福建漳州市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題含解析

福建漳州市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的左焦點為F，O為坐標(biāo)原點，M，N兩點分別在C的左、右兩支上，若四邊形OFMN為菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.3．九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串，按一定規(guī)則移動圓環(huán)的次數(shù)決定解開圓環(huán)的個數(shù).在某種玩法中，用表示解開n（，）個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，若數(shù)列滿足，且當(dāng)時，則解開5個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)為（）A.10 B.16C.21 D.224．若實數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為（）A.-3 B.-2C. D.15．設(shè)函數(shù)若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個數(shù)為（）①②③A.0 B.1C.2 D.37．已知是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.8．如圖，橢圓的右焦點為，過與軸垂直的直線交橢圓于第一象限的點，點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為，且，，則橢圓方程為（）A. B.C. D.9．直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.不確定10．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M=AN=，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是（）A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定11．已知，，，若、、三個向量共面，則實數(shù)A3 B.5C.7 D.912．定義運算：．已知，都是銳角，且，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，若，則______14．若將拋擲一枚硬幣所出現(xiàn)的結(jié)果“正面（朝上）”與“反面（朝上）”，分別記為H、T，相應(yīng)的拋擲兩枚硬幣的樣本空間為，則與事件“一個正面（朝上）一個反面（朝上）”對應(yīng)的樣本空間的子集為______15．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是____________.16．若命題“，不等式恒成立”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在時有極值0.（1）求常數(shù)，的值；（2）求在區(qū)間上的最值.18．（12分）如圖1，已知矩形中，，E為上一點且.現(xiàn)將沿著折起，使點D到達(dá)點P的位置，且，得到的圖形如圖2.（1）證明為直角三角形；（2）設(shè)動點M在線段上，判斷直線與平面位置關(guān)系，并說明理由.19．（12分）自疫情爆發(fā)以來，由于黨和國家對抗疫工作高度重視，在人民群眾的不懈努力下，我國抗疫工作取得階段性成功，國家經(jīng)濟很快得到復(fù)蘇.在餐飲業(yè)恢復(fù)營業(yè)后，某快餐店統(tǒng)計了近天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)，將前天的數(shù)據(jù)進行整理得到頻率分布表和頻率分布直方圖.組別分組頻數(shù)頻率第組第組第組第組第組合計（1）求、、的值，并估計該快餐店在前天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)；（2）已知該快餐店在前50天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的方差為，在后天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)為、方差為，估計這家快餐店這天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)和方差.（）20．（12分）橢圓的離心率為，設(shè)為坐標(biāo)原點，為橢圓的左頂點，動直線過線段的中點，且與橢圓相交于、兩點．已知當(dāng)直線的傾斜角為時，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在定直線，使得直線、分別與相交于、兩點，且點總在以線段為直徑的圓上，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由21．（12分）如圖，四棱柱的底面為正方形，平面，，，點在上，且.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值.22．（10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB=2csinC.（1）求角C的大??；（2）若cosA=，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】求出導(dǎo)數(shù)后，把x=e代入，即可求解.【詳解】因為，所以，解得故選：C2、C【解析】由題意可得且，從而求出點的坐標(biāo)，將其代入雙曲線方程中，即可得出離心率.【詳解】由題意，四邊形為菱形，如圖，則且，分別為的左，右支上的點，設(shè)點在第二象限，在第一象限.由雙曲線的對稱性，可得，過點作軸交軸于點，則，所以,則，所以，所以，則，即，解得，或，由雙曲線的離心率，所以取，則故選：C3、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)列遞推公式，代入計算即可.【詳解】根據(jù)題意，由，得.故選：D.4、B【解析】先畫出可行域，由，作出直線向下平移過點A時，取得最小值，然后求出點A的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)中可求得答案【詳解】由題可得其可行域為如圖，l：，當(dāng)經(jīng)過點A時，取到最小值，由，得，即，所以的最小值為故選：B5、D【解析】有兩個零點等價于與的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】解：設(shè)，則，所以在上遞減，在上遞增，，且時，，有兩個零點等價于與的圖象有兩個交點，畫出的圖象，如下圖所示，由圖可得，時，與的圖象有兩個交點，此時，函數(shù)有兩個零點，實數(shù)m的取值范圍是，故選：D.【點睛】方法點睛：本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)6、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷【詳解】設(shè)的公差為，則，是等差數(shù)列，，是常數(shù)列，也是等差數(shù)列，若，則不是等差數(shù)列，故選：C7、B【解析】令，再結(jié)合，和已知條件將問題轉(zhuǎn)化為，最后結(jié)合單調(diào)性求解即可.【詳解】解：令，則，因為，所以，即函數(shù)為上的增函數(shù)，因為，不等式可化為，所以，故不等式的解集為故選：B8、C【解析】連結(jié)，設(shè)，則，，由可求出，進而可求出，得出橢圓方程.【詳解】由題意設(shè)橢圓的方程：，設(shè)左焦點為，連結(jié)，由橢圓的對稱性易得四邊形為平行四邊形，由得，又，設(shè)，則，，又，解得，又由，，解得，，，則橢圓的方程為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解及橢圓的簡單幾何性質(zhì)，在求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時，關(guān)鍵是求解基本量，，.9、A【解析】首先求出直線過定點，再判斷點在圓內(nèi)，即可判斷；【詳解】解：直線恒過定點，又，即點在圓內(nèi)部，所以直線與圓相交；故選：A10、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面BB1C1C的法向量和直線MN的方向向量，利用兩向量垂直，得到線面平行.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由圖可知平面BB1C1C的法向量.∵A1M=AN=，∴M，N，∴.∵，∴MN∥平面BB1C1C，故選：B.【點睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點有利于空間向量判斷線面平行，屬于簡單題目.11、A【解析】由空間向量共面原理得存在實數(shù)，，使得，由此能求出實數(shù)【詳解】解：，，，、、三個向量共面，存在實數(shù)，，使得，即有：，解得，，實數(shù)故選：【點睛】本題考查空間向量共面原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題12、B【解析】，只需求出與的正、余弦值即可，用平方關(guān)系時注意角的范圍.【詳解】解：因為，都是銳角，所以，，因為，所以，即，，所以，，因為，所有，故選：B.【點睛】信息給予題，已知三角函數(shù)值求三角函數(shù)值，考查根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換求值，基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】首先利用二項展開式的通項公式，求，再利用賦值法求系數(shù)的和以及【詳解】展開式的通項為，令，則，即，故，令，得.又，所以故故答案為：14、，，，【解析】先寫出與事件“一個正面（朝上）一個反面（朝上）”對應(yīng)的樣本空間，再寫出其全部子集即可.【詳解】與事件“一個正面（朝上）一個反面（朝上）”對應(yīng)的樣本空間為，此空間的子集為，，，故答案為：，，，15、【解析】首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)存在最大值，可判斷極大值點就是最大值點，列式求解.【詳解】由題可知：所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故函數(shù)的極大值為.所以在開區(qū)間內(nèi)的最大值一定是又，所以得實數(shù)的取值范圍是故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：由函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)若存在最大值，即極大值點在區(qū)間內(nèi)，同時還得滿足極大值點是最大值，還需列不等式，不要忽略這個不等式.16、【解析】，不等式恒成立，只要即可，利用基本不等式求出即可得出答案.【詳解】解：因為，不等式恒成立，只要即可，因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）最小值為0，最大值為4.【解析】（1）對求導(dǎo)，根據(jù)在時有極值0，得到，再求出，的值；（2）由（1）知，，然后判斷的單調(diào)性，再求出的值域【詳解】解：（1），由題知：聯(lián)立（1）、（2）有(舍)或.當(dāng)時在定義域上單調(diào)遞增，故舍去；所以，，經(jīng)檢驗，符合題意（2）當(dāng)，時，故方程有根或由，得或由得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：，，減區(qū)間為：.函數(shù)在取得極大值，在取極小值；經(jīng)計算，，，，所以最小值為0，最大值為4.18、（1）證明見解析（2）答案不唯一，見解析【解析】（1）利用折疊前后的線段長度及勾股定理求證即可；（2）動點M滿足時和，但時兩種情況，利用線線平行或相交得到結(jié)論.【小問1詳解】在折疊前的圖中，如圖：，E為上一點且，則，折疊后，所以，又，所以，所以為直角三角形.小問2詳解】當(dāng)動點M在線段上，滿足，同樣在線段上取，使得，則，當(dāng)時，則，又且所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以此時平面；當(dāng)時，此時，但，所以四邊形為梯形，所以與必然相交，所以與平面必然相交.綜上，當(dāng)動點M滿足時，平面；當(dāng)動點M滿足，但時，與平面相交.19、（1），，，平均數(shù)為；（2）平均數(shù)為，方差為.【解析】（1）計算出第組的頻數(shù)，可求得的值，利用頻數(shù)、頻率和總數(shù)的關(guān)系可求出的值，求出第組的頻率，除以組距可得的值，利用平均數(shù)公式可求得該快餐店在前天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)；（2）設(shè)前天接待的顧客人數(shù)分別為、、、，后天接待的顧客人數(shù)分別為、、、，利用平均數(shù)公式和方差公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】解：由表可知第組的頻數(shù)為，所以，，，第組的頻率為，，前天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)為：.【小問2詳解】解：設(shè)前天接待的顧客人數(shù)分別為、、、，后天接待的顧客人數(shù)分別為、、、，則由（1）知前天的平均數(shù)，方差，后天的平均數(shù)，方差，故這天的平均數(shù)為，，同理，這天的方差，由以上三式可得.20、（1）（2）存在，且直線的方程為或【解析】（1）分析可知，，直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式可求得的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點、，由已知得出，求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：因為，則，，所以，橢圓的方程為，即，易知點，則點，當(dāng)直線的傾斜角為時，直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，解得，則，，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：易知點，若直線與軸重合，則、為橢圓長軸的兩個端點，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，直線的斜率為，直線的方程為，故點，同理可得點，，，由題意可得，解得或.因此，存在滿足題設(shè)條件的直線，且直線的方程為或，點總在以線段為直徑的圓上.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）以為原點，所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量可得，即平面，再由線面垂直的性質(zhì)可得答案；（2）設(shè)直線與平面所成角的為，可得答案；（3）由二面角的向量求法可得