安徽省合肥市百花中學(xué)等四校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月期中數(shù)學(xué)試題

合肥百花中學(xué)等四校2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期高二年級期中考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列{a?}滿足則（）A.10 B.12 C.26 D.28【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件可構(gòu)造數(shù)列為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即求出結(jié)果.【詳解】由可得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比等比數(shù)列；因此，即；所以.故選：D2.設(shè)函數(shù)，則A.為的極大值點(diǎn) B.為的極小值點(diǎn)C.為的極大值點(diǎn) D.為的極小值點(diǎn)【答案】D【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)椋裕?，所以為的極小值點(diǎn)．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則．點(diǎn)評：極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．3.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A.1盞 B.3盞C.5盞 D.9盞【答案】B【解析】【詳解】設(shè)塔頂?shù)腶1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故選B．4.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.和【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)可得，令，解不等式即可求解.【詳解】，則且，令或，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和.故選：D5.已知函數(shù)的大致圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則的圖象可能是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】由的圖象可知，當(dāng)時，當(dāng)時，即可求解.【詳解】由的圖象可知，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.結(jié)合選項(xiàng)可知：C正確，ABD錯誤.故選：C6.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，求得．【詳解】詳解：，將代入得，故選D．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵得到含有a，b的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點(diǎn)在曲線上得到方程關(guān)系．7.已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是公差為的等差數(shù)列B.數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列C.數(shù)列是公比為的等比數(shù)列D.數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列【答案】C【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式，化簡變形可得即可判斷數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.【詳解】∵，∴，既不是等比數(shù)列也不是等差數(shù)列；∴，∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．故選：C8.若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B.]C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)在上單調(diào)遞增可得在上恒成立，即可求解.【詳解】，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以即在上恒成立，所以，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A.B.函數(shù)的值域?yàn)镽C.若是的極值點(diǎn)，則D.若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】【分析】求導(dǎo)可得，利用導(dǎo)數(shù)分類討論當(dāng)、時對應(yīng)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的概念依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】，則，當(dāng)即時，方程至多有1個實(shí)根，此時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)即時，方程有2個不等的實(shí)根，設(shè)為，且，則，；，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.A：當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，故A正確；B：由選項(xiàng)A知，的值域?yàn)镽，故B正確；C：若是的極值點(diǎn)，則，故C正確；D：若是的極小值點(diǎn)，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：ABC10.公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.C中最大 D.【答案】CD【解析】【分析】由得，由得，則，即可判斷ABC；根據(jù)和等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可得，即可判斷D.【詳解】A：由，得，由，得，所以，所以，故A錯誤；B：由選項(xiàng)A的分析知，，故B錯誤；C：因?yàn)?，，，所以?shù)列是遞減數(shù)列，其前6項(xiàng)為正，從第7項(xiàng)起均為負(fù)，故最大，故C正確；D：由選項(xiàng)A的分析知，，，，所以，且，即，所以，故D正確.故選：CD11.若，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由和，構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)研究兩個函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可求解.【詳解】A：若，則.設(shè)，則，所以函數(shù)上單調(diào)遞增，由，得，即，故A正確；B：由選項(xiàng)A的分析知，，故B錯誤；C：若，則.設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，的，即，故C正確；D：由選項(xiàng)C的分析知，，故D錯誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較函數(shù)值的大小是解決本題的關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)可得，令即可求解.【詳解】由題意知，，所以，解得.故答案為：13.函數(shù)f（x）＝xsinx＋cosx（0≤x≤π）的最大值為_______【答案】【解析】【詳解】解析：∵f′（x）＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，∴當(dāng)x∈（0，）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（，π）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，∴f（x）的最大值為f（）＝.【考查意圖】求函數(shù)的最值（三角函數(shù)為載體）.14.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)得到是首項(xiàng)為1，公比是2的等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式.【詳解】①，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，②，①②得，，即，所以，是首項(xiàng)為1，公比是2的等比數(shù)列，故.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）列式求解公差，寫出等差數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，∵，∴，解得，∴．【小問2詳解】，∴．16.已知函數(shù)在處取得極大值為9.（1）求的值;（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【答案】（1）（2）9．【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，極值點(diǎn)導(dǎo)函數(shù)的值為0，聯(lián)立此處函數(shù)值為極大值，求解的值。（2）求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)正負(fù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性得出對應(yīng)區(qū)間的最值?！拘?詳解】，依題意得，即，解得．檢驗(yàn)，當(dāng)時，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.滿足題意，所以.小問2詳解】由（1）得，，令，得；令，得或，在上的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為．，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9．17.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，分與兩種情況，求解單調(diào)性；（2）參變分離，得到，構(gòu)造，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，求出最大值，得到.【小問1詳解】.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】的定義域?yàn)?，若恒成立，則恒成立，即恒成立，令，只需，又，令得，時，，則單調(diào)遞增；時，，則單調(diào)遞減；故在時取得極大值，也時最大值.所以，解得：，故a的取值范圍是.18.已知數(shù)列滿足：．（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列定義證明，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由題意可得，利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以是首?xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，所以．【小問2詳解】因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所，故．，①，②①②得，所以．19.已知函數(shù).（1）設(shè)是的極值點(diǎn).求a，并求的單調(diào)區(qū)間;（2）證明:當(dāng)時，【答案】（1），減區(qū)間為，增區(qū)間為．（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)求得，則，利用二階導(dǎo)數(shù)討論的