高三數(shù)學(xué)訓(xùn)練參考答案516

參考答案：1．C【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念列方程求即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以且，所以．故選：C.2．C【分析】由題意可知實(shí)質(zhì)是求交點(diǎn)，進(jìn)而聯(lián)立組成方程組求解即可.【詳解】解：集合與集合均為點(diǎn)集，實(shí)質(zhì)是求與的交點(diǎn)，所以聯(lián)立組成方程組得，解得，或，從而集合，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3．D【分析】根據(jù)已知可推得，進(jìn)而即可求出投影向量.【詳解】根據(jù)已知可得，所以，.所以，在上的投影向量為.故選：D.4．D【分析】對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)加以分析：根據(jù)空間兩直線的位置關(guān)系判定的方法，得到、兩項(xiàng)都不具備必要性，故錯(cuò)；根據(jù)空間直線與平面的位置關(guān)系判定方法，得到?jīng)]有必要性，而是一個(gè)必要非充分條件．由此可得正確答案．【詳解】解：對(duì)于，若“且”則必定“或、相交或、是異面直線”成立，故充分性不成立．而若““則不一定“且”，可能，都垂直于，故必要性也不成立．故錯(cuò)；對(duì)于，若“且”則有“”成立，應(yīng)該是充分不必要條件，故錯(cuò)；對(duì)于，若“且”成立，則有“或、是異面直線或、相交”成立，應(yīng)該是既不充分也不必要條件，故錯(cuò)；對(duì)于，若“，與所成角相等”不能推出“”，說(shuō)明沒(méi)有充分性，反之若“”則必定有“，與所成角相等”成立，因此符合題是必要非充分條件，正確故選：．【點(diǎn)睛】本題以空間直線的位置關(guān)系為例，考查了充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．解題時(shí)應(yīng)該注意合理利用空間直線與直線、平面與直線位置關(guān)系的常用結(jié)論．5．B【分析】根據(jù)給定條件，利用和角的正切公式求出，再利用和差角的正余弦公式，結(jié)合齊次式法求解即得.【詳解】由，得，解得，又，所以.故選：B6．C【分析】根據(jù)橢圓的定義求出，再由，即可求解.【詳解】由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知P，Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，則四邊形為平行四邊形，由橢圓定義可知：，又，，所以，又過(guò)原點(diǎn)，所以，所以的周長(zhǎng)的最小值為：.故選：C

7．A【分析】構(gòu)造特殊函數(shù)排除法即可.【詳解】由題意可知，滿足題意.選項(xiàng)A，，是周期函數(shù).而選項(xiàng)B，，選項(xiàng)C，，選項(xiàng)D，，均不是周期函數(shù)，故排除BCD.選項(xiàng)A，證明：設(shè)，，則是以為周期的函數(shù).故選：A.8．C【分析】先利用兩數(shù)列的通項(xiàng)公式分析兩數(shù)列相同項(xiàng)的特點(diǎn)，得到的奇偶項(xiàng)的性質(zhì)，從而得解.【詳解】設(shè)，則，可得，則為3的倍數(shù)或?yàn)?的倍數(shù)，設(shè)或，則或，故的奇數(shù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)為t，偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)為r，又，由，解得（舍去），由，解得，484是數(shù)列中的第14項(xiàng)．故選：C．9．BCD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】A中，由正切函數(shù)的性質(zhì)，可得為非奇非偶函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；B中，令，可得，即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令，可得，所以B正確；C中，令，可得，令，可得，故為其圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，所以C正確；D中，函數(shù)的最小正周期為，所以D正確.故選：BCD.10．ACD【分析】利用設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合判別式為0，求出蒙日?qǐng)A方程判斷A；求出的面積的最大值，即可判斷B；判斷以為直徑的圓與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可判斷C；設(shè)，求出的表達(dá)式，結(jié)合橢圓方程化簡(jiǎn)，求出其值，判斷D.【詳解】因?yàn)闄E圓方程為，故，當(dāng)橢圓的兩條互相垂直的切線，一條斜率不存在，另一條斜率為0時(shí)，切線分別經(jīng)過(guò)長(zhǎng)軸端點(diǎn)和短軸端點(diǎn)，此時(shí)切線的交點(diǎn)為；當(dāng)橢圓的兩條互相垂直的切線斜率均存在時(shí)，設(shè)兩切線交點(diǎn)為，切點(diǎn)為，切線方程設(shè)為，聯(lián)立，整理得，由于直線與橢圓相切，故，即，由于兩切線的斜率即為該方程的兩個(gè)根，即，又因?yàn)?，則，即，此時(shí)兩切線交點(diǎn)的軌跡方程為，而也適合該方程，故該橢圓的蒙日?qǐng)A的方程為，A正確；

當(dāng)Q點(diǎn)位于圓與y軸的交點(diǎn)處時(shí)，取到最大值，最大值為,即不存在點(diǎn)使的面積為25，B錯(cuò)誤；由于，故以為直徑的圓的方程為，而橢圓的短半軸長(zhǎng)為，故圓與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，正確；由題意知，設(shè)，則，故，故，D正確.故選：ACD.11．BCD【分析】設(shè)植物總數(shù)為，壽命為年的植物數(shù)為，由題意，在此基礎(chǔ)上利用變形推理得出，即可判斷AC，再由的關(guān)系求出判斷B，根據(jù)錯(cuò)位相減法求和判斷D.【詳解】設(shè)植物總數(shù)為，壽命為年的植物數(shù)為，由題意，，則①②②①得，，即，故，故A錯(cuò)誤；由，故，故B正確；由，故，即為等比數(shù)列，故C正確；因?yàn)?，設(shè)，則，，相減可得，所以，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：難點(diǎn)在于理解對(duì)任意正整數(shù)，壽命恰好為的植物在所有壽命不小于的植物中的占比為，這句話的數(shù)量表示是本題推理論證的的基礎(chǔ)，能否理解并用數(shù)學(xué)式子表示是解題的關(guān)鍵與難點(diǎn).12．90.5【分析】計(jì)算，即可確定這15人成績(jī)的第80百分位數(shù)為第12和第13個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由此可得答案.【詳解】因?yàn)?，將?shù)據(jù)從小到大排序得56、70、72、78、79、80、81、83、84、86、88、90、91、94、98，故這15人成績(jī)的第80百分位數(shù)為，故答案為：90.5.13．【分析】根據(jù)題意，取的中點(diǎn)，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)求解出,，得到是二面角的平面角.根據(jù)余弦值為，求解出，判斷是正四面體，放置在正方體中，進(jìn)而求出外接球的表面積.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，則，，故是二面角的平面角,因?yàn)?所以,在中，由余弦定理,得，故四面體是正四面體.如圖所示，將其放置在正方體中，使得，，，是正方體的四個(gè)頂點(diǎn)，則正方體的棱長(zhǎng)為，體對(duì)角線長(zhǎng)，即四面體的外接球的半徑為，所以外接球的表面積為.故答案為：14．【分析】對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，令，整理得可得，構(gòu)建，結(jié)合的圖象分析的零點(diǎn)分布，結(jié)合二次函數(shù)列式求解即可.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0；作出的圖象，如圖所示，對(duì)于關(guān)于x的方程，令，可得，整理得，且不為方程的根，可知方程等價(jià)于，若方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，可知有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且或或，構(gòu)建，若，則，解得；若，則，解得，此時(shí)方程為，解得，不合題意；若，則，解得，此時(shí)方程為，解得，不合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)值或取值范圍的方法（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解．（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域（最值）問(wèn)題求解．（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解．15．(1)；；(2)．【分析】（1）利用等差數(shù)列性質(zhì)求出通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）設(shè)的公差為，因?yàn)?，所以，……?分又，所以，解得，…………..3分所以，……….4分．………..6分（2），………9分所以………11分．……………….13分16．（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，由且求得，并檢驗(yàn)0是極值點(diǎn)；（Ⅱ）不等式化為，引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求得的最小值，最小值大于0，從而證得不等式成立．【詳解】（Ⅰ）解：由已知，，則

………..4分解得，

………..6分經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

…….7分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，．………8分要證，只需證．即．

………….9分

令，則．

…….10分令，解得．

，的變化情況如下表所示1－0+單調(diào)遞減1單調(diào)遞增……………….13分所以，時(shí)，有最小值．故成立………15分17．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，利用線面垂直的判定定理證得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）由(1)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法分別求出平面、平面的法向量，結(jié)合空間向量的數(shù)量積定義計(jì)算即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為的菱形，所以，因?yàn)?所以是等邊三角形，………2分所以,……………..3分因?yàn)?，所以，…?4分因?yàn)?，所以，所以………?5分因?yàn)?，平面，所以平面，……?分因?yàn)槠矫?，所以平面平面；…………?7分（2）因?yàn)?，所以，…?.8分由（1）知，平面平面，而平面平面，平面，所以平面，………9分所以直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，…..10分所以，設(shè)平面的法向量為，由，取，得，………11設(shè)平面的法向量為，由，取，得，…….12分所以，…………..13分由圖可知二面角為銳二面角，………14分所以二面角的余弦值為……….15分18．（Ⅰ）;（Ⅱ）（?。┮?jiàn)解析；（ⅱ）的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率和焦點(diǎn)求方程；（Ⅱ）（?。┯牲c(diǎn)P的坐標(biāo)和斜率設(shè)出直線l的方程和拋物線聯(lián)立，進(jìn)而判斷點(diǎn)M在定直線上；（ⅱ）分別列出，面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)求最值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．試題解析：（Ⅰ）由題意知：，解得．因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，所以橢圓的方程為．……3分（Ⅱ）（1）設(shè)，由可得，所以直線的斜率為，其直線方程為，即．……..4分設(shè)，聯(lián)立方程組消去并整理可得，………5分故由其判別式可得且，…….6分故,……7分代入可得，…….7分因?yàn)?，所以直線的方程為．…….8分聯(lián)立可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)在定直線上．……..9分（2）由（1）知直線的方程為，令得，所以，…….10分又，…….12分所以，……..13分，…..14分所以，令，則，….15分因此當(dāng)，即時(shí)，最大，其最大值為，此時(shí)滿足，…….16分所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．….17分考點(diǎn)：橢圓方程；直線和拋物線的關(guān)系；二次函數(shù)求最值；運(yùn)算求解能力．19．(1)90秒(2)分布列見(jiàn)解析；期望秒(3)，當(dāng)取得最大值時(shí)的取值為1【分析】（1）先優(yōu)化假設(shè)，將士兵相遇時(shí)的轉(zhuǎn)身改為互相穿過(guò)，然后計(jì)算單個(gè)士兵可能走的最遠(yuǎn)路程，再求得時(shí)間；（2）列出T的所有可能取值并計(jì)算概率，然后列出分布列，根據(jù)期望公式計(jì)算；（3）先優(yōu)化假設(shè)，假設(shè)指揮官以外的士兵之間不會(huì)碰撞，并且初始背對(duì)指揮官的士兵一開(kāi)始就直接消失，而初始面對(duì)指揮官的士兵在與指揮官相撞后也會(huì)消失；然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布相關(guān)的問(wèn)題，求出概率；再研究的單調(diào)性即可得出最大時(shí)的取值.【詳解】（1）由于兩個(gè)士兵面對(duì)面相遇并轉(zhuǎn)身等價(jià)于兩個(gè)士兵互相穿過(guò)且編號(hào)互換，所以在最長(zhǎng)時(shí)間下，坐標(biāo)為10處的士兵必須向右，最長(zhǎng)時(shí)間為秒，所以3個(gè)士兵全部離開(kāi)橋面的最長(zhǎng)時(shí)間為90秒………3分（2）T的可能取值為50，60，70，80，90，………4分，所以T的分布列T5060708090P……………7分期望秒………8分（3）本小問(wèn)的解答將分為4步進(jìn)行.第1步我們將把問(wèn)題優(yōu)化假設(shè)為以下情況：初始背對(duì)指揮官的士兵在一開(kāi)始就消失，而初始面對(duì)指揮官的士兵在和指揮官相撞時(shí)也會(huì)消失；第2步我們將說(shuō)明，在此種假設(shè)下，指揮官?gòu)某跏济鎸?duì)的方向離開(kāi)的充要條件是，初始狀態(tài)下他前方的士兵中面對(duì)他的士兵數(shù)量，不超過(guò)初始狀態(tài)下他后方的士兵中面對(duì)他的士兵數(shù)量；第3步我們利用服從二項(xiàng)分布，求出；第4步我們說(shuō)明是遞減數(shù)列，從而當(dāng)取到最大值時(shí)，.第1步：根據(jù)題意，我們知道指揮官左邊有個(gè)士兵，右邊有個(gè)士兵.由于兩個(gè)士兵面對(duì)面相遇并轉(zhuǎn)身等價(jià)于兩個(gè)士兵互相穿過(guò)且編號(hào)互換，但我們只需要研究指揮官離開(kāi)橋面的方式，無(wú)需考慮其它士兵的編號(hào)，所以我們不妨設(shè)除指揮官外的士兵兩兩之間不會(huì)碰撞，而是相遇后互相穿過(guò)對(duì)方.不過(guò)，我們依然要考慮指揮官和士兵之間的碰撞.在作出了除指揮官外的士兵兩兩之間不會(huì)碰撞的假設(shè)下，我們又有以下結(jié)論：①在指揮官左（右）邊的，初始方向朝左（右）的士兵（也就是初始時(shí)背對(duì)指揮官的士兵）永遠(yuǎn)不會(huì)和指揮官相撞，因?yàn)檫@樣的士兵和指揮官都在橋上時(shí)，他們之間的距離永遠(yuǎn)不會(huì)減少；②士兵一旦和指揮官相撞一次，就不會(huì)再次相撞，因?yàn)楹椭笓]官相撞后的士兵將進(jìn)入背對(duì)指揮官的狀態(tài)，如①中所述，他們不可能再次相撞.從而，我們還可以不妨假設(shè)：①在指揮官左（右）邊的，初始方向朝左（右）的士兵（也就是初始時(shí)背對(duì)指揮官的士兵）在開(kāi)始的一瞬間就消失；②而剩下的那些士兵（也就是初始面對(duì)指揮官的士兵）一旦和指揮官相撞，就會(huì)在相撞的瞬間消失（從而他們消失之前，始終面對(duì)指揮官）.第2步：設(shè)表示指揮官初始面向的那些士兵中，一開(kāi)始面向指揮官的士兵數(shù)量；表示指揮官初始背對(duì)的那些士兵中，一開(kāi)始面向指揮官的士兵數(shù)量.根據(jù)之前的假設(shè)，一開(kāi)始背對(duì)指揮官的士兵會(huì)直接消失，因此初始狀態(tài)下，指揮官前方有個(gè)士兵，且都面朝指揮官；指揮官后方有個(gè)士兵，且也都面朝指揮官.然后，我們考慮指揮官開(kāi)始移動(dòng)后發(fā)生的事情.指揮官會(huì)先和他前面的一個(gè)士兵碰撞，然后轉(zhuǎn)向，和他相撞的士兵隨即消失，此時(shí)指揮官初始朝向和初始背向的士兵數(shù)量分別是和.然后指揮官又會(huì)先和他前面（也就是初始背對(duì)）的一個(gè)士兵發(fā)生碰撞，然后轉(zhuǎn)向，和他相撞的士兵隨即消失，此時(shí)指揮官初始朝向和初始背向的士兵數(shù)量分別是和；以此類(lèi)推……直至某一刻，指揮官行進(jìn)的方向上沒(méi)有士兵，這時(shí)指揮官會(huì)從行進(jìn)的方向離開(kāi)橋.這表明，為判斷指揮官最終離開(kāi)橋的方向，我們只需要輪流給和減1，直至這兩個(gè)數(shù)中的某一個(gè)數(shù)達(dá)到0，在試圖減1時(shí)無(wú)法再減少.若最終無(wú)法再減少，則指揮官會(huì)從初始面向的方向離開(kāi)橋；若最終無(wú)法再減少，則指揮官會(huì)從初始面向的方向離開(kāi)橋.所以，指揮官?gòu)乃某跏挤较螂x開(kāi)橋，當(dāng)且僅當(dāng).第3步：由于