2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第5章三角函數(shù)5.6第2課時(shí)函數(shù)y＝Asinωx＋φ圖象及性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

第2課時(shí)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象及性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象．(重點(diǎn))2．能夠依據(jù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象確定其解析式．(易錯(cuò)點(diǎn))3．駕馭函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)，能夠利用性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題．(重點(diǎn))1．通過(guò)“五點(diǎn)法”作函數(shù)的圖象，培育直觀想象的素養(yǎng)．2．借助函數(shù)圖象求解析式，培育直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).類(lèi)型1“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象【例1】已知函數(shù)y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，x∈R.(1)用“五點(diǎn)法”作出它在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖；(2)該函數(shù)的圖象可由y＝sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到？[解](1)列表：2x＋eq\f(π,6)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(π,12)eq\f(π,6)eq\f(5π,12)eq\f(2π,3)eq\f(11π,12)y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))0eq\f(1,2)0－eq\f(1,2)0描點(diǎn)、連線，如圖所示．(2)函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的圖象，再保持縱坐標(biāo)不變，把橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的eq\f(1,2)倍，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象，再保持橫坐標(biāo)不變，把縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的eq\f(1,2)倍，得到函數(shù)y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象．1．“五點(diǎn)法”作圖的實(shí)質(zhì)利用“五點(diǎn)法”作函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，實(shí)質(zhì)是利用函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)最值點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．2．用“五點(diǎn)法”作函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)圖象的步驟第一步：列表．ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π,ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π,ω)－eq\f(φ,ω)f(x)0A0－A0其次步：在同一平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)．第三步：用光滑曲線連接這些點(diǎn)，形成圖象．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．已知函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)在[0，π]上的圖象．[解]f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，列表如下．2x－eq\f(π,3)－eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)πeq\f(5,3)πx0eq\f(π,6)eq\f(5,12)πeq\f(2,3)πeq\f(11,12)ππf(x)eq\f(1,2)10－10eq\f(1,2)圖象如圖．類(lèi)型2求三角函數(shù)的解析式【例2】如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的圖象的一部分，求此函數(shù)的解析式．借助函數(shù)圖象你能發(fā)覺(jué)哪些信息？參數(shù)A、ω、φ的求解分別與哪些信息相關(guān)？[解]法一：(逐肯定參法)由圖象知A＝3,T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．∵點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))在函數(shù)圖象上，∴－eq\f(π,6)×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z，又|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).法二：(五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法)由圖象知A＝3.∵圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(πω,3)＋φ＝π，,\f(5πω,6)＋φ＝2π，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ω＝2，,φ＝\f(π,3).))∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).法三：(圖象變換法)由A＝3，T＝π，點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))在圖象上，可知函數(shù)圖象由y＝3sin2x向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度而得，∴y＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))，即y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).給出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的一部分，確定A，ω，φ的方法(1)逐肯定參法：假如從圖象可干脆確定A和ω，則選取“五點(diǎn)法”中的“第一零點(diǎn)”的數(shù)據(jù)代入“ωx＋φ＝0”(要留意正確推斷哪一點(diǎn)是“第一零點(diǎn)”)求得φ或選取最大值點(diǎn)時(shí)代入公式ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，選取最小值點(diǎn)時(shí)代入公式ωx＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z.(2)五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法：將若干特別點(diǎn)代入函數(shù)式，可以求得相關(guān)待定系數(shù)A，ω，φ.這里須要留意的是，要認(rèn)清所選擇的點(diǎn)屬于五個(gè)點(diǎn)中的哪一點(diǎn)，并能正確代入列式．(3)圖象變換法：運(yùn)用逆向思維的方法，先確定函數(shù)的基本解析式y(tǒng)＝Asinωx，再依據(jù)圖象平移、伸縮規(guī)律確定相關(guān)的參數(shù)．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．(1)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為()A．y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋4B．y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋4C．y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))＋2D．y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))＋2(2)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為eq\f(π,2)，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，求f(x)的解析式．(1)A[由函數(shù)f(x)的最大值和最小值得A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，函數(shù)f(x)的周期為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))))×4＝4π，又ω＞0，所以ω＝eq\f(1,2)，又因?yàn)辄c(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，6))在函數(shù)f(x)的圖象上．所以6＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(π,2)＋φ))＋4，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝1，所以eq\f(π,4)＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－eq\f(π,4)，k∈Z，又|φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,4)，所以f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))＋4.](2)[解]由最低點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，得A＝2.在x軸上兩相鄰交點(diǎn)之間的距離為eq\f(π,2)，故eq\f(T,2)＝eq\f(π,2)，即T＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.由點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))在圖象上得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(2π,3)＋φ))＝－2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，故eq\f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝2kπ－eq\f(11π,6)(k∈Z)．又φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq\f(π,6).故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).類(lèi)型3函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例3】已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ<π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，0))對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是單調(diào)函數(shù)，求φ和ω的值．[解]∵f(x)在R上是偶函數(shù)，∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最大值或最小值，即sinφ＝±1，得φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.又0≤φ<π，∴φ＝eq\f(π,2).由f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，0))對(duì)稱(chēng)，可知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)ω＋\f(π,2)))＝0，解得ω＝eq\f(4,3)k－eq\f(2,3)，k∈Z.又f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是單調(diào)函數(shù)，∴T≥π，即eq\f(2π,ω)≥π，∴0<ω≤2，∴當(dāng)k＝1時(shí)，ω＝eq\f(2,3)；當(dāng)k＝2時(shí)，ω＝2.綜上，φ＝eq\f(π,2)，ω＝eq\f(2,3)或2.將本例中“偶”改為“奇”，“其圖象關(guān)于點(diǎn)Meq\f(3π,4)，0對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是單調(diào)函數(shù)”改為“在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(π,2)))上為增函數(shù)”，試求ω的最大值．[解]因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(0)＝sinφ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0.因?yàn)閒(x)＝sinωx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2ω)，\f(π,2ω)))上是增函數(shù)．所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(π,2)))?eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2ω)，\f(π,2ω)))，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ω＞0，,－\f(3π,2)≥－\f(π,2ω),\f(π,2)≤\f(π,2ω)，))，解得0＜ω≤eq\f(1,3)，所以ω的最大值為eq\f(1,3).探討函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質(zhì)的基本策略(1)首先將所給函數(shù)的解析式轉(zhuǎn)化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式．(2)熟記正弦函數(shù)y＝sinx的圖象與基本性質(zhì)．(3)充分利用整體代換思想解決問(wèn)題．(4)熟記有關(guān)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性的重要結(jié)論．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．(多選)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，以下命題中為真命題的是()A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,12)對(duì)稱(chēng)B．x＝－eq\f(π,6)是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)f(x)的圖象可由g(x)＝sin2x的圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度得到D．函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))上是增函數(shù)ABD[令2x＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，x＝eq\f(π,12)，即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,12)對(duì)稱(chēng)，選項(xiàng)A正確；令2x＋eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，x＝－eq\f(π,6)，即x＝－eq\f(π,6)是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)B正確；2x＋eq\f(π,3)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，故函數(shù)f(x)的圖象可由g(x)＝sin2x的圖象向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度得到，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))，則2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，故f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))上是增函數(shù)，選項(xiàng)D正確．故選ABD.]1．已知函數(shù)f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋\f(π,6)))(A＞0)在它的一個(gè)最小正周期內(nèi)的圖象上，最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離是5，則A等于()A．1 B．2C．4 D．8B[函數(shù)f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋\f(π,6)))(A>0)的周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6.∵函數(shù)f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋\f(π,6)))(A>0)在它的一個(gè)最小正周期內(nèi)的圖象上，最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離是5，∴eq\r(A2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,4)))2)＝eq\f(5,2)，∴A＝2，故選B.]2．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分圖象如圖所示，假如A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2)，則()A．A＝4 B．ω＝1C．φ＝eq\f(π,6) D．B＝4C[由圖象可知，A＝2，B＝2，eq\f(1,4)T＝eq\f(5π,12)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,4)，T＝π，ω＝2.因?yàn)?×eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6)，故選C.]3．同時(shí)具有性質(zhì)“(1)最小正周期是π；(2)圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱(chēng)；(3)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上單調(diào)遞增”的一個(gè)函數(shù)是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6))) B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C[由(1)知T＝π＝eq\f(2π,ω)，ω＝2，解除A.由(2)(3)知x＝eq\f(π,3)時(shí)，f(x)取最大值，驗(yàn)證知只有C符合要求．]4．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，列表如下：ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq