2025屆合肥市第六中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆合肥市第六中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末綜合測試試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖,則它的外接球的表面積為()A.4π B.8π C. D.2.已知函數(shù),,若對任意的總有恒成立,記的最小值為,則最大值為()A.1 B. C. D.3.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問題:“今有鱉臑(biēnaò),下廣五尺,無袤;上袤四尺,無廣;高七尺.問積幾何?”該幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體外接球的表面積為()A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D.平方尺4.在平面直角坐標(biāo)系中,將點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)到點,設(shè)直線與軸正半軸所成的最小正角為,則等于()A. B. C. D.5.函數(shù)的定義域為()A. B. C. D.6.甲在微信群中發(fā)了一個6元“拼手氣”紅包,被乙?丙?丁三人搶完,若三人均領(lǐng)到整數(shù)元,且每人至少領(lǐng)到1元,則乙獲得“最佳手氣”(即乙領(lǐng)到的錢數(shù)多于其他任何人)的概率是()A. B. C. D.7.函數(shù)的大致圖象為A. B.C. D.8.已知角的終邊經(jīng)過點P(),則sin()=A. B. C. D.9.函數(shù)()的圖像可以是()A. B.C. D.10.已知橢圓的焦點分別為,,其中焦點與拋物線的焦點重合,且橢圓與拋物線的兩個交點連線正好過點,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.11.的內(nèi)角的對邊分別為,已知,則角的大小為()A. B. C. D.12.?dāng)?shù)列滿足,且,,則()A. B.9 C. D.7二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在某批次的某種燈泡中,隨機(jī)抽取200個樣品.并對其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查,將結(jié)果列成頻率分布表如下:壽命(天)頻數(shù)頻率40600.30.4200.1合計2001某人從燈泡樣品中隨機(jī)地購買了個,如果這個燈泡的壽命情況恰好與按四個組分層抽樣所得的結(jié)果相同,則的最小值為______.14.如圖是九位評委打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計圖,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均分為_______.15.已知,,,且,則的最小值為___________.16.若復(fù)數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,是的共軛復(fù)數(shù),則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,其中.(1)當(dāng)時,設(shè)函數(shù),求函數(shù)的極值.(2)若函數(shù)在區(qū)間上遞增,求的取值范圍;(3)證明:.18.(12分)已知數(shù)列和滿足:.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項和.19.(12分)為了拓展城市的旅游業(yè),實現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流,政府決定在市與市之間建一條直達(dá)公路,中間設(shè)有至少8個的偶數(shù)個十字路口,記為,現(xiàn)規(guī)劃在每個路口處種植一顆楊樹或者木棉樹,且種植每種樹木的概率均為.(1)現(xiàn)征求兩市居民的種植意見,看看哪一種植物更受歡迎,得到的數(shù)據(jù)如下所示:A市居民B市居民喜歡楊樹300200喜歡木棉樹250250是否有的把握認(rèn)為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性;(2)若從所有的路口中隨機(jī)抽取4個路口,恰有個路口種植楊樹,求的分布列以及數(shù)學(xué)期望;(3)在所有的路口種植完成后,選取3個種植同一種樹的路口,記總的選取方法數(shù)為,求證:.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820.(12分)已知函數(shù)有兩個極值點,.(1)求實數(shù)的取值范圍;(2)證明:.21.(12分)如圖,D是在△ABC邊AC上的一點,△BCD面積是△ABD面積的2倍,∠CBD=2∠ABD=2θ.(Ⅰ)若θ=,求的值;(Ⅱ)若BC=4,AB=2,求邊AC的長.22.(10分)已知函數(shù)(1)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(2)求證:

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由三視圖判斷出原圖,將幾何體補(bǔ)形為長方體,由此計算出幾何體外接球的直徑,進(jìn)而求得球的表面積.【詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個底面為直角三角形的直三棱柱,底面直角三角形的斜邊為2,側(cè)棱長為2且與底面垂直,因為直三棱柱可以復(fù)原成一個長方體,該長方體外接球就是該三棱柱的外接球,長方體對角線就是外接球直徑,則,那么.故選:B【點睛】本小題主要考查三視圖還原原圖,考查幾何體外接球的有關(guān)計算,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

對任意的總有恒成立,因為,對恒成立,可得,令,可得,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】對任意的總有恒成立,對恒成立,令,可得令,得當(dāng),當(dāng),,故令,得當(dāng)時,當(dāng),當(dāng)時,故選:C.【點睛】本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問題,解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的解法和導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.3、A【解析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個三棱錐,將三棱錐補(bǔ)充成一個長方體,此長方體的外接球就是該三棱錐的外接球,由球的表面積公式計算可得選項.【詳解】由三視圖可得,該幾何體是一個如圖所示的三棱錐,為三棱錐外接球的球心,此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長方體的外接球,所以為的中點,設(shè)球半徑為,則,所以外接球的表面積,故選:A.【點睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積,關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖,找出外接球的球心位置和半徑,屬于中檔題.4、A【解析】

設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為,由任意角的三角函數(shù)的定義可以求得的值,依題有,則,利用誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】如圖,設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為因為點在角的終邊上,所以依題有,則,所以,故選:A【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

函數(shù)的定義域應(yīng)滿足故選C.6、B【解析】

將所有可能的情況全部枚舉出來,再根據(jù)古典概型的方法求解即可.【詳解】設(shè)乙,丙,丁分別領(lǐng)到x元,y元,z元,記為,則基本事件有,,,,,,,,,,共10個,其中符合乙獲得“最佳手氣”的有3個,故所求概率為,故選:B.【點睛】本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法,屬于基礎(chǔ)題型.7、A【解析】

因為,所以函數(shù)是偶函數(shù),排除B、D,又,排除C,故選A.8、A【解析】

由題意可得三角函數(shù)的定義可知:,,則:本題選擇A選項.9、B【解析】

根據(jù),可排除,然后采用導(dǎo)數(shù),判斷原函數(shù)的單調(diào)性,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,所以當(dāng)時,,又,令,則令,則所以函數(shù)在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增,故選:B【點睛】本題考查函數(shù)的圖像,可從以下指標(biāo)進(jìn)行觀察:(1)定義域;(2)奇偶性;(3)特殊值;(4)單調(diào)性;(5)值域,屬基礎(chǔ)題.10、B【解析】

根據(jù)題意可得易知,且,解方程可得,再利用即可求解.【詳解】易知,且故有,則故選:B【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、拋物線的幾何性質(zhì),考查了學(xué)生的計算能力,屬于中檔題11、A【解析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角,然后利用三角函數(shù)公式化簡,可求出解B.【詳解】由正弦定理可得,即,即有,因為,則,而,所以.故選:A【點睛】此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

先由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列,再根據(jù),,可求出公差,即可求出.【詳解】數(shù)列滿足,則數(shù)列為等差數(shù)列,,,,,,,故選:.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式的求法,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、10【解析】

先求出a,b,根據(jù)分層抽樣的比例引入正整數(shù)k表示n,從而得出的最小值.【詳解】由題意得,a=0.2,b=80,由表可知,燈泡樣品第一組有40個,第二組有60個,第三組有80個,第四組有20個,所以四個組的比例為2:3:4:1,所以按分層抽樣法,購買的燈泡數(shù)為n=2k+3k+4k+k=10k(),所以的最小值為10.【點睛】本題考查分層抽樣基本原理的應(yīng)用,涉及抽樣比、總體數(shù)量、每層樣本數(shù)量的計算,屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】

寫出莖葉圖對應(yīng)的所有的數(shù),去掉最高分,最低分,再求平均分.【詳解】解:所有的數(shù)為:77,78,82,84,84,86,88,93,94,共9個數(shù),去掉最高分,最低分,剩下78,82,84,84,86,88,93,共7個數(shù),平均分為,故答案為1.【點睛】本題考查莖葉圖及平均數(shù)的計算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由,先將變形為,運用基本不等式可得最小值,再求的最小值,運用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.【詳解】解:因為,,,且,所以因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號,所以令,則,令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以所以則所求最小值為故答案為:【點睛】此題考查基本不等式的運用:求最值,注意變形和滿足的條件:一正二定三相等,考查利用單調(diào)性求最值,考查化簡和運算能力,屬于中檔題.16、【解析】

設(shè),代入已知條件進(jìn)行化簡,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件,求得的值.【詳解】設(shè),由,得,所以,所以.故答案為:【點睛】本小題主要考查共軛復(fù)數(shù),考查復(fù)數(shù)相等的條件,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)極大值,無極小值;(2).(3)見解析【解析】

(1)先求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出;(2)先求導(dǎo),再函數(shù)在區(qū)間上遞增,分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)的最值,問題得以解決;(3)取得到,取,可得,累加和根據(jù)對數(shù)的運算性和放縮法即可證明.【詳解】解:(1)當(dāng)時,設(shè)函數(shù),則令,解得當(dāng)時,,當(dāng)時,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時,函數(shù)取得極大值,即極大值為,無極小值;(2)因為,所以,因為在區(qū)間上遞增,所以在上恒成立,所以在區(qū)間上恒成立.當(dāng)時,在區(qū)間上恒成立,當(dāng)時,,設(shè),則在區(qū)間上恒成立.所以在單調(diào)遞增,則,所以,即綜上所述.(3)由(2)可知當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上遞增,所以,即,取,則.所以所以【點睛】此題考查了參數(shù)的取值范圍以及恒成立的問題,以及不等式的證明,構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵,屬于較難題.18、(1)見解析(2)【解析】

(1)根據(jù)題目所給遞推關(guān)系式得到,由此證得數(shù)列為等比數(shù)列.(2)由(1)求得數(shù)列的通項公式,判斷出,由此利用裂項求和法求得數(shù)列的前項和.【詳解】(1)所以數(shù)列是以3為首項,以3為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知,∴為常數(shù)列,且,∴,∴∴【點睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列,考查裂項求和法,屬于中檔題.19、(1)沒有(2)分布列見解析,(3)證明見解析【解析】

(1)根據(jù)公式計算卡方值,再對應(yīng)卡值表判斷..(2)根據(jù)題意,隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4,分別求得概率,寫出分布列,根據(jù)期望公式求值.(3)因為至少8個的偶數(shù)個十字路口,所以,即.要證,即證,根據(jù)組合數(shù)公式,即證;易知有.成立.設(shè)個路口中有個路口種植楊樹,下面分類討論①當(dāng)時,由論證.②當(dāng)時,由論證.③當(dāng)時,,設(shè),再論證當(dāng)時,取得最小值即可.【詳解】(1)本次實驗中,,故沒有99.9%的把握認(rèn)為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性.(2)依題意,的可能取值為0,1,2,3,4,故,,01234故.(3)∵,∴.要證,即證;首先證明:對任意,有.證明:因為,所以.設(shè)個路口中有個路口種植楊樹,①當(dāng)時,,因為,所以,于是.②當(dāng)時,,同上可得③當(dāng)時,,設(shè),當(dāng)時,,顯然,當(dāng)即時,,當(dāng)即時,,即;,因此,即.綜上,,即.【點睛】本題考查獨立性檢驗、離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望、排列組合,還考查運算求解能力以及必然與或然思想,屬于難題.20、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)先求得導(dǎo)函數(shù),根據(jù)兩個極值點可知有兩個不等實根,構(gòu)造函數(shù),求得;討論和兩種情況,即可確定零點的情況,即可由零點的情況確定的取值范圍;(2)根據(jù)極值點定義可知,,代入不等式化簡變形后可知只需證明;構(gòu)造函數(shù),并求得,進(jìn)而判斷的單調(diào)區(qū)間,由題意可知,并設(shè),構(gòu)造函數(shù),并求得,即可判斷在內(nèi)的單調(diào)性和最值,進(jìn)而可得,即可由函數(shù)性質(zhì)得,進(jìn)而由單調(diào)性證明,即證明,從而證明原不等式成立.【詳解】(1)函數(shù)則,因為存在兩個極值點,,所以有兩個不等實根.設(shè),所以.①當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,至多有一個零點,不符合題意.②當(dāng)時,令得,0減極小值增所以,即.又因為,,所以在區(qū)間和上各有一個零點,符合題意,綜上,實數(shù)的取值范圍為.(2)證明:由題

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