江蘇省南通市如東縣馬塘中學2025屆數(shù)學高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

江蘇省南通市如東縣馬塘中學2025屆數(shù)學高二上期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在棱長為1的正方體中，P、Q、R分別是棱AB、BC、的中點，以PQR為底面作一個直三棱柱，使其另一個底面的三個頂點也都在正方體的表面上，則這個直三棱柱的體積為（）A. B.C. D.2．某中學舉行黨史學習教育知識競賽，甲隊有、、、、、共名選手其中名男生名女生，按比賽規(guī)則，比賽時現(xiàn)場從中隨機抽出名選手答題，則至少有名女同學被選中的概率是（）A. B.C. D.3．設(shè)函數(shù)若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知公差不為0的等差數(shù)列中，（m，），則mn的最大值為（）A.6 B.12C.36 D.485．以，為焦點，且經(jīng)過點的橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.6．已知直線和直線互相垂直，則等于（）A.2 B.C.0 D.7．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)，其中e是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是A. B.C. D.9．正四棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.10．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.外切C.相交 D.相離11．已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且恒有，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.12．2019年湖南等8省公布了高考改革綜合方案將采取“”模式即語文、數(shù)學、英語必考，考生首先在物理、歷史中選擇1門，然后在思想政治、地理、化學、生物中選擇2門，一名同學隨機選擇3門功課，則該同學選到歷史、地理兩門功課的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點，G為棱A1B1上的一點，且A1G=(0<<2)，則點G到平面D1EF的距離為____.14．若正實數(shù)滿足，則的最大值是________15．若函數(shù)，則在點處切線的斜率為______16．拋物線上的點到其焦點的最短距離為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐中，底面ABCD是矩形，點E是線段PA的中點.（1）求證：平面EBD；（2）若是等邊三角形，，平面平面ABCD，求點E到平面PDB的距離.18．（12分）已知函數(shù)．其中e為然對數(shù)的底數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)零點個數(shù)19．（12分）如圖，在正四棱柱中，是上的點，滿足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）在如圖所示的多面體中，且，，，且，，且，平面，（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值21．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，點E為的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)在時的最大值和最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間存在極小值，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分別取的中點，連接，利用棱柱的定義證明幾何體是三棱柱，再證明平面PQR，得到三棱柱是直三棱柱求解.【詳解】如圖所示：連接,分別取其中點，連接，則，且，所以幾何體是三棱柱，又，且，所以平面，所以，同理，又，所以平面PQR，所以三棱柱是直三棱柱，因為正方體的棱長為1，所以,所以直三棱柱的體積為，故選：C2、D【解析】現(xiàn)場選名選手，共種情況，設(shè)，，，四位同學為男同學則沒有女同學被選中的情況，共有6種，利用對立事件進行求解，即可得到答案；【詳解】現(xiàn)場選名選手，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共種情況，不妨設(shè)，，，四位同學為男同學則沒有女同學被選中的情況是：，，，，，共種，則至少有一名女同學被選中的概率為.故選：.3、D【解析】有兩個零點等價于與的圖象有兩個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】解：設(shè)，則，所以在上遞減，在上遞增，，且時，，有兩個零點等價于與的圖象有兩個交點，畫出的圖象，如下圖所示，由圖可得，時，與的圖象有兩個交點，此時，函數(shù)有兩個零點，實數(shù)m的取值范圍是，故選：D.【點睛】方法點睛：本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點，以及數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)4、C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再應用基本不等式求mn的最大值，注意等號成立條件.【詳解】由題設(shè)及等差數(shù)列的性質(zhì)知：，又m，，所以，即，當且僅當時等號成立.所以mn的最大值為.故選：C5、B【解析】根據(jù)焦點在x軸上，c=1，且過點，用排除法可得.也可待定系數(shù)法求解，或根據(jù)橢圓定義求2a可得.【詳解】因為焦點在x軸上，所以C不正確；又因為c=1，故排除D；將代入得，故A錯誤，所以選B.故選：B6、D【解析】利用直線垂直系數(shù)之間的關(guān)系即可得出.【詳解】解：直線和直線互相垂直，則，解得：.故選：D.7、C【解析】根據(jù)兩直線垂直可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由兩直線垂直得：，解得：.故選：C.8、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（M）≤f（N）的形式，再利用單調(diào)性脫去對應法則f，轉(zhuǎn)化為一般的二次不等式求解即可【詳解】由于，，則f（﹣x）＝﹣x3+e﹣x﹣ex＝﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)故原不等式f（a﹣1）+f（2a2）≤0，可轉(zhuǎn)化為f（2a2）≤﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），即f（2a2）≤f（1﹣a）；又f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x，由于ex+e﹣x≥2，故ex+e﹣x﹣cosx>0，所以f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x≥0恒成立，故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，則由f（2a2）≤f（1﹣a）可得，2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得，故選B【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定及應用，考查了不等式的解法，屬于中檔題9、C【解析】建立合適的空間直角坐標系，求出和平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值即為與的夾角的余弦值的絕對值，利用夾角公式求出即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系.有圖知，由題得、、、.，，.設(shè)平面的一個法向量，則，，令，得，，.設(shè)直線與平面所成的角為，則.故選：C.【點睛】本題考查線面角的求解，利用向量法可簡化分析過程，直接用計算的方式解決問題，是基礎(chǔ)題.10、B【解析】求出兩圓的圓心距與半徑之和、半徑之差比較大小即可得出正確答案.【詳解】由可得圓心為，半徑，由可得圓心為，半徑，所以圓心距為，所以兩圓相外切，故選：B.11、D【解析】構(gòu)造函數(shù)，用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，令，其中，則，∵，∴，∴在上為單調(diào)遞減函數(shù)，∴，即，，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則正確；故選：.12、A【解析】先由列舉法計算出基本事件的總數(shù)，然后再求出該同學選到歷史、地理兩門功課的基本事件的個數(shù)，基本事件個數(shù)比即為所求概率.【詳解】由題意，記物理、歷史分別為、，從中選擇1門；記思想政治、地理、化學、生物為、、、，從中選擇2門；則該同學隨機選擇3門功課，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共個基本事件；該同學選到歷史、地理兩門功課所包含的基本事件有：，，共個基本事件；該同學選到物理、地理兩門功課的概率為.故選：A.【點睛】本題考查求古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先證明A1B1∥平面D1EF，進而將問題轉(zhuǎn)化為求點A1到平面D1EF的距離，然后建立空間直角坐標系，通過空間向量的運算求得答案.【詳解】由題意得A1B1∥EF，A1B1?平面D1EF，EF?平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，則點G到平面D1EF的距離等于點A1到平面D1EF的距離.以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D-xyz，則D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(xiàn)(2，2，1)，A1(2，0，2)，所以，，.設(shè)平面D1EF的法向量為，則，令x=1，則y=0，z=2，所以平面D1EF的一個法向量.點A1到平面D1EF的距離==，即點G到平面D1EF的距離為.故答案為：.14、4【解析】由基本不等式及正實數(shù)、滿足，可得的最大值.【詳解】由基本不等式，可得正實數(shù)、滿足，，可得，當且僅當時等號成立，故的最大值為，故答案為：4.15、【解析】根據(jù)條件求出，，再求即答案.【詳解】∵，∴，則和，得，，∴，，∴，所以在點處切線的斜率為.故答案為：16、1【解析】設(shè)出拋物線上點的坐標，利用兩點間距離公式建立函數(shù)關(guān)系，借助函數(shù)性質(zhì)計算作答.【詳解】拋物線的焦點，設(shè)點為拋物線上任意一點，于是有，當且僅當時取“=”，所以當，即點P為拋物線頂點時，取最小值1.故答案為：1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】（1）連接交于點，連接，由中位線定理結(jié)合線面平行的判定證明即可；（2）由得出點到平面的距離，再由是的中點，得出點到平面的距離.【小問1詳解】連接交于點，連接.因為分別是的中點，所以.又平面EBD，平面EBD，所以平面EBD；【小問2詳解】過點作的垂線，垂足為，連接.因為平面平面ABCD，平面平面ABCD，所以平面ABCD，所以，設(shè)點到平面的距離為因為，所以，因為點是的中點，所以點到平面的距離為.18、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）當時，無零點；當時，有1個零點；當時，有2個零點.【解析】(1)求導，令導數(shù)大于零求增區(qū)間，令導數(shù)小于零求減區(qū)間；(2)求導數(shù)，分、、a＞2討論函數(shù)f(x)單調(diào)性和零點即可.【小問1詳解】當時，，易知定義域為R，，當時，；當或時，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；【小問2詳解】當時，x正0負0正單增極大值單減極小值單增當時，恒成立，∴；當時，①當時，，∴無零點；②當時，，∴有1個零點；③當時，，又當時，單調(diào)遞增，，∴有2個零點；綜上所述：當時，無零點；當時，有1個零點；當時，有2個零點【點睛】結(jié)論點睛：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應用19、（1）證明見解析（2）【解析】(1)根據(jù)題意證明，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明問題；(2)以，，為軸的正方向建立空間直角坐標系，求平面，平面的法向量，求法向量的夾角，根據(jù)二面角的余弦值與法向量的夾角的余弦的關(guān)系確定二面角的余弦值.【小問1詳解】由題意，，等邊三角形，，∵平面ABCD，∴，則，即為中點.連接，∵平面，平面，∴，易得，則，又，于是，即，同理，即，又，平面平面.【小問2詳解】由題意直線平面，四邊形為正方形，故以，，為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，.設(shè)面的法向量為，同理可得面的法向量，∴二面角的余弦值為20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，，如圖所示，以為坐標原點建立空間直角坐標系，證明即可得證；（2）求出平面與平面的法向量，再利用向量法即可得解.【小問1詳解】證明：因為平面，平面，平面，所以，且，因為，如圖所示，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，，，所以；【小問2詳解】，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，有，設(shè)平面和平面的夾角為，，所以平面和平面的夾角的余弦值為21、（1）見解析；（2）【解析】(1)用線線平行證明線面平行，∴在平面PCD內(nèi)作BE的平行線即可；(2)求二面角的大小，可以用空間向量進行求解，根據(jù)已知條件，以AD中點O為原點，OB，AD，OP分別為x、y、z軸建立坐標系﹒【小問1詳解】如圖，取PD中點F，連接EF，F(xiàn)C﹒∵E是AP中點，∴EFAD，由題知BCAD，∴BCEF，∴BCFE是平行四邊形，∴BE∥CF，又CF平面PCD，BE平面PCD，∴BE∥平面PCD；【小問2詳解】取AD中點O，連接OP，OB，∵是以為斜邊等腰直角三角形，∴OP⊥AD，又平面平面，平面PAD∩平面＝AD，∴OP⊥平面ABCD，∵OB平面ABCD，∴OP⊥OB，由BC∥AD，CD⊥AD，AD＝2BC知OB⊥OD，∴OP、OB、OD兩兩垂直，故以O(shè)原點，OB、OD、OP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，如圖：設(shè)|BC|＝1，則B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，)，P(0，0，1)，則，設(shè)平面BED的法向量為，平面PBD的法向量為則，取，，取設(shè)二面角的大小為θ，則cosθ＝﹒22、（1）最大值為9，最小值為；（2）.【解析】（1）利用