第02講探索平行線的性質(zhì)

第02講探索平行線的性質(zhì)課前鞏固平行線的判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行．判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).注：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：（1）若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)．（2）如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直．考點(diǎn)剖析（平行的性質(zhì)證同位角相等）例1：如圖，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握“兩直線平行，同位角相等”．根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”即可求解．【詳解】解：如圖，，，，故選：B．變式11：如圖，把一個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若，則．

【答案】/40度【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求得，再根據(jù)平角的概念即可求得．【詳解】解：如圖，

直尺的兩邊互相平行，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平角的概念，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式12：填空：如圖，在四邊形中，分別于、相交于點(diǎn)、，，試說明．

解：∵，∴________(____________________)，又∵，∴________(____________________)，∴________(____________________)．【答案】1；2；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；2；3；兩直線平行，同位角相等；1；2；等量代換．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換即可解答．【詳解】∵，∴(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，又∵，∴(兩直線平行，同位角相等)，∴(等量代換)．故答案為：1；2；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；2；3；兩直線平行，同位角相等；1；2；等量代換．【點(diǎn)睛】題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（平行的性質(zhì)證內(nèi)錯(cuò)角相等）例2：如圖，由，可以得到（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論，此題考查了平行線的性質(zhì)，熟知“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，故選：D．變式21：如圖，已知，直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線a上，若，則等于．【答案】/50度【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)以及垂線的定義的運(yùn)用．先利用余角的性質(zhì)求得，再根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可求得的度數(shù)．【詳解】解：如圖，∵直角三角板的直角頂點(diǎn)在直線a上，，∴，∵，∴，故答案為：．變式22：如圖，已知，，，問與的關(guān)系，并說明理由．【答案】，理由見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵，與是直線和直線是被直線所截形成的內(nèi)錯(cuò)角，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．（平行的性質(zhì)證同旁內(nèi)角互補(bǔ)）例3：如圖，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，已知，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到，再利用平角解題即可．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．變式31：如圖，直線，被直線所截，，，則的度數(shù)為．

【答案】/45度【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可解答．【詳解】解：，，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟知三個(gè)性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是解題的關(guān)鍵．變式32：如圖，已知AB∥CD，∠A=60°，∠ECD=120°，求∠ECA的度數(shù)．【答案】∠ECA的度數(shù)為120°．【分析】利用平行線的性質(zhì)定理可得∠ACD=120°，易得結(jié)果．【詳解】解：∵AB∥CD，∠A=60°，∴∠A+∠ACD=180°，∴∠ACD=120°，∵∠ECD=120°，∴∠ECA=360°∠ECD∠ACD=360°120°120°=120°，故∠ECA的度數(shù)為120°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．（平行的性質(zhì)與判定混合運(yùn)用）例4：如圖，已知，，求證：，請補(bǔ)充完成下面證明過程．

證明：（已知）（①_______）②_______（同角的補(bǔ)角相等）③_______（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）（④_______）（⑤_______）（已知）（⑥_______）⑦_(dá)______（⑧_______）（兩直線平行，同位角相等）【答案】①鄰補(bǔ)角的定義；②；③；④；⑤兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；⑥等量代換；⑦；⑧同位角相等，兩直線平行；【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，先證明，可得，可得，結(jié)合，可得，證明，可得．【詳解】證明：∵，∵（鄰補(bǔ)角的定義），∴（同角的補(bǔ)角相等）．∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．又∵（已知），∴（等量代換）﹒∴（同位角相等，兩直線平行）．∴（兩直線平行，同位角相等）．故答案為：①鄰補(bǔ)角的定義；②；③；④；⑤兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；⑥等量代換；⑦；⑧同位角相等，兩直線平行．變式41：已知，如圖，，，，求的度數(shù).【答案】40度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)及判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)及判定是解題的關(guān)鍵．由可得，再由，通過角之間的轉(zhuǎn)化，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：又又變式42：如圖，在中，、分別是、上的點(diǎn)，、是上的點(diǎn)，連接、、，，．

(1)說明：；(2)若，，說明：是的平分線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先利用平行線的性質(zhì)及得到與的關(guān)系，再利用平行線判定定理說明；（2）利用與的關(guān)系先求出，再利用求出，最后說明是的平分線．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）證明：∵，，∴，∵，∴，∴，∴是的平分線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，掌握“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”、“兩直線平行，同位角相等”、“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”及鄰補(bǔ)角的定義是解決本題的關(guān)鍵．過關(guān)檢測選擇題（共6題，每題4分）1．如圖，直線，，則A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得答案．【詳解】解：∵，，∴．故選：B．2．如圖，直線，若，則是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，利用平行線的性質(zhì)得出，再利用鄰補(bǔ)角的定義得出即可，熟練利用平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【詳解】如圖，∵直線，∴，∵，∴，故選：．3．如圖，下列條件中，能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的判定定理，根據(jù)平行線的判定定理即可作出判斷．【詳解】解：A.，不能判定，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.∵，∴，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

C.∵，∴，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.，∴，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：B．4．如圖，，EF分別截于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)AIA． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)．利用平行線的性質(zhì)對各項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【詳解】，，，，故A結(jié)論正確，不符合題意；，，，故C結(jié)論正確，不符合題意；，，，，，故D結(jié)論正確，不符合題意；無法求得，故B結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意．故選：B．5．如圖，將長方形沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平角的定義可得，再由折疊可知，最后根據(jù)平行的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：，，由折疊可知，在長方形中，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查長方形的折疊，平角的定義，平行的性質(zhì)，理解折疊性質(zhì)找到相等的角是關(guān)鍵．6．如圖，，平分，平分，，下列結(jié)論：①平分；②；③；④，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，垂直定義，角平分線定義．根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定，垂直定義，角平分線定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，平分，故①正確；∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴，∴，∵，∴，故③正確；∴，故④正確；綜上，①②③④都正確；故選：A．填空題（共8題，每題4分）7．已知，，三點(diǎn)及直線，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，那么，，三點(diǎn)一定在同一條直線上，依據(jù)是.【答案】經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行【解析】略8．如圖，，分別與，相交于點(diǎn)和點(diǎn)，平分，且，則．【答案】/80度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)，可得；由角平分線可得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵，，∴∵平分，∴∵，∴故答案為：9．如圖，，若，則．【答案】/度【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，同位角相等先求出，進(jìn)而得到．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：．10．如圖，小明從A出發(fā)沿北偏東方向行走至B處，又沿北偏西方向行走至C處，此時(shí)需把方向調(diào)整到與出發(fā)時(shí)一致，則方向的調(diào)整應(yīng)是右轉(zhuǎn)°．

【答案】【分析】本題考查了方位角的概念，以及根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)．求出，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖所示：由題意得：，，∵，∴，，∵在C處需把方向調(diào)整到與出發(fā)時(shí)一致，∴，，∴故答案為：．11．如圖，，，，，于點(diǎn)，則的度數(shù)是．【答案】/27度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，過“拐點(diǎn)”作平行線構(gòu)造截線是解題關(guān)鍵．作，，可推出；根據(jù)，可求；根據(jù)，可求，據(jù)此即可求解．【詳解】解：作，，如圖所示：∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：12．與的兩邊分別平行，且的度數(shù)比的度數(shù)的多，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，由和的兩邊分別平行，利用平行線的性質(zhì)可以得出或結(jié)合的度數(shù)比度數(shù)的多，即可求出的度數(shù).【詳解】解：和的兩邊分別平行，的度數(shù)比的度數(shù)的多，即將分別代入得：或故答案為：13．一副直角三角尺如圖1疊放，現(xiàn)將含的三角尺固定不動(dòng)，將含的三角尺繞頂點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，要求兩塊三角尺的一組邊互相平行．如圖2，當(dāng)時(shí)，有一組邊，再繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)三角尺的過程中，請你寫出符合要求的（）的度數(shù)是度．【答案】或或【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，再由平行線的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∵，∴；

當(dāng)時(shí)，∵，∴．

綜上所述，的度數(shù)為或或；故答案為：或或．14．已知：如圖，，的平分線與的平分線交于點(diǎn)M，，，，則．【答案】/88度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等，解題的關(guān)鍵是會(huì)添加常用輔助線（即過“拐點(diǎn)”作平行線），一般而言，有幾個(gè)“拐點(diǎn)”就需要作幾條平行線，從而利用“拐點(diǎn)”模型的基本結(jié)論解決問題；過點(diǎn)、、分別作，根據(jù)平行線的傳遞性得出，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等以及角平分線的定義即可求解；【詳解】過點(diǎn)、、分別作，∵，，平分，平分，，，，，，，故答案為：．解答題（共5題，前三題每題8分，后兩題每題10分）15．如圖，試說明．【答案】見解析【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)直接證明即可．熟知關(guān)于平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴．16．如圖，平分，，，則也是的平分線，完成下列推理過程．

證明：是的平分線（已知），（）．（已知），（）．（）．又（已知），（）．（）．（）．【答案】角平分線的性質(zhì)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；，等量代換；，，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等等量代換【分析】先利用角平分線定義得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)由得，則，接著由可判斷，則利用平行線的性質(zhì)得，所以，從而得到結(jié)論．【詳解】證明：是的平分線（已知），（角平分線的性質(zhì)）．（已知），（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．（等量代換）．又（已知），（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．（兩直線平行，同位角相等）．（等量代換）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”及“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”、“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵．17．如圖，于，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，于，且(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運(yùn)用．（1）由，則，則，從而證得，即；（2）由，即可得到．【詳解】（1）∵，（2）∵，18．問題情景：如圖1，．(1)觀察猜想：若，．則的度數(shù)為__________．(2)探究問題：在圖1中探究，、與之間有怎樣的等量關(guān)系？并說明理由．(3)拓展延伸：若將圖1變?yōu)閳D2，題設(shè)的條件不變，此時(shí)、與之間有怎樣的等量關(guān)系？并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)，理由見解析【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)P作，則，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到，則；（2）同（1）求解即可；（3）過點(diǎn)P作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再證明，即可得到．【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)P作，∵，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：，理由如下：如圖所示，過點(diǎn)P作，∵，，∴，∴，∴；（3）解：，理由如下：如圖所示，過點(diǎn)P作，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．19．已知，如圖，與交于點(diǎn)O(1)如圖1，若，求證：(2)如圖2，若