《二項(xiàng)分布》同步學(xué)案

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《二項(xiàng)分布》同步學(xué)案問題情境導(dǎo)入播放某人在慈善會(huì)上投籃球的視頻,提出如下問題:(1)此人投球有幾種結(jié)果?(兩種)(2)哪兩種結(jié)果?(投中,投不中)(3)假設(shè)此人投球水平穩(wěn)定,且每球命中的概率都為0.8且相互之間不受影響,再投兩球都命中的概率是多少?新課自主學(xué)習(xí)自學(xué)導(dǎo)引1.n重伯努利試驗(yàn)一般地,在相同的條件下重復(fù)做n次______,且每次試驗(yàn)的結(jié)果都不受______的影響,稱這樣的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn).2.二項(xiàng)分布一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,用X表示這n次試驗(yàn)中成功的次數(shù),且每次成功的概率均為p,則X的分布列可以表示為P(X=k)=______(k=0,1,…,n).若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列如上所述,則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,簡(jiǎn)記為______.3.一般地,若隨機(jī)變量X~B(n,p),則EX=______,DX=______.特殊地,若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布,則EX=______,DX=______.答案1.伯努利試驗(yàn)其他試驗(yàn)結(jié)果2.3.預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)1.已知某品種的幼苗每株成活率為p,則栽種3株這種幼苗恰好成活2株的概率為()A.B.C.D.2.n重伯努利試驗(yàn)滿足的條件是______.(填序號(hào))①每次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的;②每次試驗(yàn)只有發(fā)生和不發(fā)生兩種情況;③每次試驗(yàn)中發(fā)生的機(jī)會(huì)是均等的;④每次試驗(yàn)發(fā)生的事件是互斥的.3.每次試驗(yàn)的成功率為p(0<p<1),重復(fù)進(jìn)行10次試驗(yàn),其中前7次都未成功后3次都成功的概率為()A.B.C.D.4.拋擲一枚均勻的硬幣三次,只有一次出現(xiàn)正面的概率為______.5.某一中學(xué)生心理咨詢中心服務(wù)電話的接通率為0.75,某班3名同學(xué)商定明天分別就同一問題詢問該服務(wù)中心且每人只撥打一次,則他們中成功咨詢的人數(shù)X服從______分布,即X~______.6.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B則EX=______.答案1.答案:D解析:令X為栽種3株這種幼苗成活的株數(shù),則X~B(3,p),故2.答案:①②③解析:由n重伯努利試驗(yàn)的定義知①②③正確.3.答案:C解析:略4.答案:解析:拋擲一枚均勻的硬幣,出現(xiàn)正面的概率為,由于每次試驗(yàn)的結(jié)果不受影響,故由n重伯努利試驗(yàn)可知,所求概率為5.答案:二項(xiàng)B(3,0.75)解析:略6.答案:2解析:隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,故新知合作探究探究點(diǎn)1n重伯努利試驗(yàn)知識(shí)詳解1.n重伯努利試驗(yàn)的定義一般地,在相同條件下重復(fù)做n次伯努利試驗(yàn),且每次試驗(yàn)的結(jié)果都不受其他試驗(yàn)結(jié)果的影響,稱這樣的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn).2.n重伯努利試驗(yàn)中的概率計(jì)算一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,用X表示這n次試驗(yàn)中成功的次數(shù),且每次成功的概率均為p,則X的分布列可以表示為特別提示1.在上述公式中,n是重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù),p是一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率,k是在n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生的次數(shù),只有弄清公式中n,p,k的意義,才能正確地運(yùn)用公式.2.n重伯努利試驗(yàn)中的概率求法的三個(gè)步驟(1)判斷:依據(jù)n重伯努利試驗(yàn)的特征,判斷所給試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn);(2)分拆:判斷所求事件是否需要分拆;(3)計(jì)算:就每個(gè)事件依據(jù)n重伯努利試驗(yàn)的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式計(jì)算.典例探究例1某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%,計(jì)算(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位):(1)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率;(2)5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率;(3)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確,且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率.解析先判斷是否為n重伯努利試驗(yàn),再代入n重伯努利試驗(yàn)的概率公式求解.答案(1)記預(yù)報(bào)一次準(zhǔn)確為事件A,則P(A)=0.8.5次預(yù)報(bào)相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),2次準(zhǔn)確的概率為因此5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率約為0.05,(2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的對(duì)立事件為“5次預(yù)報(bào)全部不準(zhǔn)確或只有1次準(zhǔn)確”,其概率為所以所求概率為1-P=1-0.01=0.99.所以5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率約為0.99.(3)說明第1,2,4,5次中恰有1次準(zhǔn)確.所以概率為所以恰有2次準(zhǔn)確,且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率約為0.02.變式訓(xùn)練1甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽,已知在一局比賽中甲隊(duì)勝的概率為,沒有平局若進(jìn)行三局兩勝制比賽,先勝兩局者為勝,甲獲勝的概率為______.答案點(diǎn)撥“甲獲勝”分兩類:①甲連勝兩局;②前兩局中甲勝一局,并勝最后一局.則探究點(diǎn)2二項(xiàng)分布的概念知識(shí)詳解1.二項(xiàng)分布若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,簡(jiǎn)記為X~B(n,p).特別提示①對(duì)于公式必須在滿足“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”時(shí)才能運(yùn)用,否則不能應(yīng)用該公式.②判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布,關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是對(duì)立性,即一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生與否兩者必有其一;二是重復(fù)性,即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次.2.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布在參數(shù)n=1時(shí)的特殊情況.典例探究例2下列說法正確的是______.(填序號(hào))①某同學(xué)投籃的命中率為0.6,他10次投籃中命中的次數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量,且X~B(10,0.6);②某福彩的中獎(jiǎng)概率為p,某人一次買了8張,中獎(jiǎng)張數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量,且X~B(8,p);③從裝有除顏色外完全相同的5個(gè)紅球、5個(gè)白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球?yàn)橹?則摸球次數(shù)X是隨機(jī)變量,且X~B(n,).解析①②顯然滿足二項(xiàng)分布的定義,而③雖然是有放回地摸球,但隨機(jī)變量X的定義是直到摸出白球?yàn)橹?摸球的次數(shù),也就是說前面摸出的一定是紅球,最后一次是白球,不符合二項(xiàng)分布的定義.答案①②變式訓(xùn)練2下列隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布嗎?如果服從,其參數(shù)各為多少?(1)100件產(chǎn)品中有3件不合格品,每次取一件,有放回地抽取三次,取得不合格品的件數(shù);(2)一個(gè)箱子內(nèi)有除顏色外完全相同的3個(gè)紅球,2個(gè)白球,從中依次取出2個(gè)球,取得白球的個(gè)數(shù).答案(1)服從二項(xiàng)分布,其參數(shù)為(2)不服從二項(xiàng)分布,因?yàn)槊看稳〉冒浊虻母怕什幌嗤?探究點(diǎn)3二項(xiàng)分布的均值和方差知識(shí)詳解一般地,若隨機(jī)變量X~B(n,p),則EX=np,DX=np(1-p).特殊地,若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布,則EX=p,DX=p(1-p).特別提示當(dāng)X服從二項(xiàng)分布時(shí),應(yīng)弄清X~B(n,p)中的試驗(yàn)次數(shù)n與成功概率p.典例探究例3一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué),從家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗,假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,并且概率都是.求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)的分布列及其均值.解析首先判斷是否服從二項(xiàng)分布,再求分布列.答案由題可得的分布列為P(=k)故的分布列如下表:012345P變式訓(xùn)練3在一次數(shù)學(xué)考試中,第14題和第15題為選做題.規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題.設(shè)4名考生選做每道題的可能性均為,且各人的選擇相互之間沒有影響.(1)求其中甲、乙2名考生選做同一道題的概率;(2)設(shè)這4名考生中選做第15題的人數(shù)為,求的分布列和方差.答案(1)設(shè)事件A表示“甲選做14題”,事件B表示“乙選做14題”,則甲、乙2名考生選做同一道題的事件為“”,且事件A,B相互獨(dú)立.所以(2)隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4,且~所以所以隨機(jī)變量的分布列如下表:01234P點(diǎn)撥根據(jù)互斥事件概率求出甲、乙2名考生選做同一道題的概率;4名考生中選做第15題的人數(shù)服從二項(xiàng)分布,用二項(xiàng)分布公式求解.易錯(cuò)易混解讀例9粒種子分別種在3個(gè)坑內(nèi),每坑放3粒,每粒種子發(fā)芽的概率為0.5,若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽,則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種,若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽,則這個(gè)坑需要補(bǔ)種.假定每個(gè)坑至多補(bǔ)種一次,求需要補(bǔ)種坑數(shù)的分布列.錯(cuò)解設(shè)需要補(bǔ)種的坑數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2,3.由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)知?jiǎng)t所求分布列如下表:X0123P錯(cuò)因分析將每粒種子發(fā)芽的概率與每坑不需要補(bǔ)種的概率混淆,從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.正解因?yàn)閱蝹€(gè)坑內(nèi)的3粒種子都不發(fā)芽的概率為所以單個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率為,不需補(bǔ)種的概率為設(shè)需要補(bǔ)種的坑數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2,3,這是3重伯努利試驗(yàn),因此所以需要補(bǔ)種坑數(shù)的分布列如下表:X0123P糾錯(cuò)心得審題不細(xì)致是解題錯(cuò)誤的主要原因之一,故審題時(shí)要認(rèn)真分析,弄清條件與結(jié)論,挖掘一切可用的解題信息.課堂快速檢測(cè)1.小王通過英語聽力測(cè)試的概率是他連續(xù)測(cè)試3次,那么其中恰有1次獲得通過的概率是()A.B.C.D.2.某射手射擊一次,擊中目標(biāo)的概率是0.9,他連續(xù)射擊三次,且他每次射擊是否擊中目標(biāo)之間沒有影響,有下列結(jié)論:①他三次都擊中目標(biāo)的概率是;②他第三次擊中目標(biāo)的概率是;③他恰好2次擊中目標(biāo)的概率是;④他恰好2次未擊中目標(biāo)的概率是.其中正確結(jié)論的序號(hào)是______(把正確結(jié)論的序號(hào)都填上)3.抽獎(jiǎng)一次中獎(jiǎng)的概率是90%,5個(gè)人各抽獎(jiǎng)一次恰有3人中獎(jiǎng)的概率為()A.B.C.D.4.某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)在連續(xù)射擊4次,則擊中目標(biāo)的次數(shù)X服從______分布,即X~______.5.某市公租房的房源位于A,B,C三個(gè)片區(qū),設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源,且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的.該市的4位申請(qǐng)人中恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為______.6.設(shè)X~B(4,p),且P(X=2)=,那么一次試驗(yàn)成功的概率p=______,EX=______,DX=______.答案1.答案:D解析:2.答案:①②④解析: