2022年北京信息工程學院某中學高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析

2022年北京信息工程學院附屬中學高三數(shù)學理上學期

期末試卷含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.如圖，設(shè)A8為圓錐PO的底面直徑,PA為母線,點C在底面圓周上，若PA=A8=2,

AC=8C,則二面角P-AC-B大小的正切值是()

A.6B.、3GC.7D.W

參考答案：

B

作AC的中點D,連接OD,PD,如圖所示：

根據(jù)已知可得，AC1SC,所以

因為D是AC的中點，所以所以々DO即為二面角P—ZC-A的平面角,

6-AC=—

因為PA=AB=2,所以AC=BC=J2,所以O(shè)D=22,

在ARM中，PO=、心_&，=4,

tanZ.PDO==R

OD立

所以在APOO中,T

2.已知全集七集合/-卜€(wěn)2人后卜-怦>5),則a9汨=

A。-]B,[3.5)c[4.5}D{3.4.5)

參考答案：

D

略

3.函數(shù)-J?-2x-3的單調(diào)增區(qū)間為(

)

A.(-00,7)B.(3,+?)c.J0，-1)和GLDD.3)和(3,X0)

參考答案:

A

略

4.在下列區(qū)間中，函數(shù)/(x)=d+4x-3的零點所在的區(qū)間為()

參考答案:

【知識點】函數(shù)零點的判定定理.B9

【答案解析】B解析：；f(0)=e°-3=-2<0f(1)=e'+4-3>0

.??根所在的區(qū)間x°e(0,1)排除A選項

5

f(￡)=e°-+2-3=V；-l>0

乂.?乙

1

根所在的區(qū)間x°e(0,2),排除D選項

最尸計算/申=^~2<°嗚T.<0

取后IT舁出4,44,

得出選項B符合；故選B.

11

【思路點撥】分別計算出f(0)、f(1),f(2),f(4)的值，判斷它們的正負，再

結(jié)合函數(shù)零點存在性定理，可以得出答案.

5.一只螞蟻在邊長為4的正三角形內(nèi)爬行，某時刻此螞蟻距三角形三個頂點的距離

均超過1的概率為

~\2D、*24-

參考答案：

答案：B

6.將函數(shù)的圖象(),可得到函數(shù)y=刀的圖象

()

A.向下平行移動1個單位B.向右平行移動1個單位

C.向左平行移動1個單位D.向上平行移動1個單位

參考答案：

C

略

7.定義在&上的函數(shù)/口)滿足/(4)=i,為了出的導函數(shù)，已知尸=/'(G的圖像

641

如圖所示，若兩個正數(shù)a、b滿足/Qa+W<1,則"的取值范圍

是()

<0.1)c/5、

參考答案:

【善案】D

【舞折】

試盤分析:根冬導函岫象可知，曲，/00在(6+8)上6調(diào)M*./(2o+fe><l=/(4),所以依題意可

x2+x+a,x<0

口，x>0

8.已知函數(shù)f(x)=1x的圖象上存在不同的兩點A、B,使得曲線y=f

(x)在這兩點處的切線重合，則實數(shù)a的取值范圍是()

11

A.(4,+8)B.(2,+8)C.(-8,2)D.(-1,4)

參考答案：

A

【考點】611：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【分析】先根據(jù)導數(shù)的幾何意義寫出函數(shù)f(X)在點A、B處的切線方程，再利用兩直線

1_

重合的充要條件：斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系式，從而得出a=W(t4+2t、8t+l),

t>0,由單調(diào)性可得出a的取值范圍.

【解答】解：當xVO時，f(x)=x?+x+a的導數(shù)為f'(x)=2x+l；

1J-

當x>0時，f(x)=*的導數(shù)為f'(x)=-x2,

設(shè)A(xi,f(xi)),B(x2,f(x2))為該函數(shù)圖象上的兩點，且xi<x”

當xi<X2<0,或O<xi<xz時，伊(xi)Wf'(X2),故xi<0<X2,

當Xi<0時，，函數(shù)f(x)在點A(xi,f(xD)處的切線方程為：

y-(xi2+xi+a)=(2xi+l)(x-xi):

1J-

--2

xx

當Xz>0時，函數(shù)f(x)在點B(xz,f(x2))處的切線方程為y-2=-2(x-

x2).

-L-2

2----

X2

兩直線重合的充要條件是-X2=2xi+l①，2=a-X1@,

1

由x,<O<X2得0<*2<1,

由①②令t=*2,則t>0,且a=4(t4+2t2+8t+l)在(0,+°°)為增函數(shù)，

1

...a>4,

故選：A.

n

9.在AABC中，a=2,b=￡，B=3,則A=

xn3賓w3賓

A.4B.3C.TD.彳或7

參考答案：

D

10.同理5設(shè)向量a=(xl),各=氏一回,且二_L；則向量短衣與否的夾角為()

IT<2JT5<

A.6B.3C.VD.6

參考答案：

D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.設(shè)a,B是兩個不重合的平面，a,b是兩條不同的直線，給出下列條件：

①a,B都平行于直線a,b；

②a,b是a內(nèi)的兩條直線，且2〃B,b〃B；

③a與b相交，且都在a,B外，a〃a,a〃B,b〃a,b〃B.

其中可判定a//B的條件是.（填序號）

參考答案：

②③

【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.

【分析】根據(jù)面面平行的判定定理，分別判斷，即可得出結(jié)論.

【解答】解：①a,P都平行于直線a,b,a,B可能相交、平行，不正確；

②a,b是a內(nèi)的兩條直線，且@〃8,b〃B,根據(jù)面面平行的判定定理，可知正確；

③a與b相交，且都在a,B外，a〃a,a〃B,b〃a,b〃B，根據(jù)面面平行的判定定

理，可知正確.

故答案為②③.

12.執(zhí)行右邊的程序框圖，若P=095,則輸出的%=.

參考答案:

6

…1?八崢

S=-+(-)+,,,+(—)1——

由程序框圖可知222，則2

￡=1-(2)5=0.9687>0.95

當”=5時,2時,此時耳=5+1=6,所以輸出力=6。

13.已知函數(shù)/(x)=x(1-a|x|)+1(a>0),若(x+a)<f(x)對任意的xdR恒成立,

則實數(shù)a的取值范圍是.

參考答案：

[\[2,+oo).

【分析】依題意，f由(x+a)<f(x)對任意的xGR恒成立，在同一坐標系中作出滿足題

意的y=f(x+a)與y=f(x)的圖象，可得x(1+ax)+1>(x+a)[1-a(x+a)]+1恒成立,

整理后為二次不等式，利用△4)即可求得實數(shù)a的取值范圍.

【解答】解：???f(x)=x(l-a|x|)

12i

a(x+石)￡一語‘x<0

x(l+ax)+l,x<012

)+1x〉0

+1=(x(1-ax)+l,da(a>0),

Af(x+a)=(x+a)(l-a|x+a|)+1,

Vf(x+a)<f(x)對任意的x￡R恒成立,

在同一坐標系中作出滿足題意的y=f(x+a)與y=f(x)的圖象如下:

Ax(1+ax)+1>(x+a)[1-a(x+a)]+1恒成立,

即x+ax2+l>-a(x2+2ax+a2)+x+a+l,

整理得：2x2+2ax+a2」K)恒成立,

AA=4a2-4x2(a2-l)<0,

解得：

故答案為：［&,+oo).

14.如果執(zhí)行的程序框圖如圖所示，那么輸出的S=

參考答案:

2550

【考點】程序框圖.

【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的

作用是累加并輸出S=0+2+4+6+…+100的值.

【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，

再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：

該程序的作用是累加S=0+2+4+6+…+100,

VS=0+2+4+6+—+100=2550.

故答案為：2550.

15.點汽2,-D為圓（X-5'+/=25的弦的中點，則該弦所在直線的方程是

參考答案：

x+1y-1=0

略

返1

16.已知實數(shù)U滿足k+如果目標函數(shù)z=i一y的最小值為-I,則實數(shù)

m?_______

參考答案：

5

17.已知,"）-前，各項均為正數(shù)的數(shù)列（外｝滿足為=1,q.2=/（/）,若

aJOM）=aXL2,則%0+/1的值是

參考答案：

3+13/

-26~o

128

由題意得，2,$3,1113,

~1+^5

?.?。刈0=。加12,且4.>0,=-2一,易得

a20lO=aXX='''=a24=a22=a24=a10,

-1+68_3+13-

.?.■+%】=-2—+13=-26-o

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.已知F為橢圓43的右焦點，M為C上的任意一點.

（1）求|MQ的取值范圍；

3

（2）P,N是C上異于M的兩點，若直線與直線PN的斜率之積為彳，證明:M,N

兩點的橫坐標之和為常數(shù).

參考答案：

解：解法一：（1）依題意得。=獨=5,所c-M

所以C的右焦點〃坐標為（L°）,

設(shè)C上的任意一點”的坐標為（x?%），

則43,

曠w問1-1/+%'-kW+3-%，

//I9**

=；x「-2x“+4=；&-4,

又因為-2542,所以14町'”

所以141MlM3,

所以修I的取值范圍為

（2）設(shè)尸、"、N三點坐標分別為（工,工）-（馬》?！?）4口】”）,

設(shè)直線/V、州斜率分別為4、勺，則直線Af方程為，?打

WN=L

■43

由方程組卜一"=*（*-*，）消去尸，得

（3f'*-馬代4-"）x+4Ve+4y7-12=。

由根與系數(shù)關(guān)系可得=-3+W,

,Uj(*!b%)

故=-3+='

*一—估J［二）

同理可得*3+4*/―

又、力4,

3

*

故起+3,

則“■3+3

從而x“+x“=°.

即"?N兩點的橫坐標之和為常數(shù).

解法二：（1）依題意得a="=6,所c-jo1-"-1,

所以C的右焦點〃坐標為（L。），

設(shè)C上的任意一點”的坐標為?匕J,

設(shè)。上的任意一點”的坐標為I2?0yQ.”），

則產(chǎn)『+（g?naj=（msa-2）1

又因為-14oKa41,所以14Mf",

所以”阿.，

所以町的取值范圍為"L

（2）設(shè)產(chǎn),”兩點坐標分別為線段皿、m的中點分別為昆，，點

用的坐標為（又「％）,直線府、網(wǎng),af的斜率分別為與'4>■與，

,V,

4比3

￥,

號3

由方程組b得

y.y.'y=——3—

所以?r+?M4,

X--Zt3

所以B-4rN=.，

又因為‘'一彳，

所以勺=，

所以對“OR,

所以卬的中點在C因上，

同理可證：卬的中點在“上,

所以點O為線段"V的中點.

根據(jù)橢圓的對稱性，

所以N兩點的橫坐標之和為常數(shù).

19.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]

在平面直角坐標系xoy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度，建立

K為參數(shù))，曲線

3+2—a,(AG[0,2].a

x

C2的極坐標方程為psin(0+f)=a(a€R),若曲線Ci與曲線C2有且僅有一個公共點，求實數(shù)

a的值.

參考答案：

【考點】參數(shù)方程化成普通方程.

【分析】求出兩曲線的普通方程，根據(jù)直線與圓相切列方程解出a.

【解答】解：曲線Ci的方程為(x-?)2+(y-3)2=4,圓心坐標為電,3),半徑為

2.

此處l0加廣土104Psin(8+~^-)=a(a€R)^■Psin。坐Pcos8

??,曲線C2的極坐標方程為3,??.2+2=a,

???曲線C2的直角坐標方程為Fx+y-2a=0,

???曲線C|與曲線C2有且僅有一個公共點，

|3+3-2a|

:.2=2,解得a=l或a=5.

20.(本小題滿分12分)如圖1,在直角梯形中，ZADC=90°,CD/IAB,

AB=4,AD=CD=2t朋■為線段力5的中點.將沿4c折起，使平面g_L平面

ABC,得到幾何體D-/C,如圖2所示.

(1)求證：3C_L平面4CD；

(2)求二面角R-CD-M的余弦值.

D

參考答案：

(1)在圖1中，可得4c=BC=2應(yīng)，從而/'+皮^=*52,

故力CJL8C.

取/C中點。連結(jié)。0,則Z)O_LAC,又面4Z)C1面

面4DCn面45C=4C,DOu面4CD,從而。OJ?平面45C.

.-.OD1BC,又＜C_L3C,ACf}OD=O,

.?.3C_L平面乂CD.

(2)建立空間直角坐標系。一平如圖所示，

則M(0/0),C(-&,0),D(0,0,j2),而=(660),

麗=(立0.0)

CM-0+上y=。j,=-x

設(shè)為=(x/.z)為面C2W的法向量，貝/-CD=0即［岳+岳=0,解得〔z=r

令x=-l,可得型=(-LLl).

----&餐1由

一..COSV%,厘；＞=-一=fe-=-7?=—

又叼=(0.1.0)為面/CD的一個法向量，，|均11的I、/33

縣

二面角/一CD-M'的余弦值為手.

21.（本小題滿分12分）在如圖所示的多面體ABCDE中，AB_L平面ACD,DE±

平面ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,G為AD中點.

（1）請在線段CE上找到點F的位置，使得恰有直線BF〃平面ACD,并證明

這一事實；

（2）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小；

（3）求點G到平面BCE的距離.

B

參考答案：

解法一：以D點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，使得x軸和z軸的正半軸

分別經(jīng)過點A和點E,則各點的坐標為4（2，QQ）,

f（0.0,2）,5（2,0.1）,CQ.W.G）,

（1）點F應(yīng)是線段CE的中點，下面證明：

尸（1,在」）B?=（-2,Ao）

設(shè)F是線段CE的中點，則點F的坐標為?2\A22，

顯然麗與平面平行，此即證得BF〃平面ACD；4

(2)設(shè)平面BCE的法向量為四二(x/，z),

則■而，且而，

由法=(卜的,】)，C￡=(-l.-j3,2).

x-?+z=orx=i

...[一了一招y+22=0,不妨設(shè)y=，,則卜=2,即7=(1.4⑵，

A?(0.0,1)點”

所求角3滿足1r12,4；................8分

(3)由已知G點坐標為(1,0,()),；.8G=(-1.0.-l),

由(2)平面BCE的法向量為7?4⑵，

,BG3q

d=|—3-1=一42

...所求距離舊I4.............12分

解法二：(1)由已知ABJ_平面ACD,DE_L平面ACD,AAB//ED,

設(shè)F為線段CE的中點，H是線段CD的中點，

[

連接FH,則,：.FHUAB,...........2

分

四邊形ABFH是平行四邊形，

由M(Z平面ACD內(nèi)，血U平面ACD,8F〃平面

ACD；...............4分

(2)由已知條件可知即為ABCS1在平面ACD上的射影,

.二r

力

設(shè)所求的二面角的大小為6,則

cos8=

壬2,...6分

易求得BC=BE=,CE=242,

卜_(等=”

,=21CR1

而SJUTO=￥"C「='

J3

8$?=退=立

0<6<一

/.3▲屬y2,而2,

&=一

???4；........................8分

(3)連結(jié)BG、CG、EG,得三棱錐C—BGE,

由EDJ■平面ACD,二平面ABED±平面ACD，

又CG_L4),.?.CGJ■平面ABED,

設(shè)G點到平面BCE的距離為々，則%㈤=嚷交F即

WS??xGC=3最1xA

，3,

由％初=之53=遍,CG=6

3

上SsxOC一工”后

：.53/4即為點G到平面BCE的距離..............12

分

略

22.已知函數(shù)''4為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)若曲線V-小)在點(。/(0))(處的切線與曲線了=弁(力在點(°，弁(°))處的切線

=—P4-ax——

互相垂直，求函數(shù)4在區(qū)間上的最大值;

MH=g(*)J(力Vg(r)

(2)設(shè)函數(shù),試討論函數(shù)零點的個數(shù).

參考答案:

7

(1)彳；(2)見解析.

【分析】

(1)分別求出y=f(x)與y=g(x)在x=0處的導數(shù)，利用斜率之積等于-1求得。，得到

f(x)解析式，再由導數(shù)判斷f(x)在區(qū)間［-1,1］上單調(diào)遞減，從而求得最大值；

(2)函數(shù)/(力=/-.在R上單調(diào)遞增，僅在x=l處有一個零點，且x<l時，g(x)<

0,再山導數(shù)分類判定f(x)的零點情況，則答案可求.

【詳解】