中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題講座4-6：探究型問(wèn)題、數(shù)學(xué)思想方法(含詳細(xì)參考答案)

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題講座四：探究型問(wèn)題

一、中考專(zhuān)題詮釋

探究型問(wèn)題是指命題中缺少一定的條件或無(wú)明確的結(jié)論，需要經(jīng)過(guò)推斷，補(bǔ)充并加以證

明的一類(lèi)問(wèn)題.根據(jù)其特征大致可分為：條件探究型、結(jié)論探究型、規(guī)律探究型和存在性探

究型等四類(lèi).

二、解題策略與解法精講

由于探究型試題的知識(shí)覆蓋面較大，綜合性較強(qiáng)，靈活選擇方法的要求較高，再加上題

意新穎，構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度，所以要求同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)，首先對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)

一定要復(fù)習(xí)全面，并力求扎實(shí)牢靠；其次是要加強(qiáng)對(duì)解答這類(lèi)試題的練習(xí)，注意各知識(shí)點(diǎn)之

間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答.由于題型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨(dú)特

等，此類(lèi)問(wèn)題的一般解題思路并無(wú)固定模式或套路，但是可以從以下幾個(gè)角度考慮：

1.利用特殊值（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進(jìn)行歸納、概括，從特

殊到一般，從而得出規(guī)律.

2.反演推理法（反證法），即假設(shè)結(jié)論成立,根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，看是推導(dǎo)出矛盾還是

能與已知條件一致.

3.分類(lèi)討論法.當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不惟一確定，難以統(tǒng)一解答時(shí)，則需要按可能出

現(xiàn)的情況做到既不重復(fù)也不遺漏，分門(mén)別類(lèi)加以討論求解，將不同結(jié)論綜合歸納得出正確結(jié)

果.

4.類(lèi)比猜想法.即由一個(gè)問(wèn)題的結(jié)論或解決方法類(lèi)比猜想出另一個(gè)類(lèi)似問(wèn)題的結(jié)論或

解決方法，并加以嚴(yán)密的論證.

以上所述并不能全面概括此類(lèi)命題的解題策略，因而具體操作時(shí)，應(yīng)更注重?cái)?shù)學(xué)思想方

法的綜合運(yùn)用.

三、中考考點(diǎn)精講

考點(diǎn)一：動(dòng)態(tài)探索型：

此類(lèi)問(wèn)題結(jié)論明確，而需探究發(fā)現(xiàn)使結(jié)論成立的條件.

例1（?自貢）如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120°,ZXAEF為正三

角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動(dòng)，且E、F不與B、C、D重合.

（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF；

（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和4CEF的面積是否發(fā)生變

化？如果不變，求出這個(gè)定值：如果變化，求出最大（或最?。┲?

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。

分析：（I）先求證AB=AC,進(jìn)而求證△ABC、AACD為等邊三角形，得N4=60。，AC=AB

進(jìn)而求證4ABE咨AACF,即可求得BE=CF；

（2）根據(jù)△ABEgZ\ACF可得SAABE=SAACF，故根據(jù)S四娜

AECF=SAAEC+SAACF=SAAEC+SAABE=SAABC即可解題；當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，

邊AE最短.4AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面

積會(huì)最小，又根據(jù)S&CEF-S四邊彩AECF-SAAEF>則ACEF的面積就會(huì)最大.

解答：（1）證明：連接AC,如下圖所示，

:四邊形ABCD為菱形，ZBAD=120°,

Zl+ZEAC=60°,Z3+ZEAC=60°,

.*.Z1=Z3,

VZBAD=120°,

.*.ZABC=60°,

/.△ABC和AACD為等邊三角形，

/.Z4=60°,AC=AB,

.?.在4ABE和4ACF中，

fZl=Z3

<AB=AC，

ZABC=Z4

.'.△ABE^AACF（ASA）.

；.BE=CF；

（2）解：四邊形AECF的面積不變，ACEF的面積發(fā)生變化.

理由：由（1）得4ABE之AACF,

則SAABE=SAACF>

故S四邊彩AECF=SZ\AEC+SAACF=SAAEC+SAABE=SAABC，是定值，

作AH_LBC于H點(diǎn)，則BH=2,

S四邊形AECF=SZXABC=1BOAH=AB2_

2

由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短.

故4AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小,

又SACEF=S四邊形AECF-SAAEF，則此時(shí)ACEF的面積就會(huì)最大.

SACEF=S四邊形AECF-SAAEF=4A/3-夢(mèng)岡（哂）2_（我）S

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)及三角形面積的計(jì)算，求證

△ABE也4ACF是解題的關(guān)鍵，有一定難度.

考點(diǎn)二：結(jié)論探究型：

此類(lèi)問(wèn)題給定條件但無(wú)明確結(jié)論或結(jié)論不惟一，而需探索發(fā)現(xiàn)與之相應(yīng)的結(jié)論的題目.

例3（?鹽城）如圖①所示，已知A、B為直線1上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線1上方一動(dòng)點(diǎn)，

連接AC、BC,分別以AC、BC為邊向AABC外作正方形CADF和正方形CBEG,過(guò)點(diǎn)D

作DD41于點(diǎn)Di，過(guò)點(diǎn)E作EEIL于點(diǎn)EI.

G

(1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E恰好在直線1上時(shí)(此時(shí)Ei與E重合)，試說(shuō)明DD產(chǎn)AB；

(2)在圖①中，當(dāng)D、E兩點(diǎn)都在直線1的上方時(shí)，試探求三條線段DDi、EEi、AB之間

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在直線1的下方時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出三條線段DDi、EEi、AB之間的數(shù)量

關(guān)系.(不需要證明)

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。

專(zhuān)題：幾何綜合題。

分析：(1)由四邊形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA,ZDAC=ZABC=90°,又

由同角的余角相等，求得/ADD./CAB,然后利用AAS證得△ADDigZXCAB,根據(jù)全

等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得DD產(chǎn)AB；

(2)首先過(guò)點(diǎn)C作CH±AB于H,由DDiJ_AB,可得NDD|A=/CHA=90。，由四邊形CADF

是正方形，可得AD=CA,又由同角的余角相等，求得NADD產(chǎn)NCAH,然后利用AAS證

得△ADDigZXCAH,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得DD尸AH,同理EEi=BH,則

可得AB=DDi+EEi.

(3)證明方法同(2),易得AB=DD|-EE|.

解答：(1)證明：???四邊形CADF、CBEG是正方形，

；.AD=CA,ZDAC=ZABC=90°,

ZDADi+ZCAB=90°,

VDDilAB,

.".ZDD,A=ZABC=90o,

...NDAD|+/ADD|=90°,

，ZADD,=ZCAB,

在AADDi和4CAB中，

'NDDiA=/ABC

<ZADD^ZCAB.

AD=CA

.,?△ADDi^ACAB(AAS),

；.DDi=AB；

(2)解：AB=DD|+EE).

證明：過(guò)點(diǎn)C作CHLAB于H,

VDDilAB,

.".ZDD|A=ZCHA=90°,

；./DAD|+/ADD|=90°,

?.?四邊形CADF是正方形，

；.AD=CA,ZDAC=90°,

.".ZDADi+ZCAH=90°,

二ZADDi=ZCAH,

在aADDi和aCAH中，

'NDDiA=NCHA

'ZADD^ZCAH.

,AD=CA

.?.△ADDi^ACAH(AAS),

.*.DD,=AH；

同理：EE尸BH,

，AB=AH+BH=DDi+EE,；

⑶解：AB=DDi-EE,.

證明：過(guò)點(diǎn)C作CH_LAB于H,

VDDi±AB,

.,.ZDD|A=ZCHA=90°,

...NDADi+NADDi=90°,

?..四邊形CADF是正方形，

，AD=CA,ZDAC=90°,

ZDAD|+ZCAH=90°,

.".ZADDi=ZCAH,

在AADDi和ACAH中，

'NDD1A二NCHA

,ZADD^ZCAH.

,AD=CA

.,.△ADD^ACAH(AAS),

，DDI=AH；

同理：EE,=BH,

；.AB=AH-BH=DDi-EE,.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)

合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法.

例4（?麗水）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線y=x2在第二象限上的點(diǎn)，連接OA,過(guò)點(diǎn)0

作OBJLOA,交拋物線于點(diǎn)B,以O(shè)A、0B為邊構(gòu)造矩形AOBC.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為時(shí)，矩形AOBC是正方形；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-工時(shí)，

2

①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②將拋物線y=x2作關(guān)于x軸的軸對(duì)稱(chēng)變換得到拋物線y=-x2,試判斷拋物線y=-x?經(jīng)過(guò)平

移交換后，能否經(jīng)過(guò)A,B,C三點(diǎn)？如果可以，說(shuō)出變換的過(guò)程；如果不可以，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。

專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題。

分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AD±x軸于點(diǎn)D,根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得

ZAOC=45°,所以NAOD=45。，從而得到aAOD是等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（-a,

a）,然后利用點(diǎn)A在拋物線上，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式計(jì)算即可得解；

（2）①過(guò)點(diǎn)A作AELx軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BFLx軸于點(diǎn)F,先利用拋物線解析式求出

AE的長(zhǎng)度，然后證明△AEO和AOFB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OF與

BF的關(guān)系，然后利用點(diǎn)B在拋物線上，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式計(jì)算即可得解；

②過(guò)點(diǎn)C作CGLBF于點(diǎn)G,可以證明△AEO和△BGC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等

可得CG=OE,BG=AE,然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)變換以及平移變換不改變拋物線

的形狀利用待定系數(shù)法求出過(guò)點(diǎn)A、B的拋物線解析式，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入所求解析式進(jìn)行

驗(yàn)證變換后的解析式是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,如果經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,把拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式解析式，

根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出變換過(guò)程即可.

解答：解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作ADLx軸于點(diǎn)D,

?.?矩形AOBC是正方形，

ZAOC=45°,

ZAOD=90°-45°=45°,

...△AOD是等腰直角三角形，

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-a,a）（a對(duì)），

則（-a）2=a,

解得a1=-1,a2=0（舍去），

，點(diǎn)A的坐標(biāo)-a=-1,

故答案為：-1；

（2）①過(guò)點(diǎn)A作AE±x軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BF±x軸于點(diǎn)F,

當(dāng)x=一工時(shí)，y=(-A)2=J,

224

即0E=1，AE=1,

24

,/ZAOE+ZBOF=180°-90°=90°,

ZAOE+ZEAO=90°,

，ZEAO=ZBOF,

又：ZAEO=ZBFO=90°,

.".△AEO^AOFB,

1

?OF_AE=4=1

"BFEO1~2

2

設(shè)OF=t,則BF=2t,

t2=2t,

解得：ti=0(舍去)，t2=2,

.?.點(diǎn)B(2,4)；

②過(guò)點(diǎn)C作CG±BF于點(diǎn)G,

VZAOE+ZEAO=90°,ZFBO+ZCBG=90°,NAOE=NFBO,

ZEAO=ZCBG,

"ZAEO=ZG=90°

在AAEO和△BGC中，,NEA0=NCBG，

AO=CG

.".△AEO^ABGC(AAS),

.".CG=OE=1,BG=AE=1.

24

Xc=2-A=衛(wèi)，yc=4+A=AZ,

2244

.?.點(diǎn)CAZ),

24

'-1-1，,=1

設(shè)過(guò)A(-1」)、B(2,4)兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=-x2+bx+c,由題意得,《1C~l,

24-4+2b+c=4

解得。=3,

1c=2

經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=-X2+3X+2,

當(dāng)x￡時(shí)，y=-(32+3x衛(wèi)+2=U,所以點(diǎn)C也在此拋物線上，

2224

故經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=-x?+3x+2=-(x-衛(wèi))2+lZ.

24

平移方案：先將拋物線y=-x2向右平移至個(gè)單位，再向上平移U個(gè)單位得到拋物線y=-(x

24

-J)2+篁

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，包括正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全

等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求拋物線解析式，綜合性較強(qiáng)，難度較大，要注意利用

點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)、平移變換來(lái)解釋拋物線的對(duì)稱(chēng)平移變換，利用點(diǎn)研究線也是常用的方法之一.

考點(diǎn)三：規(guī)律探究型：

規(guī)律探索問(wèn)題是指由幾個(gè)具體結(jié)論通過(guò)類(lèi)比、猜想、推理等一系列的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，來(lái)

探求一般性結(jié)論的問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的一般思路是通過(guò)對(duì)所給的具體的結(jié)論進(jìn)行全面、細(xì)

致的觀察、分析、比較，從中發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律，并猜想出一般性的結(jié)論，然后再給出合理

的證明或加以運(yùn)用.

例5(?青海)如圖(*),四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，ZAEF=90°,

且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F.請(qǐng)你認(rèn)真閱讀下面關(guān)于這個(gè)圖的探究片段，完成所

提出的問(wèn)題.

(1)探究1：小強(qiáng)看到圖(*)后，很快發(fā)現(xiàn)AE=EF,這需要證明AE和EF所在的兩個(gè)三

角形全等，但4ABE和4ECF顯然不全等(一個(gè)是直角三角形，一個(gè)是鈍角三角形)，考慮

到點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，因此可以選取AB的中點(diǎn)M,連接EM后嘗試著去證△AEMgEFC

就行了，隨即小強(qiáng)寫(xiě)出了如下的證明過(guò)程：

證明：如圖1,取AB的中點(diǎn)M,連接EM.

,/ZAEF=90°

ZFEC+ZAEB=90°

又：ZEAM+ZAEB=90°

ZEAM=ZFEC

?.?點(diǎn)E,M分別為正方形的邊BC和AB的中點(diǎn)

，AM=EC

又可知aBME是等腰直角三角形

.".ZAME=135°

又CF是正方形外角的平分線

，/ECF=135。

.,.△AEM^AEFC(ASA)

，AE=EF

(2)探究2：小強(qiáng)繼續(xù)探索，如圖2,若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC

上的任意一點(diǎn)“，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)AE=EF仍然成立，請(qǐng)你證明這一結(jié)論.

(3)探究3：小強(qiáng)進(jìn)一步還想試試，如圖3,若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是

邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)“，其余條件仍不變，那么結(jié)論AE=EF是否成立呢？若成立請(qǐng)你完成

證明過(guò)程給小強(qiáng)看，若不成立請(qǐng)你說(shuō)明理由.

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。

專(zhuān)題：閱讀型.

分析：(2)在AB上截取AM=EC,然后證明/EAM=FEC,ZAME=ZECF=135°,再利

用“角邊角''證明4AEM和4EFC全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明；

(3)延長(zhǎng)BA到M,使AM=CE,然后證明ZBME=45。，從而得到/BME=NECF,再利用

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等證明NDAE=NBEA,然后得到NMAE=NCEF,再利用“角邊角”

證明4MAE和ACEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證.

解答：(2)探究2,證明：在AB上截取AM=EC,連接ME,

由(1)知/EAM=/FEC,

VAM=EC,AB=BC,

；.BM=BE,

.,,ZBME=45°,

；./AME=/ECF=135°,

,/ZAEF=90°,

.,.ZFEC+ZAEB=90°,

又：ZEAM+ZAEB=90°,

；./EAM=/FEC,

'/AME=/FCE

在aAEM和AEFC中，，AJkEC，

ZBAE=ZFEC

.,.△AEM^AEFC(ASA),

，AE=EF；

(3)探究3：成立，

證明：延長(zhǎng)BA到M,使AM=CE,連接ME,

，BM=BE,

；./BME=45°,

ZBME=ZECF,

又：AD〃BE,

.?,ZDAE=ZBEA,

XV/MAD=/AEF=90。，

ZDAE+ZMAD=ZBEA+ZAEF,

即/MAE=/CEF,

'/BHE=/ECF

在aMAE和4CEF中，(AH=CE

ZMAE=ZCEF

.,.△MAE^ACEF(ASA),

.\AE=EF.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，閱讀材料，理清解題的關(guān)鍵

是取AM=EC,然后構(gòu)造出AAEM與4EFC全等是解題的關(guān)鍵.

例6(?永州)如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax2+bx-1(a^O)的圖象過(guò)點(diǎn)A(2,0)和B(4,

3),1為過(guò)點(diǎn)(0,-2)且與x軸平行的直線，P(m,n)是該二次函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn),

過(guò)P作PHJJ,H為垂足.

(1)求二次函數(shù)y=ax?+bx-1(a#0)的解析式；

(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出使y<0的對(duì)應(yīng)的x的取值范圍；

(3)對(duì)應(yīng)當(dāng)m=0,m=2和m=4時(shí)，分別計(jì)算|PO『和|PH『的值.由此觀察其規(guī)律，并猜想

一個(gè)結(jié)論，證明對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,此結(jié)論成立；

(4)試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m可使aPOH為正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。

專(zhuān)題：壓軸題。

分析：(1)根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx-1(a和)的圖象過(guò)點(diǎn)A(2,0)和B(4,3),待定

系數(shù)法求出a和b的值，拋物線的解析式即可求出；

(2)y=ax2+bx-1=0,解出x的值，進(jìn)而求出使y<0的對(duì)應(yīng)的x的取值范圍；

(3)分別求出當(dāng)m=0,m=2和m=4時(shí)，分別計(jì)算|POF和|PH『的值.然后觀察其規(guī)律，再

進(jìn)行證明；

(4)由(3)知OP=OH,只要OH=OP成立，ZXPOH為正三角形，求出|OP|、|OH|含有m

和n的表達(dá)式，令兩式相等，求出m和n的值.

解答：解：(1)I?二次函數(shù)y=ax?+bx-1(a/0)的圖象過(guò)點(diǎn)A(2,0)和B(4,3),

.(4a+2b-1=0

…16a+4b-l=3'

解得a=A,b=0,

4

二次函數(shù)的解析式為y=」x2-1,

4

(2)令y=-lx2-1=0,

4

解得x=-2或x=2,

由圖象可知當(dāng)-2Vx<2時(shí)y<0,

(3)當(dāng)m=0時(shí)，|POF=1,|PH|2=1；

當(dāng)m=2時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),|PO|2=4,|PH|2=4,

當(dāng)m=4時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,3),|POF=25,|PH『=25,

由此發(fā)現(xiàn)|PO|2=|PH『，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),即nJm?-1

4

'op|=V7^>

|PH|2=n2+4n+4=n2+m2,

故對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,|POF=|PH|2；

(4)由(3)知OP=PH,只要OH=OP成立，△POH為正三角形，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),|OP|=^m2+n2,

1。印近7，

|OP|=|OH|,即i?=4,解得n=±2,

當(dāng)n=-2時(shí)、n=Am2-1不符合條件，

4

故n=2,m=±2^時(shí)可使APOH為正三角形.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖形特征

和性質(zhì)，特別是（3）問(wèn)的解答很關(guān)鍵，是解答（4）問(wèn)的墊腳石，此題難度一般.

考點(diǎn)四：存在探索型：

此類(lèi)問(wèn)題在一定的條件下，需探究發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目.

例7（?黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的邊OC、0A分別

與x軸、y軸重合，AB〃OC,ZAOC=90°,ZBCO=45°,BC=6圾，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-9,

0）.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）若直線DE交梯形對(duì)角線BO于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E,且OE=2,OD=2BD,求直線

DE的解析式；

（3）若點(diǎn)P是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使以0、E、P為頂點(diǎn)的三

角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題。_

分析：（1）過(guò)點(diǎn)B作BFJ_x軸于F,在Rt△BCF中，己知/BCO=45。，BC=6版,解直

角三角形求CF,BF,確定B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DGLy軸于點(diǎn)G,由平行線的性質(zhì)得出△ODGS^OBA,利用相似比求DG,

0G,確定D點(diǎn)坐標(biāo)，由已知得E點(diǎn)坐標(biāo)，利用“兩點(diǎn)法”求直線DE的解析式；

（3）存在.由已知的0E=2,分別以0、E為圓心，2為半徑畫(huà)弧，與直線DE相交，或作

線段0E的垂直平分線與直線DE相交，交點(diǎn)即為所求.

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BFLx軸于F,…（1分）

在RtABCF中，

VZBCO=45°,BC=6圾，

；.CF=BF=6,...（1分）

VC的坐標(biāo)為（-9,0）,

；.AB=0F=3,

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,6)；…(1分)

(2)過(guò)點(diǎn)D作DGLy軸于點(diǎn)G,...(1分)

：AB〃DG,

.".△ODG^AOBA,

?.?DG=PP=OG_2(AB=3,OA=6,

ABOBOA3

，DG=2,OG=4,...(1分)

AD(-2,4),E(0,2),

設(shè)直線DE解析式為y=kx+b(k/0)

J-2k+b=4

*-lb=2

1....(1分)

lb=2

??.直線DE解析式為y=-x+2；...(1分)

(3)存在Pi(2,0)、P2(1,1)、P3(血，2-我)、P4(-A/2>2+圾)...(3分)

(寫(xiě)對(duì)一個(gè)點(diǎn)得1分，寫(xiě)對(duì)兩個(gè)點(diǎn)或三個(gè)點(diǎn)得2分)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線，解直角三角形，證明三角

形相似，確定相關(guān)線段的長(zhǎng)和點(diǎn)的坐標(biāo)，得出直線解析式，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類(lèi)

求P點(diǎn)坐標(biāo).

例8(?北海)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有RtaABC,ZA=90°,AB=AC,A(-2,0)、

B(0,1)、C(d,2).

(1)求d的值；

(2)將AABC沿x軸的正方向平移，在第一象限內(nèi)B、C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，、C正好落在某

反比例函數(shù)圖象上.請(qǐng)求出這個(gè)反比例函數(shù)和此時(shí)的直線的解析式；

(3)在(2)的條件下，直線BC交y軸于點(diǎn)G.問(wèn)是否存在x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)

圖象上的點(diǎn)P,使得四邊形PGMC是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M和點(diǎn)P的坐標(biāo)；

如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題。

專(zhuān)題：計(jì)算題。

分析：(1)過(guò)C作CN垂直于x軸，交x軸于點(diǎn)N,由A、B及C的坐標(biāo)得出OA,0B,

CN的長(zhǎng)，由NCAB=90。，根據(jù)平角定義得到一對(duì)角互余，在直角三角形ACN中，根據(jù)兩

銳角互余，得到一對(duì)角互余，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，且

AC=BC,利用AAS得到三角形ACN與三角形AOB全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可

得出CN=OA,AN=OB,由AN+OA求出ON的長(zhǎng)，再由C在第二象限，可得出d的值；

(2)由第一問(wèn)求出的C與B的橫坐標(biāo)之差為3,根據(jù)平移的性質(zhì)得到縱坐標(biāo)不變，故設(shè)出

C(m,2),則B，(m+3,1),再設(shè)出反比例函數(shù)解析式，將C，與B，的坐標(biāo)代入得到關(guān)于k

與m的兩方程，消去k得到關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出k的值,

得到反比例函數(shù)解析式，設(shè)直線BC，的解析式為y=ax+b,將C，與B，的坐標(biāo)代入，得到關(guān)于

a與b的二元一次方程組，求出方程組的解得到a與b的值，即可確定出直線BC，的解析式;

(3)存在x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)P,使得四邊形PGMC是平行四邊形，理

由為：設(shè)Q為GC的中點(diǎn)，令第二問(wèn)求出的直線BC的解析式中x=0求出y的值，確定出G

的坐標(biāo)，再由C，的坐標(biāo)，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出Q的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)Q作直線1與x軸交

于M，點(diǎn)，與y=@的圖象交于P，點(diǎn)，若四邊形PGMC是平行四邊形，則有PQ=QM，，易知

X

點(diǎn)M，的橫坐標(biāo)大于衛(wèi)，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)小于衛(wèi)，作PHLx軸于點(diǎn)H,QKLy軸于點(diǎn)K,P，H

22

與QK交于點(diǎn)E,作QFLx軸于點(diǎn)F,由兩直線平行得到一對(duì)同位角相等，再由一對(duì)直角相

等及P'Q=QM1利用AAS可得出aPEQ與△QFM，全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，

設(shè)EQ=FMM,由Q的橫坐標(biāo)-t表示出，的橫坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式確定出P，的縱

坐標(biāo)，進(jìn)而確定出M，的坐標(biāo)，根據(jù)P，H-EH=PfH-QF表示出P，E的長(zhǎng)，又P，Q=QM，，分別

放在直角三角形中，利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，進(jìn)而確定

出P，與M，的坐標(biāo)，此時(shí)點(diǎn)P為所求的點(diǎn)P,點(diǎn)M，為所求的點(diǎn)M.

解答：解：(1)作CN_Lx軸于點(diǎn)N,

VA(-2,0)、B(0,1)、C(d,2),

.".OA=2,OB=1,CN=2,

ZCAB=90°,即ZCAN+ZBAO=90°,

XVZCAN+ZACN=90°,

/.ZBAO=ZACN,

在RtACNA和RtAAOB中，

'NACN=/BAO

<ZANC=ZBOA=90°，

CA=AB

RtACNA^RtAAOB(AAS),

NC=OA=2,AN=BO=1,

NO=NA+AO=3,又點(diǎn)C在第二象限,

d=-3；

(2)設(shè)反比例函數(shù)為y=±(k翔)，點(diǎn)C和B，在該比例函數(shù)圖象上,

x

設(shè)C(m,2),則B，(m+3,1),

把點(diǎn)C和B，的坐標(biāo)分別代入y=K得k=2m；k=m+3,

X

；?2m=m+3,

解得：m=3,

貝Uk=6,反比例函數(shù)解析式為y=&,點(diǎn)C(3,2),B-(6,1),

x

設(shè)直線CB的解析式為y=ax+b(a/0),

把C，、B，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：

(3a+b=2,

16a+b=l'

f_1

a一—一

???解得：，3；

b=3

直線CB的解析式為y=-lx+3；

3

(3)存在x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)P,使得四邊形PGMC，是平行四邊形，理

由為：

設(shè)Q是GC的中點(diǎn)，令y=-L+3中x=0,得到y(tǒng)=3,

3

；.G(0,3),又C'(3,2),

：.Q(至，王),

22

過(guò)點(diǎn)Q作直線1與x軸交于M，點(diǎn)，與y=@的圖象交于P，點(diǎn)，

X

若四邊形PGMC是平行四邊形，則有PQ=QM\

易知點(diǎn)M，的橫坐標(biāo)大于衛(wèi)，點(diǎn)P，的橫坐標(biāo)小于心，

22

作PHJ_x軸于點(diǎn)H,QKJ_y軸于點(diǎn)K,PH與QK交于點(diǎn)E,作QF_Lx軸于點(diǎn)F,

：QF〃P，E,

.*ZM,QF=ZQP,E,

在aPEQ和△QFM，中，

'SEQ=ZQFM?

V.NQP'E=/M'QF'

P'Q=QM'

.,.AP,EQ^AQFM,(AAS),

.\EQ=FM,,P,Q=QM,,

設(shè)EQ=FM'=t,

??.點(diǎn)P，的橫坐標(biāo)x=--3點(diǎn)P，的縱坐標(biāo)y=&=J=_1Z_,點(diǎn)M，的坐標(biāo)是(衛(wèi)+t,0),

2x2-t3-2t2

2

.\P,E=P,H-EH=P,H-QF=_-旦

3-2t2

又?.?P'Q=QM',

根據(jù)勾股定理得：P,E2+EQ2=QF2+FM,2,

(12-j)2+t2=(i)2+t2,

3-2t22

整理得：_J2_=5,

3-2t

解得：t=C(經(jīng)檢驗(yàn)，它是分式方程的解)，

10

.-J-t=3-A=6;12=_12_=5,3+t=3+A=9,

221053-2t9-7X^-22105

10

/.P,(.§,5),M，(20),

55

則點(diǎn)P'為所求的點(diǎn)P,點(diǎn)M，為所求的點(diǎn)M.

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理,

坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的試題,

要求學(xué)生掌握知識(shí)要全面.

四、中考真題演練

1.(?廣東)如圖，直線y=2x-6與反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象交于點(diǎn)A(4,2),與

x

x軸交于點(diǎn)B.

(1)求k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)在x軸上是否存在點(diǎn)C,使得AC=AB?若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題。

專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合。

分析：（1）先把（4,2）代入反比例函數(shù)解析式，易求k,再把y=0代入一次函數(shù)解析

式可求B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）假設(shè)存在，然后設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)是（a,0）,然后利用兩點(diǎn)之間的公式可得

7（4-a）2+（2-0）2=7（4-3）2+（2-0）2>借此無(wú)理方程，易得a=3或a=5,

其中a=3和B點(diǎn)重合，舍去，故C點(diǎn)坐標(biāo)可求.

解答：解：（1）把（4,2）代入反比例函數(shù)y=K得

X

k=8,

把y=O代入y=2x-6中，可得

x=3,

故k=8；B點(diǎn)坐標(biāo)是（3,0）；

（2）假設(shè)存在，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)是（a,0）,則

VAB=AC,

二7（4-a）2+（2-0）^7（4-3）2+（2-0）2,

即（4-a）2+4=5,

解得a=5或a=3（此點(diǎn)與B重合，舍去）

故點(diǎn)C的坐標(biāo)是（5,0）.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，并能靈活使用兩

點(diǎn)之間的距離公式.

2.（?樂(lè)山）如圖，直線y=2x+2與y軸交于A點(diǎn)，與反比例函數(shù)行X（x>0）的圖象交于

x

點(diǎn)M,過(guò)M作MH_Lx軸于點(diǎn)H,且tan/AHO=2.

（1）求k的值；

點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)使得

（2）N（a,1）y=-（x>0）xP,

PM+PN最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題。

分析：（1）根據(jù)直線解析式求A點(diǎn)坐標(biāo)，得OA的長(zhǎng)度；根據(jù)三角函數(shù)定義可求0H的

長(zhǎng)度，得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；根據(jù)點(diǎn)M在直線上可求點(diǎn)M的坐標(biāo).從而可求K的值；

（2）根據(jù)反比例函數(shù)解析式可求N點(diǎn)坐標(biāo)；作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Ni，連接MN1與x

軸的交點(diǎn)就是滿足條件的P點(diǎn)位置.

解答：解：

（1）由y=2x+2可知A（0,2）,即OA=2.…（1分）

?.?點(diǎn)M在直線y=2x+2上,

.?.點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4.即M（1,4）.…（3分）

?.?點(diǎn)M在y=X上，

x

.\k=1x4=4....（4分）

（2）存在.

,點(diǎn)N（a,1）在反比例函數(shù)尸出（x>0）上，

x

Aa=4.即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4,1）....（5分）

過(guò)點(diǎn)N作N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N”連接MN],交x軸于P（如圖所示）.

此時(shí)PM+PN最小.…（6分）

與Ni關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（4,1）,

，Ni的坐標(biāo)為（4,-1）.…（7分）

設(shè)直線MN|的解析式為y=kx+b.

由，4=k+b解得卜:-gb=1Z.…（9分）

1-l=4k+b.33

/.直線MNi的解析式為尸-*卷

令y=0,得x=—.

，P點(diǎn)坐標(biāo)為(篁,0)....(10分)

5

點(diǎn)評(píng)：此題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及線路最短問(wèn)題，難度中等.

3.(?莆田)如圖，一次函數(shù)y=kix+b的圖象過(guò)點(diǎn)A(0,3),且與反比例函數(shù)行■"(x>0)

x

的圖象相交于B、C兩點(diǎn).

⑴若B(1,2),求k『k2的值;

(2)若AB=BC,則k>k2的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題。

專(zhuān)題：綜合題。

分析：(1)分別利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式求出一次函數(shù)解析式與反比例函數(shù)解析式,

然后代入k|?k2進(jìn)行計(jì)算即可得解；

(2)設(shè)出兩函數(shù)解析式，聯(lián)立方程組并整理成關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)AB=BC可知

點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是點(diǎn)B的縱坐標(biāo)的2倍，再利用根與系數(shù)的關(guān)系整理得到關(guān)于ki、k2的關(guān)系

式，整理即可得解.

解答：解：(1)VA(0,3),B(1,2)在一次函數(shù)y=kix+b的圖象圖象上，

.fb=3

，

'[k1+b=2

=-i

解得i；

b=2

VB(1,2)在反比例函數(shù)yj組圖象上，

X

二絲2,

1

解得k2=2,

所以，kiek2=(-1)x2=-2；

(2)ki*k2=-2,是定值.

理由如下：

??,一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A(0,3),

工設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kix+3,反比例函數(shù)解析式為y=—,

x

x

2

整理得kix+3x-k2=0,

3k

.*.X1+X2=-X1*X2=---2

k[kl

VAB=BC,

???點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的2倍，不防設(shè)X2=2XI，

?k2

..XI+X2=3X)=---3-，X]*X2=2XI7-

ki-1

整理得，krk2=-2,是定值.

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)反比例函數(shù)的綜合考查，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根與系數(shù)

的關(guān)系，(2)中根據(jù)AB=BC,得到點(diǎn)B、C的坐標(biāo)的關(guān)系從而轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與

系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.(?長(zhǎng)春)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A

(2,0)、C(-1,2),反比例函數(shù)y=X(k/0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.

X

(1)求k的值.

(2)將平行四邊形OABC沿x軸翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，判斷點(diǎn)U是否在反比例函數(shù)y=X

X

(k加)的圖象上，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題。

分析：(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AO=BC,再根據(jù)A、C點(diǎn)坐標(biāo)可以算出B點(diǎn)坐

標(biāo)，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中即可求出k的值；

(2)根據(jù)翻折方法可知C與C點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，故C點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,-2),把。點(diǎn)坐標(biāo)

(-1，-2)代入解析式發(fā)現(xiàn)能使解析式左右相等，故點(diǎn)C，是否在反比例函數(shù)y=2的圖象

X

上.

解答：解：(1)???四邊形OABC是平行四邊形，

ABC=AO,

VA(2,0),

OA=2,

ABC=2,

VC(-1,2),

ACD=1,

ABD=BC-CD=2-1=1,

AB(1,2),

反比例函數(shù)y=X(k#0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,

X

k=1x2=2；

(2)???")ABC沿x軸翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，

點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,-2),

Vk=2,

反比例函數(shù)解析式為y=2,

X

把C，點(diǎn)坐標(biāo)(-1,-2)代入函數(shù)解析式能使解析式左右相等，

故點(diǎn)U在反比例函數(shù)y=2的圖象上.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)與反比例函數(shù)解析式的關(guān)系，以及平行四邊形

的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練把握凡是反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)都能滿足解析式.

7.(?宜賓)如圖，拋物線y=x2-2x+c的頂點(diǎn)A在直線1：y=x-5±.

(1)求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)C、D(C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè))，試判斷aABD

的形狀；

(3)在直線1上是否存在一點(diǎn)P,使以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若

存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。

專(zhuān)題：壓軸題；分類(lèi)討論。

分析：(1)先根據(jù)拋物線的解析式得出其對(duì)稱(chēng)軸方程，由此得到頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，然后

代入直線1的解析式中即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo).

(2)由A點(diǎn)坐標(biāo)可確定拋物線的解析式，進(jìn)而可得到點(diǎn)B的坐標(biāo).則AB、AD、BD三邊

的長(zhǎng)可得，然后根據(jù)邊長(zhǎng)確定三角形的形狀.

(3)若以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，應(yīng)分①AB為對(duì)角線、②AD為對(duì)

角線兩種情況討論，即①AD2PB、②AB2PD,然后結(jié)合勾股定理以及邊長(zhǎng)的等量關(guān)系列

方程求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

解答：解：(1),頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x=—^=1,且頂點(diǎn)A在y=x-5上,

?,.當(dāng)x=l時(shí)，y=l-5=-4,

AA(1,-4).

(2)4ABD是直角三角形.

將A(l,-4)代入y=x?-2x+c,可得，1-2+c=-4,c=-3>

y=x2-2x-3,B(0,-3)

當(dāng)y=0時(shí)，x?-2x-3=0,xi=-1,x2=3

AC(-1,0),D(3,0),

BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4-3)2+l2=2,AD2=(3-1)2+42=20,

BD2+AB2=AD2,

.\ZABD=90o,即AABD是直角三角形.

(3)存在.

由題意知：直線y=x-5交y軸于點(diǎn)A(0,-5),交x軸于點(diǎn)F(5,0)

；.OE=OF=5,XVOB=OD=3

???△OEF與aOBD都是等腰直角三角形

；.BD〃1,即PA〃BD

則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD,如圖，

過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線并交于點(diǎn)C

設(shè)P(X,,xi-5),貝ijG(1,xl-5)

則PC=|1-x||,AG=|5-xi-4|=|l-xi|

PA=BD=3^/2

由勾股定理得：

(1-xi)2+(1-xi)2=18,xi2-2xi-8=0,xi=-2或4

：.P(-2,-7),P(4,-1)

存在點(diǎn)P(-2,-7)或P(4,-1)使以點(diǎn)A、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

點(diǎn)評(píng)：題目考查了二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、平行四邊形的判定等基礎(chǔ)知識(shí)，綜

合性較強(qiáng)；(3)題應(yīng)注意分類(lèi)討論，以免漏解.

8.(?溫州)如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=-x2+2mx(m>0)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A.過(guò)

點(diǎn)P(l,m)作直線PMJ_x軸于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)B.記點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)

點(diǎn)為C(B、C不重合).連接CB,CP.

(1)當(dāng)m=3時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)m>1時(shí)，連接CA,問(wèn)m為何值時(shí)CA_LCP?

(3)過(guò)點(diǎn)P作PELPC且PE=PC,問(wèn)是否存在m,使得點(diǎn)E落在坐標(biāo)軸上？若存在，求出

所有滿足要求的m的值，并定出相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。

分析：(1)把m=3,代入拋物線的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即為和x軸交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再求出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CH_Lx軸于點(diǎn)H(如圖1)由已知得NACP=/BCH=90。，利用已知條件證

明△ACHsaPCB,根據(jù)相似的性質(zhì)得到：期=里再用含有m的代數(shù)式表示出BC,CH,

CHBC

BP,代入比例式即可求出m的值；

(3)存在，本題要分當(dāng)m>l時(shí)，BC=2(m-1),PM=m,BP=m-1和當(dāng)O〈m<l時(shí)，BC=2

(1-m),PM=m,BP=1-m,兩種情況分別討論，再求出滿足題意的m值和相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E

坐標(biāo).

解答：解：(1)當(dāng)m=3時(shí)，y=-X*2+6X

令y=0得-X2+6X=0

.*.XI=O,X2=6,

AA(6,0)

當(dāng)x=l時(shí)，y=5

AB(1,5)

???拋物線y=-X2+6X的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3

又???B,C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)

ABC=4.

(2)過(guò)點(diǎn)C作CH，x軸于點(diǎn)H(如圖1)

由已矢口得NACP=NBCH=90。

AZACH=ZPCB

XVZAHC=ZPBC=90°

AAACH^APCB,

?AH產(chǎn)

.?而任

?.?拋物線y=-x2+2mx的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=m,其中m>l,

又,「B,C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

ABC=2(m-1),

VB(1,2m-1),P(1,m),

ABP=m-1,

又：A(2m,0),C(2m-1,2m-1),

AH(2m-1,0),

AAH=1,CH=2m-1,

.]_in-]

2m-12(m-1)

?,*1iTnl——3.

2

(3)VB,C不重合，Am/l,

(I)當(dāng)m>l時(shí)，BC=2(m-l),PM=m,BP=m-1,

(i)若點(diǎn)E在x軸上(如圖1),

ZCPE=90°,

ZMPE+ZBPC=ZMPE+ZMEP=90°,PC=EP,

...△BPC絲ZXMEP,

，BC=PM,

.'.2（m-1）=m,

，m=2,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2,0）；

（ii）若點(diǎn)E在y軸上（如圖2）,

過(guò)點(diǎn)P作PNLy軸于點(diǎn)N,

易證ABPC絲△NPE,

.?.BP=NP=OM=1,

m-1=1,

m=2,

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0,4）；

（II）當(dāng)0<m<l時(shí)，BC=2（1-m）,PM=