《函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)

1/13.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(周雪敏)一、教學(xué)目標(biāo)1．核心素養(yǎng)通過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，并依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．2．學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）理解利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的原理，掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法及步驟．（2）能探索并應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求單調(diào)區(qū)間．（3）能解決含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題以及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系逆推．3．學(xué)習(xí)重點(diǎn)1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間.4．學(xué)習(xí)難點(diǎn)1.探究函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.如何用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，特別是含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1．預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1想一想：判斷函數(shù)的單調(diào)性有哪些方法？比如判斷的單調(diào)性，如何進(jìn)行？有沒(méi)有需要注意的地方？任務(wù)2閱讀教材P89—P90,并觀察下面函數(shù)的圖像，想一想，下列函數(shù)的單調(diào)性如何？任務(wù)3計(jì)算以上四個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的符號(hào)，觀察函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)間關(guān)系．任務(wù)4閱讀教材P90—P93，找出疑惑之處．2．預(yù)習(xí)自測(cè)1．函數(shù)在(－∞，＋∞)上()A．是增函數(shù)B．是減函數(shù)C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增D．在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上增解：A在(－∞，＋∞)上恒成立．2.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．解：函數(shù)的定義域是，，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．3.若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．解：由已知可得在上恒成立，∴只需，解得．（二）課堂設(shè)計(jì)1．知識(shí)回顧(1)函數(shù)單調(diào)性的定義．(2)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟．(3)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．(4)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則.2．問(wèn)題探究問(wèn)題探究一函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系★活動(dòng)一回顧舊知，回憶二次函數(shù)的單調(diào)性在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，請(qǐng)作出二次函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像得到該函數(shù)的單調(diào)性．拋物線的對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．再求出二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．●活動(dòng)二整合舊知，探求函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，得到新知在拋物線對(duì)稱軸的右邊，任意取一些點(diǎn)，過(guò)這些點(diǎn)分別作出拋物線的切線，觀察這些切線的斜率，它們有怎樣的共同點(diǎn)？在拋物線對(duì)稱軸的左邊，任意取一些點(diǎn)，過(guò)這些點(diǎn)分別作出拋物線的切線，觀察這些切線的斜率，它們又有怎樣的共同點(diǎn)？函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)在該點(diǎn)處的單調(diào)性是怎樣的關(guān)系？函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)在該點(diǎn)處的單調(diào)性的關(guān)系是：在處，，切線是左下右上，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；在處，，切線是左上右下，函數(shù)在附近單調(diào)遞減．函數(shù)的單調(diào)性可簡(jiǎn)單的認(rèn)為是：若，則函數(shù)為增函數(shù)，可把看作，說(shuō)明函數(shù)的變化率可以反映函數(shù)的單調(diào)性，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有著密切的聯(lián)系．一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.想一想：如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，那么函數(shù)有什么特性？如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，恒有函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則在這個(gè)區(qū)間上，函數(shù)是常數(shù)函數(shù).注意：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，若僅有有限個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值為0，則不能判斷函數(shù)是常函數(shù).問(wèn)題探究二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間★●活動(dòng)一閱讀并理解教材P91—P92的例1與例2，歸納出利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟.求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，就是解不等式或，不等式的解集就是所求的單調(diào)區(qū)間，其步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間．注意：①在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)，通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性．②如果一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，那么這些單調(diào)區(qū)間中間不能用“∪”連接，而只能用“，”隔開(kāi)或用“和”字連接．③在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí)，除了注意使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，還要注意在定義域內(nèi)不連續(xù)的點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)．④區(qū)間端點(diǎn)可以屬于單調(diào)區(qū)間，也可以不屬于單調(diào)區(qū)間，對(duì)結(jié)論沒(méi)有影響．●活動(dòng)二初步運(yùn)用，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1判斷下列函數(shù)的的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間：（1）；（2），；（3）；（4）【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】詳解：(1)∵，∴由解得或；由解得，∴函數(shù)的增區(qū)間為，和；減區(qū)間為，．(2)當(dāng)時(shí)，，∴在上是減函數(shù)，∴減區(qū)間為．(3)函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，即，解得，又，所以；令，即，解得，又，所以．所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．(4)，由解得；由解得，∴函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．點(diǎn)撥：(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是：先確定定義域，再求，最后通過(guò)和來(lái)求出單調(diào)區(qū)間(2)如果一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，那么這些單調(diào)區(qū)間中間不能用“∪”連接，而只能用“，”隔開(kāi)或用“和”字連接．例2證明函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】詳解：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故，即函?shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)．點(diǎn)撥：(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實(shí)質(zhì)上就是判斷或證明不等式（或）在給定區(qū)間上恒成立．(2)如果出現(xiàn)個(gè)別點(diǎn)使，不影響函數(shù)在包含該點(diǎn)的某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．活動(dòng)三對(duì)比提升，求含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例3討論函數(shù)的單調(diào)性．【知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法討論函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)思想：分類討論】詳解：函數(shù)的定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，∵，∴，∴在上為增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，∵，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．例4已知函數(shù)．若，討論函數(shù)的單調(diào)性．【知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法討論函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)思想：分類討論】詳解：定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增；當(dāng)，令，解得或，①當(dāng)時(shí)，在（0，1）和（，+∞）單調(diào)遞減，在（1，）單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，在（0，+∞）單調(diào)遞減；④當(dāng)時(shí)，在（0，）和（1，+∞）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增．點(diǎn)撥：解析式中含有參數(shù)時(shí)，注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，分類討論時(shí)首先要明確需要討論的對(duì)象，再確定好分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏．活動(dòng)四根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，你能判斷：在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減的逆命題成立嗎？逆命題不成立，如在上是增函數(shù)，但，當(dāng)時(shí)，，由此可見(jiàn)，（或）僅是在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)（或減函數(shù)）的充分不必要條件，在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)在上遞增（或遞減）的充要條件應(yīng)是（或）在恒成立，且在上的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0，這就是說(shuō)，函數(shù)在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處有，甚至可以在無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)處，只要這樣的點(diǎn)不能充滿所給區(qū)間的任何一個(gè)子區(qū)間．因此，在已知函數(shù)為增函數(shù)（或減函數(shù)）求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)令（或）恒成立，解出參數(shù)的取值范圍（一般可用不等式恒成立理論求解），然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使恒等于0，若能恒等于0，則參數(shù)這個(gè)值應(yīng)舍去，若不恒等于0，則由（或）恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定．例5若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．【知識(shí)點(diǎn)：由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】詳解：法1：，令，得，．∵在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，；在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．法2：，∵在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，；在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．法3：，∵在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，即，∴，∵在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，即，∴，綜上：，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．例6已知函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【知識(shí)點(diǎn)：由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】詳解：（法1）分離參數(shù)法函數(shù)的定義域?yàn)?，，由題意得：在恒成立，即在恒成立，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．（法2）函數(shù)法函數(shù)的定義域?yàn)?，，由題意得：在恒成立，即在恒成立，令，其圖像開(kāi)口向上，恒過(guò)定點(diǎn)（0,1），則只需或，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．點(diǎn)撥：(1)已知在區(qū)間上單調(diào)或在區(qū)間上恒成立．并檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使恒等于0，若能恒等于0，則參數(shù)這個(gè)值應(yīng)舍去，若不恒等于0，則由（或）恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定．(2)分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，但要注意分離參數(shù)法不是萬(wàn)能的，如果參數(shù)不易分離或分離參數(shù)后得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法．問(wèn)題探究三函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系活動(dòng)一閱讀教材P92—P93的例3，例3表明，通過(guò)函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋函數(shù)值變化快慢的情況嗎？一般的，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化的快，這時(shí)，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．7已知是的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如右圖所示，則的圖象只可能是（）【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷】解：由圖可以看出函數(shù)的圖象是一個(gè)二次函數(shù)的圖象，在與之間，導(dǎo)函數(shù)的值是先增大后減小，故在與之間，原函數(shù)圖象切線的斜率是先增大后減小.故排除解A，B，C．故解為：D．考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．3．課堂總結(jié)【知識(shí)梳理】數(shù)學(xué)知識(shí)：(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；如何從導(dǎo)數(shù)的角度解釋增減及增減快慢的情況．(2)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:①確定函數(shù)的定義域（養(yǎng)成研究函數(shù)的性質(zhì)從定義域出發(fā)的習(xí)慣）；②求導(dǎo)數(shù)；③得結(jié)論:的解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；的解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間．(3)已知函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,求參數(shù)的取值范圍:若在區(qū)間上是增函數(shù)，則轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立；若在區(qū)間上是減函數(shù)，則轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立.然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使恒等于0.數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、分類討論和轉(zhuǎn)化思想．【重難點(diǎn)突破】（1）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，（）是函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（減）的充分條件，而不是必要條件．例如，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，但．（2）函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增（減）的充要條件是在內(nèi)恒成立，且在的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0．這就是說(shuō)，在區(qū)間內(nèi)的個(gè)別點(diǎn)處有不影響函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．4．隨堂檢測(cè)1.函數(shù)f(x)＝x－lnx的遞增區(qū)間為()A．(－∞，1)B．(0,1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)【知識(shí)點(diǎn)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：C函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1－，令f′(x)>0，即1－>0，∴<1，∴x>1，故選C.2.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋4，則“a>0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法討論函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：A＝x2＋a，當(dāng)a≥0時(shí)，≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件．3.若函數(shù)f(x)＝2x3－3mx2＋6x在區(qū)間(2，＋∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(－∞，)D．(－∞，]【知識(shí)點(diǎn)：由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：D∵＝6x2－6mx＋6，當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，≥0恒成立，即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立．令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－，∴當(dāng)x>2時(shí)，g′(x)>0，即g(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，∴m≤2＋＝，故選D.4.函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)【知識(shí)點(diǎn)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：D函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的導(dǎo)數(shù)為.由函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，得當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)由不等式，解得.5．使為上的增函數(shù)的的取值范圍是.【知識(shí)點(diǎn)：由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：只需在上恒成立，即在上恒成立，∴只需，又，∴．（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．函數(shù)y＝x2－lnx的單調(diào)減區(qū)間是()A．(0,1)B．(0,1)∪(－∞，－1)C．(－∞，1)D．(－∞，＋∞)【知識(shí)點(diǎn)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：A∵y＝x2－lnx的定義域?yàn)?0，＋∞)，∴y′＝x－，令y′<0，即x－<0，解得：0<x<1或x<－1.又∵x>0，∴0<x<1，故選A.2．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c為實(shí)數(shù)，當(dāng)a2－3b<0時(shí)，f(x)是()A．增函數(shù)B．減函數(shù)C．常數(shù)D．既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：A求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程f′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)<0，所以f′(x)>0恒成立，故f(x)是增函數(shù)．3．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)的是()A．y＝sinxB．y＝xe2C．y＝x3－xD．y＝lnx－x【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：B顯然y＝sinx在(0，＋∞)上既有增又有減，故排除A；對(duì)于函數(shù)y＝xe2，因e2為大于零的常數(shù)，不用求導(dǎo)就知y＝xe2在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)；對(duì)于C，y′＝3x2－1＝3(x＋)(x－)，故函數(shù)在(－∞，－)，(，＋∞)上為增函數(shù)，在(－，)上為減函數(shù)；對(duì)于D，y′＝－1(x>0)．故函數(shù)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，在(0,1)上為增函數(shù)．故選B.4．函數(shù)y＝f(x)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y＝，則不等式≤0的解集為_(kāi)_______．【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：∪[2,3)函數(shù)y＝f(x)為減函數(shù)的區(qū)間，反映在圖象上圖象是下降的．5．設(shè)f(x)＝ax3＋x恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【知識(shí)點(diǎn)：由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：(－∞，0)∵f′(x)＝3ax2＋1，且f(x)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，∴方程f′(x)＝3ax2＋1＝0有兩個(gè)不等的實(shí)根，∴Δ＝02－4×1×3a>0，∴a<0∴a的取值范圍為(－∞，0)．6．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋8的單調(diào)遞減區(qū)間為(－5,5)，則函數(shù)y＝f(x)的遞增區(qū)間是．【知識(shí)點(diǎn)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：(－∞，－5)和(5，＋∞)＝3x2＋a.∵(－5,5)是函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，則－5,5是方程3x2＋a＝0的根，∴a＝－75．此時(shí)＝3x2－75，令>0，則3x2－75>0，解得x>5或x<－5，∴函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－5)和(5，＋∞)．7．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0，常數(shù)a∈R)．若函數(shù)f(x)在x∈[2，＋∞)上是單調(diào)遞增的，求a的取值范圍．【知識(shí)點(diǎn)：由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：(－∞，16]．要使在[2，＋∞)上是單調(diào)遞增的，則在[2，＋∞)時(shí)恒成立，即在[2，＋∞)時(shí)恒成立．∵，∴，∴在[2，＋∞)上恒成立．∴．∵[2，＋∞)，是單調(diào)遞增的，∴，∴．當(dāng)時(shí)，([2，＋∞))有且只有，∴的取值范圍是(－∞，16]．能力型師生共研8．已知在上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【知識(shí)點(diǎn)：由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：A，若為增函數(shù)，恒成立，則，又，所以，同理若為減函數(shù)，恒成立則，娵．綜上．故選A．9．設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上可導(dǎo)，且，則當(dāng)a<x<b時(shí)，有()A．f(x)>g(x)B．f(x)<g(x)C．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程】解：C∵，∴(f(x)－g(x))′>0，∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函數(shù)，∴當(dāng)a<x<b時(shí)f(x)－g(x)>f(a)－g(a)，∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．10．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有成立，則不等式的解集是（）A．B．C．D．【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】解：A構(gòu)造函數(shù)，，則，，∴是上過(guò)點(diǎn)（1,0）的增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，從而則不等式的解集是得到；當(dāng)時(shí)，，從而得到．由于函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以．11．若，則（）A．B．C．D．【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程】解：C構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞減，故，∴，故選C．12．已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,2)，且在點(diǎn)M(－1，f(－1))處的切線方程為6x－y＋7＝0.(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．【知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：(1)f(x)＝x3－3x2－3x＋2．(2)增區(qū)間為(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，遞減區(qū)間為(1－，1＋)．(1)由y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，(x)＝3x2＋2bx＋c．由函數(shù)圖像在點(diǎn)M(－1，f(－1))處的切線方程為6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，(－1)＝6．∴，即解得b＝c＝－3．故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2．(2)(x)＝3x2－6x－3．令(x)>0，得x<1－或x>1＋；令(x)<0，得1－<x<1＋．故f(x)＝x3－3x2－3x＋2的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1－，1＋)．13．若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋在(，＋∞)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【知識(shí)點(diǎn)：由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：[3，＋∞)因?yàn)閒(x)＝x2＋ax＋在(，＋∞)上是增函數(shù)，故(x)＝2x＋a－≥0在(，＋∞)上恒成立，即a≥－2x在(，＋∞)上恒成立．令h(x)＝－2x，則(x)＝－－2，當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，(x)＜0，則h(x)為減函數(shù)，所以h(x)＜h()＝3．所以a≥3．探究型多維突破14.已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.【知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)思想：分類討論】解：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，所以曲線在處的切線方程為（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于令，則，當(dāng)，時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，因此；當(dāng)時(shí)，令得，由和得，故當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，因此.綜上，的取值范圍是15．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：．【知識(shí)點(diǎn)：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍和證明不等式；數(shù)學(xué)思想：分類討論】解：（1）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，若時(shí)，有，若時(shí)，有，則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．（2）由（1）知時(shí)，在上是增函數(shù)，而，不成立，故，又由（1）知的最大值為，要使恒成立，則即可．，即，得．（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)有在恒成立，且在上是減函數(shù)，，即，在上恒成立，令，則，即，從而，∴得證．16．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）令，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；【知識(shí)點(diǎn)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；數(shù)學(xué)思想：分類討論】解：（1）的增區(qū)間是，減區(qū)間是（2）當(dāng)，的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為（1）當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；∴的增區(qū)間是，減區(qū)間是.（2），令得，若，由得，∴的單調(diào)減區(qū)間為；若，①當(dāng)時(shí)，，由得，或，所以的單調(diào)減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，總有，故的單調(diào)減區(qū)間為；③當(dāng)時(shí)，，由得，或，所以的單調(diào)減區(qū)間為；綜上所述，當(dāng)，的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為（四）自助餐1．函數(shù)f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是()A．單調(diào)增函數(shù)B．單調(diào)減函數(shù)C．在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)D．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：A∵(x)＝1＋>0，∴函數(shù)在(0,6)上單調(diào)遞增．2．(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若y＝(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是()【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：D由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)x<0時(shí)，(x)>0，即函數(shù)f(x)為增函數(shù)；當(dāng)0<x<2時(shí)，(x)<0，即f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x>2時(shí)，(x)>0，即函數(shù)f(x)為增函數(shù)．觀察選項(xiàng)易知D正確．3．如果函數(shù)f(x)的圖象如圖，那么導(dǎo)函數(shù)y＝(x)的圖象可能是()【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：A由f(x)與(x)關(guān)系可選A.4．設(shè)函數(shù)，則的單調(diào)減區(qū)間為（）A．B．C．D．【知識(shí)點(diǎn)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)圖像的平移；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：B由可得，∴的單調(diào)減區(qū)間為．5．設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增，，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【知識(shí)點(diǎn)：充要條件，函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：B由題意得，∵在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，∴≥0，即在定義域內(nèi)恒成立，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故對(duì)任意的x∈（0，+∞），必有不能得出，但當(dāng)時(shí)，必有成立，即在上成立，∴不是的充分條件，是的必要條件，即是的必要不充分條件．6．若函數(shù)，，則（）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性比較大??；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】解：A因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在上是減函