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第5章

三角函數(shù)5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系人教A版2019高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)教材引入&任意角的三角函數(shù)定義【導(dǎo)入】因?yàn)槿齻€(gè)三角函數(shù)都是由角的終邊與單位圓的交點(diǎn)確定的，所以它們之間

必然有內(nèi)在的關(guān)系.如圖，設(shè)點(diǎn)P是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，過(guò)P

作軸的垂線，交軸與M，則△OMP是直角三角形，且OP=1，由勾股定理有也就是說(shuō)，同一個(gè)角α的正弦余弦的平方和等于1，商等于正切.

OM2+MP2=1，即，也就是

顯然，當(dāng)α的終邊與坐標(biāo)軸重合時(shí)，這個(gè)公式也成立.根據(jù)三角函數(shù)的定義，當(dāng)時(shí)，有：

教材引入&任意角的三角函數(shù)定義

這兩個(gè)公式稱(chēng)為同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.★基本關(guān)系成立的前提是“同角”，它揭示了同角而不同名的三角函數(shù)關(guān)系，但

并不是不同的角這兩個(gè)關(guān)系一定不成立，sin230°+cos2150°=1也成立，不過(guò)這種關(guān)系不具有一般性.

★“同角”指的是廣義上的，與表達(dá)形式無(wú)關(guān)，30°和30°是同角，α和α也是同角★sin2α是(sinα)2的縮寫(xiě)，讀作“sinα的平方”，不能寫(xiě)成sinα2★等價(jià)變形：

知一求二基本關(guān)系的應(yīng)用【例1】已知，求，的值.

【解】因?yàn)椋驭潦堑谌蛘叩谒南笙藿?

由，得，則或

若α是第三象限角，則,所以

若α是第四象限角，則,所以

基本關(guān)系的應(yīng)用【例2】求證：【證法一】由知，所以，于是

【證法二】因?yàn)?/p>

且，

所以

基本關(guān)系的應(yīng)用【例3】已知，α為第三象限角，求，的值.

【解】由，得，則或

又因?yàn)棣潦堑谌笙藿牵瑒t,所以所以

基本關(guān)系的應(yīng)用【例4】化簡(jiǎn)：【解】

基本關(guān)系的應(yīng)用【例5】求證：【證明】

左邊=右邊，得證【題型1】利用弦切互化求值.【例6】已知，求下列各式的值.

【解】由，得

【題型2】與有關(guān)的求值.【例7】已知，求下列各式的值.【解】

【題型4】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明恒等式.【例8】已知，求證：【證明】由，可得

即,也就是

整理得：，即

展開(kāi)得：，即

【例9】化簡(jiǎn)：【解】原式

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