2023中考數(shù)學(xué)常見幾何模型《 一線三等角（K型圖）模型（從全等到相似）》含答案解析

試題PAGE1試題專題05一線三等角（K型圖）模型（從全等到相似）全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.一線三等角（K型圖）模型（全等模型）【模型解讀】在某條直線上有三個角相等，利用平角為180°與三角形內(nèi)角和為180°，證得兩個三角形全等?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】同側(cè)型一線三等角（常見）：銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角條件：+CE=DE證明思路：+任一邊相等異側(cè)型一線三等角：銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角條件：+任意一邊相等證明思路：+任一邊相等1．（2022·湖南湘潭·中考真題）在中，，，直線經(jīng)過點，過點、分別作的垂線，垂足分別為點、．(1)特例體驗：如圖①，若直線，，分別求出線段、和的長；(2)規(guī)律探究：①如圖②，若直線從圖①狀態(tài)開始繞點旋轉(zhuǎn)，請?zhí)骄烤€段、和的數(shù)量關(guān)系并說明理由；②如圖③，若直線從圖①狀態(tài)開始繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，與線段相交于點，請再探線段、和的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段交線段于點，若，，求．2．（2022·黑龍江·九年級期末）（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．證明∶DE=BD+CE．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．3．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）【感知模型】“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，請根據(jù)以下問題，把你的感知填寫出來：①如圖1，是等腰直角三角形，，AE=BD，則_______；②如圖2，為正三角形，，則________；③如圖3，正方形的頂點B在直線l上，分別過點A、C作于E，于F．若，，則的長為________．【模型應(yīng)用】（2）如圖4，將正方形放在平面直角坐標(biāo)系中，點O為原點，點A的坐標(biāo)為，則點C的坐標(biāo)為________．【模型變式】（3）如圖5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的長．模型2.一線三等角模型（相似模型）【模型解讀與圖示】“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個三角形相似．1．（2022·四川·一模）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形：（1）如圖1，已知：在△ABC中，，D、A、E三點都在直線m上，并且有．試猜想DE、BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請證明你的結(jié)論；（2）老師鼓勵學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探索相似的情形．于是，學(xué)習(xí)小組又研究以下問題：如圖2，△ABC中，．將一把三角尺中30°角頂點P放在BC邊上，當(dāng)P在BC邊上移動時，三角尺中30°角的一條邊始終過點A，另一條邊交AC邊于點Q，P、Q不與三角形頂點重合．設(shè)．當(dāng)在許可范圍內(nèi)變化時，取何值總有△ABP∽△PCQ？當(dāng)在許可范圍內(nèi)變化時，取何值總有△ABP∽△QCP？（3）試探索有無可能使△ABP、△QPC、△ABC兩兩相似？若可能，寫出所有、的值（不寫過程）；若不可能，請說明理由．2．（2022·河南新鄉(xiāng)·二模）如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點A的兩個等腰直角三角形，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC＝6，D在線段BC上，從B到C運動，點M和點N分別是邊BC，DE的中點．(1)【問題發(fā)現(xiàn)】若點D是BC邊的中點時，＝，直線BD與MN相交所成的銳角的度數(shù)為（請直接寫出結(jié)果）(2)【解決問題]若點D是BC邊上任意一點時，上述結(jié)論是否成立，請說明理由．(3)【拓展探究】在整個運動過程中，請直接寫出N點運動的路徑長，及CN的最小值．3．（2022·山東菏澤·三模）（1）問題：如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當(dāng)時，求證：．（2）探究：若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用：如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在BC上，點E在AC上，點F在BC上，且，若，求CD的長．模型3.一線三直角模型（相似模型）【模型解讀與圖示】“一線三直角”模型的圖形，實則是“一線三等角”型的圖形的特例，因為這種圖形在正方形和矩形中出現(xiàn)的比較多，對它做一專門研究，這樣的圖形，因為有三個角是直角，就有兩個角相等，再根據(jù)“等角的余角相等”可以得到另外一對角相等，從而判定兩個三角形相似．1．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，，．點E是線段AD上的動點（點E不與點A，D重合），連接CE，過點E作，交AB于點F．(1)求證：；(2)如圖2，連接CF，過點B作，垂足為G，連接AG．點M是線段BC的中點，連接GM．①求的最小值；②當(dāng)取最小值時，求線段DE的長．2．（2022·山東濟寧·二模）情境觀察:將含45°角的三角板的直角頂點R放在直線上，分別過兩銳角的頂點M，N作的垂線，垂足分別為P，Q，（1）如圖1.觀察圖1可知：與NQ相等的線段是______________，與相等的角是_____(2)問題探究直角中，，在AB邊上任取一點D，連接CD，分別以AC，DC為邊作正方形ACEF和正方形CDGH，如圖2，過E，H分別作BC所在直線的垂線，垂足分別為K，L.試探究EK與HL之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(3)拓展延伸：直角中，，在AB邊上任取一點D，連接CD，分別以AC，DC為邊作矩形ACEF和矩形CDGH，連接EH交BC所在的直線于點T，如圖3.如果，，試探究TE與TH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.3.（2022·浙江·嘉興一中一模）閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩個頂點分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分別過A、B向經(jīng)過點C直線作垂線，垂足分別為D、E，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：△ADC≌△CEB．(1)探究問題：如果AC≠BC，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；△ADC∽△CEB．請你說明理由．(2)學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x與直線CD交于點M（2，1），且兩直線夾角為α，且tanα＝，請你求出直線CD的解析式．(3)拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，點E為BC邊上一個動點，連接AE，將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A落在點P處，當(dāng)點P在矩形ABCD外部時，連接PC，PD．若△DPC為直角三角形時，請你探究并直接寫出BE的長．課后專項訓(xùn)練：1．（2022·貴州銅仁·三模）（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知中，，，直線l過點C，過點A作，過點B作，垂足分別為D、E．求證：．（2）遷移應(yīng)用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三角板的一個銳角的頂點與坐標(biāo)原點O重合，另兩個頂點均落在第一象限內(nèi)，已知點N的坐標(biāo)為，求點M的坐標(biāo)．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線與y軸交于點P，與x軸交于點Q，將直線繞P點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，所得的直線交x軸于點R．求點R的坐標(biāo)．2．（2022·廣東·汕頭市潮陽區(qū)教師發(fā)展中心教學(xué)研究室一模）（1）模型建立，如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．求證：△BEC≌△CDA；（2）模型應(yīng)用：①已知直線AB與y軸交于A點，與軸交于B點，sin∠ABO=，OB=4，將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90度，得到線段BC，過點A，C作直線，求直線AC的解析式；②如圖3，矩形ABCO，O為坐標(biāo)原點，B的坐標(biāo)為（8，6），A，C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動點，已知點D在第一象限，且是直線y=25上的一點，若△APD是以D為直角頂點的等腰直角三角形，請求出所有符合條件的點D的坐標(biāo)．3．（2022·黑龍江·樺南縣九年級期中）如圖1，在中，，，直線經(jīng)過點，且于，于．(1)由圖1，證明：；(2)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，請猜想出，，的等量關(guān)系并說明理由；(3)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問，，又具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系（不必說明理由）．4．（2022·山東·九年級課時練習(xí)）（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，，，，，垂足分別為，，，．求的長”，請直接寫出此題答案：的長為________．（2）探索證明：如圖②，點，在的邊、上，，點，在內(nèi)部的射線上，且．求證：．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在中，，．點在邊上，，點、在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為________．（直接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程）5．（2022·無錫市九年級月考）（1）如圖1，直線m經(jīng)過等腰直角△ABC的直角頂點A，過點B、C分別作BD⊥m，CE⊥m，垂足分別是D、E．求證：BD＋CE＝DE；（2）如圖2，直線m經(jīng)過△ABC的頂點A，AB＝AC，在直線m上取兩點D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α，補充∠BAC＝（用α表示），線段BD、CE與DE之間滿足BD＋CE＝DE，補充條件后并證明；（3）在（2）的條件中，將直線m繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度到如圖3的位置，并改變條件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通過觀察或測量，猜想線段BD、CE與DE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．6．（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級期中）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形相似時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．（1）如圖1，在ABC中，∠BAC＝90°，＝k，直線l經(jīng)過點A，BD⊥直線I，CE上直線l，垂足分別為D、E．求證：＝k．（2）組員小劉想，如果三個角都不是直角，那么結(jié)論是否仍然成立呢？如圖2，將（1）中的條件做以下修改：在ABC中，＝k，D、A、E三點都在直線l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，在ABC中，沿ABC的邊AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，＝＝，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I．①求證：I是EG的中點．②直接寫出線段BC與AI之間的數(shù)量關(guān)系：．7．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）[問題背景]（1）如圖1，是等腰直角三角形，，直線過點，，，垂足分別為，．求證：；[嘗試應(yīng)用]（2）如圖2，，，，，三點共線，，，，．求的長；[拓展創(chuàng)新]（3）如圖3，在中，，點，分別在，上，，，若，直接寫出的值為．8．（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模）數(shù)學(xué)實踐課堂上，張老師帶領(lǐng)學(xué)生們從一道題入手，開始研究，并對此題做適當(dāng)變式，嘗試舉一反三，開闊學(xué)生思維．(1)原型題：如圖1，于點B，于點D，P是上一點，，，則________，請你說明理由．(2)利用結(jié)論，直接應(yīng)用：①如圖2，四邊形、、都是正方形，邊長分別為a、b、c，A、B、N、E，F(xiàn)五點在同一條直線上，則________，________（用含a、b的式子表示）．②如圖3，四邊形中，，，，，以上一點O為圓心的圓經(jīng)過A、D兩點，且，則圓心O到弦的距離為________．(3)弱化條件，變化引申：如圖4，M為線段的中點，與交于點C，，且交于點F，交于點G，連接，則與的關(guān)系為：________，若，，則________．9．（2022?鄭州一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中．邊長為4的等邊△OAB的邊OA在x軸上，C、D、E分別是AB、OB、OA上的動點，且滿足BD＝2AC，DE∥AB，連接CD、CE，當(dāng)點E坐標(biāo)為時，△CDE與△ACE相似．10．（2022?廣東中考模擬）（1）模型探究：如圖1，、、分別為三邊、、上的點，且，與相似嗎？請說明理由.（2）模型應(yīng)用：為等邊三角形，其邊長為，為邊上一點，為射線上一點，將沿翻折，使點落在射線上的點處，且.①如圖2，當(dāng)點在線段上時，求的值；②如圖3，當(dāng)點落在線段的延長線上時，求與的周長之比.11．（2022·山西晉中·一模）閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩個頂點分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①，在中，，，分別過、向經(jīng)過點直線作垂線，垂足分別為、，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．（1）探究問題：如果，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；．請你說明理由．（2）學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點，且兩直線夾角為，且，請你求出直線的解析式．（3）拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形中，，，點為邊上—個動點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點落在點處，當(dāng)點在矩形外部時，連接，．若為直角三角形時，請你探究并直接寫出的長．

12．（2022·山東青島·九年級期中）【模型引入】我們在全等學(xué)習(xí)中所總結(jié)的“一線三等角、K型全等”這一基本圖形，可以使得我們在觀察新問題的時候很迅速地聯(lián)想，從而借助已有經(jīng)驗，迅速解決問題．【模型探究】如圖，正方形ABCD中，E是對角線BD上一點，連接AE，過點E作EF⊥AE，交直線CB于點F．（1）如圖1，若點F在線段BC上，寫出EA與EF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（2）如圖2，若點F在線段CB的延長線上，請直接寫出線段BC，BE和BF的數(shù)量關(guān)系．【模型應(yīng)用】（3）如圖3，正方形ABCD中，AB＝4，E為CD上一動點，連接AE交BD于F，過F作FH⊥AE于F，過H作HG⊥BD于G．則下列結(jié)論：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周長為8．正確的結(jié)論有個．（4）如圖4，點E是正方形ABCD對角線BD上一點，連接AE，過點E作EF⊥AE，交線段BC于點F，交線段AC于點M，連接AF交線段BD于點H．給出下列四個結(jié)論，①AE＝EF；②DE＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE+BF；正確的結(jié)論有個．【模型變式】（5）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OBCD是正方形，且D（0，2），點E是線段OB延長線上一點，M是線段OB上一動點（不包括點O、B），作MN⊥DM，垂足為M，交∠CBE的平分線與點N，求證：MD＝MN（6）如圖6，在上一問的條件下，連接DN交BC于點F，連接FM，則∠FMN和∠NMB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明．【拓展延伸】（7）已知∠MON＝90°，點A是射線ON上的一個定點，點B是射線OM上的一個動點，且滿足OB＞OA．點C在線段OA的延長線上，且AC＝OB．如圖7，在線段BO上截取BE，使BE＝OA，連接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，當(dāng)點B在射線OM上運動時，β的大小是否會發(fā)生變化？如果不變，請求出這個定值；如果變化，請說明理由．（8）如圖8，正方形ABCD中，AD＝6，點E是對角線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥ED，交AB于點F，連接DF，交AC于點G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點N，若點F是AB邊的中點，則△EDM的面積是專題05一線三等角（K型圖）模型（從全等到相似）全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.一線三等角（K型圖）模型（全等模型）【模型解讀】在某條直線上有三個角相等，利用平角為180°與三角形內(nèi)角和為180°，證得兩個三角形全等?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】同側(cè)型一線三等角（常見）：銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角條件：+CE=DE證明思路：+任一邊相等異側(cè)型一線三等角：銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角條件：+任意一邊相等證明思路：+任一邊相等1．（2022·湖南湘潭·中考真題）在中，，，直線經(jīng)過點，過點、分別作的垂線，垂足分別為點、．(1)特例體驗：如圖①，若直線，，分別求出線段、和的長；(2)規(guī)律探究：①如圖②，若直線從圖①狀態(tài)開始繞點旋轉(zhuǎn)，請?zhí)骄烤€段、和的數(shù)量關(guān)系并說明理由；②如圖③，若直線從圖①狀態(tài)開始繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，與線段相交于點，請再探線段、和的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段交線段于點，若，，求．【答案】(1)BD=1；CE=1；DE=2(2)DE=CE+BD；理由見解析；②BD=CE+DE；理由見解析(3)【分析】（1）先根據(jù)得出，根據(jù)，得出，，再根據(jù)，求出，，即可得出，最后根據(jù)三角函數(shù)得出，，即可求出；（2）①DE=CE+BD；根據(jù)題意，利用“AAS”證明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出結(jié)論；②BD=CE+DE；根據(jù)題意，利用“AAS”證明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出結(jié)論；（3）在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)，得出，代入數(shù)據(jù)求出AF，根據(jù)AC=5，算出CF，即可求出三角形的面積．(1)解：∵，，∴，∵，∴，，∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，，∴，∴，，∴．(2)DE=CE+BD；理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，∵，∴，∴，∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=CE+BD，即DE=CE+BD；②BD=CE+DE，理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，∵，∴，∴，∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=CE+DE．(3)根據(jù)解析（2）可知，AD=CE=3，∴，在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理可得：，∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴，∴，即，解得：，∴，∵AB=AC=5，∴．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江·九年級期末）（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．證明∶DE=BD+CE．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．【答案】（1）見解析（2）成立，證明見解析（3）△DEF為等邊三角形，證明見解析【分析】（1）因為DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS證△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，從而證得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通過證明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA=∠CAE，由△ABF和△ACF均等邊三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，F(xiàn)B=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根據(jù)∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等邊三角形．【詳解】解：（1）證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA＝∠CEA=90°．∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．證明如下：∵∠BDA=∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF為等邊三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（SAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°．∴△DEF為等邊三角形．【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定．3．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）【感知模型】“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，請根據(jù)以下問題，把你的感知填寫出來：①如圖1，是等腰直角三角形，，AE=BD，則_______；②如圖2，為正三角形，，則________；③如圖3，正方形的頂點B在直線l上，分別過點A、C作于E，于F．若，，則的長為________．【模型應(yīng)用】（2）如圖4，將正方形放在平面直角坐標(biāo)系中，點O為原點，點A的坐標(biāo)為，則點C的坐標(biāo)為________．【模型變式】（3）如圖5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的長．【答案】①△BDF；②△CFD；③3；（2）（3）2cm【分析】①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△AED≌△BDF；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△BDE≌△CFD；③根據(jù)正方形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△ABE≌△BCF，由全等三角形的性質(zhì)即可求得EF的長；（2）分別過A、C作x軸的垂線，垂足分別為點D、E，根據(jù)正方形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△COE≌△OAD，從而可求得OE、CE的長，進而得到點C的坐標(biāo)；（3）由三個垂直及等腰直角三角形可證明△BCE≌△CAD，由全等三角形的性質(zhì)即可求得BE的長．【詳解】①∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90゜∴∠A=∠B=45゜∴∠BDF+∠BFD=180゜?∠B=135゜∵∠EDF=45゜∴∠ADE+∠BDF=180゜?∠EDF=135゜∴∠ADE=∠BFD在△AED和△BDF中∴△AED≌△BDF(AAS)答案為：△BDF；②∵△ABC是等邊三角形∴∠B=∠C=60゜∴∠BDE+∠BED=180゜?∠B=120゜∵∠EDF=60゜∴∠BDE+∠CDF=180゜?∠EDF=120゜∴∠BED=∠CDF在△BDE和△CFD中∴△BDE≌△CFD(AAS)故答案為：△CFD；③∵四邊形ABCD是正方形∴∠ABC=90゜，AB=BC∴∠ABE+∠CBF=180゜?∠ABC=90゜∵AE⊥l，CF⊥l∴∠AEB=∠CFB=90゜∴∠ABE+∠EAB=90゜∴∠EAB=∠CBF在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BCF(AAS)∴AE=BF=1，BE=CF=2∴EF=BE+BF=2+1=3故答案為：3；（2）分別過A、C作x軸的垂線，垂足分別為點D、E，如圖所示∵四邊形OABC是正方形∴∠AOC=90゜，AO=OC∴∠COE+∠AOD=180゜?∠ACO=90゜∵AD⊥x軸，CE⊥x軸∴∠CEO=∠ADO=90゜∴∠ECO+∠COE=90゜∴∠ECO=∠AOD在△COE和△OAD中∴△COE≌△OAD(AAS)∴CE=OD，OE=AD∵∴OD=1，∴CE=1，∵點C在第二象限∴點C的坐標(biāo)為故答案為：；（3）∵∠ACB=90゜∴∠BCE+∠ACD=90゜∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠CEB=∠ADC=90゜∴∠BCE+∠CBE=90゜∴∠CBE=∠ACD在△BCE和△CAD中∴△BCE≌△CAD(AAS)∴BE=CD，CE=AD=6cm∴BE=CD=CE－DE=6－4=2(cm)【點睛】本題是三角形全等的綜合，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是關(guān)鍵．模型2.一線三等角模型（相似模型）【模型解讀與圖示】“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個三角形相似．1．（2022·四川·一模）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形：（1）如圖1，已知：在△ABC中，，D、A、E三點都在直線m上，并且有．試猜想DE、BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請證明你的結(jié)論；（2）老師鼓勵學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探索相似的情形．于是，學(xué)習(xí)小組又研究以下問題：如圖2，△ABC中，．將一把三角尺中30°角頂點P放在BC邊上，當(dāng)P在BC邊上移動時，三角尺中30°角的一條邊始終過點A，另一條邊交AC邊于點Q，P、Q不與三角形頂點重合．設(shè)．當(dāng)在許可范圍內(nèi)變化時，取何值總有△ABP∽△PCQ？當(dāng)在許可范圍內(nèi)變化時，取何值總有△ABP∽△QCP？（3）試探索有無可能使△ABP、△QPC、△ABC兩兩相似？若可能，寫出所有、的值（不寫過程）；若不可能，請說明理由．【答案】（1）；證明見解析；（2）；；（3）可能；，或，．【分析】（1）證明△ADB≌△CEA（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE=BD，AD=CE，則可得出結(jié)論；（2）由β=∠2或∠1=∠CQP，即∠2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=∠1或∠2=∠CQP，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①當(dāng)α=30°，β=30°時，則∠2=∠B=α=30°，即可求解；②當(dāng)β=75°，α=52.5°時，同理可解．【詳解】解：（1）如圖1，∵，∴，∴，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴，，∴；（2）在△ABP中，，∴，同理可得：；由或，即，解得，則△ABP∽△PCQ；∴當(dāng)在許可范圍內(nèi)變化時，時，總有△ABP∽△PCQ；由或，同理可得：．∴當(dāng)在許可范圍內(nèi)變化時，總有△ABP∽△QCP；（3）可能．①當(dāng)，時，則，則△ABP∽△PCQ∽△BCA；②當(dāng)，時，同理可得：，，∴△ABP∽△CQP∽△BCA．【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·河南新鄉(xiāng)·二模）如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點A的兩個等腰直角三角形，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC＝6，D在線段BC上，從B到C運動，點M和點N分別是邊BC，DE的中點．(1)【問題發(fā)現(xiàn)】若點D是BC邊的中點時，＝，直線BD與MN相交所成的銳角的度數(shù)為（請直接寫出結(jié)果）(2)【解決問題]若點D是BC邊上任意一點時，上述結(jié)論是否成立，請說明理由．(3)【拓展探究】在整個運動過程中，請直接寫出N點運動的路徑長，及CN的最小值．【答案】(1)，45°(2)成立，理由見解析(3)N點運動的路徑長為6，CN的最小值為3【分析】（1）證明△AMN是等腰直角三角形，可得結(jié)論．（2）結(jié)論不變．連接AM，AN，證明△BAD∽△MAN，可得結(jié)論．（3）利用三角形中位線定理，垂線段最短解決問題即可．(1)解：如圖1中，當(dāng)點D是BC的中點時，∵AB=AC，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠ADE=45°，∴AC⊥DE，∴AC平分DE，∴點N落在AC上，∴BM=AM=MN，∠NMC=45°，∴=，故答案為：，45°．(2)解：如圖2中，連接AM，AN．∵AB=AC，∠BAC=90°，BM=CM，∴AM⊥MC，AM=BM=CM，∴AB=AM，同法可證AD=AN，∵∠BAM=∠DAN=45°，∴∠BAD=∠MAN，∵=，∴△BAD∽△MAN，∴==，∠ABD=∠AMN=45°．(3)解：如圖3中，當(dāng)D在線段BC上，從B運動到C時，由（2）問可知，∠AMN=45°，所以點N的運動路徑是圖3中的線段MN，MN=BE=6．當(dāng)CN⊥MN時，CN的值最小，最小值=AC=3．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．3．（2022·山東菏澤·三模）（1）問題：如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當(dāng)時，求證：．（2）探究：若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用：如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在BC上，點E在AC上，點F在BC上，且，若，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP△BPC，然后運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；（3）先證△ABD△DFE，求出DF=4，再證△EFC△DEC，可求FC＝1，進而解答即可．【詳解】（1）證明：如題圖1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP△BPC，，∴ADBC=APBP，（2）結(jié)論仍然成立，理由如下，，又，，，設(shè)，，，，∴ADBC=APBP，（3），，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，,，，，．【點睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似；能夠通過構(gòu)造45°角將問題轉(zhuǎn)化為一線三角是解題的關(guān)鍵．模型3.一線三直角模型（相似模型）【模型解讀與圖示】“一線三直角”模型的圖形，實則是“一線三等角”型的圖形的特例，因為這種圖形在正方形和矩形中出現(xiàn)的比較多，對它做一專門研究，這樣的圖形，因為有三個角是直角，就有兩個角相等，再根據(jù)“等角的余角相等”可以得到另外一對角相等，從而判定兩個三角形相似．1．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，，．點E是線段AD上的動點（點E不與點A，D重合），連接CE，過點E作，交AB于點F．(1)求證：；(2)如圖2，連接CF，過點B作，垂足為G，連接AG．點M是線段BC的中點，連接GM．①求的最小值；②當(dāng)取最小值時，求線段DE的長．【答案】(1)見解析(2)①5；②或【分析】（1）證明出即可求解；（2）①連接AM．先證明．確定出點G在以點M為圓心，3為半徑的圓上．當(dāng)A，G，M三點共線時，．此時，取最小值．在中利用勾股定理即可求出AM，則問題得解．②先求出AF，求AF的第一種方法：過點M作交FC于點N，即有，進而有．設(shè)，則，．再根據(jù)，得到，得到，則有，解方程即可求出AF；求AF的第二種方法：過點G作交BC于點H．即有．則有，根據(jù)，可得，進而求出，．由得，即可求出AF．求出AF之后，由（1）的結(jié)論可得．設(shè)，則，即有，解得解方程即可求出DE．(1)證明：如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴．∵，∴，∴，∴；(2)①解：如圖2-1，連接AM．∵，∴是直角二角形．∴．∴點G在以點M為圓心，3為半徑的圓上．當(dāng)A，G，M三點不共線時，由三角形兩邊之和大于箒三邊得：，當(dāng)A，G，M三點共線時，．此時，取最小值．在中，．∴的最小值為5．②（求AF的方法一）如圖2-2，過點M作交FC于點N，∴．∴．設(shè)，則，∴．∵，∴，∴，由①知的最小值為5、即，又∵，∴．∴，解得，即．（求AF的方法二）如圖2-3，過點G作交BC于點H．∴．∴，由①知的最小值為5，即，又∵，∴．∴，．由得，∴，即，解得．∴．由（1）的結(jié)論可得．設(shè)，則，∴，解得或．∵，，∴或．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行的性質(zhì)、勾股定理以及一元二次方程的應(yīng)用等知識，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·山東濟寧·二模）情境觀察:將含45°角的三角板的直角頂點R放在直線上，分別過兩銳角的頂點M，N作的垂線，垂足分別為P，Q，（1）如圖1.觀察圖1可知：與NQ相等的線段是______________，與相等的角是_____(2)問題探究直角中，，在AB邊上任取一點D，連接CD，分別以AC，DC為邊作正方形ACEF和正方形CDGH，如圖2，過E，H分別作BC所在直線的垂線，垂足分別為K，L.試探究EK與HL之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(3)拓展延伸：直角中，，在AB邊上任取一點D，連接CD，分別以AC，DC為邊作矩形ACEF和矩形CDGH，連接EH交BC所在的直線于點T，如圖3.如果，，試探究TE與TH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】(1)，，(2)，證明見解析；(3)，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)余角性質(zhì)得到，再證明，即可得到，；（2）證明，得到，再證明，得到，可得到；（3）證明，得到，證明，得到，得到，證明即可得到．（1）解：∵是等腰直角三角形，∴，，∵，，∴，∴，∴，在和中，∴，∴，，故答案為：，；（2）解：∵四邊形ACEF是正方形，∴，，∵∴，∴，∴，在和中，∴，∴，∵四邊形CDGH是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，∴，∴，，（3）解：過E作與M，過H作與N，∵四邊形ACEF是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，同理：，∴，∴，∴，在和中，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，（3）證明，是解題的關(guān)鍵．3.（2022·浙江·嘉興一中一模）閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩個頂點分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分別過A、B向經(jīng)過點C直線作垂線，垂足分別為D、E，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：△ADC≌△CEB．(1)探究問題：如果AC≠BC，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；△ADC∽△CEB．請你說明理由．(2)學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x與直線CD交于點M（2，1），且兩直線夾角為α，且tanα＝，請你求出直線CD的解析式．(3)拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，點E為BC邊上一個動點，連接AE，將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A落在點P處，當(dāng)點P在矩形ABCD外部時，連接PC，PD．若△DPC為直角三角形時，請你探究并直接寫出BE的長．【答案】(1)見解析(2)(3)4或【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，且∠ADC=∠BEC=90°，可得結(jié)論；（2）過點O作ON⊥OM交直線CD于點N，分別過M、N作ME⊥x軸NF⊥x軸，由（1）的結(jié)論可得：△NFO∽△OEM，可得，可求點N坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解析式；（3）分兩種情況討論，由全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可求解．(1)解：理由如下，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，又∵∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，且∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC∽△CEB；(2)解：如圖，過點O作ON⊥OM交直線CD于點N，分別過M、N作ME⊥x軸，NF⊥x軸，由（1）可得：△NFO∽△OEM，∴，∵點M（2，1），∴OE＝2，ME＝1，∵tanα＝＝，∴，∴NF＝3，OF＝，∴點N（，3），∵設(shè)直線CD表達式：y＝kx+b，∴∴∴直線CD的解析式為：y＝-x+；(3)解：當(dāng)∠CDP＝90°時，如圖，過點P作PH⊥BC，交BC延長線于點H，∵∠ADC+∠CDP＝180°，∴點A，點D，點P三點共線，∵∠BAP＝∠B＝∠H＝90°，∴四邊形ABHP是矩形，∴AB＝PH＝4，∵將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，∴AE＝EP，∠AEP＝90°，∴∠AEB+∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠H＝90°，AE＝EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴BE＝PH＝4，當(dāng)∠CPD＝90°時，如圖，過點P作PH⊥BC，交BC延長線于點H，延長HP交AD的延長線于N，則四邊形CDNH是矩形，∴CD＝NH＝4，DN＝CH，設(shè)BE＝x，則EC＝5-x，∵將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，∴AE＝EP，∠AEP＝90°，∴∠AEB+∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠EHP＝90°，AE＝EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴PH＝BE＝x，AB＝EH＝4，∴PN＝4-x，CH＝4-（5-x）＝x-1＝DN，∵∠DPC＝90°，∴∠DPN+∠CPH＝90°，且∠CPH+∠PCH＝90°，∴∠PCH＝∠DPN，且∠N＝∠CHP＝90°，∴△CPH∽△PDN，∴，∴=∴x＝∵點P在矩形ABCD外部，∴x＝，∴BE＝，綜上所述：當(dāng)BE的長為4或時，△DPC為直角三角形．【點睛】本題是考查了待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練：1．（2022·貴州銅仁·三模）（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知中，，，直線l過點C，過點A作，過點B作，垂足分別為D、E．求證：．（2）遷移應(yīng)用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三角板的一個銳角的頂點與坐標(biāo)原點O重合，另兩個頂點均落在第一象限內(nèi)，已知點N的坐標(biāo)為，求點M的坐標(biāo)．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線與y軸交于點P，與x軸交于點Q，將直線繞P點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，所得的直線交x軸于點R．求點R的坐標(biāo)．【答案】（1）見詳解；（2）點M的坐標(biāo)為（1，3）；（3）R（，0）【分析】（1）先判斷出∠ACB=∠ADC，再判斷出∠CAD=∠BCE，進而判斷出△ACD≌△CBE，即可得出結(jié)論；（2）過點M作MF⊥y軸，垂足為F，過點N作NG⊥MF，判斷出MF=NG，OF=MG，設(shè)M（m，n）列方程組求解，即可得出結(jié)論；（3）過點Q作QS⊥PQ，交PR于S，過點S作SH⊥x軸于H，先求出OP=4，由y=0得x=1，進而得出Q（1，0），OQ=1，再判斷出PQ=SQ，即可判斷出OH=5，SH=OQ=1，進而求出直線PR的解析式，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l，∴∠ACB＝∠ADC．∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC．∴△ACD≌△CBE，∴CD＝BE，（2）解：如圖2，過點M作MF⊥y軸，垂足為F，過點N作NG⊥MF，交FM的延長線于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°，∴由（1）得△OFM≌△MGN，∴MF＝NG，OF＝MG，設(shè)M（m，n），∴MF＝m，OF＝n，∴MG＝n，NG＝m，∵點N的坐標(biāo)為（4，2）

∴解得∴點M的坐標(biāo)為（1，3）；（3）如圖3，過點Q作QS⊥PQ，交PR于S，過點S作SH⊥x軸于H，對于直線y＝﹣4x+4，由x＝0得y＝4，∴P（0，4），∴OP＝4，由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°，∴∠PSQ＝45°＝∠QPS．∴PQ＝SQ．∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP．∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝4+1＝5，SH＝OQ＝1．∴S（5，1），設(shè)直線PR為y＝kx+b，則，解得．∴直線PR為y＝x+4．由y＝0得，x＝，∴R（，0）．【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東·汕頭市潮陽區(qū)教師發(fā)展中心教學(xué)研究室一模）（1）模型建立，如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．求證：△BEC≌△CDA；（2）模型應(yīng)用：①已知直線AB與y軸交于A點，與軸交于B點，sin∠ABO=，OB=4，將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90度，得到線段BC，過點A，C作直線，求直線AC的解析式；②如圖3，矩形ABCO，O為坐標(biāo)原點，B的坐標(biāo)為（8，6），A，C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動點，已知點D在第一象限，且是直線y=25上的一點，若△APD是以D為直角頂點的等腰直角三角形，請求出所有符合條件的點D的坐標(biāo)．【答案】（1）見解析；（2）①；②D（3，1）或【詳解】（1）解：由題意可得，，

∴，∴，在和中，∴，（2）解：①如圖，過點C作軸于點D，在Rt△ABO中sin∠ABO，OB4，∴設(shè)AO=3m，AB=5m，∴OB=4m=4，∴m=1，∴AO=3，同（1）可證得，∴，，∴，∴，∵，設(shè)直線AC解析式為，把C點坐標(biāo)代入可得，解得，∴直線AC解析式為；②設(shè)D坐標(biāo)為（x，2x-5）,當(dāng)D在AB的下方時，過D作DE⊥y軸于E，交BC于F,同（1）可證得△ADE≌△DPF，∴DF=AE=6-（2x-5）=11-2x，DE=x,∴11-2x+x=8,∴x=3，∴D（3，1），當(dāng)D在AB的上方時，如圖，過D作DE⊥y軸于E，交BC的延長線于F,同（1）可證得，∴DF=AE=（2x-5）-6=2x-11，DE=x，∴2x-11+x=8，∴，∴，綜上述D（3，1）或．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法一次函數(shù)的解析式、正弦的定義、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)及方程思想，作輔助線構(gòu)造模型是解本題的關(guān)鍵．3．（2022·黑龍江·樺南縣九年級期中）如圖1，在中，，，直線經(jīng)過點，且于，于．(1)由圖1，證明：；(2)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，請猜想出，，的等量關(guān)系并說明理由；(3)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問，，又具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系（不必說明理由）．【答案】(1)證明見解析；(2)，證明過程見解析；(3)，證明過程見解析【分析】(1)先證明△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，進而得到DE=CE+DC=AD+BE即可；(2)同(1)中思路，證明△ADC≌△CEB，進而得到DE=CE-DC=AD-BE即可；(3)同(1)中思路，證明△ADC≌△CEB，進而得到DE=DC-CE=BE-AD即可．【詳解】解：(1)證明：在中，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，，∵直線經(jīng)過點，∴；(2)，，的等量關(guān)系為：，理由如下：∵于，于∴，∴，，∴，在和中，∴∴，，∴；(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，、、所滿足的等量關(guān)系是，理由如下：∵于，于∴，∴，，∴，在和中，∴∴，，∴.【點睛】本題考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性質(zhì)及等角的余角相等等知識點，熟練掌握三角形全等的判定方法是求解的關(guān)鍵．4．（2022·山東·九年級課時練習(xí)）（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，，，，，垂足分別為，，，．求的長”，請直接寫出此題答案：的長為________．（2）探索證明：如圖②，點，在的邊、上，，點，在內(nèi)部的射線上，且．求證：．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在中，，．點在邊上，，點、在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為________．（直接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程）【答案】（1）0.8cm；（2）見解析（3）5【分析】（1）利用AAS定理證明△CEB≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）由條件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根據(jù)AAS可證明△ABE≌△CAF；（3）先證明△ABE≌△CAF，得到與的面積之和為△ABD的面積，再根據(jù)故可求解．【詳解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°．∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．∵DC＝CE?DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5?1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案為：0.8cm；（2）證明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC．∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE．∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）．（3）∵∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF又∴△ABE≌△CAF，∴∴與的面積之和等于與的面積之和，即為△ABD的面積，∵，△ABD與△ACD的高相同則=5故與的面積之和為5故答案為：5．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022·無錫市九年級月考）（1）如圖1，直線m經(jīng)過等腰直角△ABC的直角頂點A，過點B、C分別作BD⊥m，CE⊥m，垂足分別是D、E．求證：BD＋CE＝DE；（2）如圖2，直線m經(jīng)過△ABC的頂點A，AB＝AC，在直線m上取兩點D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α，補充∠BAC＝（用α表示），線段BD、CE與DE之間滿足BD＋CE＝DE，補充條件后并證明；（3）在（2）的條件中，將直線m繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度到如圖3的位置，并改變條件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通過觀察或測量，猜想線段BD、CE與DE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．【答案】（1）證明見詳解，（2）∠BAC=，證法見詳解，（3）180o-，DE=EC-BD，證明見詳解．【分析】（1）根據(jù)已知首先證明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）補充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形對應(yīng)邊之間的關(guān)系，即可得出答案；（3）180o-α，DE=CE-BD，根據(jù)已知首先證明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形對應(yīng)邊之間的關(guān)系，即可得出答案．【詳解】證明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90o，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180o-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180o-α，數(shù)量關(guān)系為DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝

180o-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【點睛】點評：此題主要考查了三角形全等的證明，根據(jù)已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解決問題的關(guān)鍵．6．（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級期中）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形相似時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．（1）如圖1，在ABC中，∠BAC＝90°，＝k，直線l經(jīng)過點A，BD⊥直線I，CE上直線l，垂足分別為D、E．求證：＝k．（2）組員小劉想，如果三個角都不是直角，那么結(jié)論是否仍然成立呢？如圖2，將（1）中的條件做以下修改：在ABC中，＝k，D、A、E三點都在直線l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，在ABC中，沿ABC的邊AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，＝＝，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I．①求證：I是EG的中點．②直接寫出線段BC與AI之間的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）見解析（2）結(jié)論還成立，證明見解析（3）①見解析②BC=AI【分析】（1）由條件可證明△ABD∽△CAE，可得=＝k；（2）由條件可知∠BAD＋∠CAE＝180°?α，且∠DBA＋∠BAD＝180°?α，可得∠DBA＝∠CAE，結(jié)合條件可證明△ABD∽△CAE，同（1）可得出結(jié)論；（3）①過點G作GMAE交AI的延長線于點M，連接EM，證明△ABC∽△GMA，再得到四邊形AGME是平行四邊形，故可求解；②由①得到BC=AM，再根據(jù)四邊形AGME是平行四邊形得到BC=AI，故可求解．【詳解】（1）如圖1，∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°∵∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD∵∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，∴△ADB∽△CEA，∴=＝k；（2）成立，證明如下：如圖2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°?α，∴∠DBA＝∠CAE，∵∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA∴△ADB∽△CEA，∴=＝k；（3）①過點G作GMAE交AI的延長線于點M，連接EM∵四邊形AGFC是矩形，∴∠GAC=90°又AH⊥BC∴∠AHC=90°∴∠5+∠CAH=∠4+∠CAH=90°∴∠5=∠4∵∠BDE=∠AHB=90°∴∠2+∠BAH=∠1+∠BAH=90°∴∠2=∠1又GMAE∴∠3=∠2∴∠3=∠1∴△ABC∽△GMA∴又∵∴∴GM=AE又∵GMAE∴四邊形AGME是平行四邊形∴EI=IG故I為EG的中點；②由①知∴BC=AM∵四邊形AGME是平行四邊形∴AI=IM∴AI=AM∴BC=AI∴線段BC與AI之間的數(shù)量關(guān)系為BC=AI故答案為：BC=AI．【點睛】此題主要考查相似三角形的判斷與性質(zhì)綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到相似三角形，列出比例式求解．7．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）[問題背景]（1）如圖1，是等腰直角三角形，，直線過點，，，垂足分別為，．求證：；[嘗試應(yīng)用]（2）如圖2，，，，，三點共線，，，，．求的長；[拓展創(chuàng)新]（3）如圖3，在中，，點，分別在，上，，，若，直接寫出的值為．【答案】（1）見解析；（2）；（3）5【分析】（1）由“”可證；（2）延長，交于點，過點作于，由（1）可知：，可得，，由直角三角形的性質(zhì)可求解；（3）通過證明，可求，通過證明，可求，即可求解．【詳解】解：（1）證明：∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴；（2）如圖2，延長，交于點，過點作于，由（1）可知：，∴，，∵，，∴，∴，，∴，∴，，∴，∴；（3）如圖3，過點作，交的延長線于，延長交于，過點作于，過點作于，∵，∴設(shè)，，∴，由（1）可知：，∴，，∵，，，∴，∴，，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形是本題的關(guān)鍵．8．（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模）數(shù)學(xué)實踐課堂上，張老師帶領(lǐng)學(xué)生們從一道題入手，開始研究，并對此題做適當(dāng)變式，嘗試舉一反三，開闊學(xué)生思維．(1)原型題：如圖1，于點B，于點D，P是上一點，，，則________，請你說明理由．(2)利用結(jié)論，直接應(yīng)用：①如圖2，四邊形、、都是正方形，邊長分別為a、b、c，A、B、N、E，F(xiàn)五點在同一條直線上，則________，________（用含a、b的式子表示）．②如圖3，四邊形中，，，，，以上一點O為圓心的圓經(jīng)過A、D兩點，且，則圓心O到弦的距離為________．(3)弱化條件，變化引申：如圖4，M為線段的中點，與交于點C，，且交于點F，交于點G，連接，則與的關(guān)系為：________，若，，則________．【答案】(1)，見解析(2)①；；②(3)相似，【分析】（1）根據(jù)，，推出，即可證明；（2）①同（1）中方法一樣，證明，即可用、表示；②過點作的垂線，交于點，則的長度為圓心O到弦的距離，同（1）中方法一樣，證明，得到，根據(jù)勾股定理分別求出、的長度，再根據(jù)，即可求出的長度；（3）根據(jù)，，推出，即可證明，即可求出的長度，根據(jù)，推出是直角三角形，求出、的長度，即可求出的長度．(1)解：∵，∴在和中∵∴(2)解：①，∵四邊形是正方形∴，∵，∴在和中∵∴∴∵∴，即②圓心O到弦的距離為過點作的垂線，交于點，則的長度為圓心O到弦的距離，如圖所示∵，∴∵∴又∵∴在和中∵∴∴在中，在中，∵，即∴∴圓心O到弦的距離為(3)解：與的關(guān)系為：相似，∵∴∵∴∴又∵∴∴，即∴∵∴∴∴，∴【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、同角的余角相等、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識點，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022?鄭州一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中．邊長為4的等邊△OAB的邊OA在x軸上，C、D、E分別是AB、OB、OA上的動點，且滿足BD＝2AC，DE∥AB，連接CD、CE，當(dāng)點E坐標(biāo)為時，△CDE與△ACE相似．【分析】因為DE∥AB得到∠DEC＝∠ACE，所以△CDE與△ACE相似分兩種情況分類討論．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA，∴△ODE也是等邊三角形，則OD＝OE＝DE，設(shè)E（a，0），則OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝4﹣a．∵△CDE與△ACE相似，分兩種情況討論：①當(dāng)△CDE∽△EAC時，則∠DCE＝∠CEA，∴CD∥AE，∴四邊形AEDC是平行四邊形，∴AC＝a，，∵BD＝2AC，∴4﹣a＝2a，∴a＝．∴E；②當(dāng)△CDE∽△AEC時，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B，∴∠BCD+∠ECA＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，∴∠BCD+∠ECA＝∠BDC+∠BCD，∴∠ECA＝∠BDC，∴△BDC∽△ACE，∴，∴BC＝2AE＝2（4﹣a）＝8﹣2a，∴8﹣2a+2＝4，∴a＝．∴．綜上所述，點E的坐標(biāo)為或．【點評】本題主要考查相似三角形，考慮分類討論是本題的關(guān)鍵．10．（2022?廣東中考模擬）（1）模型探究：如圖1，、、分別為三邊、、上的點，且，與相似嗎？請說明理由.（2）模型應(yīng)用：為等邊三角形，其邊長為，為邊上一點，為射線上一點，將沿翻折，使點落在射線上的點處，且.①如圖2，當(dāng)點在線段上時，求的值；②如圖3，當(dāng)點落在線段的延長線上時，求與的周長之比.【答案】（1），見解析；（2）①；②與的周長之比為.【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，即可證明；（2）①設(shè)，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與折疊可知，，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，即可證明，故，再根據(jù)比例關(guān)系求出的值；②同理可證，得，得，再得到，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】解（1），理由：，在中，，，，，，，；（2）①設(shè)，，是等邊三角形，，，由折疊知，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，；②設(shè)，，是等邊三角形，，，由折疊知，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，..與的周長之比為.【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì).11．（2022·山西晉中·一模）閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩個頂點分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①，在中，，，分別過、向經(jīng)過點直線作垂線，垂足分別為、，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．（1）探究問題：如果，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；．請你說明理由．（2）學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點，且兩直線夾角為，且，請你求出直線的解析式．（3）拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形中，，，點為邊上—個動點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點落在點處，當(dāng)點在矩形外部時，連接，．若為直角三角形時，請你探究并直接寫出的長．

【答案】（1）理由見解析；（2）；（3）長為3或．【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到，然后利用AA定理判定三角形相似；（2）過點作交直線于點，分別過、作軸，軸，由（1）得，從而得到，然后結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出，，從而確定N點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（3）分兩種情形討論：①如圖1中，當(dāng)∠PDC=90°時．②如圖2中，當(dāng)∠DPC=90°時，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設(shè)BE=x．分別求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴又∵∴∴∵．∴（2）如圖，過點作交直線于點，分別過、作軸，軸由（1）得

∴∵坐標(biāo)

∴，∵

∴解得：，

∴設(shè)直線表達式為，代入，得，解得，∴直線表達式為（3）解：①如圖1中，當(dāng)∠PDC=90°時，∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠PDC=180°，∴A、D、P共線，∵EA=EP，∠AEP=90°，∴∠EAP=45°，∵∠BAD=90°，∴