第十章第三節(jié)變量的相關(guān)性與一元線(xiàn)性回歸模型

第三節(jié)變量的相關(guān)性與一元線(xiàn)性回歸模型【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.結(jié)合實(shí)例,了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義,了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.2.結(jié)合實(shí)例,會(huì)通過(guò)相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性.3.結(jié)合具體實(shí)例,了解一元線(xiàn)性回歸模型的含義,了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義,了解最小二乘原理,掌握一元線(xiàn)性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法,會(huì)使用相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件.4.針對(duì)實(shí)際問(wèn)題,會(huì)用一元線(xiàn)性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).【考情分析】考點(diǎn)考法:高考命題常以現(xiàn)實(shí)生活為載體,考查樣本相關(guān)系數(shù)、一元線(xiàn)性回歸方程、非線(xiàn)性回歸方程;一元線(xiàn)性回歸方程是高考熱點(diǎn),三種題型都會(huì)出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系:兩個(gè)變量有關(guān)系,但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度,這種關(guān)系稱(chēng)為相關(guān)關(guān)系.(2)相關(guān)關(guān)系的分類(lèi):正相關(guān)和負(fù)相關(guān).(3)線(xiàn)性相關(guān):一般地,如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān),而且散點(diǎn)落在一條直線(xiàn)附近,我們就稱(chēng)這兩個(gè)變量線(xiàn)性相關(guān).【微點(diǎn)撥】散點(diǎn)圖是描述成對(duì)數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種直觀方法,觀察散點(diǎn)圖可以大致看出兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系.2.樣本相關(guān)系數(shù)(1)樣本相關(guān)系數(shù)(2)樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[1,1],是一個(gè)描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征,它的正負(fù)性可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征,它的絕對(duì)值大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間線(xiàn)性相關(guān)的程度:①當(dāng)r>0時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);②當(dāng)r<0時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).③當(dāng)|r|越接近1時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng);④當(dāng)|r|越接近0時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度越弱.3.經(jīng)驗(yàn)回歸模型我們將=x+稱(chēng)為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,其中=yx.4.對(duì)模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)效果的分析(1)殘差圖法在殘差圖中,如果殘差比較均勻地集中在以橫軸為對(duì)稱(chēng)軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi),則說(shuō)明經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫(huà)了兩個(gè)變量的關(guān)系.(2)殘差平方和法殘差平方和越小,模型的擬合效果越好.(3)決定系數(shù)R2法可以用決定系數(shù)來(lái)比較兩個(gè)模型的擬合效果,R2越大,模型的擬合效果越好,R2越小,模型的擬合效果越差.【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類(lèi)型辨析改編易錯(cuò)題號(hào)12,341.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的有 ()A.相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系B.散點(diǎn)圖是判斷兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的一種重要方法和手段C.經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)=x+至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一個(gè)點(diǎn)D.樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1,成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)【解析】選ABD.由相關(guān)關(guān)系的定義可知:相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,所以選項(xiàng)A正確;因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖是描述成對(duì)數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種直觀方法,觀察散點(diǎn)圖可以大致看出兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系,所以選項(xiàng)B正確;由經(jīng)驗(yàn)回歸方程=x+過(guò)點(diǎn)(x,y)知,不一定過(guò)樣本數(shù)據(jù),所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤;由相關(guān)系數(shù)的大小與樣本相關(guān)關(guān)系可知,選項(xiàng)D正確.2.(選修第三冊(cè)P101例1改編)對(duì)于x,y兩個(gè)變量,有四組成對(duì)樣本數(shù)據(jù),分別算出它們的樣本相關(guān)系數(shù)r如下,則線(xiàn)性相關(guān)性最強(qiáng)的是 ()A.0.82 B.0.78 C.0.69 D.0.87【解析】選D.由樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值|r|越接近1,變量間的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)知,各選項(xiàng)中r=0.87的絕對(duì)值最接近1.3.(選修第三冊(cè)P103習(xí)題1改編)根據(jù)所示的散點(diǎn)圖,下列說(shuō)法正確的是 ()A.身高越高,體重越大B.身高越高,體重越小C.身高和體重呈正相關(guān)D.身高和體重呈負(fù)相關(guān)【解析】選C.根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可得:身高和體重呈正相關(guān).4.(誤認(rèn)為經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn))某互聯(lián)網(wǎng)公司借助某平臺(tái)推廣自己的產(chǎn)品,對(duì)今年前5個(gè)月的月平臺(tái)推廣費(fèi)用x(單位:百萬(wàn)元)與月利潤(rùn)額y(單位:百萬(wàn)元)進(jìn)行了初步統(tǒng)計(jì),得到下列表格中的數(shù)據(jù):x24568y304060p70經(jīng)計(jì)算,月平臺(tái)推廣費(fèi)用x與月利潤(rùn)額y滿(mǎn)足經(jīng)驗(yàn)回歸方程=6.5x+17.5,則p的值為 ()A.50 B.56.5 C.60 D.70【解析】選A.由于經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心,x=5,y=200+p5,代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程得200+p5=6.5×5+17.5,【核心考點(diǎn)·分類(lèi)突破】考點(diǎn)一成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性[例1](1)(2023·天津高考)調(diào)查某種花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度,所得數(shù)據(jù)如圖所示,其中相關(guān)系數(shù)r=0.8245,下列說(shuō)法正確的是 ()A.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度沒(méi)有相關(guān)性B.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)C.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)D.若從樣本中抽取一部分,則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245【解析】選C.因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)r=0.8245>0.75,且題中散點(diǎn)圖呈左下角到右上角的帶狀分布,所以花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān).若從樣本中抽取一部分,則這部分的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245.(2)(多選題)對(duì)于樣本相關(guān)系數(shù),下列說(shuō)法正確的有 ()A.樣本相關(guān)系數(shù)可以用來(lái)判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)的正負(fù)性B.樣本相關(guān)系數(shù)可以是正的,也可以是負(fù)的C.樣本相關(guān)系數(shù)r∈[1,1]D.樣本相關(guān)系數(shù)越大,成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度也越強(qiáng)【解析】選ABC.因?yàn)闃颖鞠嚓P(guān)系數(shù)大于0,說(shuō)明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān),樣本相關(guān)系數(shù)小于0,說(shuō)明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān),所以選項(xiàng)A正確;由樣本相關(guān)系數(shù)公式可知:樣本相關(guān)系數(shù)r∈[1,1],所以選項(xiàng)B,C正確;樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1,成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng),故D錯(cuò)誤.【解題技法】判斷相關(guān)關(guān)系的兩種方法(1)散點(diǎn)圖法:如果所有的樣本點(diǎn)都落在某條曲線(xiàn)附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線(xiàn)附近,變量之間就有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.(2)相關(guān)系數(shù)法:利用相關(guān)系數(shù)判定,|r|越趨近于1,相關(guān)性越強(qiáng).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.對(duì)四組不同的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),獲得如圖所示的散點(diǎn)圖,關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較,下列正確的是 ()A.r2<r4<0<r3<r1 B.r4<r2<0<r1<r3C.r4<r2<0<r3<r1 D.r2<r4<0<r1<r3【解析】選A.由題中散點(diǎn)圖可知圖①與圖③中的兩個(gè)變量是正相關(guān),故r1>0,r3>0,圖②與圖④中的兩個(gè)變量是負(fù)相關(guān),故r2<0,r4<0,又圖①與圖②中的樣本點(diǎn)集中在一條直線(xiàn)附近,所以r2<r4<0<r3<r1.2.若已知是的4倍,是的1.5倍,則相關(guān)系數(shù)r的值為_(kāi)_______.

【解析】由,得r=34.答案:3【加練備選】1.某商家今年上半年各月的人均銷(xiāo)售額(單位:千元)與利潤(rùn)率統(tǒng)計(jì)表如下:月份123456人均銷(xiāo)售額658347利潤(rùn)率(%)12.610.418.53.08.116.3根據(jù)表中數(shù)據(jù),下列說(shuō)法正確的是 ()A.利潤(rùn)率與人均銷(xiāo)售額呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系B.利潤(rùn)率與人均銷(xiāo)售額呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系C.利潤(rùn)率與人均銷(xiāo)售額成正比例函數(shù)關(guān)系D.利潤(rùn)率與人均銷(xiāo)售額成反比例函數(shù)關(guān)系【解析】選A.由題中統(tǒng)計(jì)表可得利潤(rùn)率與人均銷(xiāo)售額不是正比例關(guān)系,也不是反比例關(guān)系,排除C,D;其屬于正相關(guān)關(guān)系,A正確,B錯(cuò)誤.2.為研究語(yǔ)文成績(jī)和英語(yǔ)成績(jī)之間是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,統(tǒng)計(jì)某班學(xué)生的兩科成績(jī)得到如圖所示的散點(diǎn)圖(x軸、y軸的單位長(zhǎng)度相同),用經(jīng)驗(yàn)回歸方程=x+近似地刻畫(huà)其相關(guān)關(guān)系,根據(jù)圖形,以下結(jié)論最有可能成立的是 ()A.線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng),的值為1.25B.線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng),的值為0.83C.線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng),的值為0.87D.線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系較弱,無(wú)研究?jī)r(jià)值【解析】選B.由題中散點(diǎn)圖可以看出兩個(gè)變量所構(gòu)成的點(diǎn)在一條直線(xiàn)附近,所以線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng),且應(yīng)為正相關(guān),所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率應(yīng)為正數(shù),且從散點(diǎn)圖觀察,經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率應(yīng)該比直線(xiàn)y=x的斜率要小一些,綜上可知應(yīng)選B.考點(diǎn)二回歸模型及其應(yīng)用角度1一元線(xiàn)性回歸模型及其應(yīng)用[例2]為保證新能源汽車(chē)的推廣,某市逐漸加大充電基礎(chǔ)設(shè)施的建設(shè),該市統(tǒng)計(jì)了近五年新能源汽車(chē)充電站的數(shù)量(單位:個(gè)),得到如下數(shù)據(jù):年份編號(hào)x12345年份20182019202020212022數(shù)量y/個(gè)37104147196226(1)已知可用線(xiàn)性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明;(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并預(yù)測(cè)2026年該市新能源汽車(chē)充電站的數(shù)量.參考數(shù)據(jù):參考公式:相關(guān)系數(shù)經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)=x+中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為=yx.【解析】(1)由已知數(shù)據(jù)得x=15×(1+2+3+4+5)=3,y=1所以r≈4703.16×149.因?yàn)閥與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,接近1,說(shuō)明y與x的線(xiàn)性相關(guān)程度相當(dāng)高,從而可以用線(xiàn)性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.(2)由(1)得=yx=14247×3=1,故所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=47x+1,將2026年對(duì)應(yīng)的年份編號(hào)x=9代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程得=47×9+1=424,故預(yù)測(cè)2026年該市新能源汽車(chē)充電站的數(shù)量為424個(gè).【解題技法】求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·保定模擬)已知兩個(gè)變量x和y之間有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,經(jīng)調(diào)查得到如下樣本數(shù)據(jù):x34567y3.52.41.10.21.3根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=x+,則下列說(shuō)法中正確的是 ()A.>0,>0 B.>0,<0C.<0,>0 D.<0,<0【解析】選B.由已知數(shù)據(jù)可知y隨著x的增大而減小,則變量x和y之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系,所以<0.又x=15×(3+4+5+6+7)=5,y=15×(3.5+2.4+1.10.21.3)=1.1,即1.1=5+,所以=1.15>0.2.某智能機(jī)器人的廣告費(fèi)用x(萬(wàn)元)與銷(xiāo)售額y(萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示:廣告費(fèi)用x(萬(wàn)元)2356銷(xiāo)售額y(萬(wàn)元)28314148根據(jù)此表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=5x+,據(jù)此模型預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用為8萬(wàn)元時(shí),銷(xiāo)售額為_(kāi)_______萬(wàn)元.

【解析】由題中表格,得x=2+3+5+64y=28+31+41+484所以37=5×4+,即=17,所以預(yù)測(cè)當(dāng)廣告費(fèi)用為8萬(wàn)元時(shí),銷(xiāo)售額為5×8+17=57(萬(wàn)元).答案:57角度2非線(xiàn)性回歸模型及其應(yīng)用[例3]某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品,產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成,每件產(chǎn)品的非原料成本y(元)與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x(千件)有關(guān),經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù):x12345678y1126144.53530.5282524根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了散點(diǎn)圖.參考數(shù)據(jù):(其中ui=1x參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其經(jīng)驗(yàn)回歸方程=+u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為(1)觀察散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+dx哪一個(gè)適宜作為非原料成本y與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x的回歸方程類(lèi)型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y與x的回歸方程.(3)試預(yù)測(cè)生產(chǎn)該產(chǎn)品10000件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本.【解析】(1)由散點(diǎn)圖可知,y=a+bx適宜作為非原料成本y與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x的回歸方程類(lèi)型(2)令u=1x,則y=a+bu=yu=3608100×0.34=11,所以=11+100u=11+100x;(3)當(dāng)x=10(千件)時(shí),=11+10010=21(元).故預(yù)測(cè)生產(chǎn)該產(chǎn)品10000件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本為21元.【解題技法】非線(xiàn)性回歸分析的步驟【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·鄭州模擬)用模型y=aebx+1(a>0)擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),令z=lny,將其變換后得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程=2x+,則ba= (A.e B.1e C.12 D【解析】選D.對(duì)y=aebx+1(a>0)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),則lny=ln(aebx+1)=lna+bx+1,令z=lny,則z=bx+lna+1,所以b=2,2.已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)隨機(jī)變量的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分布在函數(shù)y=2e2x+1的圖象附近,設(shè)z=lny,將其變換后得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=x+,則mn=________.

【解析】由z=lny,則lny=ln2e2x+1,即z=ln2+lne2x+1=ln2+2x+1,則z=2x+ln2+1,故答案:2ln2+2考點(diǎn)三殘差分析[例4](1)(多選題)下列說(shuō)法正確的是 ()A.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程=0.85x+2.3中,當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí),響應(yīng)變量平均減少2.3個(gè)單位B.在經(jīng)驗(yàn)回歸方程=0.85x+2.3中,相對(duì)于樣本點(diǎn)(1,1.2)的殘差為0.25C.在殘差圖中,殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄,其模型的擬合效果越好D.若兩個(gè)變量的決定系數(shù)R2越大,表示殘差平方和越小,即模型的擬合效果越好【解析】選BCD.對(duì)于A,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程,當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí),響應(yīng)變量平均減少0.85個(gè)單位,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)解釋變量x=1時(shí),響應(yīng)變量=1.45,則樣本點(diǎn)(1,1.2)的殘差為0.25,故B正確;對(duì)于C,在殘差圖中,殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄,說(shuō)明擬合精度越高,即擬合效果越好,故C正確;對(duì)于D,由決定系數(shù)R2的意義可知,R2越大,表示殘差平方和越小,即模型的擬合效果越好,故D正確.(2)新能源汽車(chē)的核心部件是動(dòng)力電池,電池占了新能源整車(chē)成本的很大一部分,而其中的原材料碳酸鋰又是電池的主要成分.從2020年底開(kāi)始,碳酸鋰的價(jià)格不斷升高,下表是2022年某企業(yè)的前5個(gè)月碳酸鋰的價(jià)格與月份的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):月份代碼x