程中一次項系數不為02.解二元一次方程組中符號錯誤或方程變形漏乘3.構造二元一次方程組求解4.二元一次方程組中同解方程組5.已知二元一次方程組的解的情況求參數或代數式的值6.二元一次方程組的特殊解法7.二元一次方程組的應用——古代問題8.二元一次方程組的應用——方案問題9.二元一次方程組的應用——銷售、利潤問題10.二元一次方程組的應用——幾何問題一、二元一次方程（組）概念及解1.二元一次方程：含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程.注意：二元一次方程的識別方法①“二元”，即含有兩個未知數；②“一次”，即含未知數的次數是1；③“整式方程”，即未知數不能出現(xiàn)在分母中.2.二元一次方程組：共含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫作二元一次方程組．注意：①含有兩個整式方程；②方程中共含有兩個未知數；③含未知數的項的次數都是1．3.二元一次方程的解：適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的一個解．注意：①二元一次方程的每一個解都是一對數值，而不是一個數；②一般情況下，一個二元一次方程有無窮多個解，但如果對其未知數的取值附加某些限制條件，那么也可能只有有限個特殊的解.4.二元一次方程組的解：我們把二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．注意：①方程組的解同時滿足方程組中的每一個方程；②由于方程組需用“｛”括起來，所以方程組的解也要用“｛”括起來．5.二元一次方程組解的情況：（1）唯一解；（2）無數解；（3）無解．二、二元一次方程組的解法1.代入消元法將方程組中一個方程的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，并代入另一個方程中，從而消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程.這種解方程組的方法稱為代入消元法，簡稱代入法.注意：①找準消元對象.消元對象一般選取系數簡單的（如系數的絕對值較小的，系數是±1的）未知數，使變形后的方程比較簡單或代入后比較容易化簡；②在用代入法解二元一次方程組的一般步驟的第（2）步中，必須理解“另一個”的含義，否則，若把y=ax+b代入變形的原方程，必然得到一個恒等式；③用代入法求出一個未知數的值后，再求另一個未知數時，一般代入變形后得到的方程比較簡單．2.加減消元法把方程組的兩個方程（或先作適當變形）相加或相減，消去其中一個未知數，從而把解二元一次方程組轉化為解一元一次方程.這種解方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法.注意：①化為標準形式.用加減消元法解二元一次方程組時，一般先把方程組整理成的標準形式，再設法加減消元，這樣不易出錯；②選準消元對象.當某個未知數的系數相等或互為相反數或有倍數關系時，選擇消去該未知數較簡單.三、同解問題方法技巧：理解方程組的解的實質，由方程組消去未知系數，構造只含兩個未知數的二元一次方程，再根據其他條件求出兩個未知數的值，最后回代求出未知數的值.題型：1.一個二元一次方程組和一個二元一次方程的同解，可以理解為三個方程有相同的解，可以選擇其中兩個構成二元一次方程組求解，再代入另一個方程求參數的值；或理解為三個方程構成一個三元一次方程組求解；2.兩個方程組有相同的解可以理解成四個方程具有相同的解，先將不含參數的方程聯(lián)立成方程組，求出未知數的值，然后代入含有參數的方程即可求出參數的值.四、列方程組解應用題步驟1.列方程組解應用題是把“未知”轉化為“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關系.一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：=1\*GB3①方程兩邊表示的是同類量；=2\*GB3②同類量的單位要統(tǒng)一；=3\*GB3③方程兩邊的數值要相等.2.解應用題的一般步驟為：=1\*GB3①審題：找出題目中的數量關系，列寫等量關系式；=2\*GB3②設元：以好表達等量關系式為原則，設不知道的量為未知數；=3\*GB3③列方程：依據等量關系式，結合未知數列寫方程；=4\*GB3④解答.五、分析數量關系的常用方法1.直譯法分析數量關系將題中關鍵性的數量關系的語句譯成含有未知數的代數式，并找出等量關系，翻譯成含有未知數的等式.2.列表分析數量關系當題目中條件較多，關系較復雜時，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進行分析.這種方法的好處在于把已知量和未知量“對號入座”，便于正確理解各數量之間的關系.六、一次函數與二元一次方程（組）1．一次函數與二元一次方程的關系一次函數的圖象上任意一點的坐標都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解為坐標的點都在一次函數的圖象上．2．一次函數與二元一次方程組的關系如果兩個一次函數的圖象有一個交點，那么交點的坐標就是相應二元一次方程組的解．所以求兩直線交點的方法為：聯(lián)立函數關系式，求解方程組．已知兩直線和相交于一點，求交點坐標．=1\*GB3①聯(lián)立兩個直線的函數關系式得到方程組=2\*GB3②解關于x和y的方程組，得到交點坐標．用一次函數的圖象法求二元一次方程組的解的方法稱為二元一次方程組的圖象解法．七、三元一次方程組的概念三元一次方程組：方程中有三個未知數，且未知數的項的次數都是一的方程組.八、解三元一次方程組的方法和步驟三元一次方程二元一次方程一元一次方程1.二元一次方程、二元一次方程組中含參數的問題.2.解二元一次方程組時，去分母漏乘參數項.3.利用二元一次方程組解決實際問題及整數解問題.考點剖析考點一、忽略二元一次方程中一次項系數不為0例題1：若是關于，的二元一次方程，則．【答案】0【解析】∵是關于x，y的二元一次方程，∴且，解得．故答案為：0．考點二、解二元一次方程組中符號錯誤或方程變形漏乘例題2：解方程組：．【解析】原方程組可變?yōu)椋?，得：，解得，把代入①得：，解得，∴原方程組的解為：．考點三、構造二元一次方程組求解例題3：已知，則的平方根是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，，∴，得，，解得，將代入①，解得，∴，∴的平方根，故選C．考點四、二元一次方程組中同解方程組例題4：方程組與有相同的解，求a，b的值．【解析】由題意得：，解得，把代入，則有,解得．考點五、已知二元一次方程組的解的情況求參數或代數式的值例題5：若關于x、y的二元一次方程組的解為，則代數式的值是．【答案】1【解析】將代入方程組得：，①+②得：．故答案為：1．考點六、二元一次方程組的特殊解法例題6：閱讀材料：善于思考的樂樂同學在解方程組時，采用了一種“整體換元”的解法．把，看成一個整體，設，，則原方程組可化為，解得，即，解得．(1)學以致用，模仿樂樂同學的“整體換元”的方法，解方程組．(2)拓展提升，已知關于x，y的方程組的解為，請直接寫出關于m、n的方程組的解是______．【解析】（1）對于，令，則原方程組可化為，解得，∴，即，解得；（2）∵方程組的解是，∴，解得．考點七、二元一次方程組的應用——古代問題例題7：我國古代數學名著《九章算術》是人類科學史上應用數學的“算經之首”，上面記載有這樣一個問題：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．問人數、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，每人出5錢，會差45錢；每人出7錢，會差3錢．問合伙人數、羊價各是多少？請你解答這個問題．【解析】設合伙人數為人，羊價為錢，依題意有：，解得，答：合伙人數為21人，羊價為150錢．考點八、二元一次方程組的應用——方案問題例題8：某運輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸．(1)請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨多少噸？(2)目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完（A、B兩種貨車均滿載），其中每輛A貨車一次運貨花費500元，每輛B貨車一次運貨花費400元，請你列出所有的運輸方案，并指出哪種運輸方案費用最少，最少費用為多少元．【解析】（1）設1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨x噸和y噸．根據題意得，解得．答：1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨20噸和15噸．（2）設安排A貨車m輛，B貨車n輛，依題意，得，即，又因為均為正整數，所以或或，所以共有3種運輸方案，方案1：安排A貨車8輛，B貨車2輛；方案2：安排A貨車5輛，B貨車6輛；方案3：安排A貨車2輛，B貨車10輛．方案1所需費用：500×8+400×2=4800（元）；方案2所需費用：500×5+400×6=4900（元）；方案3所需費用：500×2+400×10=5000（元）；因為4800<4900<5000，所以安排A貨車8輛，B貨車2輛費用最少，最少費用為4800元．考點九、二元一次方程組的應用——銷售、利潤問題例題9：某紀念品店購進2022年冬奧會吉祥物冰墩墩與冬殘奧會吉祥物雪容融共50個，花去1600元，這兩種吉祥物的進價、售價如表：進價（元/個）售價（元/個）冰墩墩3550雪容融3040(1)求冰墩墩、雪容融各進了多少個？(2)這50個吉祥物玩具很快售完，所得利潤再次用于購進冰墩墩與雪容融（每種至少一個），且恰好用完.那么該紀念品店再次購進冰墩墩與雪容融各多少個？【解析】（1）設冰墩墩和雪容融分別進了x個和y個，有題意得解得答：冰墩墩和雪容融分別進了20個和30個；（2）由表格得，設再次購進冰墩墩和雪容融分別為a個和b個，∴35a+30b=600∴∵a，b為正整數∴可得，∴再次購進冰墩墩6個，雪容融13個或冰墩墩12個，雪容融6個．考點十、二元一次方程組的應用——幾何問題例題10：如圖，在大長方形中，放入六個相同的小長方形，求陰影部分的面積．【解析】設小長方形的長為xcm，寬為ycm，依題意得：，解得，∴陰影部分的面積為14×（6+2×2）6×8×2=44（）．答：陰影部分的面積為44．過關檢測一、選擇題1．下列各式中屬于二元一次方程的有（

）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解析】根據定義可知①②③是二元一次方程，④中未知數的次數是2次，而不是1次，它不是二元一次方程；⑤是代數式，不是方程；⑥是分式方程，⑦整理后為，是二元一次方程．故正確的有①②③⑦，共4個，故選．2．若是關于x、y的二元一次方程的解，則m的值為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【解析】∵是關于x、y的二元一次方程的解，∴，解得，故選B．3．《孫子算經》下卷中有一道題，原文是：“今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下九十四足．問雉、兔各幾何？”意思是：現(xiàn)在雞和兔關在一個籠子里，共有35個頭，94只腳，問雞和兔各多少只．設雞為x只，兔為y只，則下列符合題意的方程組是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設雞有只，兔有只，根據題意，得，故選D．4．若關于x，y的二元一次方程組的解是，則關于m、n的二元一次方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】將代入得：，解得，，解得，故選D．二、填空題5．的正整數解為．【答案】【解析】由已知，得．要使都是正整數，必須滿足：，是3的倍數．根據以上兩個條件可知，合適的只能是．故答案為：．6．已知關于x，y的方程是二元一次方程，則．【答案】1【解析】∵關于x，y的方程是二元一次方程，∴，解得，∴，故答案為：1．7．若二元一次方程組的的解也是二元一次方程的解，則k的值為【答案】2【解析】解方程組，得，∵二元一次方程組的的解也是二元一次方程的解，∴，解得．故答案為：2．8．在平面直角坐標系中，若點和關于y軸對稱，則．【答案】【解析】∵點和關于y軸對稱，∴，，得，故答案為：．三、解答題9．解方程組【解析】設，，則原方程組可變形為，整理可得，用加減消元法解得，∴，解得，∴原方程組的解為．10．列方程組解古算題：“今有甲、乙二人持錢不知其數，甲得乙半而錢六十，乙得甲太半而亦錢六十，甲、乙持錢各幾何？”題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢，如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢60．如果乙得到甲所有錢的，那么乙也共有錢60．甲、乙兩人各帶了多少錢？【解析】設甲帶錢x，乙?guī)уXy，根據題意，得，解得．∴甲帶了45錢，乙?guī)Я?0錢．11．已知某酒店的三人間和雙人間客房標價為：三人間為每人每天200元，雙人間為每人每天300元．為吸引客源，促進旅游，在“十·一”黃金周期間酒店進行優(yōu)惠大酬賓，凡團體入住一律五折優(yōu)惠．一個50人的旅游團在十月二號到該酒店住宿，租住了一些三人間，雙人間客房．如果租住的每個客房正好住滿，并且一天一共花去住宿費6300元．求租住了三人間、雙人間客房各多少間？【解析】∵凡團體入住一律五折優(yōu)惠，∴三人間為每人每天（元），雙人間為每人每天（元），設三人間有a間，雙人間有b間，根據題意得：，解得，答：租住了三人間8間、雙人間13間．12．已知關于x，y的方程組，其中a是實數．(1)請用含a的代數式分別表示x，y．(2)若x，y滿足，求的值．(3)試說明不論a取何實數，的值始終不變．【解析】（1），，得，解得，將代入，得，解得，∴；（2），，，，將（1）中結果代入得：，解得，；（3）證明：，不論取何實數，的值始終不變．13．為創(chuàng)建“綠色校園”，綠化校園環(huán)境，某校計劃分兩次購進A、B兩種花草，第一次分別購進A，B兩種花草30棵和15棵，共花費675元，第二次分別購進A、B兩種花草12棵和5棵，共花費265元（兩次購進同種花草和價格相同）．求：(1)A、B兩種花草每棵的價格分別是多少元？(2)若計劃購買A、B兩種花草共30棵，其中購買A種花草m棵，且，①求購買花草的總費用W（元）與m之間的函數關系式；②請你給出一種費用最省的方案，并求該方案所需費用．【解析】（1）設A種花草每棵的價格x元，B種花草每棵的價格y元，根據題意得：，解得；答：A種花草每棵的價格是20元，B種花草每棵的價格是5元．（2）①由題意得：；②由①可得：，∵，且，∴W隨m的增大而增大，∴當時，W取得最小值，此時，答：購進A種花草的數量為10棵、B種20棵，費用最省，最省費用是300元．14．某水果種植基地為響應政府號召，大力種植優(yōu)質水果．